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第 15讲 函数的概念及其表示
【考试要求】
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
【知识梳理】
1．函数的概念
一般地，设 A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一
个数 x在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A到集合 B
的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相
对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种
函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的
定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A到 B的函数．( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )
(3)y＝ x－3＋ 2－x是一个函数．( × )
(4)函数 y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．( × )
2．函数 f(x) 2x 1 1＝ － ＋ 的定义域为________．
x－2
答案 [0,2)∪(2，＋∞)
2x－1≥0，
解析 依题意
x－2≠0
解得 x≥0且 x≠2，
∴原函数的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．
2x，x≤1，
3．已知函数 f(x)＝ 则 f(2)＝________.
f x－1 ，x>1，
答案 2
解析 f(2)＝f(1)＝21＝2.
4 1．函数 f(x)＝x－ 在区间[2,4]上的值域为________．
x
3 15
，
答案 2 4
解析 f(x) 1＝x－ 在区间[2,4]上单调递增，
x
又 f(2) 3＝ ，
2
f(4) 15＝ ，
4
3 15
，
故 f(x)的值域为 2 4 .
5．下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是
( )
答案 C
解析 A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数
的定义可知选项 C正确．
6．已知 f( x)＝x＋ x－1，则 f(x)＝________.
答案 x2＋x－1，x≥0
解析 令 t＝ x，则 t≥0，x＝t2，
∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)，
∴f(x)＝x2＋x－1，x≥0.
【典型例题】
题型一 函数的概念
1．下列各曲线表示的 y与 x之间的关系中，y不是 x的函数的是( )
答案 C
2．(多选)下列各组函数相等的是( )
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
2
B．f(x)＝x－1，g(x) x －1＝
x＋1
x，x≥0，
C．f(x)＝ x2，g(x)＝
－x，x<0
D．f(x)＝ －x3，g(x)＝x －x
答案 AC
3．已知集合 P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从 P到 Q的各对应关系 f不是函数的是
________．(填序号)
①f：x y 1→ ＝ x；②f：x→y 1＝ x 2；③f：x→y＝ x；④f：x→y＝ x.
2 3 3
答案 ③
8
f x y 2
0，
解析 ③中， ： → ＝ x，x∈[0,4]时，y 2＝ x∈ 3 Q，故不满足函数的定义．
3 3
思维升华 (1)函数的定义要求第一个非空数集 A中的任何一个元素在第二个非空数集 B中有
且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而 B中有可能存在与 A中
元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
题型二 求函数的解析式
例 1 求下列函数的解析式：
(1)已知 f(1－sin x)＝cos2x，求 f(x)的解析式；
x 1＋
(2)已知 f x 1＝x2＋ ，求 f(x)的解析式；
x2
(3)已知 f(x)是一次函数且 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求 f(x)的解析式；
(4)已知 f(x)满足 2f(x)＋f(－x)＝3x，求 f(x)的解析式．
解 (1)(换元法)设 1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则 sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．
即 f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
x 1 1＋
(2)(配凑法)∵f x ＝x2 1
x＋
＋ ＝ x 2－2，
x2
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，
可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即 ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
a＝2， a＝2，
∴ 解得
5a＋b＝17， b＝7.
∴f(x)的解析式是 f(x)＝2x＋7.
(4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将 x用－x替换，得 2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得 f(x)＝3x.
思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x替代 g(x)，
便得 f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
1
(4)方程思想：已知关于 f(x)与 f x 或 f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个
等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)．
1
x
跟踪训练 1 (1)若 f x ＝ ，则 f(x)＝________.
1－x
1
答案 (x≠0且 x≠1)
x－1
1
解析 f(x)＝ x 1＝ (x≠0且 x≠1)．
1 1 x－1－
x
(2)已知 y＝f(x)是二次函数，若方程 f(x)＝0 有两个相等实根，且 f′(x)＝2x＋2，则 f(x)＝
________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则 f′(x)＝2ax＋b，
∴2ax＋b＝2x＋2，则 a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c，又 f(x)＝0，即 x2＋2x＋c＝0有两个相等实根．
∴Δ＝4－4c＝0，则 c＝1.故 f(x)＝x2＋2x＋1.
1
(3)已知 f(x)满足 f(x)－2f x ＝2x，则 f(x)＝________.
2x 4
答案 － －
3 3x
1
解析 ∵f(x)－2f x ＝2x，①
1
1 x f x 2f(x) 2以 代替①中的 ，得 － ＝ ，②
x x
①＋②×2得－3f(x)＝2x 4＋ ，
x
f(x) 2x 4∴ ＝－ － .
3 3x
题型三 分段函数
命题点 1 求分段函数的函数值
cos πx，x≤1， 4 4－
例 2 已知 f(x)＝ 则 f 3 ＋f 3 的值为( )
f x－1 ＋1，x>1，
A.1 B 1．－ C．－1 D．1
2 2
答案 D
4 4 1
－1
解析 f 3 ＝f 3 ＋1＝f 3 ＋1＝cos π＋1 3＝ ，
3 2
4 4π
－ －
f 3 ＝cos 3 cos 2π 1＝ ＝－ ，
3 2
4 4
－
∴f 3 ＋f 3 3 1＝ － ＝1.
2 2
命题点 2 分段函数与方程、不等式问题
2x，x>0，
例 3 (1)(2021·长春模拟)已知函数 f(x)＝ 若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a的值等于
x＋1，x≤0.
( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 A
解析 ∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，
当 a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，
当 a>0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，
综上有 a＝－3.
log2x，x≥1，
(2)已知函数 f(x)＝ 1 ，x<1， 则不等式 f(x)≤1的解集为( )
1－x
A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1,2]
C．[0,2] D．(－∞，0]∪[1,2]
答案 D
解析 ∵当 x≥1时，log2x≤1，∴1≤x≤2.
当 x<1 1时， ≤1，解得 x≤0，
1－x
∴f(x)≤1的解集为(－∞，0]∪[1,2]．
思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路
①求函数值：当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，
切记要代入检验．
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
x 2＋ －3，x≥1，
跟踪训练2 (1)(2021·河北冀州一中模拟)设 f(x)＝ x 则 f(f(－1))＝________，
x2＋1，x<1.
f(x)的最小值是________．
答案 0 2 2－3
解析 ∵f(－1)＝2，
∴f(f(－1)) f(2) 2 2＝ ＝ ＋ －3＝0，
2
当 x≥1 f(x) x 2时， ＝ ＋ －3≥2 2－3，
x
当且仅当 x＝ 2时取等号，f(x)min＝2 2－3，
当 x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，
∴f(x)min＝1，
综上有 f(x)的最小值为 2 2－3.
x＋1，x≤0， x 1－
(2)设函数 f(x)＝ 则满足 f(x)＋f 2 >1的 x的取值范围是________．
2x，x>0，
1
－ ，＋∞
答案 4
x 1
解析 当 x>1时，2x＋ 2 2 >1 1恒成立，∴x> ，
2 2
01，
2 2
2x x>1即 ＋ 恒成立，
2
1
∴02
x 0 x 1 x 1当 ≤ 时， ＋ ＋ － ＋1>1 1，解得－ 2 4
1
－ ，＋∞
综上有 x的取值范围是 4 .
【课后作业】
A 组
1．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 图象①关于 x轴对称，x>0 时，每一个 x对应 2 个 y，图象②中 x0对应 2 个 y，所以
①②均不是函数图象；图象③④是函数图象．
2x＋1，x≤0，
2．已知函数 f(x)＝ 则 f(f(8))等于( )
1－log2x，x>0，
A 1 1．－1 B．－ C. D．2
2 2
答案 C
解析 ∵f(8)＝1－log28＝1－3＝－2，
∴f(f(8))＝f(－2)＝2－2＋1 1＝ .
2
1－x
3．设函数 f 1＋x ＝x，则 f(x)的表达式为( )
1＋x 1＋x
A. (x≠－1) B. (x≠－1)
1－x x－1
1－x
C. (x 1) D. 2x≠－ (x≠－1)
1＋x x＋1
答案 C
t 1－x x 1－t解析 令 ＝ ，则 ＝ ，
1＋x 1＋t
f(t) 1－t∴ ＝ ，
1＋t
即 f(x) 1－x＝ (x≠－1)．
1＋x
4.如图，△AOD是一直角边长为 1的等腰直角三角形，平面图形 OBD是四分之一圆的扇形，
点 P在线段 AB上，PQ⊥AB，且 PQ交 AD或交弧 DB于点 Q，设 AP＝x(0部分表示的平面图形 APQ(或 APQD)的面积为 y，则函数 y＝f(x)的大致图象是( )
答案 A
解析 观察可知阴影部分的面积 y的变化情况为：(1)当 0且增加的速度越来越快．(2)当 1析四个选项中的图象，只有选项 A符合条件．
2x，x≤0，
5．(多选)设函数 f(x)＝ 则使 f(a) 1＝ 的 a的值为( )
|log2x|，x>0， 2
A．－1 B．1 C. 2 D. 2
2
答案 ACD
解析 由题意知，若 a≤0 2a 1，则 ＝ ，解得 a＝－1；
2
1 1

若 a>0，则|log2a|
1
＝ ，解得 a＝ 22 或 a＝ 2 2 .
2
即 a＝ 2或 a 2＝ .故选 ACD.
2
1
6．(多选)具有性质：f x ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足
“倒负”变换的函数的是( )
A．y＝x 1－ B 1－x．y＝ln
x 1＋x
x，01 x
C y e x D f(x) 0，x＝1，． ． ＝
1
－ ，x>1
x
答案 AD
1
解析 对于 A，f(x) 1 1＝x－ ，f x ＝ －x＝－f(x)，满足题意；
x x
1
对于 B，f(x) ln1－x＝ ，则 f lnx－1x ＝ ≠－f(x)，不满足；
1＋x x＋1
1 1
1 x1 1 x 1
对于 C，f x ＝ e x ＝ex－1，－f(x)＝ e x ≠f x ，不满足；
1
，0<1<1，
x x
1 1
对于 D，f x ＝ 0， ＝1，x
1
－x， >1，
x
1
1 ，x>1，x
即 f x ＝ 0，x＝1，
－x，01
则 f x ＝－f(x)满足“倒负”变换，故选 AD.
7．已知 f(x5)＝lg x，则 f(2)＝________.
1
答案 lg 2
5
1
解析 令 x5＝2，则 x＝ 25，
1
1
∴f(2)＝ lg 25＝ lg 2.
5
x＋b，x<1，
8．已知函数 f(x)＝ 若 f(f(－1))＝3，则 b＝______.
2x－1，x≥1，
答案 3
解析 ∵f(－1)＝b－1，
∴f(b－1)＝3，
当 b－1≥1即 b≥2时，
2b－1－1＝3，解得 b＝3，
当 b－1<1即 b<2时，b－1＋b＝3，解得 b＝2(舍)，
综上有 b＝3.
－x2－2x＋1，x<0，
9．已知函数 f(x)＝ 则满足 f(a)>1的实数 a的取值范围是________．
2x，x≥0，
答案 (－2,0)∪(0，＋∞)
解析 因为 f(a)>1，
a≥0，
① 解得 a>0，
2a>1，
a<0，
② 解得－2－a2－2a＋1>1，
由①②知－20.
1 1
10 1．已知函数 f(x)满足 f x ＋ f(－x)＝2x(x≠0)，则 f(－2)＝________，f 2 ＝________.
x
7 9
答案
2 4
1
解析 令 x＝2，可得 f 2 1＋ f(－2)＝4，①
2
1
1
令 x＝－ ，可得 f(－2)－2f 2 ＝－1，②
2
1
联立①②解得 f(－2) 7＝ ，f 2 9＝ .
2 4
3x＋5，x≤0，
11．已知函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ x＋5，0－2x＋8，x>1.
3 1
(1)求 f 2 ，f π ，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求 f(x)的最大值．
解 (1) 3∵ >1，
2
3
∴f 2 3＝－2× ＋8＝5.
2
∵0<1<1，
π
1
f π 1 5 5π＋1∴ ＝ ＋ ＝ .
π π
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图．
在函数 f(x)＝3x＋5的图象上截取 x≤0的部分，
在函数 f(x)＝x＋5的图象上截取 0在函数 f(x)＝－2x＋8的图象上截取 x>1的部分．
图中实线组成的图形就是函数 f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当 x＝1时，f(x)取最大值 6.
12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做
刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(m)与汽车的车速 x(km/h)满足下列关
y x
2
系： ＝ ＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离 y(m)与汽车的
200
车速 x(km/h)的关系图．
(1)求出 y关于 x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过 25.2 m，求行驶的最大速度．
解 (1)由题意及函数图象，
402
＋40m＋n＝8.4，
200
得 602
＋60m＋n＝18.6，
200
解得 m 1＝ ，n＝0，
100
x2 x
所以 y＝ ＋ (x≥0)．
200 100
2
(2) x x令 ＋ ≤25.2，
200 100
得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是 70 km/h.
B 组
2－x，x≤0，
13．设函数 f(x)＝ 则满足 f(x＋1)1，x>0，
答案 (－∞，0)
解析 画出 f(x)的图象如图所示，
x＋1>2x，
由图知
2x<0，
解得 x<0，故 x的取值范围是(－∞，0)．
x2＋x，x≥0，
14．已知函数 f(x)＝ 若 a[f(a)－f(－a)]>0，则实数 a的取值范围为________．
－3x，x<0，
答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 当 a＝0时，显然不成立．
当 a>0时，不等式 a[ f(a)－f(－a)]>0等价于 a2－2a>0，解得 a>2.
当 a<0时，不等式 a[ f(a)－f(－a)]>0等价于－a2－2a<0，解得 a<－2.
综上所述，实数 a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
C 组
2x＋a，－115．设 f(x)是定义在 R 上的函数，且 f(x＋2)＝ 2f(x)，f(x)＝ 其中 a，b
be2x，0≤x≤1，
9 3
e a为正实数， 为自然对数的底数，若 f 2 ＝f 2 ，则 的取值范围为________．
b
答案 ( 2e，＋∞)
解析 因为 f(x＋2)＝ 2f(x)，
9 1 1 3 1 1 1
＋4 － ＋2 － －
所以 f 2 ＝f 2 ＝( 2)2f 2 ＝2eb，f 2 ＝f 2 ＝ 2f 2 ＝ 2 2× 2 ＋a ＝ 2(a
－1)，
9 3
因为 f 2 ＝f 2 ，
所以 2(a－1)＝2eb，
所以 a＝ 2eb＋1，
因为 b为正实数，
a 2eb＋1
所以 ＝ ＝ 2e 1＋ ∈( 2e，＋∞)，
b b b
a
故 的取值范围为( 2e，＋∞)．
b
x216．已知函数 f(x)＝ .
1＋x2
1 1
(1)求 f(2)与 f 2 ，f(3)与 f 3 ；
1
(2)由(1)中求得的结果，你能发现 f(x)与 f x 有什么关系？证明你的发现；
1 1 1
(3)求 f(2)＋f 2 ＋f(3)＋f 3 ＋…＋f(2 021)＋f 2 021 的值．
2
解 (1)由 f(x) x 1＝ ＝1－ ，
1＋x2 x2＋1
1 1
所以 f(2) 1 4 1＝1－ ＝ ，f 2 ＝1－
22＋1 5 1
＝ .
＋1 5
4
1
f(3) 1 1 9
1
＝ － ＝ ，f 3 1 1＝ －1 ＝ .32＋1 10 ＋1 10
9
1
(2)由(1)中求得的结果发现 f(x)＋f x ＝1.
1 12 2 2
证明如下：f(x)＋f x x x 1＝ ＋ x ＝ ＋ ＝1.
1＋x2 1 1＋x21 x
2＋1
＋
x2
1
(3)由(2)知 f(x)＋f x ＝1，
1 1
∴f(2)＋f 2 ＝1，f(3)＋f 3 ＝1，
1 1
f(4)＋f 4 ＝1，…，f(2 021)＋f 2 021 ＝1.
1 1 1
∴f(2)＋f 2 ＋f(3)＋f 3 ＋…＋f(2 021)＋f 2 021 ＝2 020.第 15讲 函数的概念及其表示
【考试要求】
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
【知识梳理】
1．函数的概念
一般地，设 A，B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意
一个数 x在集合 B中都有 的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A到集合
B的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的 ；与 x的值相
对应的 y值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的 ．
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有 、 和 ．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这
种函数称为分段函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的
定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A到 B的函数．( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )
(3)y＝ x－3＋ 2－x是一个函数．( )
(4)函数 y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．( )
2．函数 f(x)＝ 2x 1－1＋ 的定义域为________．
x－2
2x，x≤1，
3．已知函数 f(x)＝ 则 f(2)＝________.
f x－1 ，x>1，
4．函数 f(x)＝x 1－ 在区间[2,4]上的值域为________．
x
5．下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是
( )
6．已知 f( x)＝x＋ x－1，则 f(x)＝________.
【典型例题】
题型一 函数的概念
1．下列各曲线表示的 y与 x之间的关系中，y不是 x的函数的是( )
2．(多选)下列各组函数相等的是( )
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
2
B x －1．f(x)＝x－1，g(x)＝
x＋1
x，x≥0，
C．f(x)＝ x2，g(x)＝
－x，x<0
D．f(x)＝ －x3，g(x)＝x －x
3．已知集合 P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从 P到 Q的各对应关系 f不是函数的是
________．(填序号)
1 1 2
①f：x→y＝ x；②f：x→y＝ x；③f：x→y＝ x；④f：x→y＝ x.
2 3 3
题型二 求函数的解析式
例 1 求下列函数的解析式：
(1)已知 f(1－sin x)＝cos2x，求 f(x)的解析式；
x 1＋
(2)已知 f x ＝x2 1＋ ，求 f(x)的解析式；
x2
(3)已知 f(x)是一次函数且 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求 f(x)的解析式；
(4)已知 f(x)满足 2f(x)＋f(－x)＝3x，求 f(x)的解析式．
1
x
跟踪训练 1 (1)若 f x ＝ ，则 f(x)＝________.
1－x
(2)已知 y＝f(x)是二次函数，若方程 f(x)＝0 有两个相等实根，且 f′(x)＝2x＋2，则 f(x)＝
________.
1
(3)已知 f(x)满足 f(x)－2f x ＝2x，则 f(x)＝________.
题型三 分段函数
命题点 1 求分段函数的函数值
cos πx x 1 4 4， ≤ ， －
例 2 已知 f(x)＝ 则 f 3 ＋f 3 的值为( )
f x－1 ＋1，x>1，
A.1 B 1．－ C．－1 D．1
2 2
命题点 2 分段函数与方程、不等式问题
2x，x>0，
例 3 (1)(2021·长春模拟)已知函数 f(x)＝ 若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a的值等于
x＋1，x≤0.
( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
log2x，x≥1，
(2)已知函数 f(x)＝ 1 ，x<1， 则不等式 f(x)≤1的解集为( )
1－x
A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1,2]
C．[0,2] D．(－∞，0]∪[1,2]
x 2＋ －3，x≥1，
跟踪训练2 (1)(2021·河北冀州一中模拟)设 f(x)＝ x 则 f(f(－1))＝________，
x2＋1，x<1.
f(x)的最小值是________．
x＋1，x≤0， x 1－
(2)设函数 f(x)＝ 则满足 f(x)＋f 2 >1的 x的取值范围是________．
2x，x>0，
【课后作业】
A 组
1．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2x＋1，x≤0，
2．已知函数 f(x)＝ 则 f(f(8))等于( )
1－log2x，x>0，
A 1 B 1 1．－ ．－ C. D．2
2 2
1－x
3．设函数 f 1＋x ＝x，则 f(x)的表达式为( )
A.1＋x(x 1) B.1＋x≠－ (x≠－1)
1－x x－1
C.1－x(x≠－1) D. 2x (x≠－1)
1＋x x＋1
4.如图，△AOD是一直角边长为 1的等腰直角三角形，平面图形 OBD是四分之一圆的扇形，
点 P在线段 AB上，PQ⊥AB，且 PQ交 AD或交弧 DB于点 Q，设 AP＝x(0部分表示的平面图形 APQ(或 APQD)的面积为 y，则函数 y＝f(x)的大致图象是( )
2x，x≤0，
5 1．(多选)设函数 f(x)＝ 则使 f(a)＝ 的 a的值为( )
|log2x|，x>0， 2
A．－1 B 2．1 C. D. 2
2
1
6．(多选)具有性质：f x ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足
“倒负”变换的函数的是( )
1－x
A．y＝x 1－ B．y＝ln
x 1＋x
x，01 x
C y e x D f(x) 0，x＝1，． ． ＝
1
－ ，x>1
x
7．已知 f(x5)＝lg x，则 f(2)＝________.
x＋b，x<1，
8．已知函数 f(x)＝ 若 f(f(－1))＝3，则 b＝______.
2x－1，x≥1，
－x2－2x＋1，x<0，
9．已知函数 f(x)＝ 则满足 f(a)>1的实数 a的取值范围是________．
2x，x≥0，
1 1
10．已知函数 f(x)满足 f x 1＋ f(－x)＝2x(x≠0)，则 f(－2)＝________，f 2 ＝________.
x
3x＋5，x≤0，
11．已知函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ x＋5，0－2x＋8，x>1.
3 1
(1)求 f 2 ，f π ，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求 f(x)的最大值．
12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做
刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(m)与汽车的车速 x(km/h)满足下列关
x2
系：y＝ ＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离 y(m)与汽车的
200
车速 x(km/h)的关系图．
(1)求出 y关于 x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过 25.2 m，求行驶的最大速度．
B 组
2－x，x≤0，
13．设函数 f(x)＝ 则满足 f(x＋1)1，x>0，
x2＋x，x≥0，
14．已知函数 f(x)＝ 若 a[f(a)－f(－a)]>0，则实数 a的取值范围为________．
－3x，x<0，
C 组
2x＋a，－115．设 f(x)是定义在 R 上的函数，且 f(x＋2)＝ 2f(x)，f(x)＝ 其中 a，b
be2x，0≤x≤1，
9 3
为正实数，e为自然对数的底数，若 f 2 ＝f 2 a，则 的取值范围为________．
b
2
16．已知函数 f(x) x＝ .
1＋x2
1 1
(1)求 f(2)与 f 2 ，f(3)与 f 3 ；
1
(2)由(1)中求得的结果，你能发现 f(x)与 f x 有什么关系？证明你的发现；
1 1 1
(3)求 f(2)＋f 2 ＋f(3)＋f 3 ＋…＋f(2 021)＋f 2 021 的值．

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