资源简介

第 20讲 幂函数与二次函数
【考试要求】
1.了解幂函数的概念.
1
2.结合函数 y＝x，y＝x2 1，y＝x3，y＝ ， y x2 的图象，了解它们的变化情况.
x
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
【知识梳理】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y＝xα叫做幂函数，其中 x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
1
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y x2 y x
－
＝ 1
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性 在(－∞，0]
在(－∞，0)
质 在 R 上单 上单调递减； 在R上单调 在[0，＋∞)上
单调性 和(0，＋∞)
调递增 在(0，＋∞) 递增 单调递增
上单调递减
上单调递增
公共点 (1,1)
2.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
4ac－b2 4ac－b2
值域 ，＋∞ －∞，
4a 4a
b b
－∞，－ －∞，－
在 x∈ 2a 上单调递减； 在 x∈ 2a 上单调递增；
单调性
b b
－ ，＋∞ － ，＋∞
在 x∈ 2a 上单调递增 在 x∈ 2a 上单调递减
b
对称性 函数的图象关于直线 x＝－ 对称
2a
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1

(1)函数 y 3x 3是幂函数．( × )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
2
(3)二次函数 y＝ax2 bx c(a 0) x [m n] 4ac－b＋ ＋ ≠ ， ∈ ， 的最值一定是 .( × )
4a
(4)二次函数 y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是 m≥－2.( √ )
1 2
，
2．已知幂函数 f(x)＝k·xα的图象过点 2 2 ，则 k＋α等于( )
A.1 B．1 C.3 D．2
2 2
答案 C
k＝1，
1
解析 由幂函数的定义，知 2
＝k· 2 α.
2
1 3
∴k＝1，α＝ .∴k＋α＝ .
2 2
3.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则 a，b，c的大小关系为( )
A．cB．aC．bD．a答案 D
4．函数 g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域为________．
答案 [－1,3]
解析 由 g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，
得 g(x)在[0,1]上是减函数，
在[1,3]上是增函数，
所以 g(x)min＝g(1)＝－1，
因为 g(0)＝0，g(3)＝3，
所以 g(x)在 x∈[0,3]上的值域为[－1,3]．
2
5 f (x) xa 10a 23．幂函数 (a∈Z)为偶函数，且 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则 a等于
( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 因为 a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f (x) x (a 5)
2 2 (a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而 a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是 a＝5，故选 C.
6．函数 y＝x2－ax＋1在区间[－1,2]内单调，则实数 a的取值范围是________．
答案 (－∞，－2]∪[4，＋∞)
解析 函数 y＝x2－ax 1 x a＋ 的对称轴为 ＝ ，
2
a a
则 ≤－1或 ≥2，解得 a≤－2或 a≥4.
2 2
【典型例题】
题型一 幂函数的图象与性质
2 1，
1．若幂函数的图象经过点 4 ，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
答案 D
解析 设 f(x)＝xα，则 2α 1＝ ，α＝－2，即 f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故
4
选 D.
2
2．已知幂函数 f (x)＝(n2＋2n－2)x n －3n (n∈Z)的图象关于 y轴对称，且在(0，＋∞)上单调
递减，则 n的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1或 2
答案 B
解析 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1或 n＝－3，经检验只有 n＝1符合
题意，故选 B.
3 y x－．若幂函数 ＝ 1，y＝xm与 y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则 m与 n的取值情况为
( )
A．－12
C 1．－12
答案 D
解析 幂函数 y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且 0<α<1时，图象上凸，∴0当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
不妨令 x＝2，由图象得 2－1<2n，则－1综上可知，－11 1

4．若 (a＋1) 3 (3 2a) 3 ，则实数 a的取值范围是____________．
2 3
，
答案 (－∞，－1)∪ 3 2
1 1

解析 不等式 (a＋1) 3 (3 2a) 3 等价于a＋1>3－2a>0或3－2aa< 1 2解得 － 或 3 2
思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，
即 x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限
部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
题型二 求二次函数的解析式
例 1 (1)函数 f(x)满足下列性质：①定义域为 R，值域为[1，＋∞)；②图象关于 x＝2 对称；
③对任意 x1，x2∈(－∞，0) x x
f x1 －f x2
，且 1≠ 2，都有 <0.请写出函数 f(x)的一个解析式
x1－x2
________．(只要写出一个即可)
答案 f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)
解析 由二次函数的对称性、值域及单调性可得 f(x)的解析式可以为 f(x)＝(x－2)2＋1，
此时 f(x)图象的对称轴为 x＝2，开口向上，满足②，
f x1 －f x2
因为对任意 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1≠x2，都有 <0，
x1－x2
等价于 f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，
又 f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，
故 f(x)的解析式可以为 f(x)＝x2－4x＋5.
(2)已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被 x轴截得的线段长为 2，并且对任意 x∈R，
都有 f(2－x)＝f(2＋x)，则 f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x2－4x＋3
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意 x∈R 恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线 x＝2，
又∵f(x)的图象被 x轴截得的线段长为 2，
∴f(x)＝0的两根为 1和 3，
设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，∴a＝1，
∴所求函数的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)，
即 f(x)＝x2－4x＋3.
思维升华 求二次函数解析式的方法
跟踪训练 1 (1)已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数 f(x)的最小值为 f(－1)＝0，
则 f(x)＝________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设函数 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知 f(x)＝ax2＋bx＋1，
所以 a＝1，b＝2a＝2，
故 f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)二次函数 f(x)满足 f(2)＝f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，则 f(x)＝________.
答案 －4x2＋4x＋7
解析 方法一 (利用一般式)
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
4a＋2b＋c＝－1，
a－b＋c＝－1，
由题意得
4ac－b2
＝8，
4a
a＝－4，
解得 b＝4，
c＝7.
所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用顶点式)
因为 f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为直线 x 2＋ －1 1＝ ＝ .
2 2
又根据题意函数有最大值 8，
x 1－
所以 f(x)＝a 2 2＋8.
因为 f(2)＝－1，
2 1－
所以 a 2 2＋8＝－1，
解得 a＝－4，
x 1－
所以 f(x)＝－4 2 2＋8＝－4x2＋4x＋7.
题型三 二次函数的图象和性质
命题点 1 二次函数的图象
例 2 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．则下列结论正确的是________．
①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.
答案 ①②⑤
b
解析 由题图知，a<0，－ >0，c>0，∴b>0，ac<0，故②正确，③④错误．又函数图象与 x
2a
轴有两交点，∴Δ＝b2－4ac>0，故①正确；又由题图知 f(－1)<0，即 a－b＋c<0，故⑤正确．
命题点 2 二次函数的单调性
例 3 函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数 a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案 D
解析 当 a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当 a≠0时，f(x) 3－a的对称轴为直线 x＝ ，
2a
a<0，
由 f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知 3－a
≤－1，
2a
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
若函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则 a＝________.
答案 －3
解析 由题意知 f(x)必为二次函数且 a<0，
3－a
又 ＝－1，∴a＝－3.
2a
命题点 3 二次函数的值域、最值
例 4 已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值 4，求实数 a的值．
解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当 a＝0时，函数 f(x)在区间[－1,2]上的值为常数 1，不符合题意，舍去；
(2) 3当 a>0时，函数 f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为 f(2)＝8a＋1＝4，解得 a＝ ；
8
(3)当 a<0时，函数 f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为 f(－1)＝1－a＝4，解得 a＝－3.
3
综上可知，a的值为 或－3.
8
思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，
再“定量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无
论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象
的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
跟踪训练 2 (1)一次函数 y＝ax＋b(a≠0)与二次函数 y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大
致是( )
答案 C
解析 若 a>0，则一次函数 y＝ax＋b为增函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，
故可排除 A；若 a<0，一次函数 y＝ax＋b为减函数，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象开口向
b
下，故可排除 D；对于选项 B，看直线可知 a>0，b>0，从而－ <0，而二次函数的对称轴在
2a
y轴的右侧，故应排除 B，选 C.
3
－
(2)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为 f(1)，则 f( 2)，f 2 ，f( 3)的大小关系是
( )
3
－
A．f( 2)3
－
B．f 2 3
－
C．f( 3)3
－
D．f( 2)答案 D
解析 由已知可得二次函数 f(x)图象的开口向上，对称轴为直线 x＝1，
| 3－ －1∵ 2 |>| 3－1|>| 2－1|，
3
－
∴f( 2)(3)设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最小值．
解 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线 x＝1.
当 t＋1≤1，即 t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为 f(t＋1)＝t2＋1；
当 t<1＝1；
当 t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为 f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，当 t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当 0题型四 二次函数的恒成立问题
例 5 (1)已知 a是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3在 x∈[－1,1]上恒小于零，则实数 a的取值范
围是________．
1
－∞，
答案 2
解析 由题意知 2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当 x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；
1 1
－
当 x≠0时，a<3 x 3 2 1－ ，
2 6
1
因为 ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
x
x 1 1所以当 ＝ 时，不等号右边式子取最小值 ，
2
1
所以 a< .
2
1
－∞，
综上，实数 a的取值范围是 2 .
(2)函数 f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上 f(x)≤8 恒成立，则实数 a 的最大值为
________．
答案 2
1
解析 令 ax＝t，因为 a>1，x∈[－1,1]，所以 ≤t≤a，
a
1
，a
原函数化为 g(t)＝t2＋3t－2，t∈ a ，
1
，a
显然 g(t)在 a 上单调递增，
所以 f(x)≤8恒成立，即 g(t)max＝g(a)≤8成立，
所以有 a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，
又 a>1，所以 1所以 a的最大值为 2.
思维升华 不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，
直接求最值．这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题．
跟踪训练 3 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x≥0时，f(x)＝x3，若不等式 f(－4t)>f(2m
＋mt2)对任意实数 t恒成立，则实数 m的取值范围是________．
答案 (－∞，－ 2)
解析 由题意知 f(x)在 R 上是增函数，结合 f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数 t恒成立，知－4t>2m
＋mt2对任意实数 t恒成立，
m<0，
∴mt2＋4t＋2m<0对任意实数 t恒成立 m∈(－∞，－ 2)．
Δ＝16－8m2<0
【课后作业】
A 组
1
1．若 f(x) f 4 是幂函数，且满足 ＝3，则 f 2 等于( )
f 2
A．3 B．－3 C.1 D 1．－
3 3
答案 C
α
解析 设 f(x)＝xα 4，则 ＝2α＝3，
2α
1 1
∴f 2 2 α 1＝ ＝ .
3
1
2．函数 y x3的图象是( )
答案 B
1 1
，
解析 由函数图象上的特殊点(1,1)，可排除A，D；由特殊点(8,2)，8 2 ，可排除 C，故选 B.
2
3 2 m 6m 8．若幂函数 f (x) (m 4m 4) x 在(0，＋∞)上为增函数，则 m的值为( )
A．1或 3 B．1 C．3 D．2
答案 B
解析 由题意得 m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，
解得 m＝1.
4．已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c.若 f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
答案 A
b
解析 由 f(0)＝f(4)，得 f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线 x＝－ ＝2，∴4a＋b＝0，
2a
又 f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，
∴f(x)先减后增，于是 a>0，故选 A.
5．(多选)(2020·河南省实验中学质检)已知函数 f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3 的值域为[0，＋
∞)，则实数 m的取值范围为( )
A．0 B．[－3,0]
C．3 D．－3
答案 AD
解析 依题意，得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，
则 m＝0或 m＝－3.∴实数 m的取值范围是{0，－3}．
6．(多选)若二次函数 y＝kx2－4x＋2 在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数 k的取值可以是
( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 CD
2
解析 二次函数 y＝kx2－4x＋2 图象的对称轴为直线 x＝ ，当 k>0 时，要使函数 y＝kx2－4x
k
2 2
＋2在区间[1,2]上是增函数，只需 ≤1，解得 k≥2；当 k<0 时， <0，此时抛物线的对称轴在
k k
区间[1,2]的左侧，则函数 y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数
k的取值范围是[2，＋∞)．
1 1
－2，－1，－ ， ，1，2，3
7．已知α∈ 2 2 ，若幂函数 f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单
调递减，则α＝________.
答案 －1
2 1 1－ ，－1，－ ， ，1，2，3
解析 ∵α∈ 2 2 ，
幂函数 f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
∴α是奇数，且α<0，∴α＝－1.
8．已知函数 f(x)＝4x2＋kx－8在[－1,2]上不单调，则实数 k的取值范围是________．
答案 (－16,8)
解析 函数 f(x)＝4x2＋kx k k－8的对称轴为直线 x＝－ ，则－1<－ <2，
8 8
解得－169．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的图象过坐标原点，且满足 f(－x)＝f(－1＋x)，则函数 f(x)
在[－1,3]上的值域为________．
1
－ ，12
答案 4
解析 因为函数 f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，
所以 f(0)＝0，所以 b＝0.
因为 f(－x)＝f(－1＋x)，
1
所以函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x＝－ ，
2
x 1＋
a 1 1所以 ＝ ，所以 f(x)＝x2＋x＝ 2 2－ ，
4
1
－
由 f(x)的图象知，x∈[－1,3] 1时，f(x)min＝f 2 ＝－ ，f(x)max＝f(3)＝12.
4
1
－ ，12
故 f(x)的值域为 4 .
10．已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)<0 成立，则实数 m的
取值范围是_____________________________________________________________．
2
－ ，0
答案 2
解析 因为函数图象开口向上，
f m ＝m2＋m2－1<0，
所以根据题意只需满足
f m＋1 ＝ m＋1 2＋m m＋1 －1<0，
2
解得－ 2
11．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数 f(x)的图象过点(－2,1)，且方程 f(x)＝0有且只有一个根，求 f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当 x∈[3,5]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数 k的取值范围．
解 (1)因为 f(－2)＝1，即 4a－2b＋1＝1，所以 b＝2a.
因为方程 f(x)＝0有且只有一个根，
所以Δ＝b2－4a＝0.
所以 4a2－4a＝0，所以 a＝1，b＝2.
所以 f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx
x k－2 k－2－
＝x2－(k－2)x＋1＝ 2 2＋1－ 2 2.
由 g(x)的图象知，要满足题意，
k－2 k－2
则 ≥5或 ≤3，即 k≥12或 k≤8，
2 2
所以所求实数 k的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞)．
12．已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当 a＝2，x∈[－2,3]时，求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 f(x)在[－1,3]上的最大值为 1，求实数 a的值．
解 (1)当 a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
3
函数图象的对称轴为直线 x＝－ ∈[－2,3]，
2
3
－
∴f(x) 9 9 21min＝f 2 ＝ － －3＝－ ，
4 2 4
f(x)max＝f(3)＝15，
21
－ ，15
∴f(x)的值域为 4 .
(2) 2a－1函数图象的对称轴为直线 x＝－ .
2
2a－1
①当－ ≤1，即 a 1≥－ 时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
2 2
1
∴6a＋3＝1，即 a＝－ ，满足题意；
3
2a－1
②当－ >1，
2
即 a< 1－ 时，
2
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即 a＝－1，满足题意．
1
综上可知，a＝－ 或－1.
3
B 组
13.幂函数 y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，
设点 A(1,0)，B(0,1)，连接 AB，线段 AB恰好被其中的两个幂函数 y＝xa，y＝xb的图象三等分，
即有 BM＝MN＝NA 1，那么 a－ 等于( )
b
A 1．0 B．1 C. D．2
2
答案 A
解析 由 BM＝MN＝NA，点 A(1,0)，B(0,1)，
1 2 2 1
， ，
∴M 3 3 ，N 3 3 ，
将两点坐标分别代入 y＝xa，y＝xb，
得 a log 21 ,b log
1
3 2
,
3 3 3
∴ a 1 2 1 log1 0 .b 13 3 log 2
3 3
25
－ ，－4
14．若函数 y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为 4 ，则 m的取值范围是________．
3
，3
答案 2
3
x 3 f 2 25解析 二次函数图象的对称轴为 ＝ ，且 ＝－ ，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图
2 4
所示)，
3
，3
可得 m∈ 2 .
C 组
15．(2020·上海复兴高级中学期中)对于问题：当 x>0 时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，
求实数 a的所有可能值．几位同学提供了自己的想法．
甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；
乙：研究函数 y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；
丙：分别研究两个函数 y1＝(a－1)x－1与 y2＝x2－ax－1；
丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．
你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________．
3
答案
2
解析 选丙．画出 y2＝x2－ax－1的草图，y2＝x2－ax－1过定点 C(0，－1)．
∴y2＝x2－ax－1与 x轴有两个交点，且两交点在原点两侧，
又 y1＝(a－1)x－1也过定点 C(0，－1)，
故直线 y1＝(a－1)x－1只有过点 A，C才满足题意，
∴a－1>0 1，即 a>1，令 y1＝0得 x＝ ，
a－1
1
，0
将点 a－1 代入 y2＝x2－ax－1＝0，
解得 a＝0(舍)或 a 3＝ .
2
16．是否存在实数 a∈[－2,1]，使函数 f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？
若存在，求 a的值；若不存在，请说明理由．
解 f(x)＝(x－a)2＋a－a2，
当－2≤a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，
f －1 ＝－2，
∴由 得 a＝－1(舍去)；
f 1 ＝2，
f a ＝－2，
当－1≤a≤0时，由 得 a＝－1；
f 1 ＝2，
f a ＝－2，
当 0f －1 ＝2，
综上可得，存在实数 a满足条件，且 a＝－1.第 20讲 幂函数与二次函数
【知识梳理】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
1
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 －y x2 y＝x
1
图象
定义域
值域
奇偶性
性
质
单调性
公共点
2.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
值域
单调性
对称性
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1

(1)函数 y 3x 3是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
2
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n] 4ac－b的最值一定是 .( )
4a
(4)二次函数 y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是 m≥－2.( )
1 2
，
2．已知幂函数 f(x)＝k·xα的图象过点 2 2 ，则 k＋α等于( )
A.1 B．1 C.3 D．2
2 2
3.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则 a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b4．函数 g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域为________．
2
5．幂函数 f (x) xa 10a 23 (a∈Z)为偶函数，且 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则 a等于
( )
A．3 B．4 C．5 D．6
6．函数 y＝x2－ax＋1在区间[－1,2]内单调，则实数 a的取值范围是________．
【典型例题】
题型一 幂函数的图象与性质
2 1，
1．若幂函数的图象经过点 4 ，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
2
2．已知幂函数 f (x)＝(n2＋2n－2)x n －3n (n∈Z)的图象关于 y轴对称，且在(0，＋∞)上单调
递减，则 n的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1或 2
3 y x－．若幂函数 ＝ 1，y＝xm与 y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则 m与 n的取值情况为
( )
A．－12
C 1．－12
1 1

4．若 (a＋1) 3 (3 2a) 3 ，则实数 a的取值范围是____________．
题型二 求二次函数的解析式
例 1 (1)函数 f(x)满足下列性质：①定义域为 R，值域为[1，＋∞)；②图象关于 x＝2 对称；
f x1 －f x
③对任意 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1≠x 22，都有 <0.请写出函数 f(x)的一个解析式
x1－x2
________．(只要写出一个即可)
(2)已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被 x轴截得的线段长为 2，并且对任意 x∈R，
都有 f(2－x)＝f(2＋x)，则 f(x)的解析式为________．
跟踪训练 1 (1)已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数 f(x)的最小值为 f(－1)＝0，
则 f(x)＝________.
(2)二次函数 f(x)满足 f(2)＝f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，则 f(x)＝________.
题型三 二次函数的图象和性质
例 2 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．则下列结论正确的是________．
①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.
例 3 函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数 a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
例 4 已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值 4，求实数 a的值．
跟踪训练 2 (1)一次函数 y＝ax＋b(a≠0)与二次函数 y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大
致是( )
3
－
(2)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为 f(1)，则 f( 2)，f 2 ，f( 3)的大小关系是
( )
3 3
－ －
A．f( 2)3 3
－ －
C．f( 3)(3)设函数 f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数 f(x)的最小值．
题型四 二次函数的恒成立问题
例 5 (1)已知 a是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3在 x∈[－1,1]上恒小于零，则实数 a的取值范
围是________．
(2)函数 f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上 f(x)≤8 恒成立，则实数 a 的最大值为
________．
跟踪训练 3 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x≥0时，f(x)＝x3，若不等式 f(－4t)>f(2m
＋mt2)对任意实数 t恒成立，则实数 m的取值范围是________．
【课后作业】
A 组
1
1 f(x) f 4 ．若 是幂函数，且满足 ＝3，则 f 2 等于( )
f 2
A．3 B 1 1．－3 C. D．－
3 3
1
2．函数 y x3的图象是( )
2
3．若幂函数 f (x) (m2 4m 4) xm 6m 8 在(0，＋∞)上为增函数，则 m的值为( )
A．1或 3 B．1 C．3 D．2
4．已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c.若 f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
5．(多选)(2020·河南省实验中学质检)已知函数 f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3 的值域为[0，＋
∞)，则实数 m的取值范围为( )
A．0 B．[－3,0]
C．3 D．－3
6．(多选)若二次函数 y＝kx2－4x＋2 在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数 k的取值可以是
( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2 1 1 1－ ，－ ，－ ， ，1，2，3
7．已知α∈ 2 2 ，若幂函数 f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单
调递减，则α＝________.
8．已知函数 f(x)＝4x2＋kx－8在[－1,2]上不单调，则实数 k的取值范围是________．
9．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的图象过坐标原点，且满足 f(－x)＝f(－1＋x)，则函数 f(x)
在[－1,3]上的值域为________．
10．已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)<0 成立，则实数 m的
取值范围是_____________________________________________________________．
11．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数 f(x)的图象过点(－2,1)，且方程 f(x)＝0有且只有一个根，求 f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当 x∈[3,5]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数 k的取值范围．
12．已知函数 f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当 a＝2，x∈[－2,3]时，求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 f(x)在[－1,3]上的最大值为 1，求实数 a的值．
B 组
13.幂函数 y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，
设点 A(1,0)，B(0,1)，连接 AB，线段 AB恰好被其中的两个幂函数 y＝xa，y＝xb的图象三等分，
1
即有 BM＝MN＝NA，那么 a－ 等于( )
b
A 1．0 B．1 C. D．2
2
25
－ ，－4
14．若函数 y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为 4 ，则 m的取值范围是________．
C 组
15．(2020·上海复兴高级中学期中)对于问题：当 x>0 时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，
求实数 a的所有可能值．几位同学提供了自己的想法．
甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；
乙：研究函数 y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；
丙：分别研究两个函数 y1＝(a－1)x－1与 y2＝x2－ax－1；
丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．
你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________．
16．是否存在实数 a∈[－2,1]，使函数 f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？
若存在，求 a的值；若不存在，请说明理由．

展开更多......

收起↑