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第 19讲 函数性质的综合问题
题型一 函数的单调性与奇偶性
例 1 (1)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x>0时，f(x)＝ln x＋ex.若 a＝f(－π)，b＝f(log23)，c
＝f(2－0.2)，则 a，b，c的大小关系为( )
A．b>a>c B．c>b>a
C．a>b>c D．a>c>b
答案 C
解析 当 x>0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数，
∴f(x)的图象关于 y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)
＝f(π)，
又π>3>log23>1>2－0.2>0，
∴f(π)>f(log23)>f(2－0.2)，
∴a>b>c.
(2)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在 R 上的奇函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，且 f(2)＝0，则满
足 xf(x－1)≥0的 x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，
则 f(0)＝0.
又 f(x)在(－∞，0)上单调递减，且 f(2)＝0，
画出函数 f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数 f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当 x≤0时，要满足 xf(x－1)≥0，则 f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当 x>0时，要满足 xf(x－1)≥0，则 f(x－1)≥0，
得 1≤x≤3.
故满足 xf(x－1)≥0的 x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
[高考改编题]若函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，f(2)＝0，且在(0，＋∞)上单调递增，则满
足 f(x－1) 0 f x ≥ 的 x的取值范围是______，满足 <0的 x的取值范围是______．
x
答案 [－1,1]∪[3，＋∞) (－2,0)∪(0,2)
解析 由函数 f(x)的性质，作出函数 f(x)的大致图象如图所示，
∵f(x－1)≥0，则－2≤x－1≤0或 x－1≥2，
解得－1≤x≤1或 x≥3.
f x
当 <0时，xf(x)<0，即 f(x)的图象在二、四象限，
x
即－2思维升华 解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成 f(x1)>f(x2)或
f(x1)象解不等式．
跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x)满足以下两个条件：①任意 x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)
－f(x2)]<0；②对定义域内任意 x有 f(x)＋f(－x)＝0，则符合条件的函数是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝1－|x|
C．f(x)＝－x3 D．f(x)＝ln(x2＋3)
答案 C
解析 由①知 f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由②知 f(x)为奇函数．
1
(2)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)________．
1 2
，
答案 3 3
解析 依题意有 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，∴|2x－1|<1，
3
1
即－ <2x－1<1 1 2，解得 3 3 3 3
题型二 函数的奇偶性与周期性
例 2 (1)(2021·德州联考)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1时，f(x)
＝x2，则 f(2 023)等于( )
A．2 0192 B．1 C．0 D．－1
答案 D
解析 根据题意，函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，则有 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数是周
期为 4的周期函数，则 f(2 023)＝f(－1＋2 024)＝f(－1)，又函数 y＝f(x)为奇函数，且 x∈[0,1]
时，f(x)＝x2，则 f(－1)＝－f(1)＝－1，故 f(2 023)＝－1.
(2)(多选)(2021·济南模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上
单调递增，则( )
A．f(2 019)＝f(2 017) B．f(2 019)＝f(2 020)
C．f(2 020)f(2 018)
答案 AC
解析 因为 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，
所以 f(x－8)＝f(x)，
所以 f(x)是以 8为周期的函数，则 f(2 017)＝f(1)，f(2 018)＝f(2)，
而由 f(x－4)＝－f(x)得 f(2 019)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，f(2 020)＝f(4)＝－f(0)＝0，
又因为 f(x)在[0,2]上单调递增，
所以 f(2)>f(1)>f(0)＝0，即 f(2 019)＝f(2 017)，f(2 020)思维升华 已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函
数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间
上的函数性质求解．
跟踪训练 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(x＋2)＝f(x)，则 f(2 020)＋f(2 021)＝________.
答案 0
解析 依题意 f(x)为奇函数，且周期为 2，
∴f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)，
∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，且 f(－1)＝－f(1)，①
又周期为 2，∴f(－1)＝f(1)，②
由①②解得 f(1)＝f(－1)＝0，
∴f(2 020)＋f(2 021)＝0.
(2)已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，若 f(1)<1，f(5)＝2a－3，则实数 a的取值范
围是________．
答案 (－∞，2)
解析 ∵f(x)为偶函数，且周期为 3，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∵f(1)<1，∴f(5)＝2a－3<1，
即 a<2.
题型三 函数的奇偶性与对称性
例 3 (1)已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且满足 f(4－x)＝－f(x)，则 f(x)的周期为( )
A．－4 B．2 C．4 D．6
答案 C
解析 ∵f(4－x)＝－f(x)，
∴f(x)的图象关于点(2,0)对称，
∴f(－x)＝－f(x＋4)，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)．
∴T＝4.
(2)函数 y＝f(x)对任意 x∈R 都有 f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对
称，f(1)＝4，则 f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．
答案 4
解析 因为函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，
所以函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数 f(x)是 R 上的奇函数，
所以 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故 f(x)的周期为 4.
所以 f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，
所以 f(2 020)＋f(2 022)＝f(2 020)＋f(2 020＋2)
＝f(2 020)＋f(－2 020)＝f(2 020)－f(2 020)＝0，
所以 f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
思维升华 由函数的奇偶性和对称性求函数的性质，一种思路是按奇偶性、对称性的定义，可
推导出周期性，二是可利用奇偶性、对称性画草图，利用图象判断周期性．
跟踪训练 3 函数 f(x)满足 f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，则下列说法正确的是_______．(填
序号)
①f(x)的周期为 8；
②f(x)关于点(－1,0)对称；
③f(x)为偶函数；
④f(x＋7)为奇函数．
答案 ①②④
解析 ∵f(x－1)为奇函数，∴f(x－1)的图象关于(0,0)对称，∴f(x)的图象关于点(－1,0)对称，
又 f(x＋1)为偶函数，
∴f(x＋1)的图象关于直线 x＝0对称，
∴f(x)的图象关于直线 x＝1对称，
∴f(x)的图象关于点(－1,0)和直线 x＝1对称，
∴f(x)的周期为 8，
∴①②正确，③不正确．
∵T＝8，∴f(x＋7)＝f(x－1)，
又 f(x－1)为奇函数，∴f(x＋7)为奇函数，
故④正确．
题型四 函数的周期性与对称性
例 4 (多选)已知 f(x)的定义域为 R，其函数图象关于直线 x＝－3对称，且 f(x＋3)＝f(x－3)，
若当 x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)在[－6，－3]上单调递减
C．f(x)关于 x＝3对称
D．f(100)＝9
答案 ACD
解析 f(x)的图象关于 x＝－3对称，
则 f(－x)＝f(x－6)，
又 f(x＋3)＝f(x－3)，则 f(x)的周期 T＝6，
∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故 A正确；
当 x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，
∵T＝6，故 f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故 B不正确；
f(x)关于 x＝－3对称且 T＝6，
∴f(x)关于 x＝3对称，故 C正确；
f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故 D正确．
思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们
综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上
的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
跟踪训练4 函数 f(x)是定义域为R的奇函数，满足 f(x－4)＝－f(x)，f(x－4)＝f(－x)，且当 x∈[0,2]
时，f(x)＝2x＋log2x，则 f(－80)，f(－25)，f(11)的大小关系为________．
答案 f(－25)解析 依题意，f(x)的周期为 8，且 f(x)是奇函数，其图象关于 x＝2对称，当 x∈[0,2]时，f(x)
单调递增，
∴f(x)在[－2,2]上单调递增，
又 f(－80)＝f(0)，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝f(1)，
∴f(－1)即 f(－25)【课后作业】
A 组
1 9．函数 f(x)＝x＋ (x≠0)是( )
x
A．奇函数，且在(0,3)上是增函数
B．奇函数，且在(0,3)上是减函数
C．偶函数，且在(0,3)上是增函数
D．偶函数，且在(0,3)上是减函数
答案 B
x 9＋
解析 因为 f( x) x 9－ ＝－ ＋ ＝－ x ＝－f(x)，
－x
9
所以函数 f(x)＝x＋ 为奇函数．
x
又 f′(x) 9＝1－ ，在(0,3)上 f′(x)<0恒成立，
x2
所以 f(x)在(0,3)上是减函数．
5
－ ，0
2．f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x＋5)＝f(x)，当 x∈ 2 时，f(x)＝2x－1，则 f(16)的值为
( )
A.1 B 1．－ C.3 D 3．－
2 2 2 2
答案 A
解析 ∵f(x＋5)＝f(x)，∴T＝5，
∴f(16)＝f(1)＝－f(－1)＝－(2－1－1) 1＝ .
2
3．已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若 f(ln x)( )
A．(0 e2) B (e－， ． 2，＋∞)
C．(e2，＋∞) D．(e－2，e2)
答案 D
解析 根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则 f(ln x)解得 e－24 13．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足对任意 x都有 f(x＋2)＝ 且 f(2)＝2，则 f(2 020)的值为
f x
( )
A.1 B．2 C. 2 D.13
2 13 2
答案 D
解析 ∵f(x＋2) 13＝ ，
f x
13 13
∴f(x＋4)＝ ＝ 13＝f(x)，f x＋2
f x
∴T＝4，f(2 020)＝f(4) 13 13＝ ＝ .
f 2 2
5．(多选)(2020·济南模拟)函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x＋1)与 f(x＋2)都为奇函数，则( )
A．f(x)为奇函数 B. f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D. f(x＋4)为偶函数
答案 ABC
解析 由 f(x＋1)与 f(x＋2)都为奇函数知函数 f(x)的图象关于点(1,0)，(2,0)对称，
所以 f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(4－x)＝0，
所以 f(2－x)＝f(4－x)，即 f(x)＝f(x＋2)，
所以 f(x)是以 2为周期的函数．
所以函数 f(x)的图象关于点(－3,0)，(－2,0)，(－1,0), (0,0)对称．
所以 f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)都是奇函数．
6．(多选)(2020· 1全国Ⅲ改编)关于函数 f(x)＝sin x＋ 有如下四个命题，其中为真命题的是
sin x
( )
A．f(x)的图象关于 y轴对称
B．f(x)的图象关于原点对称
C f(x) x π． 的图象关于直线 ＝ 对称
2
D．f(x)的最小值为 2
答案 BC
f(x) sin x 1解析 ∵ ＝ ＋ 的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x) 1＝sin(－x)＋ ＝－sin x－
sin x sin －x
1
＝－f(x)，
sin x
∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故 A错误，B正确．
π
－x
∵f 2 ＝cos x 1＋ ，
cos x
π
＋x
f 2 ＝cos x 1＋ ，
cos x
π π
－x ＋x
∴f 2 ＝f 2 ，
∴f(x) π的图象关于直线 x＝ 对称，故 C正确．
2
π
－ ，0
当 x∈ 2 时，f(x)<0，故 D错误．
7．偶函数 f(x)在区间[1,3]上单调递减，且 f(x)∈[－2,4]，那么，当 x∈[－3，－1]时，f(－3)
＝________，f(x)max＝________.
答案 －2 4
解析 偶函数的图象关于 y轴对称，
∴f(－3)＝f(3)＝－2，
∴f(x)max＝f(－1)＝f(1)＝4.
8．f(x)为 R 上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且 f(1)＝0，则不等式 xf(－x)<0 的解集为
________．
答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 不等式 xf(－x)<0可化为 xf(x)>0，
画出 f(x)的图象如图所示，
∴xf(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
9．已知 f(x)的定义域为 R，其函数图象关于直线 x＝－1 对称，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当
x∈[－4，－1]时，f(x) 6－＝ x，则 f(919)＝________.
答案 216
解析 由 f(x＋4)＝f(x－2)，得 f(x＋6)＝f(x)．
故 f(x)是周期为 6的函数．
所以 f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)．
因为 f(x)的图象关于直线 x＝－1对称，
所以 f(1)＝f(－3)．
又 x∈[－4，－1]时，f(x)＝6－x，
所以 f(－3)＝6－(－3)＝216.
从而 f(1)＝216，故 f(919)＝216.
10．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当 x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，则 f(1)
＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝________.
答案 0
解析 因为 f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，所以 f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以 f(x＋2)
＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数 f(x)的周期为 4，所以 f(4)＝f(0)＝0，f(3)
＝f(－1)＝－f(1)．在 f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令 x＝1，可得 f(2)＝f(0)＝0，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)
＋f(4)＝0.
所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝505[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0.
11．已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于 x≥0，都有 f(x＋2)＝－f(x)，且当 x∈[0,2)
时，f(x)＝log2(x＋1)，求：
(1)f(0)，f(2)，f(3)的值；
(2)f(2 021)＋f(－2 022)的值．
解 (1)f(0)＝log21＝0，f(2)＝－f(0)＝0，
f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.
(2)依题意得，当 x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即当 x≥0时，f(x)是以 4为周期的函数．
因此，f(2 021)＋f(－2 022)＝f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(2)．
而 f(2)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，
故 f(2 021)＋f(－2 022)＝1.
12．已知 g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足 g(x)－h(x)＝2x，若存在 x∈[－1,1]，使得不等
式 m·g(x)＋h(x)≤0有解，求实数 m的最大值．
解 因为 g(x)－h(x)＝2x，①
所以 g(－x)－h(－x)＝2－x.
又 g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，
所以 g(x)＋h(x)＝2－x，②
2x＋2－x －xg(x) h(x) 2 －2
x
联立①②，得 ＝ ， ＝ .
2 2
x －x x
由 m·g(x)＋h(x)≤0，得 m 2 －2 4 －1 2≤ ＝ ＝1－ .
2x＋2－x 4x＋1 4x＋1
2 1
2
－
因为 y＝1－ 为增函数，所以当 x∈[－1,1]时， 4x＋1 2 3 3max＝1－ ＝ ，所以 m≤ ，
4x＋1 4＋1 5 5
3
即实数 m的最大值为 .
5
B 组
13．(2021· 1安徽江南十校质检)设函数 f(x)＝ln(1＋|x|)－ ，则使得 f(x)>f(2x－1)成立的 x的
1＋x2
取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
1 1
，1 －∞，
C. 3 D. 3 ∪(1，＋∞)
答案 C
解析 由已知得函数 f(x)为偶函数，
所以 f(x)＝f(|x|)，
由 f(x)>f(2x－1)，可得 f(|x|)>f(|2x－1|)．
当 x≥0时，f(x)＝ln(1＋x) 1－ ，
1＋x2
因为 y＝ln(1＋x)与 y 1＝－ 在[0，＋∞)上都单调递增，所以函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
1＋x2
由 f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，
两边平方可得 x2>(2x－1)2，
整理得 3x2－4x＋1<0，
1
解得 3
1
，1
所以符合题意的 x的取值范围为 3 .
2－x－2，x≤0，
14．已知函数 f(x)＝ 则 f(2 021)＝________.
f x－2 ＋1，x>0，
答案 1 011
解析 当 x>0时，f(x)＝f(x－2)＋1，
则 f(2 021)＝f(2 019)＋1＝f(2 017)＋2＝…
＝f(1)＋1 010＝f(－1)＋1 011,
而 f(－1)＝0，故 f(2 021)＝1 011.
C 组
15．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增．若方程 f(x)
＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋x3＋x4＝________.
答案 －8
解析 因为定义在 R 上的奇函数满足 f(x－4)＝－f(x)，所以 f(x－4)＝f(－x)．由 f(x)为奇函数，
所以函数图象关于直线 x＝2对称，且 f(0)＝0.由 f(x－4)＝－f(x)知 f(x－8)＝f(x)，所以函数的
周期为 8.又因为 f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以函数在区间[－2,0]上也单调递增，作出函数
f(x)的大致图象如图所示，那么方程 f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，
x4，不妨设 x116．对于定义域为 D的函数 y＝f(x)，如果存在区间[m，n] D，同时满足：①f(x)在[m，n]
内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优
美区间”．
(1)求证：[0,2]是函数 f(x) 1＝ x2的一个“优美区间”；
2
(2)求证：函数 g(x) 4 6＝ ＋ 不存在“优美区间”；
x
2
(3) a ＋a x－1已知函数 y＝h(x)＝ (a∈R，a≠0)有“优美区间”[m，n]，当 a变化时，求出 n
a2x
－m的最大值．
(1) f(x) 1证明 ＝ x2在区间[0,2]上单调递增，
2
又 f(0)＝0，f(2)＝2，
1
∴f(x)＝ x2的值域为[0,2]，
2
∴区间[0,2]是 f(x) 1＝ x2的一个“优美区间”．
2
(2)证明 设[m，n]是已知函数 g(x)的定义域的子集．
由 x≠0，可得[m，n] (－∞，0)或[m，n] (0，＋∞)，
∴函数 g(x)＝4 6＋ 在[m，n]上单调递减．
x
假设[m，n]是已知函数的“优美区间”，
4 6＋ ＝n，
m 6 6
则 6 两式相减得， － ＝n－m，4＋ ＝m， m n
n
6 n－m
则 ＝n－m，
mn
∵n>m，∴mn＝6 6，∴n＝ ，
m
4 6 6则 ＋ ＝ ，显然等式不成立，
m m
∴函数 g(x) 6＝4＋ 不存在“优美区间”．
x
(3)解 设[m，n]是已知函数定义域的子集．
由 x≠0，则[m，n] (－∞，0)或[m，n] (0，＋∞)，
2
而函数 y＝h(x) a ＋a x－1 a＋1 1＝ ＝ － 在[m，n]上单调递增．
a2x a a2x
h m ＝m，
若[m，n]是已知函数的“优美区间”，则
h n ＝n，
m n a＋1 1∴ ， 是方程 － ＝x，即 a2x2－(a2＋a)x＋1＝0的两个同号且不相等的实数根，
a a2x
2
∴m＋n a ＋a＝ ，
a2
mn 1∵ ＝ >0，
a2
∴m，n同号，只需Δ＝(a2＋a)2－4a2＝a2(a＋3)(a－1)>0，解得 a>1或 a<－3，
a2＋a 1 1
－
∵n－m＝ n＋m 2－4mn 4 4＝ a2 2－ ＝ －3 a 3 2＋ ，
a2 3
2 3
∴当 a＝3时，n－m取得最大值 .
3第 19讲 函数性质的综合问题
题型一 函数的单调性与奇偶性
例 1 (1)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x>0时，f(x)＝ln x＋ex.若 a＝f(－π)，b＝f(log23)，c
＝f(2－0.2)，则 a，b，c的大小关系为( )
A．b>a>c B．c>b>a
C．a>b>c D．a>c>b
(2)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在 R 上的奇函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，且 f(2)＝0，则满
足 xf(x－1)≥0的 x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
[高考改编题]若函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，f(2)＝0，且在(0，＋∞)上单调递增，则满
足 f(x－1)≥0的 x f x 的取值范围是______，满足 <0的 x的取值范围是______．
x
跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x)满足以下两个条件：①任意 x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)
－f(x2)]<0；②对定义域内任意 x有 f(x)＋f(－x)＝0，则符合条件的函数是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝1－|x|
C．f(x)＝－x3 D．f(x)＝ln(x2＋3)
1
(2)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)________．
题型二 函数的奇偶性与周期性
例 2 (1)(2021·德州联考)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1时，f(x)
＝x2，则 f(2 023)等于( )
A．2 0192 B．1 C．0 D．－1
(2)(多选)(2021·济南模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上
单调递增，则( )
A．f(2 019)＝f(2 017) B．f(2 019)＝f(2 020)
C．f(2 020)f(2 018)
跟踪训练 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(x＋2)＝f(x)，则 f(2 020)＋f(2 021)＝________.
(2)已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，若 f(1)<1，f(5)＝2a－3，则实数 a的取值范
围是________．
题型三 函数的奇偶性与对称性
例 3 (1)已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且满足 f(4－x)＝－f(x)，则 f(x)的周期为( )
A．－4 B．2 C．4 D．6
(2)函数 y＝f(x)对任意 x∈R 都有 f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对
称，f(1)＝4，则 f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．
跟踪训练 3 函数 f(x)满足 f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，则下列说法正确的是_______．(填
序号)
①f(x)的周期为 8；
②f(x)关于点(－1,0)对称；
③f(x)为偶函数；
④f(x＋7)为奇函数．
题型四 函数的周期性与对称性
例 4 (多选)已知 f(x)的定义域为 R，其函数图象关于直线 x＝－3对称，且 f(x＋3)＝f(x－3)，
若当 x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)在[－6，－3]上单调递减
C．f(x)关于 x＝3对称
D．f(100)＝9
跟踪训练4 函数 f(x)是定义域为R的奇函数，满足 f(x－4)＝－f(x)，f(x－4)＝f(－x)，且当 x∈[0,2]
时，f(x)＝2x＋log2x，则 f(－80)，f(－25)，f(11)的大小关系为________．
【课后作业】
A 组
1．函数 f(x) x 9＝ ＋ (x≠0)是( )
x
A．奇函数，且在(0,3)上是增函数 B．奇函数，且在(0,3)上是减函数
C．偶函数，且在(0,3)上是增函数 D．偶函数，且在(0,3)上是减函数
5
－ ，0
2．f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x＋5)＝f(x)，当 x∈ 2 时，f(x)＝2x－1，则 f(16)的值为
( )
A.1 B 1 C.3．－ D 3．－
2 2 2 2
3．已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若 f(ln x)( )
A．(0，e2) B．(e－2，＋∞)
C (e2 ) D (e－． ，＋∞ ． 2，e2)
4．已知定义在 R 上的函数 f(x) 13满足对任意 x都有 f(x＋2)＝ 且 f(2)＝2，则 f(2 020)的值为
f x
( )
A.1 B 2 C. 2 D.13．
2 13 2
5．(多选)(2020·济南模拟)函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x＋1)与 f(x＋2)都为奇函数，则( )
A．f(x)为奇函数 B. f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D. f(x＋4)为偶函数
6．(多选)(2020· 1全国Ⅲ改编)关于函数 f(x)＝sin x＋ 有如下四个命题，其中为真命题的是
sin x
( )
A．f(x)的图象关于 y轴对称 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x) π的图象关于直线 x＝ 对称 D．f(x)的最小值为 2
2
7．偶函数 f(x)在区间[1,3]上单调递减，且 f(x)∈[－2,4]，那么，当 x∈[－3，－1]时，f(－3)
＝________，f(x)max＝________.
8．f(x)为 R 上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且 f(1)＝0，则不等式 xf(－x)<0 的解集为
________．
9．已知 f(x)的定义域为 R，其函数图象关于直线 x＝－1 对称，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当
x∈[－4，－1]时，f(x) 6－＝ x，则 f(919)＝________.
10．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当 x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，则 f(1)
＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝________.
11．已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于 x≥0，都有 f(x＋2)＝－f(x)，且当 x∈[0,2)
时，f(x)＝log2(x＋1)，求：
(1)f(0)，f(2)，f(3)的值；
(2)f(2 021)＋f(－2 022)的值．
12．已知 g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足 g(x)－h(x)＝2x，若存在 x∈[－1,1]，使得不等
式 m·g(x)＋h(x)≤0有解，求实数 m的最大值．
B 组
13 (2021· ) f(x) ln(1 |x|) 1． 安徽江南十校质检 设函数 ＝ ＋ － ，则使得 f(x)>f(2x－1)成立的 x的
1＋x2
取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
1 1 1， －∞，
C. 3 D. 3 ∪(1，＋∞)
2－x－2，x≤0，
14．已知函数 f(x)＝ 则 f(2 021)＝________.
f x－2 ＋1，x>0，
C 组
15．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增．若方程 f(x)
＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋x3＋x4＝________.
16．对于定义域为 D的函数 y＝f(x)，如果存在区间[m，n] D，同时满足：①f(x)在[m，n]
内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优
美区间”．
(1)求证：[0,2]是函数 f(x) 1＝ x2的一个“优美区间”；
2
(2) 6求证：函数 g(x)＝4＋ 不存在“优美区间”；
x
2
(3)已知函数 y h(x) a ＋a x－1＝ ＝ (a∈R，a≠0)有“优美区间”[m，n]，当 a变化时，求出 n
a2x
－m的最大值．

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