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第 8 讲 直线、平面平行的判定与性质
【知识梳理】
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 如果平面外一条直线与
定 的一条直线平行，则该直线与
定 此平面平行(简记为“线线平行
理 线面平行”)
性 一条直线与一个平面平行，则
质 过这条直线的任一平面与此平
定 面的 与该直线平行(简记为
理 “线面平行 线线平行”)
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面内的两条
判定 与另一个平面平行，则这两
定理 个平面平行(简记为“线面
平行 面面平行”)
如果两个平行平面同时和
性质
第三个平面 ，那么它们
定理
的 平行
3.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 .
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则 .
(3)若α∥β，a α，则 .
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( )
(2)若直线 a∥平面α，P∈α，则过点 P且平行于直线 a的直线有无数条．( )
(3)若直线 a 平面α，直线 b 平面β，a∥b，则α∥β.( )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
2．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E为 DD1的中点，则 BD1与平面 ACE的位置关系
为________．
3．已知不重合的直线 a，b和平面α，
①若 a∥α，b α，则 a∥b；②若 a∥α，b∥α，则 a∥b；③若 a∥b，b α，则 a∥α；④若
a∥b，a α，则 b∥α或 b α.
上面命题中正确的是________(填序号)．
4．在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，过直线 AC1的平面交直线 BB1于点 E，交直线 DD1于点 F，
则四边形 AEC1F的形状为________．
5．已知直线 a，b和平面α，β，若 a α，b α，a∥β，b∥β，则α，β的位置关系是____．
6．考查下列两个命题，在“____________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真
命题(其中 a，b为不同的直线，α，β为不重合的平面)，则此条件为_________________．
b α a∥b
① a∥b a∥α；② b∥α a∥α.
【典型例题】
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点 1 直线与平面平行的判定
例 1 如图，PA⊥矩形 ABCD所在的平面，E，F分别为 AB，PD的中点．
求证：AF∥平面 PCE.
例 2 如图所示，在四棱锥 P－ABCD中，四边形 ABCD是平行四边形，M是 PC的中点，在
DM上取一点 G，过 G和 PA作平面交 BD于点 H.
求证：PA∥GH.
跟踪训练 1 如图，四边形 ABCD是矩形，P 平面 ABCD，过 BC作平面 BCFE交 AP于点 E，
交 DP于点 F，求证：四边形 BCFE是梯形．
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例 3 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为 B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面 A1C1G∥平面 BEF；
(2)若平面 A1C1G∩BC＝H，求证：H为 BC的中点．
跟踪训练 2 如图，四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形．
(1)证明：平面 A1BD∥平面 CD1B1；
(2)若平面 ABCD∩平面 B1D1C＝直线 l，证明 B1D1∥l.
题型三 平行关系的综合应用
例 4 如图，四边形 ABCD是边长为 3的正方形，DE⊥平面 ABCD，AF⊥平面 ABCD，DE＝3，
AF＝1.
(1)证明：平面 ABF∥平面 DCE；
(2)在 DE上是否存在一点 G，使平面 FBG将几何体 ABCDEF分成上、下两部分的体积比为
3∶5？若存在，求出点 G的位置；若不存在，请说明理由．
跟踪训练 3 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线 BD，CD1上的点，且
CQ BP 2
＝ ＝ .
QD1 PD 3
(1)求证：PQ∥平面 A1D1DA；
(2)若 R是 AB AR上的点， 的值为多少时，能使平面 PQR∥平面 A1D1DA？请给出证明．
AB
【课后作业】
A 组
1．(2021·哈尔滨市第九中学模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线 a，a α，a∥β
C．存在两条平行直线 a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线 a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
2．(2021·泸州诊断)已知 a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中
正确的是( )
A．若 a∥b，b α，则 a∥α
B．若 a∥α，a∥β，α∩β＝b，则 a∥b
C．若 a∥α，α∥β，则 a∥β
D．若 a∥α，a∥β，则α∥β
3．(2020·金华十校联考)已知在三棱柱 ABC－A1B1C1中，M，N分别为 AC，B1C1的中点，E，
F分别为 BC，B1B的中点，则直线 MN与直线 EF、平面 ABB1A1的位置关系分别为( )
A．平行、平行 B．异面、平行
C．平行、相交 D．异面、相交
4.如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，若 E，F，G，H分别是棱 A1B1，BB1，CC1，C1D1
的中点，则必有( )
A．BD1∥GH B．BD∥EF
C．平面 EFGH∥平面 ABCD D．平面 EFGH∥平面 A1BCD1
5.(多选)(2020·青岛市 58中模拟)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G分别
为 BC，CC1，BB1的中点，则( )
A．直线 D1D与直线 AF垂直
B．直线 EF与直线 AD1平行
C AEF 9．平面 截正方体所得的截面面积为
2
D．点 C与点 G到平面 AEF的距离相等
6．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边
AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面 EFGH所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值
7．在四面体 ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与 MN
平行的是________．
8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，
则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________(填序号)．
9．在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，O为底面 ABCD的中心，P是 DD1的中点，设 Q是 CC1
上的点，则点 Q满足条件________时，有平面 D1BQ∥平面 PAO.
10.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD为正方形，E，F，G，H分别为 P3A，
P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面 EFGH∥平面 ABCD；
②PA∥平面 BDG；③EF∥平面 PBC；④FH∥平面 BDG；⑤EF∥平面 BDG.
其中正确结论的序号是________．
11.如图，在四棱锥 P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC 1＝ AD，E，F，H分别为线段 AD，PC，
2
CD的中点，AC与 BE交于 O点，G是线段 OF上一点．
(1)求证：AP∥平面 BEF；
(2)求证：GH∥平面 PAD.
12.(2021·银川市长庆高级中学模拟)如图，在四棱锥 S－ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD
＝DC＝SA 1＝ BC＝2，点 E，G分别在线段 SA，AD上，且 SE＝AE，AG＝GD，F为棱 BC
2
上一点，且 CF＝1.
证明：平面 SCD∥平面 EFG.
B 组
13．(多选)在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱 D1C1，A1D1，BC的中点，点
P在 BD1上且 BP 2＝ BD1.则以下四个说法中正确的是( )
3
A．MN∥平面 APC
B．C1Q∥平面 APC
C．A，P，M三点共线
D．平面 MNQ∥平面 APC
14．在三棱锥 P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点 G作三棱锥的一个截
面，使截面平行于 PB和 AC，则截面的周长为________．
C 组
15．(2021·合肥市第一中学模拟)正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，点 M，N分别是棱 BC，
CC1的中点，动点 P在正方形 BCC1B1(包括边界)内运动，且 PA1∥平面 AMN，则 PA1的长度
范围为( )
1 5 3 2 5， ，
A. 2 B. 4 2
3 2 3 3
， 1，
C. 4 2 D. 2
16.(2021·宜昌调研)如图，在四棱锥 P－ABCD中，侧棱 PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD是直
角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱 AD上，且 AE＝1，若平面
CEF与棱 PD相交于点 F，且平面 CEF∥平面 PAB.
(1) PF求 的值；
FD
(2)求点 F到平面 PBC的距离．第 8 讲 直线、平面平行的判定与性质
【考试要求】
从定义和公理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平
面与平面的平行关系，并加以证明．
【知识梳理】
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判 如果平面外一条直线与此平面
l∥a
定 内的一条直线平行，则该直线
a α l∥α
定 与此平面平行(简记为“线线平
l α
理 行 线面平行”)
性 一条直线与一个平面平行，则
l∥α
质 过这条直线的任一平面与此平
l β l∥b
定 面的交线与该直线平行(简记为
α∩β＝b
理 “线面平行 线线平行”)
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面内的两条相交直 a∥β
b∥β
判定 线与另一个平面平行，则这
a∩b P α∥β＝
定理 两个平面平行(简记为“线
a α
面平行 面面平行”) b α
如果两个平行平面同时和 α∥β
性质
第三个平面相交，那么它们 α∩γ＝a a∥b
定理
的交线平行 β∩γ＝b
3.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)若α∥β，a α，则 a∥β.
微思考
1．设 m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若 m α，l∥α，则 l与 m的位置关系如何？
提示 平行或异面．
2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平
面平行吗？
提示 平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平
行的判定定理．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)若直线 a∥平面α，P∈α，则过点 P且平行于直线 a的直线有无数条．( × )
(3)若直线 a 平面α，直线 b 平面β，a∥b，则α∥β.( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
题组二 教材改编
2．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E为 DD1的中点，则 BD1与平面 ACE的位置关系
为________．
答案 平行
解析 连接 BD，则 AC∩BD＝O，连接 OE(图略)，则 OE∥BD1，OE 平面 ACE，BD1 平面
ACE，∴BD1∥平面 ACE.
3．已知不重合的直线 a，b和平面α，
①若 a∥α，b α，则 a∥b；②若 a∥α，b∥α，则 a∥b；③若 a∥b，b α，则 a∥α；④若
a∥b，a α，则 b∥α或 b α.
上面命题中正确的是________(填序号)．
答案 ④
解析 ①若 a∥α，b α，则 a∥b或异面，①错；
②若 a∥α，b∥α，则 a∥b，或异面或相交，②错；
③若 a∥b，b α，则 a∥α或 a α，③错；
④若 a∥b，a α，则 b∥α或 b α，④对．
4．在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，过直线 AC1的平面交直线 BB1于点 E，交直线 DD1于点 F，
则四边形 AEC1F的形状为________．
答案 平行四边形
解析 由面面平行的性质定理可得 AE∥C1F，AF∥C1E.
故四边形 AEC1F为平行四边形．
题组三 易错自纠
5．已知直线 a，b和平面α，β，若 a α，b α，a∥β，b∥β，则α，β的位置关系是____．
答案 平行或相交
6．考查下列两个命题，在“____________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真
命题(其中 a，b为不同的直线，α，β为不重合的平面)，则此条件为_________________．
b α a∥b
① a∥b a∥α；② b∥α a∥α.
答案 a α
解析 根据线面平行的判定定理可知，判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线，
线线平行，分析已知中的条件，可知①缺少的条件是“a为平面α外的直线”，
②同样缺少平面外直线．故答案为：a α.
【典型例题】
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点 1 直线与平面平行的判定
例 1 如图，PA⊥矩形 ABCD所在的平面，E，F分别为 AB，PD的中点．
求证：AF∥平面 PCE.
证明 方法一 如图，设 M为 PC的中点，连接 EM，MF，
∵E是 AB的中点，
1
∴AE∥CD，且 AE＝ CD，
2
又∵MF∥CD，且 MF 1＝ CD，
2
∴AE 綊 FM，∴四边形 AEMF是平行四边形，∴AF∥EM，
又∵AF 平面 PCE，EM 平面 PCE，
∴AF∥平面 PCE.
方法二 如图，设 G为 CD的中点，连接 FG，AG，
∵F，G分别为 PD，CD的中点，
∴FG∥PC.同理 AG∥EC，
又 FG 平面 PCE，AG 平面 PCE，
PC 平面 PCE，EC 平面 PCE，
∴FG∥平面 PCE，AG∥平面 PCE，
又 FG，AG 平面 AFG，FG∩AG＝G，
∴平面 AFG∥平面 PCE，又 AF 平面 AFG，∴AF∥平面 PCE.
命题点 2 直线与平面平行的性质
例 2 如图所示，在四棱锥 P－ABCD中，四边形 ABCD是平行四边形，M是 PC的中点，在
DM上取一点 G，过 G和 PA作平面交 BD于点 H.
求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接 AC交 BD于点 O，连接 OM，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴O是 AC的中点，
又 M是 PC的中点，∴PA∥OM，
又 OM 平面 BMD，PA 平面 BMD，∴PA∥平面 BMD，
又平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，
∴PA∥GH.
思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确
定交线．
跟踪训练 1 如图，四边形 ABCD是矩形，P 平面 ABCD，过 BC作平面 BCFE交 AP于点 E，
交 DP于点 F，求证：四边形 BCFE是梯形．
证明 ∵四边形 ABCD为矩形，
∴BC∥AD.
∵AD 平面 PAD，BC 平面 PAD，
∴BC∥平面 PAD.
∵平面 BCFE∩平面 PAD＝EF，BC 平面 BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四边形 BCFE是梯形．
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例 3 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为 B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面 A1C1G∥平面 BEF；
(2)若平面 A1C1G∩BC＝H，求证：H为 BC的中点．
证明 (1)∵E，F分别为 B1C1，A1B1的中点，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1 平面 A1C1G，EF 平面 A1C1G，
∴EF∥平面 A1C1G，
又 F，G分别为 A1B1，AB的中点，
∴A1F＝BG，
又 A1F∥BG，
∴四边形 A1GBF为平行四边形，
则 BF∥A1G，
∵A1G 平面 A1C1G，BF 平面 A1C1G，
∴BF∥平面 A1C1G，
又 EF∩BF＝F，EF，BF 平面 BEF，
∴平面 A1C1G∥平面 BEF.
(2)∵平面 ABC∥平面 A1B1C1，平面 A1C1G∩平面 A1B1C1＝A1C1，
平面 A1C1G与平面 ABC有公共点 G，则有经过 G的直线，设交 BC于点 H，
则 A1C1∥GH，得 GH∥AC，
∵G为 AB的中点，∴H为 BC的中点．
思维升华 证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
跟踪训练 2 如图，四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形．
(1)证明：平面 A1BD∥平面 CD1B1；
(2)若平面 ABCD∩平面 B1D1C＝直线 l，证明 B1D1∥l.
证明 (1)由题设知 BB1 綊 DD1，所以四边形 BB1D1D是平行四边形，
所以 BD∥B1D1.
又 BD 平面 CD1B1，
B1D1 平面 CD1B1，
所以 BD∥平面 CD1B1.
因为 A1D1 綊 B1C1 綊 BC，
所以四边形 A1BCD1是平行四边形，
所以 A1B∥D1C.
又 A1B 平面 CD1B1，D1C 平面 CD1B1，
所以 A1B∥平面 CD1B1.
又因为 BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面 A1BD，
所以平面 A1BD∥平面 CD1B1.
(2)由(1)知平面 A1BD∥平面 CD1B1，
又平面 ABCD∩平面 B1D1C＝直线 l，
平面 ABCD∩平面 A1BD＝直线 BD，
所以直线 l∥直线 BD，
在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，四边形 BDD1B1为平行四边形，
所以 B1D1∥BD，所以 B1D1∥l.
题型三 平行关系的综合应用
例 4 如图，四边形 ABCD是边长为 3的正方形，DE⊥平面 ABCD，AF⊥平面 ABCD，DE＝3，
AF＝1.
(1)证明：平面 ABF∥平面 DCE；
(2)在 DE上是否存在一点 G，使平面 FBG将几何体 ABCDEF分成上、下两部分的体积比为
3∶5？若存在，求出点 G的位置；若不存在，请说明理由．
(1)证明 ∵DE⊥平面 ABCD，AF⊥平面 ABCD，
∴DE∥AF，
又 DE 平面 DCE，AF 平面 DCE，
∴AF∥平面 DCE，
∵四边形 ABCD是正方形，AB∥CD，
又 CD 平面 DCE，AB 平面 DCE，
∴AB∥平面 DCE，
∵AB∩AF＝A，AB 平面 ABF，AF 平面 ABF，
∴平面 ABF∥平面 DCE.
(2)解 存在点 G，满足题意，理由如下：假设存在一点 G，过 G作 MG∥BF交 EC于 M，连
接 BG，BM，如图，
V 1 1＋3 ×3 1 3×3 21由 ABCDEF＝VB－ADEF＋VB－CDE＝ ×3× ＋ ×3× ＝ ，3 2 3 2 2
设 EG＝t，
V 21 3 63则 GFBME＝VB－EFG＋VB－EGM＝ × ＝ ，2 8 16
设 M到 ED的距离为 h，
h EM t 3
则 ＝ ＝ ，即 h＝ t，
3 EC 3－1 2
则 S 1△EGM＝ ×t
3
× t 3＝ t2，
2 2 4
V V V 1 3 1 3 t 1 3 3t2 63GFBME＝ B－EFG＋ B－EGM＝ × × × × ＋ × × ＝ ，3 2 3 4 16
即 4t2＋8t－21＝0，
解得 t 3 7＝ ，或 t＝－ (舍)，
2 2
3
则存在点 G，满足 EG＝ ，
2
即 G为 ED的中点时满足条件．
思维升华 解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存在，然后再
证明．
跟踪训练 3 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线 BD，CD1上的点，且
CQ BP 2
＝ ＝ .
QD1 PD 3
(1)求证：PQ∥平面 A1D1DA；
(2)若 R AB AR是 上的点， 的值为多少时，能使平面 PQR∥平面 A1D1DA？请给出证明．
AB
(1)证明 连接 CP并延长与 DA的延长线交于 M点，如图，连接 MD1，
因为四边形 ABCD为正方形，
所以 BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，
CP BP 2
所以 ＝ ＝ ，
PM PD 3
CQ BP 2
又因为 ＝ ＝ ，
QD1 PD 3
CQ CP 2
所以 ＝ ＝ ，
QD1 PM 3
所以 PQ∥MD1.
又 MD1 平面 A1D1DA，PQ 平面 A1D1DA，
故 PQ∥平面 A1D1DA.
(2) AR 3解 当 的值为 时，能使平面 PQR∥平面 A1D1DA.如图，
AB 5
AR 3 BR 2 BR BP
证明：因为 ＝ ，即 ＝ ，故 ＝ .
AB 5 RA 3 RA PD
所以 PR∥DA.
又 DA 平面 A1D1DA，PR 平面 A1D1DA，
所以 PR∥平面 A1D1DA，
又 PQ∥平面 A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面 PQR，
所以平面 PQR∥平面 A1D1DA.
【课后作业】
A 组
1．(2021·哈尔滨市第九中学模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线 a，a α，a∥β
C．存在两条平行直线 a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线 a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
答案 D
解析 对于 A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故 A不对；
对于 B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故 B不对；
对于 C，两个平面中的两条直线分别平行于另一个平面，不能保证两个平面平行，故 C不对；
对于 D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，
故 D正确．
2．(2021·泸州诊断)已知 a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中
正确的是( )
A．若 a∥b，b α，则 a∥α
B．若 a∥α，a∥β，α∩β＝b，则 a∥b
C．若 a∥α，α∥β，则 a∥β
D．若 a∥α，a∥β，则α∥β
答案 B
解析 A选项，若 a∥b，b α，则 a∥α或 a α，所以 A选项错误；
B选项，若 a∥α，a∥β，α∩β＝b，则 a∥b，所以 B选项正确；
C选项，若 a∥α，α∥β，则 a∥β或 a β，所以 C选项错误；
D选项，若 a∥α，a∥β，则α∥β或α∩β＝b，所以 D选项错误．
3．(2020·金华十校联考)已知在三棱柱 ABC－A1B1C1中，M，N分别为 AC，B1C1的中点，E，
F分别为 BC，B1B的中点，则直线 MN与直线 EF、平面 ABB1A1的位置关系分别为( )
A．平行、平行 B．异面、平行 C．平行、相交 D．异面、相交
答案 B
解析 ∵在三棱柱 ABC－A1B1C1中，
M，N分别为 AC，B1C1的中点，E，F分别为 BC，B1B的中点，
∴EF 平面 BCC1B1，MN∩平面 BCC1B1＝N，N EF，
∴由异面直线判定定理得直线 MN与直线 EF是异面直线；
取 A1C1的中点 P，连接 PM，PN，如图，
则 PN∥B1A1，PM∥A1A，
∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，
∴平面 PMN∥平面 ABB1A1，
∵MN 平面 PMN，
∴直线 MN与平面 ABB1A1平行．
4.如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，若 E，F，G，H分别是棱 A1B1，BB1，CC1，C1D1
的中点，则必有( )
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面 EFGH∥平面 ABCD
D．平面 EFGH∥平面 A1BCD1
答案 D
解析 选项 A，由中位线定理可知 GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直
线平行，所以 BD1，GH不可能互相平行，故 A选项是错误的；
选项 B，由中位线定理可知 EF∥A1B，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
所以 BD，EF不可能互相平行，故 B选项是错误的；
选项 C，由中位线定理可知 EF∥A1B，而直线 A1B与平面 ABCD相交，故直线 EF与平面 ABCD
也相交，故平面 EFGH与平面 ABCD相交，故 C选项是错误的；
选项 D，由三角形中位线定理可知 EF∥A1B，EH∥A1D1，所以有 EF∥平面 A1BCD1，EH∥
平面 A1BCD1，而 EF∩EH＝E，因此平面 EFGH∥平面 A1BCD1，故本题选 D.
5.(多选)(2020·青岛市 58中模拟)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G分别
为 BC，CC1，BB1的中点，则( )
A．直线 D1D与直线 AF垂直
B．直线 EF与直线 AD1平行
C 9．平面 AEF截正方体所得的截面面积为
2
D．点 C与点 G到平面 AEF的距离相等
答案 BC
解析 A项，若 D1D⊥AF，
又因为 D1D⊥AE且 AE∩AF＝A，
所以 DD1⊥平面 AEF，
所以 DD1⊥EF，
所以 CC1⊥EF，显然不成立，故结论错误；
B项，直线 EF∥直线 BC1，
又直线 BC1∥直线 AD1，
所以 EF∥AD1，故结论正确；
C项，如图所示，连接 D1F，D1A，延长 D1F，AE交于点 S，
因为 E，F分别为 BC，C1C的中点，
所以 EF∥BC1，
又 BC1∥AD1，
所以 EF∥AD1，
所以 A，E，F，D1四点共面，
所以截面即为梯形 AEFD1，
又因为 D1S＝AS＝ 42＋22＝2 5，AD1＝2 2，
2 2
所以 S 1AD S ＝ ×2 2× 2 5 2－ 2 2＝6，△ 1 2
所以 S AEFD ＝6
3 9
× ＝ ，故结论正确；
梯形 1 4 2
D项，设点 C与点 G到平面 AEF的距离分别为 h1，h2，
1 1 1×1 1
∵VC－AEF＝ S△AEF·h1＝VA－CEF＝ × ×2＝ ，3 3 2 3
V 1 1 1×2 2G－AEF＝ S3 △
AEF·h2＝VA－GEF＝ × ×2＝ ，3 2 3
∴h1≠h2，故结论错误．
6．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边
AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面 EFGH所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值
答案 AD
解析 根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的
公共边都互相平行)，结合题中图形易知 A正确；由题图可知水面 EFGH的边 EF的长保持不
变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知 B错误；因为 A1C1∥AC，AC 平面 ABCD，A1C1
平面 ABCD，所以 A1C1∥平面 ABCD，当平面 EFGH不平行于平面 ABCD时，A1C1不平行
于水面所在平面，故 C错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱
柱 AEH－BFG的体积 V为定值，又 V＝S△AEH·AB，高 AB不变，所以 S△AEH也不变，即 AE·AH
为定值，故 D正确．
7．在四面体 ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与 MN
平行的是________．
答案 平面 ABC，平面 ABD
解析 如图，连接 AM并延长交 CD于点 E，连接 BN并延长交 CD于点 F，
由重心性质可知，E，F重合，且 E为 CD的中点，
EM EN 1
∵ ＝ ＝ ，
MA BN 2
∴MN∥AB，又 AB 平面 ABD，MN 平面 ABD，
∴MN∥平面 ABD，又 AB 平面 ABC，MN 平面 ABC，∴MN∥平面 ABC.
8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，
则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________(填序号)．
答案 ①或③
解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当 m∥γ，n∥β时，n和 m可能平行或异面，②
错误；当 n∥β，m γ时，n和 m在同一平面内，且没有公共点，所以 m∥n，③正确．
9．在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，O为底面 ABCD的中心，P是 DD1的中点，设 Q是 CC1
上的点，则点 Q满足条件________时，有平面 D1BQ∥平面 PAO.
答案 Q为 CC1的中点
解析 如图所示，设 Q为 CC1的中点，
因为 P为 DD1的中点，所以 QB∥PA.
连接 DB，因为 P，O分别是 DD1，DB的中点，
所以 D1B∥PO，
又 D1B 平面 PAO，QB 平面 PAO，PO 平面 PAO，PA 平面 PAO，
所以 D1B∥平面 PAO，QB∥平面 PAO，
又 D1B∩QB＝B，D1B，QB 平面 D1BQ，
所以平面 D1BQ∥平面 PAO.
故 Q为 CC1的中点时，有平面 D1BQ∥平面 PAO.
10.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD为正方形，E，F，G，H分别为 P3A，
P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面 EFGH∥平面 ABCD；
②PA∥平面 BDG；③EF∥平面 PBC；④FH∥平面 BDG；⑤EF∥平面 BDG.
其中正确结论的序号是________．
答案 ①②③④
解析 先把平面展开图还原为一个四棱锥，如图所示．
①∵ E，F，G，H分别为 PA，PD，PC，PB的中点，
∴EF∥AD，GH∥BC，
∵AD∥BC，∴EF∥GH，
∴EF，GH确定平面 EFGH，
∵EF 平面 EFGH，AD 平面 EFGH，
∴AD∥平面 EFGH，
同理 AB∥平面 EFGH，AB∩AD＝A，
AB，AD 平面 ABCD，
平面 EFGH∥平面 ABCD，所以①正确；
②连接 AC，BD交于 O点，
则 O为 AC的中点，连接 OG，G为 PC的中点，
∴OG∥PA，OG 平面 BDG，
PA 平面 BDG，∴PA∥平面 BDG，∴②正确；
③同②同理可证 EF∥平面 PBC，∴③正确；
④同②同理可证 FH∥平面 BDG，∴④正确；
⑤EF∥GH，GH与平面 BDG相交，
∴EF与平面 BDG相交，
∴⑤不正确．
11.如图，在四棱锥 P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC 1＝ AD，E，F，H分别为线段 AD，PC，
2
CD的中点，AC与 BE交于 O点，G是线段 OF上一点．
(1)求证：AP∥平面 BEF；
(2)求证：GH∥平面 PAD.
证明 (1) 1如图，连接 EC，因为 AD∥BC，BC＝ AD，
2
所以 BC∥AE，BC＝AE，
所以四边形 ABCE是平行四边形，所以 O为 AC的中点．
又因为 F是 PC的中点，
所以 FO∥AP，
因为 FO 平面 BEF，
AP 平面 BEF，
所以 AP∥平面 BEF.
(2)连接 FH，OH，因为 F，H分别是 PC，CD的中点，
所以 FH∥PD，
因为 PD 平面 PAD，FH 平面 PAD，
所以 FH∥平面 PAD.
又因为 O是 BE的中点，H是 CD的中点，
所以 OH∥AD，
因为 AD 平面 PAD，OH 平面 PAD，
所以 OH∥平面 PAD.
又 FH∩OH＝H，FH，OH 平面 OHF，
所以平面 OHF∥平面 PAD.
又因为 GH 平面 OHF，
所以 GH∥平面 PAD.
12.(2021·银川市长庆高级中学模拟)如图，在四棱锥 S－ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD
DC SA 1＝ ＝ ＝ BC＝2，点 E，G分别在线段 SA，AD上，且 SE＝AE，AG＝GD，F为棱 BC
2
上一点，且 CF＝1.
证明：平面 SCD∥平面 EFG.
证明 因为点 E，G分别在线段 SA，AD上，
且 SE＝AE，AG＝GD，
故 EG∥SD，
又 EG 平面 SCD，SD 平面 SCD，
故 EG∥平面 SCD；
因为∠ADC＝∠BCD＝90°，
故 AD∥BC，因为 GD＝FC＝1，
故四边形 GDCF为平行四边形，故 GF∥CD；
又 GF 平面 SCD，CD 平面 SCD，故 GF∥平面 SCD，
因为 GF 平面 EFG，EG 平面 EFG，EG∩FG＝G，
所以平面 SCD∥平面 EFG.
B 组
13．(多选)在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱 D1C1，A1D1，BC的中点，点
P在 BD1上且 BP
2
＝ BD1.则以下四个说法中正确的是( )
3
A．MN∥平面 APC
B．C1Q∥平面 APC
C．A，P，M三点共线
D．平面 MNQ∥平面 APC
答案 BC
解析 对于 A项，连接 MN，AC，
则 MN∥AC，连接 AM，CN，
易得 AM，CN交于点 P，
即 MN 平面 APC，所以 MN∥平面 APC是错误的；
对于 B项，由 A项知 M，N在平面 APC上，
由题易知 AN∥C1Q，AN 平面 APC，
所以 C1Q∥平面 APC是正确的；
对于 C项，由 A项知 A，P，M三点共线是正确的；
对于 D项，由 A项知 MN 平面 APC，
又 MN 平面 MNQ，
所以平面 MNQ∥平面 APC是错误的．
14．在三棱锥 P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点 G作三棱锥的一个截
面，使截面平行于 PB和 AC，则截面的周长为________．
答案 8
解析 如图，过点 G作 EF∥AC，分别交 PA，PC于点 E，F，过点 E作 EN∥PB交 AB于点
N，过点 F作 FM∥PB交 BC于点 M，连接 MN，则四边形 EFMN是平行四边形(平面 EFMN
为所求截面)，
且 EF＝MN 2＝ AC＝2，FM＝EN 1＝ PB＝2，
3 3
所以截面的周长为 2×4＝8.
C 组
15．(2021·合肥市第一中学模拟)正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，点 M，N分别是棱 BC，
CC1的中点，动点 P在正方形 BCC1B1(包括边界)内运动，且 PA1∥平面 AMN，则 PA1的长度
范围为( )
1 5 3 2 5， ，
A. 2 B. 4 2
3 2 3
， 1 3，
C. 4 2 D. 2
答案 B
解析 取 B1C1的中点 E，BB1的中点 F，连接 A1E，A1F，EF，
取 EF的中点 O，连接 A1O，如图所示，
∵点 M，N分别是棱长为 1的正方体 ABCD－A1B1C1D1中棱 BC，CC1的中点，
∴AM∥A1E，MN∥EF，
∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，AM，MN 平面 AMN，A1E，EF 平面 A1EF，
∴平面 AMN∥平面 A1EF，
∵动点 P在正方形 BCC1B1(包括边界)内运动，
且 PA1∥平面 AMN，
∴点 P的轨迹是线段 EF，
1
∵A1E＝A1F＝ 12
5 1 2
＋ 2 2＝ ，EF＝ 12＋12＝ ，
2 2 2
∴A1O⊥EF，
∴当 P与 O重合时，PA1的长度取最小值 A1O，
5 2
A1O＝ 2 2
3 2
－ 4 2＝ ，
4
当 P与 E(或 F)重合时，PA1的长度取最大值 A1E或 A1F，A1E＝A 51F＝ .
2
3 2 5
，
∴PA1的长度范围为 4 2 .
16.(2021·宜昌调研)如图，在四棱锥 P－ABCD中，侧棱 PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD是直
角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱 AD上，且 AE＝1，若平面
CEF与棱 PD相交于点 F，且平面 CEF∥平面 PAB.
(1) PF求 的值；
FD
(2)求点 F到平面 PBC的距离．
解 (1)∵平面 CEF∥平面 PAB，
且平面 CEF∩平面 PAD＝EF，平面 PAB∩平面 PAD＝PA，
∴PA∥EF，
1 1 PF 1
又 AE＝1＝ AD，∴PF＝ PD，∴ ＝ .
3 3 FD 2
(2)∵F为 PD的三等分点，
∴F到平面 PBC的距离等于 D到平面 PBC 1的距离的 ，
3
设 D到平面 PBC的距离为 h，
∵PA⊥平面 ABCD，
∴PA⊥BC，
又∵BC∥AD，AB⊥AD，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB＝A，PA，AB 平面 PAB，
∴BC⊥平面 PAB，∴BC⊥PB，
由等体积法得 VD－PBC＝VP－BCD，
1
即 S 1△PBC·h＝ S△DBC·PA，3 3
∵PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，
∴PB＝2 2，BC＝1，
S 1∴ △PBC＝ PB·BC
1
＝ 2，S△DBC＝ BC·AB＝1，2 2
∴h＝ 2，
∴F到平面 PBC 2的距离等于 .
3

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