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第 18讲 奇偶性、对称性与周期性
【典型例题】
题型一 函数奇偶性的判定
例 1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3；
lg 1－x2(2)f(x) ＝ ；
|x－2|－2
x2＋x，x<0，
(3)f(x)＝
－x2＋x，x>0；
(4)f(x)＝log2(x＋ x2＋1)．
3－x2≥0，
解 (1)由 得 x2＝3，解得 x＝± 3，
x2－3≥0，
即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}，关于原点对称．
从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0.
因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，
所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．
1－x2>0，
(2)由 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
|x－2|≠2，
lg 1－x2
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝ .
－x
lg[1－ －x 2] lg 1－x2
又∵f(－x)＝ ＝－ ＝－f(x)，
x －x
∴函数 f(x)为奇函数．
(3)显然函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当 x<0时，－x>0，
则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当 x>0时，－x<0，
则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函数．
(4)显然函数 f(x)的定义域为 R，
f(－x)＝log2[－x＋ －x 2＋1]
＝log2( x2＋1－x)
＝log2( x2＋1＋x)－1
＝－log2( x2＋1＋x)＝－f(x)，
故 f(x)为奇函数．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等
价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
跟踪训练 1 (1)下列函数是偶函数的是( )
A．f(x)＝x3－sin x
B f(x) 3x 1． ＝ －
3x
C．f(x)＝x2＋tan x
D．f(x)＝x·ln( x2＋1－x)
答案 D
解析 由函数奇偶性定义知，A中函数为奇函数，B中函数为奇函数，C中函数为非奇非偶
函数，D中函数为偶函数．
(2)设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是偶函数
D．f(|x|)g(x)是奇函数
答案 C
解析 令 F1(x)＝f(x)g(x)，
∴F1(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F1(x)，
∴F1(x)为奇函数，故 A错误；
令 F2(x)＝|f(x)g(x)|，
∴F2(x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|
＝|f(x)g(x)|＝F2(x)，
故 F2(x)为偶函数，故 B错误；
令 F3(x)＝|f(x)|g(x)，
∴F3(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F3(x)，
∴F3(x)为偶函数，故 C正确；
令 F4(x)＝f(|x|)g(x)，
∴F4(－x)＝f(|－x|)g(－x)＝f(|x|)g(x)＝F4(x)，
∴F4(x)为偶函数，故 D错误．
题型二 函数奇偶性的应用
命题点 1 利用奇偶性求参数的值
1
＋a
例 2 若函数 f(x)＝x3 2x－1 为偶函数，则 a的值为________．
1
答案
2
解析 方法一 (定义法)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
1
＋a 1 ＋a
∴(－x)3 2－x－1 ＝x3· 2x－1 ，
1 1
＋
∴2a＝－ 2－x－1 2x－1 ＝1，
1
∴a＝ .
2
方法二 (特值法)f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
又 f(－1)＝－a＋2，f(1)＝a＋1，
a 2 a 1 a 1∴－ ＋ ＝ ＋ ，∴ ＝ .
2
命题点 2 利用奇偶性求解析式
例 3 (2019·全国Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0时，f(x)＝ex－1，则当 x<0时，f(x)等于( )
A e－． x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
答案 D
解析 当 x<0时，－x>0，
∵当 x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
命题点 3 利用奇偶性求函数值
例 4 已知函数 f(x)＝ax3＋bx5＋2.若 f(x)在区间[－t，t]上的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋
m＝________.
答案 4
解析 令 g(x)＝ax3＋bx5，
则 g(x)为奇函数，
当 x∈[－t，t]时，g(x)max＋g(x)min＝0，
又 f(x)＝g(x)＋2，
∴M＝g(x)max＋2，m＝g(x)min＋2，
∴M＋m＝g(x)max＋2＋g(x)min＋2＝4.
思维升华 利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由
系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0时，f(x)＝2x＋x＋b，则 f(－1)
的值为( )
A．b＋3 B．－b－3 C．－2 D．2
答案 C
解析 ∵f(x)为 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，
即 20＋0＋b＝0，∴b＝－1，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(21＋1＋b)＝－2.
(2)已知函数 f(x)＝asin x＋btan x＋1，若 f(a)＝－2，则 f(－a)＝________.
答案 4
解析 令 g(x)＝asin x＋btan x，
则 g(x)为奇函数，且 f(x)＝g(x)＋1，
∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.
题型三 函数的周期性、对称性
命题点 1 函数的周期性
2 023π
例 5 (1)已知函数 f(x)对任意 x∈R，都有 f(x＋2π)＝f(x)，当 x∈(0，π)时，f(x)＝2sin x，则 f 3
2
等于( )
A.1 B. 3 C．1 D. 3
2 2
答案 C
解析 因为 f(x＋2π)＝f(x)，所以 f(x)的周期为 2π.
2 023π 674π π π＋ 337×2π＋
所以 f 3 ＝f 3 ＝f 3
π
＝f 3 ，
又因为当 x∈(0，π)时，f(x)＝2sin x，
2
π
f 3 2sin π所以 ＝ ＝1.
6
(2)(2020·西安模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝－f(x＋2)，当 x∈(0,2]时，f(x)＝2x
＋log2x，则 f(2 020)等于( )
A．5 B.1 C．2 D．－5
2
答案 D
解析 ∵f(x)＝－f(x＋2)，
∴f(x)的周期为 4，f(2 020)＝f(0)＝－f(2)＝－(22＋log22)＝－5.
思维升华 函数周期性常用结论
对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)．
(2)若 f(x＋a) 1＝ ，则 T＝2a(a>0)．
f x
(3)若 f(x＋a) 1＝－ ，则 T＝2a(a>0)．
f x
(4)若 f(x＋a)＋f(x)＝c，则 T＝2a(a>0，c为常数)．
命题点 2 函数的对称性
例 6 (多选)已知函数 f(x)的定义域为 R，对任意 x都有 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(－x)＝f(x)，则下
列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于 x＝2对称
B．f(x)的图象关于(2,0)对称
C．f(x)的最小正周期为 4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
答案 ACD
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则 f(x)的图象关于 x＝2对称，故 A正确，B错误；
∵函数 f(x)的图象关于 x＝2 对称，则 f(－x)＝f(x＋4)，又 f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T
＝4，故 C正确；
∵T＝4且 f(x)为偶函数，故 y＝f(x＋4)为偶函数，故 D正确．
思维升华 对称性的三个常用结论
(1)若函数 f(x)满足 f(a a＋b＋x)＝f(b－x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ 对称．
2
a＋b
，0
(2)若函数 f(x)满足 f(a＋x)＝－f(b－x)，则 y＝f(x)的图象关于点 2 对称．
a＋b c
，
(3)若函数 f(x)满足 f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数 f(x)的图象关于点 2 2 对称．
跟踪训练 3 (1)设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋3)＝f(x)，且当 x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，
则 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.
答案 2 696
解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，∴T＝3，
又 x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，
∴f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＝1＋2＋1＝4，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)
＝674×4＝2 696.
(2)已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为奇函数，其图象关于直线 x＝2对称．当 x∈[0,4]时，
f(x)＝x2－4x，则 f(2 022)＝________.
答案 4
解析 ∵f(x)的图象关于直线 x＝2对称，
∴f(－x)＝f(x＋4)，
又 f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
故 f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，
又∵2 022＝252×8＋6，
∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用
y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、
奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．
例 1 若函数 f(2x)的定义域是[－1,1]，则 f(log2x)的定义域为________．
答案 [ 2，4]
解析 对于函数 y＝f(2x)，－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2.
则对于函数 y＝f(log2x)，2－1≤log2x≤2，
∴ 2≤x≤4.
故 y＝f(log2x)的定义域为[ 2，4]．
例 2 已知函数 f(x)对任意正实数 a，b，都有 f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．
(1)求 f(1)，f(－1)的值；
1
(2)求证：f x ＝－f(x)；
(3)若 f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求 f(36)的值．
(1)解 令 a＝1，b＝1，
得 f(1)＝f(1)＋f(1)，解得 f(1)＝0，
令 a＝b＝－1，
∴f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0.
(2) 1证明 令 a＝ ，b＝x，
x
1
得 f(1)＝f x ＋f(x)＝0，
1
∴f x ＝－f(x)．
(3)解 令 a＝b＝2，得 f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，
令 a＝b＝3，得 f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
令 a＝4，b＝9，得 f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.
1
例 3 已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，并且满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f 3 ＝1，且当 x>0时，f(x)>0.
(1)求 f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)判断函数的单调性，并解不等式 f(x)＋f(2＋x)<2.
解 (1)令 x＝y＝0，
则 f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
(2)f(x)是奇函数，证明如下：
令 y＝－x，得 f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
故函数 f(x)是 R 上的奇函数．
(3)f(x)是 R 上的增函数，证明如下：
任取 x1，x2∈R，x10，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)
＝f(x2－x1)>0，
∴f(x1)故 f(x)是 R 上的增函数，
1
∵f 3 ＝1，
2 1 1 1 1
＋
∴f 3 ＝f 3 3 ＝f 3 ＋f 3 ＝2，
2
∴f(x)＋f(2＋x)＝f(x＋(2＋x))＝f(2x＋2)又由 y＝f(x) 2是定义在 R 上的增函数，得 2x＋2< ，
3
2
2 －∞，－
解得 x<－ ，故 x∈ 3 .
3
【课后作业】
A 组
1．(2021·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x－1 B．y＝|x|＋1
C y cos x． ＝ D．y＝－x2
x
答案 B
x
2．若函数 f(x) k－2＝ 在定义域上为奇函数，则实数 k的值为( )
1＋k·2x
A．－2 B．0 C．1或－1 D．2
答案 C
解析 因为 f(x)在定义域上为奇函数，
－x x
所以 f(－x) k－2 2 －k＝－f(x)，即 ＝ ，
1＋k·2－x 1＋k·2x
k·2x－1 2x－k
即 ＝ ，
2x＋k k·2x＋1
根据等式恒成立可得，k＝±1.
x
3．(2021· 9 ＋1南昌联考)函数 f(x)＝ 的图象( )
3x
A．关于 x轴对称 B．关于 y轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线 y＝x对称
答案 B
32xf(x) ＋1解析 ＝ ＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，
3x
∴f(－x)＝f(x)，故 f(x)为偶函数，其图象关于 y轴对称．
5
－
4．已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2的奇函数，当 0等于( )
A．－2 B．0 C．2 D．1
答案 A
解析 ∵函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且周期为 2，
∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，
5 1 1 1
－ －
f 2 ＝f 2 ＝－f 2 ＝ 42 ＝－2，
5
－
∴f 2 ＋f(1)＝－2.
5．(多选)已知 y＝f(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
答案 BD
解析 由奇函数的定义 f(－x)＝－f(x)验证，
A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；
B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；
C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；
D项，f(－x)＋(－x)＝－[ f(x)＋x]，为奇函数．
可知 BD正确．
6．(多选)若定义域为R的函数 f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数 y＝f(x＋4)为偶函数，则( )
A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6)
C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6)
答案 BCD
解析 ∵y＝f(x＋4)为偶函数，
∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，
∴y＝f(x)的图象关于直线 x＝4对称，
∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)．
又 y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减，
∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6)．
7．已知 f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b的值是________．
1
答案
3
解析 f(x)＝ax2＋bx为偶函数，则 b＝0，
又定义域[a－1,2a]关于原点对称，
则 a－1＋2a＝0，
∴a 1 1＝ ，∴a＋b＝ .
3 3
x2－ax，x≤0，
8．(2021·咸阳模拟)已知函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a＝________.
ax2＋x，x>0
答案 －1
解析 由题意，得 f(－x)＝－f(x)，
则 f(－1)＝－f(1)，即 1＋a＝－a－1，得 a＝－1(经检验符合题意)．
9．已知函数 f(x)对 x∈R满足 f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且 f(0)＝1，则 f(26)＝________.
答案 1
解析 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)的周期为 4，
∴f(26)＝f(2)．
∵对 x∈R 有 f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线 x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝1，即 f(26)＝1.
10．已知函数 f(x)＝x3＋x，对任意的 m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0 恒成立，则 x的取值范围
为________．
2
－2，
答案 3
解析 易知原函数在 R 上单调递增，且为奇函数，故 f(mx－2)＋f(x)<0 f(mx－2)<－f(x)＝f(－
x)，此时应有 mx－2<－x mx＋x－2<0对所有 m∈[－2,2]恒成立．
g －2 <0，
令 g(m)＝xm＋x－2，此时只需 即可，
g 2 <0
2
解得－23
－x2＋2x，x>0，
11．已知函数 f(x)＝ 0，x＝0， 是奇函数．
x2＋mx，x<0
(1)求实数 m的值；
(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a的取值范围．
解 (1)设 x<0，则－x>0，
所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又 f(x)为奇函数，
所以 f(－x)＝－f(x)，
于是 x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以 m＝2.
a－2>－1，
(2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合 f(x)的图象(如图所示)知 所以 1a－2≤1，
故实数 a的取值范围是(1,3]．
12．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)
＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当 x∈[2,4]时，求 f(x)的解析式．
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为 4的周期函数．
(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当 x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
B 组
13 － 1．若 f(x)＝ex－ae x为奇函数，则满足 f(x－1)> －e2的 x的取值范围是( )
e2
A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
答案 B
解析 ∵f(x)是定义域为 R 的奇函数，
∴f(0)＝1－a＝0，∴a＝1，
∴f(x)＝ex－e－x，
∴f(x)为 R 上的增函数，
又 f(－2)＝e－2 e2 1－ ＝ －e2，
e2
∴原不等式可化为 f(x－1)>f(－2)，
∴x－1>－2，即 x>－1.
14．已知函数 f(x)对任意实数 x满足 f(－x)＋f(x)＝2，若函数 y＝f(x)的图象与 y＝x＋1有三个
交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则 y1＋y2＋y3＝________.
答案 3
解析 因为 f(－x)＋f(x)＝2，
则 f(x)的图象关于点(0,1)对称，
又直线 y＝x＋1也关于点(0,1)对称，
因为 y＝f(x)与 y＝x＋1有三个交点，
则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，
则 y1＋y2＋y3＝2＋1＝3.
C 组
15．(多选)已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且函数 f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是
( )
A．函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若 f(5)＝－1，则 f(2 021)＝－1
答案 BCD
解析 根据题意，f(x)是定义域为 R 的奇函数，
则 f(－x)＝－f(x)，
又由函数 f(x＋2)为偶函数，
则函数 f(x)的图象关于直线 x＝2对称，
则有 f(－x)＝f(4＋x)，
则有 f(x＋4)＝－f(x)，
即 f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
则函数 f(x)是周期为 8的周期函数；
据此分析选项：
对于 A，函数 f(x)的图象关于直线 x＝2对称，A错误；
对于 B，f(x)是定义域为 R 的奇函数，则 f(0)＝0，又由函数 f(x)的图象关于直线 x＝2对称，
则 f(4)＝0，B正确；
对于 C，函数 f(x)是周期为 8的周期函数，即 f(x＋8)＝f(x)，C正确；
对于 D，若 f(5)＝－1，则 f(2 021)＝f(5＋2 016)＝f(5)＝－1，D正确．
16．函数 f(x)的定义域为 D＝{x|x≠0}，且满足对于任意 x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求 f(1)的值；
(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果 f(4)＝1，f(x－1)<2，且 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求 x的取值范围．
解 (1)因为对于任意 x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令 x1＝x2＝1，得 f(1)＝2f(1)，
所以 f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
f(x)的定义域关于原点对称，
令 x1＝x2＝－1，
有 f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以 f(－1) 1＝ f(1)＝0.
2
令 x1＝－1，x2＝x，得 f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以 f(－x)＝f(x)，
所以 f(x)为偶函数．
(3)依题设有 f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知 f(x)是偶函数，
所以 f(x－1)<2等价于 f(|x－1|)又 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以 0<|x－1|<16，
解得－15所以 x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．第 18讲 奇偶性、对称性与周期性
【典型例题】
题型一 函数奇偶性的判定
例 1 判断下列函数的奇偶性：
2
(1)f(x) 3 x2 x2 3 (2)f(x) lg 1－x ＝ － ＋ － ； ＝ ；
|x－2|－2
x2＋x，x<0，
(3)f(x)＝ (4)f(x)＝log2(x＋ x2＋1)．
－x2＋x，x>0；
跟踪训练 1 (1)下列函数是偶函数的是( )
A．f(x)＝x3－sin x B f(x) 3x 1． ＝ －
3x
C．f(x)＝x2＋tan x D．f(x)＝x·ln( x2＋1－x)
(2)设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是偶函数 D．f(|x|)g(x)是奇函数
题型二 函数奇偶性的应用
1
＋a
例 2 若函数 f(x)＝x3 2x－1 为偶函数，则 a的值为________．
例 3 (2019·全国Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0时，f(x)＝ex－1，则当 x<0时，f(x)等于( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C － －．－e x－1 D．－e x＋1
命题点 3 利用奇偶性求函数值
例 4 已知函数 f(x)＝ax3＋bx5＋2.若 f(x)在区间[－t，t]上的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋
m＝________.
跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0时，f(x)＝2x＋x＋b，则 f(－1)
的值为( )
A．b＋3 B．－b－3 C．－2 D．2
(2)已知函数 f(x)＝asin x＋btan x＋1，若 f(a)＝－2，则 f(－a)＝________.
题型三 函数的周期性、对称性
命题点 1 函数的周期性
2 023π
例 5 (1) f(x) x已知函数 对任意 x∈R，都有 f(x＋2π)＝f(x)，当 x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则 f 3
2
等于( )
A.1 B. 3 C．1 D. 3
2 2
(2)(2020·西安模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝－f(x＋2)，当 x∈(0,2]时，f(x)＝2x
＋log2x，则 f(2 020)等于( )
A 1．5 B. C．2 D．－5
2
例 6 (多选)已知函数 f(x)的定义域为 R，对任意 x都有 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(－x)＝f(x)，则下
列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于 x＝2对称 B．f(x)的图象关于(2,0)对称
C．f(x)的最小正周期为 4 D．y＝f(x＋4)为偶函数
跟踪训练 3 (1)设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋3)＝f(x)，且当 x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，
则 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.
(2)已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为奇函数，其图象关于直线 x＝2对称．当 x∈[0,4]时，
f(x)＝x2－4x，则 f(2 022)＝________.
【课后作业】
A 组
1．(2021·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x－1 B．y＝|x|＋1
C cos x．y＝ D．y＝－x2
x
k－2x2．若函数 f(x)＝ 在定义域上为奇函数，则实数 k的值为( )
1＋k·2x
A．－2 B．0 C．1或－1 D．2
x
3．(2021·南昌联考) 9 ＋1函数 f(x)＝ 的图象( )
3x
A．关于 x轴对称 B．关于 y轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线 y＝x对称
5
－
4．已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2的奇函数，当 0等于( )
A．－2 B．0 C．2 D．1
5．(多选)已知 y＝f(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
6．(多选)若定义域为R的函数 f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数 y＝f(x＋4)为偶函数，则( )
A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6)
C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6)
7．已知 f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b的值是________．
x2－ax，x≤0，
8．(2021·咸阳模拟)已知函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a＝________.
ax2＋x，x>0
9．已知函数 f(x)对 x∈R满足 f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且 f(0)＝1，则 f(26)＝________.
10．已知函数 f(x)＝x3＋x，对任意的 m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0 恒成立，则 x的取值范围
为________．
－x2＋2x，x>0，
11．已知函数 f(x)＝ 0，x＝0， 是奇函数．
x2＋mx，x<0
(1)求实数 m的值；
(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a的取值范围．
12．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)
＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当 x∈[2,4]时，求 f(x)的解析式．
B 组
13．若 f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足 f(x 1)>1－ －e2的 x的取值范围是( )
e2
A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
14．已知函数 f(x)对任意实数 x满足 f(－x)＋f(x)＝2，若函数 y＝f(x)的图象与 y＝x＋1有三个
交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则 y1＋y2＋y3＝________.
C 组
15．(多选)已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且函数 f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是
( )
A．函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若 f(5)＝－1，则 f(2 021)＝－1
16．函数 f(x)的定义域为 D＝{x|x≠0}，且满足对于任意 x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求 f(1)的值；
(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果 f(4)＝1，f(x－1)<2，且 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求 x的取值范围．

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