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第 16讲 函数的定义域与值域
题型一 函数的定义域
1．函数 f(x)＝ln(4x－x2) 1＋ 的定义域为( )
x－2
A．(0,4) B．[0,2)∪(2,4]
C．(0,2)∪(2,4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
2
2．(2021·安徽江南十校模拟)函数 y －x ＋2x＋3＝ 的定义域为( )
lg x＋1
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
f 2x
3．若函数 f(x)的定义域为[0,8]，则函数 g(x)＝ 的定义域为________．
8－2x
题型二 函数的值域
例 1 求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3) (2)y 2x＋1； ＝ ；
x－3
(3)y＝2x－ x－1； (4)y＝ x＋1＋ x－1.
跟踪训练 1 求下列函数的值域：
x
(1)y 2 －1 1＝ ； (2)y＝ log x ＋ ，x∈[1,2)；
2x＋1 1 2x2
x2－x＋2
(3)y＝ (x>1)．
x－1
题型三 定义域与值域的应用
例 2 (1)(2021·广州模拟)若函数 f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则 a＋b 的值为
________．
(2)已知函数 y＝ x2＋ax－1＋2a的值域为[0，＋∞)，求 a 的取值范围．
跟踪训练 2 (1)若函数 f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数 a 的取值范围为________．
(2)已知函数 f(x) 1＝ (x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数 b＝________.
2
【课后作业】
A 组
1．函数 f (x) log 1 (x 1) 1的定义域为( )
2
A．(－∞，3] B．(1，＋∞)
C．(1,3] D． [3，＋∞)
2．(2021·贵阳检测)下列函数中，定义域与值域相同的是( )
A．y＝ x－1 B．y＝ln x
C y 1 D y x＋1． ＝ ． ＝
3x－1 x－1
3．函数 f(x)＝loga(mx＋1)的定义域为(－∞，2)，则 m 的值为( )
A 1 1．－2 B．－ C. D．2
2 2
4．函数 y＝1＋x－ 1－2x的值域为( )
3 3
－∞， －∞，
A. 2 B. 2
3 3
，＋∞ ，＋∞
C. 2 D. 2
1－2a x＋3a，x<1，
5．已知函数 f(x)＝ 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是( )
ln x，x≥1
1 1－ ， －1 1， 0 1，
A．(－∞，－1] B. 2 C. 2 D. 2
6．(多选)下列函数中值域为 R 的有( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg(x2－2)
x2，0≤x≤2，
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3－1
2x，x>2
7．(多选)已知函数 y＝f(x)的定义域是 R，值域为[－1,2]，则值域也为[－1,2]的函数是( )
A．y＝2f(x)＋1 B．y＝f(2x＋1)
C．y＝－f(x)＋1 D．y＝|f(x)|
8．(多选)若函数 y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数 m 的值可能为
( )
A．2 B．3 C．4 D．5
1 1＋
9．函数 f(x)＝ln x ＋ 1－x2的定义域为________．
10．函数 y＝log0.3(x2＋4x＋5)的值域为________．
2x－5，x≤2，
11．(2020·河北示范性高中联考)函数 f(x)＝ 的值域为________．
3sin x，x>2
12．函数 y 1＝ 的定义域为 R，则 k 的取值范围是________．
kx2－kx＋3
B 组
13．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名
字命名的“高斯函数”为：设 x∈R，用[x]表示不超过 x 的最大整数，则 y＝[x]称为高斯函数．例
x
如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数 f(x) 2 ＋3＝ ，则函数 y＝[f(x)]的值域为( )
2x＋1
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
1
，2
14．已知函数 f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a，若存在 x1，x2∈ 2 ，使得 f(x1)＝g(x2)，则 a 的取
值范围是________．
C 组
15．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函
数”，例如函数 y＝x2，x∈[1,2]与函数 y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四
个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( )
A．y＝[x]([x]表示不超过 x 的最大整数，例如[0.1]＝0)
B．y＝x＋ x＋1
C．y 1＝ －log3x
x
x 1＋
D．y＝| x＋1|
16．已知函数 f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，则函数 y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为________．第 16讲 函数的定义域与值域
题型一 函数的定义域
1．函数 f(x)＝ln(4x－x2) 1＋ 的定义域为( )
x－2
A．(0,4) B．[0,2)∪(2,4]
C．(0,2)∪(2,4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 C
解析 要使函数有意义，
4x－x2>0，
则
x－2≠0，
解得 02 (2021· ) y －x
2＋2x＋3
． 安徽江南十校模拟 函数 ＝ 的定义域为( )
lg x＋1
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
答案 B
－x2＋2x＋3≥0，
解析 要使函数有意义，x需满足 x＋1>0，
x＋1≠1，
解得－1所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．
f 2x
3．若函数 f(x)的定义域为[0,8]，则函数 g(x)＝ 的定义域为________．
8－2x
答案 [0,3)
0≤2x≤8，
解析 依题意有
8－2x>0，
解得 0≤x<3，
∴g(x)的定义域为[0,3)．
思维升华 (1)根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数
解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
(2)求抽象函数的定义域的策略
①若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]上的值域．
(3)求函数定义域应注意的问题
①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应
该用并集符号“∪”连接．
题型二 函数的值域
例 1 求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(2)y 2x＋1＝ ；
x－3
(3)y＝2x－ x－1；
(4)y＝ x＋1＋ x－1.
解 (1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由 x∈[0,3)，
再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．
(2)( 2x＋1 2 x－3 ＋7 7分离常数法)y＝ ＝ ＝2＋ ，
x－3 x－3 x－3
7
显然 ≠0，∴y≠2.
x－3
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(3)(换元法)设 t＝ x－1，则 x＝t2＋1，且 t≥0，
t 1－
y 2(t2 1) t 2 4 2 15∴ ＝ ＋ － ＝ ＋ ，
8
15
，＋∞
由 t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为 8 .
(4)函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝ x＋1与 y＝ x－1在[1，＋∞)上均为增函数，
∴y＝ x＋1＋ x－1在[1，＋∞)上为单调递增函数，
∴当 x＝1时，ymin＝ 2，即函数的值域为[ 2，＋∞)．
思维升华 求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法；(7)导数法．
跟踪训练 1 求下列函数的值域：
x
(1)y 2 －1＝ ；
2x＋1
(2)y＝ log 1 x
1
＋ ，x∈[1,2)；
2x
2
2
(3)y x －x＋2＝ (x>1)．
x－1
(1) y 2
x－1
解 方法一 ＝ ＝1 2－ ，
2x＋1 2x＋1
∵2x>0，∴2x＋1>1，
0< 2∴ <2 2，∴－1<1－ <1，
2x＋1 2x＋1
∴函数的值域为(－1,1)．
2xy －1 2x y＋1方法二 由 ＝ 得 ＝ ，
2x＋1 1－y
又∵2x>0，
y＋1
∴ >0，即(y＋1)(y－1)<0，
1－y
即－1∴函数的值域为(－1,1)．
(2)函数 y＝ log x 11 ＋ 在[1,2)上单调递减，2x
2
当 x 1 1 1 3＝ 时，y＝ ，当 x＝2时，y＝－1＋ ＝－ ，
2 4 4
3 1
∴－ 4 2
3 1
－ ，
∴函数的值域为 4 2 .
(3)令 t＝x－1，∴t>0，x＝t＋1，
y t＋1
2－ t＋1 ＋2 t2＋t＋2 2
∴ ＝ ＝ ＝t＋ ＋1
t t t
≥2 2＋1，
当且仅当 t 2＝ 即 t＝ 2时取等号，
t
∴函数的值域为[2 2＋1，＋∞)．
题型三 定义域与值域的应用
例 2 (1)(2021·广州模拟)若函数 f(x)＝ ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则 a＋b的值为
________．
9
答案 －
2
解析 函数 f(x)的定义域是不等式 ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式 ax2＋abx＋b≥0的解集为
{x|1≤x≤2}，
a<0， 3
1＋2 b a＝－ ，＝－ ，
所以 解得 2
1×2 b＝ ， b＝－3，
a
a b 3 3 9所以 ＋ ＝－ － ＝－ .
2 2
(2)已知函数 y＝ x2＋ax－1＋2a的值域为[0，＋∞)，求 a的取值范围．
解 令 t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数 y＝ t的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞) {y|y
＝g(x)}，即函数对应的一元二次方程的判别式Δ≥0，即 a2－4(2a－1)≥0，即 a2－8a＋4≥0，
解得 a≥4＋2 3或 a≤4－2 3，
∴a的取值范围是{a|a≥4＋2 3或 a≤4－2 3}．
思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数解析式的结构特征，结合函
数的图象、性质、转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解．
跟踪训练 2 (1)若函数 f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数 a的取值范围为________．
1
，＋∞
答案 2
解析 要使函数 f(x)＝ln(ax－1)有意义，则 ax－1>0，
即 ax－1>0在(2，＋∞)上恒成立，
a>0，
∴
2a－1≥0，
1
解得 a≥ .
2
(2) 1已知函数 f(x)＝ (x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数 b＝________.
2
答案 3
f(x) 1解析 ＝ (x－1)2＋1，x∈[1，b]且 b>1，
2
则 f(1)＝1，f(b) 1＝ (b－1)2＋1，
2
∵f(x)在[1，b]上为增函数，
1 1， b－1 2＋1
∴函数 f(x)的值域为 2 .
1
由已知得 (b－1)2＋1＝b，
2
解得 b＝3或 b＝1(舍)．
【课后作业】
A 组
1．函数 f (x) log 1 (x 1) 1的定义域为( )
2
A．(－∞，3] B．(1，＋∞)
C．(1,3] D． [3，＋∞)
答案 C
解析 依题意 log 1 (x 1) 1≥ 0，
2
即 log 1 (x 1)≥ 1，
2
x－1≤2，
∴
x－1>0，
解得 12．(2021·贵阳检测)下列函数中，定义域与值域相同的是( )
A．y＝ x－1 B．y＝ln x
C y 1 D x＋1． ＝ ．y＝
3x－1 x－1
答案 D
y x＋1 2解析 ＝ ＝1＋ ，
x－1 x－1
函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}，故选 D.
3．函数 f(x)＝loga(mx＋1)的定义域为(－∞，2)，则 m的值为( )
A．－2 B 1．－ C.1 D．2
2 2
答案 B
解析 依题意 mx＋1>0的解集为(－∞，2)，
m<0，
m 1则 ∴ ＝－ .
2m＋1＝0， 2
4．函数 y＝1＋x－ 1－2x的值域为( )
3 3
－∞， －∞，
A. 2 B. 2
3 3
，＋∞ ，＋∞
C. 2 D. 2
答案 B
1 2x t t 0 x 1－t
2 1－t2 1
解析 设 － ＝ ，则 ≥ ，＝ ，所以 y＝1＋ －t＝ (－t2－2t 1＋3)＝－ (t＋1)2＋2，
2 2 2 2
3
3 －∞，
因为 t≥0，所以 y≤ .所以函数 y＝1＋x－ 1－2x的值域为 2 ，故选 B.
2
1－2a x＋3a，x<1，
5．已知函数 f(x)＝ 的值域为 R，则实数 a的取值范围是( )
ln x，x≥1
1 1 1 1－ ， － ， 0 1，
A．(－∞，－1] B. 2 C. 2 D. 2
答案 C
解析 ∵x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0，
又 f(x)的值域为 R，
故当 x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0)．
1－2a>0，
故
1－2a＋3a≥0，
解得－1≤a<1.
2
6．(多选)下列函数中值域为 R 的有( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg(x2－2)
x2，0≤x≤2，
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3－1
2x，x>2
答案 ABD
解析 A项，f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为 R，满足条件；
B项，由 x2－2>0得 x> 2或 x<－ 2，
此时 f(x)＝lg(x2－2)的值域为 R，满足条件；
x2，0≤x≤2，
C项，f(x)＝ 当 x>2时，f(x)＝2x>4，
2x，x>2，
当 0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，所以 f(x)≥0，
即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；
D项，f(x)＝x3－1是增函数，
函数的值域为 R，满足条件．
7．(多选)已知函数 y＝f(x)的定义域是 R，值域为[－1,2]，则值域也为[－1,2]的函数是( )
A．y＝2f(x)＋1 B．y＝f(2x＋1)
C．y＝－f(x)＋1 D．y＝|f(x)|
答案 BC
解析 y＝f(x)，x∈R，f(x)的值域为[－1,2]，
对于 A，f(x)∈[－1,2]，∴2f(x)＋1∈[－1,5]，故 A不满足；
对于 B，当 x∈R 时，2x＋1∈R，
∴f(2x＋1)∈[－1,2]，故 B满足；
对于 C，∵f(x)∈[－1,2]，∴－f(x)∈[－2,1]，
∴－f(x)＋1∈[－1,2]，故 C满足；
对于 D，f(x)∈[－1,2]，∴|f(x)|∈[0,2]，
故 D不满足．
8．(多选)若函数 y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则实数 m的值可能为
( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 ABC
解析 函数 y＝x2－4x－4的对称轴方程为 x＝2，
当 0当 x＝0时，取最大值－4，
当 x＝m时，有最小值 m2－4m－4＝－8，解得 m＝2.
则当 m>2时，最小值为－8，
而 f(0)＝－4，由对称性可知，2∴实数 m的值可能为 2,3,4.
1 1＋
9．函数 f(x)＝ln x ＋ 1－x2的定义域为________．
答案 (0,1]
解析 要使函数 f(x)有意义，
1 1＋ >0，
x x<－1或 x>0，
则 x 0 x≠0， 01－x2≥0 －1≤x≤1
∴f(x)的定义域为(0,1]．
10．函数 y＝log0.3(x2＋4x＋5)的值域为________．
答案 (－∞，0]
解析 令 t＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1，∴t≥1，
而 y＝log0.3t在[1，＋∞)上单调递减，
∴y≤log0.31＝0，
故原函数的值域为(－∞，0]．
2x－5，x≤2，
11．(2020·河北示范性高中联考)函数 f(x)＝ 的值域为________．
3sin x，x>2
答案 (－5,3]
解析 当 x≤2时，f(x)＝2x－5单调递增，
则－5当 x>2时，sin x∈[－1,1]，∴f(x)＝3sin x∈[－3,3]．
故 f(x)的值域是(－5,3]．
12 1．函数 y＝ 的定义域为 R，则 k的取值范围是________．
kx2－kx＋3
答案 [0,12)
解析 依题意 kx2－kx＋3≠0恒成立，
①当 k＝0时 3≠0恒成立，∴k＝0满足条件，
②当 k≠0时Δ<0即 k2－12k<0，∴0综上有 0≤k<12.
B 组
13．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名
字命名的“高斯函数”为：设 x∈R，用[x]表示不超过 x的最大整数，则 y＝[x]称为高斯函数．例
x
如：[－2.1]＝－3，[3.1] 3 2 ＋3＝ ，已知函数 f(x)＝ ，则函数 y＝[f(x)]的值域为( )
2x＋1
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
答案 D
2x＋3 2x＋1＋2
解析 f(x) 2＝ ＝ ＝1＋ ，
2x＋1 2x＋1 2x＋1
∵2x>0，∴1＋2x>1,0< 1 <1，
2x＋1
则 0< 2 <2,1<1 2＋ <3，即 12x＋1 2x＋1
当 1当 2≤f(x)<3时，[ f(x)]＝2.
综上，函数 y＝[ f(x)]的值域为{1,2}．
1
，2
14．已知函数 f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a，若存在 x1，x2∈ 2 ，使得 f(x1)＝g(x2)，则 a的取
值范围是________．
答案 [－5,0]
解析 依题意 f(x)的值域与 g(x)的值域有交集，
1
，2
x∈ 2 时，f(x)∈[－1,1]，
1
，2
x∈ 2 时，g(x)∈[a＋1，a＋4]，
a＋1≤－1， a＋1≤1，
故 或
a＋4≥－1 a＋4≥1，
解得－5≤a≤0.
C 组
15．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函
数”，例如函数 y＝x2，x∈[1,2]与函数 y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四
个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( )
A．y＝[x]([x]表示不超过 x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B．y＝x＋ x＋1
C．y 1＝ －log3x
x
x 1＋
D．y＝| x＋1|
答案 AD
解析 根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．
因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．
对于选项 A，y＝[x]，定义域为 R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数
值，故 A可以构造“同值函数”；
对于选项 B，y＝x＋ x＋1为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故 B不可以构造“同值函
数”；
1
对于选项 C，y＝ －log3x为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故 C不可以构造“同值函数”；
x
x 1＋
对于选项 D，y＝| x＋1|，不是定义域上的单调函数，
有不同的自变量对应同一函数值，
故 D可以构造“同值函数”．
所以能够被用来构造“同值函数”的是 A，D.
16．已知函数 f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，则函数 y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为________．
答案 [6,13]
解析 f(x)的定义域为[1,9]，
1≤x2≤9，
∴ 即 1≤x≤3，
1≤x≤9
故 y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]，
∵y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x)2＋6log3x＋6，
令 t＝log3x，t∈[0,1]，
∴y＝t2＋6t＋6＝(t＋3)2－3，t∈[0,1]，
t＝0时，y＝6，t＝1时，y＝13，
故 6≤y≤13.

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