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第 17讲 函数的基本性质
【考试要求】
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.了解函数奇偶性的含义.
3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．
【知识梳理】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D上
的任意两个自变量的值 x1，x2
定义
当 x1就说函数 f(x)在区间D上是增函数 就说函数 f(x)在区间 D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间 D上是 或 ，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性， 叫做 y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足
(1)对于任意的 x∈I，都有 ； (1)对于任意的 x∈I，都有 ；
条件
(2)存在 x0∈I，使得 (2)存在 x0∈I，使得
结论 M为最大值 M为最小值
3.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意
偶函数 关于 对称
一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就叫
做偶函数
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意
奇函数 一个 x，都有 ，那么函数 f(x)就叫 关于 对称
做奇函数
4.周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时，
都有 ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，非零常数 T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个
叫做 f(x)的最小正周期．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 1函数 y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
x
(2)若函数 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0.( )
(3)若 y＝f(x)在区间 D上单调递增，则函数 y＝kf(x)(k<0) y 1，＝ 在区间 D上单调递减．( )
f x
(4)若函数 f(x)满足 f(4－x)＝f(x)，则 f(x)的图象关于 x＝2对称．( )
2．下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
3 x．函数 y＝ 在区间[2,3]上的最大值是________．
x－1
4.设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]，若当 x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)<0 的
解集为________．
5 x－1．函数 f(x)＝(x＋1) 是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
x＋1
6．函数 y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且 f(a＋1)【典型例题】
题型一 确定函数的单调性
2
例 1 (1)函数 y log1 ( x x 6)的单调递增区间为( )
2
1 3 2 1， － ，
A. 2 B. 2
1
，＋∞
C．(－2,3) D. 2
1，x>0，
(2)设函数 f(x)＝ 0，x＝0， g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的单调递减区间是__________．
－1，x<0，
命题点 2 判断或证明函数的单调性
ax
例 2 试讨论函数 f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性．
x－1
跟踪训练 1 (1)函数 f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
(2) a已知 a>0，函数 f(x)＝x＋ (x>0)，证明：函数 f(x)在(0， a]上单调递减，在[ a，＋∞)上单
x
调递增．
题型二 函数单调性的应用
命题点 1 比较函数值的大小
例 3 (1)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
f log 1A
3 2 2

3

． f (2 2 ) f (2 3

3 ) B． f log
1
3 f (2 3 ) f (2 2 )
4 4
3 2
1 2 3 C． f (2 2 ) f (2 3) f log D 1 3 ． f (2 3 ) f (2 2) f log4 3 4
(2)(2020·全国Ⅰ)若 2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a[高考改编题] 已知 2a＋log2a>4b＋2log4b＋1，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．ab2
命题点 2 求函数的最值
2
例 4 (2021·深圳模拟) x ＋4函数 y＝ 的最大值为________．
x2＋5
1
例 5 已知函数 f(x)＝ 3 x－log2(x＋2)，若 f(a－2)>3，则 a的取值范围是________．
2－a x＋1，x<1，
6 f x1 －f x2 例 如果函数 f(x)＝ 满足对任意 x1≠x2，都有 >0成立，那么
ax，x≥1 x1－x2
实数 a的取值范围是( )
A．(0,2) B．(1,2)
3
，2
C．(1，＋∞) D. 2
跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)的图象关于直线 x＝1对称，当 x1≠x2且 x1，x2∈(1，＋∞)时，[f(x2)
1
－
－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设 a＝f 2 ，b＝f(2)，c＝f(e)，则 a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
x3，x≤0，
(2)已知函数 f(x)＝ 若 f(2－x2)>f(x)，则实数 x的取值范围是________．
ln x＋1 ，x>0，
(3)已知函数 f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则 a的取值范围是
________．
【课后作业】
A 组
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ x＋1
1
C．y＝ 2 x D．y＝x 1＋
x
2．设 a∈R，函数 f(x)在 R 上是增函数，则( )
7 7
A．f(a2＋a＋2)>f 4 B．f(a2＋a＋2)7 7
C．f(a2＋a＋2)≥f 4 D．f(a2＋a＋2)≤f 4
3．函数 f(x) x＝ 在( )
1－x
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
4．(2021·广东省佛山市佛山一中月考)已知函数 f(x)是定义域为[0，＋∞)上的减函数，且 f(2)
＝－1，则满足 f(2x－4)>－1的实数 x的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[2,3) D．[0,3)
5．(多选)若 f(x)＝－x2＋2ax与 g(x) a＝ 在区间[1,2]上都单调递减，则实数 a的取值可以是
x＋1
( )
A．－1 B.1 C．1 D．2
2
ln x＋2x，x>0，
6．(多选)已知函数 f(x)＝ 2 ，x≤0， 则下列结论正确的是( )
1－x
A．f(x)在 R 上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若 f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则 a≤－1或 a≥0
D．当 x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
7．函数 y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
8 f(x) 2x m
2
．设函数 ＝ 在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为 M，m，则 ＝________.
x－2 M
log 3
9．函数 f(x) a＝ex＋x－e，若实数 a(a>0且 a≠1)满足 f 4 <1，则 a的取值范围为________．
－x2＋4x，x≤4，
10．设函数 f(x)＝ 若函数 f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数 a的
log2x，x>4.
取值范围是__________________．
11．已知函数 f(x)＝ax 1 2－ ＋ (a>0)，且 f(x)在(0,1]上的最大值为 g(a)，求 g(a)的最小值．
ax a
12 f(x) a 2．已知函数 ＝ － .
2x＋1
(1)求 f(0)；
(2)探究 f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若 f(x)为奇函数，求满足 f(ax)B 组
1
x
13．已知函数 f(x)＝ 2 －1，x≤0， 当 x∈[m，m＋1]时，不等式 f(2m－x)－x3，x>0，
立，则实数 m的取值范围是( )
A．(－∞，－4) B．(－∞，－2)
C．(－2,2) D．(－∞，0)
14．设函数 f(x) ax＋1＝ 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么 a的取值范围是________．
x＋2a
C 组
15．已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，对任意 x1，x2且 x1≠x
f x1 －f x2
2，都有 >－1，则下列说
x1－x2
法正确的是( )
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
16．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当 x>0时，f(x)>－1.
(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是增函数；
(2)若 f(1)＝1，解关于 x的不等式 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.第 17讲 单调性与最值
【考试要求】
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.了解函数奇偶性的含义.
3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．
【知识梳理】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D上
的任意两个自变量的值 x1，x2
定义
当 x1f(x2)，那么
就说函数 f(x)在区间D上是增函数 就说函数 f(x)在区间 D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格
的)单调性，区间 D叫做 y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； (1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M；
条件
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
3.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意
偶函数 一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫 关于 y轴对称
做偶函数
一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意
奇函数 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x) 关于原点对称
就叫做奇函数
4.周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时，
都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，非零常数 T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做 f(x)的最小正周期．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 1函数 y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
x
(2)若函数 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0.( × )
(3)若 y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数 y＝kf(x)(k<0)，y 1＝ 在区间D上单调递减．( × )
f x
(4)若函数 f(x)满足 f(4－x)＝f(x)，则 f(x)的图象关于 x＝2对称．( √ )
2．下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x － －－2 x D．f(x)＝2x＋2 x
答案 C
解析 f(x)＝x－1为非奇非偶函数，f(x)＝x2＋x为非奇非偶函数，f(x)＝2x＋2－x为偶函数．
3 x．函数 y＝ 在区间[2,3]上的最大值是________．
x－1
答案 2
y x 1解析 函数 ＝ ＝1＋ 在[2,3]上为减函数，
x－1 x－1
x 2
当 x＝2时，y＝ 取得最大值 ＝2.
x－1 2－1
4.设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]，若当 x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)<0 的
解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知，当 00；当 2时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.
综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
5．函数 f(x)＝(x＋1) x－1是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
x＋1
答案 非奇非偶
解析 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)不关于原点对称．
故 f(x)为非奇非偶函数．
6．函数 y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且 f(a＋1)答案 [－1,1)
－2≤a＋1≤2，
解析 由条件知 －2≤2a≤2，
a＋1>2a，
解得－1≤a<1.
【典型例题】
题型一 确定函数的单调性
命题点 1 求具体函数的单调区间
例 1 (1)函数 y log1 ( x
2 x 6)的单调递增区间为( )
2
1
，3 1－2，
A. 2 B. 2
1
，＋∞
C．(－2,3) D. 2
答案 A
解析 由－x2＋x＋6>0，得－2y log 1 t，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数 t＝－x2＋x
2
＋6在(－2,3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得 t＝－x2＋x＋6在定义域(－2,3)上
1
，3
的单调递减区间为 2 ，故选 A.
1，x>0，
(2)设函数 f(x)＝ 0 2，x＝0， g(x)＝x f(x－1)，则函数 g(x)的单调递减区间是__________．
－1，x<0，
答案 [0,1)
x2，x>1，
解析 由题意知 g(x)＝ 0，x＝1， 该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
－x2，x<1，
命题点 2 判断或证明函数的单调性
例 2 ax试讨论函数 f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性．
x－1
解 方法一 设－1x－1＋1
1 1＋
f(x)＝a x－1 ＝a x－1 ，
1 1 1 1＋ ＋
f(x1)－f(x2)＝a x1－1 －a x2－1
a x2－x1
＝ ，
x1－1 x2－1
由于－1所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当 a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即 f(x1)f (x) ax ′ x－1 －ax x－1 ′方法二 ′ ＝
x－1 2
a x－1 －ax a
＝ ＝－ .
x－1 2 x－1 2
当 a>0时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增．
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；
二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定
简单函数的单调性．
跟踪训练 1 (1)函数 f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
答案 [1,2]
x2－2x，x≥2，
解析 f(x)＝
－x2＋2x，x<2.
画出 f(x)的大致图象(如图所示)，
由图知 f(x)的单调递减区间是[1,2]．
(2) a>0 f(x) x a已知 ，函数 ＝ ＋ (x>0)，证明：函数 f(x)在(0， a]上单调递减，在[ a，＋∞)上单
x
调递增．
证明 方法一 (定义法)设 x1>x2>0，
f(x ) f(x ) x a a1 － 2 ＝ 1＋ －x2－
x1 x2
(x a x2－x1 ＝ 1－x2)＋
x1x2
x1－x2 x1x2－a
＝ ，
x1x2
∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，
当 x1，x2∈(0， a]时，0∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0， a]上单调递减；
当 x1，x2∈[ a，＋∞)时，x1x2>a，
∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[ a，＋∞)上单调递增．
a x2－a
方法二 (导数法)f′(x)＝1－ ＝ (x>0)，
x2 x2
令 f′(x)>0 x2－a>0 x> a，
令 f′(x)<0 x2－a<0 0∴f(x)在(0， a]上单调递减，在[ a，＋∞)上单调递增．
题型二 函数单调性的应用
命题点 1 比较函数值的大小
例 3 (1)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )
3 2 A． f log
1
3 f (2 2 ) f (2 3 )
4
2 3 B． f log
1
3 f (2 3 ) f (2 2 )
4
3 2

C． f (2 2 ) f (2 3) f log
1
3
4
2
3
D． f (2 3 ) f (2 2) f log
1
3
4
答案 C
解析 f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，
log 1
f 34 ＝f(－log34)＝f(log34)，
3 2

又 log34>1,0 2 2 2 3 1，
2
3
∴ f log3 4 f (2 3 ) f (2 2 )，
3 2

即 f (2 2 ) f (2 3) f log
1
3 .
4
(2)(2020·全国Ⅰ)若 2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a答案 B
解析 由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令 f(x)＝2x＋log2x，
则 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，
∴2a＋log2a<22b＋log22b，
即 f(a)[高考改编题] 已知 2a＋log2a>4b＋2log4b＋1，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．ab2
答案 A
解析 4b＋2log4b＋1＝22b＋ 2log 2 b＋1＝22b＋log2 2b＋1＝2
2b＋log22b，
∴2a＋log2a>22b＋log22b，
∵函数 f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上为增函数，
∴a>2b.
命题点 2 求函数的最值
2
例 4 (2021· x ＋4深圳模拟)函数 y＝ 的最大值为________．
x2＋5
2
答案
5
解析 令 x2＋4＝t，则 t≥2，
∴x2＝t2－4，
t 1
∴y＝ ＝ ，
t2＋1 t 1＋
t
设 h(t) 1＝t＋ ，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
t
5
∴h(t)min＝h(2)＝ ，
2
1
∴y 2≤5＝ (x＝0时取等号)．5
2
即 y 2的最大值为 .
5
命题点 3 解函数不等式
1
例 5 已知函数 f(x)＝ 3 x－log2(x＋2)，若 f(a－2)>3，则 a的取值范围是________．
答案 (0,1)
1
解析 由 f(x)＝ 3 x－log2(x＋2)知，
f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且 f(－1)＝3，
由 f(a－2)>3，得 f(a－2)>f(－1)，
即－2命题点 4 求参数的取值范围
2－a x＋1，x<1，
6 f(x) x x f x1 －f x2 例 如果函数 ＝ 满足对任意 1≠ 2，都有 >0成立，那么
ax，x≥1 x1－x2
实数 a的取值范围是( )
A．(0,2) B．(1,2)
3
，2
C．(1，＋∞) D. 2
答案 D
x x f x1 －f x2 解析 因为对任意 1≠ 2，都有 >0，
x1－x2
所以 y＝f(x)在 R 上是增函数．
2－a>0，
3
所以 a>1， 解得 ≤a<2.2
2－a ×1＋1≤a，
3
，2
故实数 a的取值范围是 2 .
思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的
定义域．
(4)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)的图象关于直线 x＝1对称，当 x1≠x2且 x1，x2∈(1，＋∞)时，[f(x2)
1
－
－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设 a＝f 2 ，b＝f(2)，c＝f(e)，则 a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
答案 D
解析 依题意 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增，
且 f(x)关于 x＝1对称，
1 5
－
∴a＝f 2 ＝f 2 ，
5
∴f(e)即 cx3，x≤0，
(2)已知函数 f(x)＝ 若 f(2－x2)>f(x)，则实数 x的取值范围是________．
ln x＋1 ，x>0，
答案 (－2,1)
解析 根据函数 f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在 R 上的增函数．∴2－x2>x，∴－2(3)已知函数 f(x) －＝e|x a|(a为常数)，若 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则 a的取值范围是
________．
答案 (－∞，1]
解析 令 t＝|x－a|，∴y＝et，
t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，
又 y＝et为增函数，
∴f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴a≤1.
【课后作业】
A 组
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ x＋1
1
C．y＝ 2 x D．y＝x 1＋
x
答案 A
解析 函数 y＝ln(x＋2)的单调递增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定单调递增．
2．设 a∈R，函数 f(x)在 R 上是增函数，则( )
7 7
A．f(a2＋a＋2)>f 4 B．f(a2＋a＋2)7 7
C．f(a2＋a＋2)≥f 4 D．f(a2＋a＋2)≤f 4
答案 C
a 1＋
a2 a 2 2 2 7 7解析 ∵ ＋ ＋ ＝ ＋ ≥ ，
4 4
7
又 f(x)在 R 上是增函数，∴f(a2＋a＋2)≥f 4 .
3．函数 f(x) x＝ 在( )
1－x
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
答案 C
解析 函数 f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x) x 1 1＝ ＝ －1，根据函数 y＝－ 的单调性及有关
1－x 1－x x
性质，可知 f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．
4．(2021·广东省佛山市佛山一中月考)已知函数 f(x)是定义域为[0，＋∞)上的减函数，且 f(2)
＝－1，则满足 f(2x－4)>－1的实数 x的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[2,3) D．[0,3)
答案 C
解析 f(x)在定义域[0，＋∞)上是减函数，且 f(2)＝－1，
∴f(2x－4)>－1可化为 f(2x－4)>f(2)，
2x－4≥0，
∴ 解得 2≤x<3.
2x－4<2，
5．(多选)若 f(x)＝－x2＋2ax g(x) a与 ＝ 在区间[1,2]上都单调递减，则实数 a的取值可以是
x＋1
( )
A 1．－1 B. C．1 D．2
2
答案 BC
解析 因为 f(x)＝－x2＋2ax在[1,2] a上单调递减，所以 a≤1，又因为 g(x)＝ 在[1,2]上单调
x＋1
递减，
所以 a>0，所以 0ln x＋2x，x>0，
6．(多选)已知函数 f(x)＝ 2 ，x≤0， 则下列结论正确的是( )
1－x
A．f(x)在 R 上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若 f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则 a≤－1或 a≥0
D．当 x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
答案 BC
解析 易知 f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；
若 f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则 a≥0或 a＋1≤0，即 a≤－1或 a≥0，故 C正确；
当 x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当 x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故 x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，
2]，故 D不正确．
7．函数 y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
答案 (－∞，－1]和[0,1] (－1,0)和(1，＋∞)
－x2＋2x＋1，x≥0，
解析 由于 y＝
－x2－2x＋1，x<0，
－ x－1 2＋2，x≥0，
即 y＝
－ x＋1 2＋2，x<0.
画出函数图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
2
8．设函数 f(x) 2x＝ 在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为 M，m m，则 ＝________.
x－2 M
8
答案
3
f(x) 2x 2x－4＋4 4解析 ＝ ＝ ＝2＋ 在[3,4]上是减函数，
x－2 x－2 x－2
∴f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6，
m2 16 8
∴M＝6，m＝4，∴ ＝ ＝ .
M 6 3
log 3
9．函数 f(x)＝ex＋x－e，若实数 a(a>0 a 1) a且 ≠ 满足 f 4 <1，则 a的取值范围为________．
0 3，
答案 4 ∪(1，＋∞)
解析 f(x)＝ex＋x－e，∴f(x)在 R 上为增函数且 f(1)＝1，
log 3 3
f a
log
∴ 4 <1，可化为 f
a
4 ∴log 3a <1，
4
当 04
当 a>1时，符合题意．
0 3，
∴a的取值范围是 4 ∪(1，＋∞)．
－x2＋4x，x≤4，
10．设函数 f(x)＝ 若函数 f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数 a的
log2x，x>4.
取值范围是__________________．
答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)
解析 函数 f(x)的图象如图所示，
由图象可知 f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足 a≥4或 a＋1≤2，即 a≤1或 a≥4.
11 1 2．已知函数 f(x)＝ax－ ＋ (a>0)，且 f(x)在(0,1]上的最大值为 g(a)，求 g(a)的最小值．
ax a
解 f(x) 1 2＝ax－ ＋ (a>0)，
ax a
∴f(x)在(0,1]上为增函数，
∴f(x)max＝f(1)＝a 1＋ ，
a
∴g(a) a 1 1＝ ＋ ≥2，当且仅当 a＝ 即 a＝1时取等号，
a a
∴g(a)的最小值为 2.
12．已知函数 f(x)＝a 2－ .
2x＋1
(1)求 f(0)；
(2)探究 f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若 f(x)为奇函数，求满足 f(ax)解 (1)f(0) a 2＝ － ＝a－1.
20＋1
(2)f(x)在 R 上单调递增．证明如下：
∵f(x)的定义域为 R，∴任取 x1，x2∈R 且 x12 2
则 f(x1)－f(x2)＝a x a 2 1 1 2x2 1
2 (2x1 2x2 )
,
(1 2x1 )(1 2x2 )
∵y＝2x在 R 上单调递增且 x1∴0 2x1 2x2 x x x，∴ 2 1 2 2 0，2 1 1 0，2x2 1 0 .
∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)∴f(x)在 R 上单调递增．
(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即 a 2 2－ ＝－a＋ ，解得 a＝1.
2－x＋1 2x＋1
∴f(ax)又∵f(x)在 R 上单调递增，∴x<2.
∴x的取值范围是(－∞，2)．
B 组
1
x
13．已知函数 f(x)＝ 2 －1，x≤0， 当 x∈[m，m＋1]时，不等式 f(2m－x)－x3，x>0，
立，则实数 m的取值范围是( )
A．(－∞，－4) B．(－∞，－2)
C．(－2,2) D．(－∞，0)
答案 B
1
解析 易知函数 f(x)＝ 2
x－1，x≤0， 在 x∈R 上单调递减，
－x3，x>0
又 f(2m－x)所以 2m－x>x＋m，
即 2x所以 2(m＋1)解得 m<－2.
14 f(x) ax＋1．设函数 ＝ 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么 a的取值范围是________．
x＋2a
答案 [1，＋∞)
2 2
f(x) ax＋2a －2a ＋1 2a
2
a －1解析 ＝ ＝ － ，
x＋2a x＋2a
定义域为{x|x≠－2a}，
2a2－1>0，
所以
－2a≤－2，
2a2－1>0，
所以 所以 a≥1.
a≥1，
C 组
15．已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，对任意 x1，x x x
f x1 －f x2
2且 1≠ 2，都有 >－1，则下列说
x1－x2
法正确的是( )
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
答案 A
解析 不妨令 x1f x1 －f x2
∵ >－1 f(x1)－f(x2)<－(x1－x2) f(x1)＋x1x1－x2
令 g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)又 x116．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当 x>0时，f(x)>－1.
(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是增函数；
(2)若 f(1)＝1，解关于 x的不等式 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解 (1)令 x＝y＝0，得 f(0)＝－1.
在 R 上任取 x1>x2，则 x1－x2>0，
所以 f(x1－x2)>－1.
又 f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，
所以函数 f(x)在 R 上是增函数．
(2)由 f(1)＝1，得 f(2)＝3，f(3)＝5.
由 f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得 f(x2＋x＋1)>f(3)，
因为函数 f(x)在 R 上是增函数，
所以 x2＋x＋1>3，
解得 x<－2或 x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或 x>1}．

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