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第 25讲 导数的概念及运算
【知识梳理】
1．导数的概念
(1)一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率 = 称之为函数 y＝
f(x)在 x＝x0处的导数，记作 或 ，即 f (x0 ) = .
(2)如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新
函数，这个函数称为函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作 .
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的 ，
相应的切线方程为 ．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0且 a≠1)
f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0且 a≠1)
f(x)＝ln x
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ ；
[f(x)g(x)]′＝ ；
[ f (x) ] ；
g(x)
[cf(x)]′＝ ．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y可以表示成 x的函数，
那么称这个函数为函数 y＝f(u)与 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝ ．
(2)复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝ ，即 y对
x的导数等于 y对 u的导数与 u对 x的导数的乘积．
1
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( )
(3)f(x)在某点处的切线与 f(x)过某点处的切线意义相同．( )
(4)若 f(x)＝2x，则 f′(x)＝x·2x－1.( )
2．某跳水运动员离开跳板后， 他达到的高度与时间的函数关系式是 h(t)＝10－4.9t2＋8t(距
离单位：米，时间单位：秒)，则他在 0.5秒时的瞬时速度为( )
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
3．已知函数 f(x)＝xln x＋ax2＋2，若 f′(e)＝0，则 a＝ .
4．函数 f(x)＝ex 1＋ 在 x＝1处的切线方程为 ．
x
5．已知函数 f(x)＝xcos x＋asin x在 x＝0 处的切线与直线 3x－y＋1＝0 平行，则实数 a的值
为 ．
6 －．已知函数 f(x)＝ln(3－2x)＋e2x 3，则 f′(x)＝ .
【典型例题】
题型一 导数的运算
1．(多选)下列求导运算正确的是( )
A．(sin a)′＝cos a(a为常数)
B．(sin 2x)′＝2cos 2x
C．( x)′ 1＝
2 x
D．(ex－ln x＋2x2)′＝ex 1－ ＋4x
x
2
2 f(x) sin x 1．已知函数 ＝ ＋ ，则 f′(x)＝ .
cos x x2
3．已知函数 f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若 f′(2)＝1，则 a＝ .
4．(2020·葫芦岛模拟)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则 f(1)＝ .
题型二 导数的几何意义
命题点 1 导数与函数图象
例 1 (1)已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，
则该函数的图象是( )
(2)已知 y＝f(x)是可导函数，如图，直线 y＝kx＋2是曲线 y＝f(x)在 x＝3处的切线，令 g(x)＝
xf(x)，g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝ .
3
例 2 (1)(2020·全国Ⅰ)函数 f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3
D．y＝2x＋1
(2)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l的方程
为 ．
例 3 (1)(2019·全国Ⅲ)已知曲线 y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C －．a＝e 1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
(2)(2020·淄博联考)若函数 f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线 2x－y＝0平行的切线，则
实数 a的取值范围是 ．
跟踪训练 (1)已知曲线 f(x)＝x3－x＋3在点 P处的切线与直线 x＋2y－1＝0垂直，则 P点的坐
标为( )
A．(1,3)
B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3)
D．(1，－3)
(2)函数 y x－1＝ 在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
x＋1
A.1
8
B.1
4
C.1
2
D．1
4
(3)(2021·乐山调研)已知曲线 f(x)＝e2x－2ex＋ax－1 存在两条斜率为 3的切线，则实数 a的取
值范围是( )
7
A. (3, )
2
B．(3，＋∞)
C. ( 7 , )
2
D．(0,3)
【课后作业】
A 组
1．下列求导运算正确的是( )
1
A. (x ) ＝1 1＋ B．(log2x)′ 1＝
x x2 xln 2
C．(5x)′＝5xlog5x D．(x2cos x)′＝－2xsin x
2 (2021· ) f(x) 1－2ln x． 安徽江南十校联考 曲线 ＝ 在点 P(1，f(1))处的切线 l的方程为( )
x
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0
3．(2020· 1广元模拟)已知函数 f(x)＝ x2＋cos x，则其导函数 f′(x)的图象大致是( )
4
4 2．设点 P是曲线 y＝x3－ 3x＋ 上的任意一点，则曲线在点 P处切线的倾斜角α的取值范围
3
为( )
0 π 5π， ，π 2π，π
A. 2 ∪ 6 B. 3
0 π 2π π 5π， ，π ，
C. 2 ∪ 3 D. 2 6
5.(多选)已知函数 f(x)的图象如图，f′(x)是 f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f′(3)>f′(2) B．f′(3)5
C．f(3)－f(2)>f′(3) D．f(3)－f(2)6．(多选)已知函数 f(x)及其导函数 f′(x)，若存在 x0使得 f(x0)＝f′(x0)，则称 x0是 f(x)的一个“巧
值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A f(x) x2 B f(x) e－． ＝ ． ＝ x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
7．已知函数 y＝f(x)的图象在 x＝2处的切线方程是 y＝3x＋1，则 f(2)＋f′(2)＝ .
8 1．已知函数 f(x)＝ ＋excos x，若 f′(0)＝－1，则 a＝ .
ax－1
9．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正 n
边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统
科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近
似代替在切点附近的曲线来近似计算．设 f(x)＝ln(1＋x)，则曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方
程为________，用此结论计算 ln 2 022－ln 2 021≈________.
10．曲线 y＝x2－ln x上的点到直线 x－y－2＝0的最短距离是 ．
11．已知函数 f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求 a，b的值；
(2)若曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y轴的切线，求 a的取值范围．
12 b．设函数 f(x)＝ax－ ，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 7x－4y－12＝0.
x
(1)求 f(x)的解析式；
(2)证明曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x所围成的三角形面积为定值，并
求此定值．
6
B 组
13．(2020·青岛模拟)已知 f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝
f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则 f2 022(x)等于( )
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
14．已知函数 f(x) a＝x＋ ，若曲线 y＝ f(x)存在两条过 (1,0)点的切线，则 a 的取值范围
2x
是 ．
C 组
15．已知曲线 f(x)＝x3＋ax 1＋ 在 x＝0处的切线与曲线 g(x)＝－ln x相切，则 a的值为 ．
4
16 1．已知函数 f(x)＝ x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线 C.
3
(1)求在曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线 C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C的切点的横坐标的取值
范围．
7第 25讲 导数的概念及运算
【考试要求】
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率．了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
5.能求简单的复合函数(形如 f(ax＋b))的导数．
【知识梳理】
1．导数的概念
y f (x x) f (x )
(1)一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率 lim = lim 0 0 称之为函数
x 0 x x 0 x
f (x x) f (x )
y＝f(x) y在 x＝x0处的导数，记作 f (x0 )或y |x x ，即 f (x0 ) lim = lim 0 0 .0 x 0 x x 0 x
(2)如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新
函数，这个函数称为函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作 f (x)或y .
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，
相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x) αxα－＝ 1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且 a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
1
f(x)＝logax(a>0且 a≠1) f′(x)＝xln a
f(x)＝ln x f′(x)
1
＝
x
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
[ f (x)

] f (x)g(x) f (x)g
(x)
(g(x)≠0)；
g(x) [g(x)]2
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y可以表示成 x的函数，
那么称这个函数为函数 y＝f(u)与 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x))．
(2)复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u·u′x，即 y对 x
的导数等于 y对 u的导数与 u对 x的导数的乘积．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × )
(3)f(x)在某点处的切线与 f(x)过某点处的切线意义相同．( × )
(4)若 f(x)＝2x，则 f′(x)＝x·2x－1.( × )
2．某跳水运动员离开跳板后， 他达到的高度与时间的函数关系式是 h(t)＝10－4.9t2＋8t(距
离单位：米，时间单位：秒)，则他在 0.5秒时的瞬时速度为( )
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
答案 C
解析 h′(t)＝－9.8t＋8，
∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.
3．已知函数 f(x)＝xln x＋ax2＋2，若 f′(e)＝0，则 a＝ .
1
答案 －
e
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2 1＝0，∴a＝－ .
e
4．函数 f(x) ex 1＝ ＋ 在 x＝1处的切线方程为 ．
x
答案 y＝(e－1)x＋2
解析 f′(x) 1＝ex－ ，
x2
∴f′(1)＝e－1，
又 f(1)＝e＋1，
∴切点为(1，e＋1)，切线斜率 k＝f′(1)＝e－1，
即切线方程为 y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即 y＝(e－1)x＋2.
5．已知函数 f(x)＝xcos x＋asin x在 x＝0 处的切线与直线 3x－y＋1＝0 平行，则实数 a的值
为 ．
答案 2
解析 f′(x)＝cos x＋x·(－sin x)＋acos x
＝(1＋a)cos x－xsin x，
∴f′(0)＝1＋a＝3，
∴a＝2.
6 －．已知函数 f(x)＝ln(3－2x)＋e2x 3，则 f′(x)＝ .
2
答案 2e2x－＋ 3
2x－3
f′(x) 1解析 ＝ ·(3－2x)′＋e2x－3·(2x－3)′
3－2x
2
＝ ＋2e2x－3.
2x－3
【典型例题】
题型一 导数的运算
1．(多选)下列求导运算正确的是( )
A．(sin a)′＝cos a(a为常数)
B．(sin 2x)′＝2cos 2x
C．( x)′ 1＝
2 x
D．(ex－ln x＋2x2)′ ex 1＝ － ＋4x
x
答案 BCD
解析 ∵a为常数，∴sin a为常数，
∴(sin a)′＝0，故 A错误．由导数公式及运算法则知 B，C，D正确，故选 BCD.
2 f(x) sin x 1．已知函数 ＝ ＋ ，则 f′(x)＝ .
cos x x2
1 2
答案
cos2
－
x x3
sin x ′·cos x－sin x· cos x ′ 2 2
解析 f′(x)＝ ＋(x－2)′ cos x＋sin x 1 2＝ ＋(－2)x－3＝ － .
cos2x cos2x cos2x x3
3 －．已知函数 f(x)＝ln(2x－3)＋axe x，若 f′(2)＝1，则 a＝ .
答案 e2
f′(x) 1解析 ＝ ·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′
2x－3
2
＝ ＋ae－x－axe－x，
2x－3
∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，
则 a＝e2.
4．(2020·葫芦岛模拟)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则 f(1)＝ .
7
答案 －
4
解析 ∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，
∴f′(x)＝4x－3f′(1) 1＋ ，将 x＝1代入，
x
得 f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得 f′(1) 5＝ .
4
∴f(x) 2x2 15＝ － x＋ln x，
4
∴f(1)＝2 15 7－ ＝－ .
4 4
思维升华 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量
避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．
(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
题型二 导数的几何意义
命题点 1 导数与函数图象
例 1 (1)已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，
则该函数的图象是( )
答案 B
解析 由 y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数 y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，
故选 B.
(2)已知 y＝f(x)是可导函数，如图，直线 y＝kx＋2是曲线 y＝f(x)在 x＝3处的切线，令 g(x)＝
xf(x)，g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝ .
答案 0
1 1
解析 由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3处切线的斜率等于－ ，∴f′(3)＝－ .
3 3
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知 f(3)＝1，
1
－
∴g′(3)＝1＋3× 3 ＝0.
命题点 2 求切线方程
例 2 (1)(2020·全国Ⅰ)函数 f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案 B
解析 f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，
f′(x)＝4x3－6x2，
所以切线的斜率为 k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，
切线方程为 y＋1＝－2(x－1)，即 y＝－2x＋1.
(2)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l的方程
为 ．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴直线 l的方程为 y＋1＝(1＋ln x0)x.
y0＝x0ln x0，
∴由 解得 x0＝1，y0＝0.
y0＋1＝ 1＋ln x0 x0，
∴直线 l的方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0.
命题点 3 求参数的值(范围)
例 3 (1)(2019·全国Ⅲ)已知曲线 y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C a e－1 b 1 D a e－． ＝ ， ＝ ． ＝ 1，b＝－1
答案 D
解析 因为 y′＝aex＋ln x＋1，所以 y′|x＝1＝ae＋1，
所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为 y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即 y＝(ae＋1)x－1，
ae＋1＝2， a＝e－1，
所以 解得
b＝－1， b＝－1.
(2)(2020·淄博联考)若函数 f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线 2x－y＝0平行的切线，则
实数 a的取值范围是 ．
答案 [2，＋∞)
解析 直线 2x－y＝0的斜率 k＝2，
又曲线 f(x)上存在与直线 2x－y＝0平行的切线，
f′(x) 1∴ ＝ ＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，
x
则 a＝4x 1＋ －2，x>0.
x
又 4x 1 2 4x·1 1＋ ≥ ＝4，当且仅当 x＝ 时取“＝”．
x x 2
∴a≥4－2＝2.
∴a的取值范围是[2，＋∞)．
思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参
数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点 P处的切线”与“过点 P处的切线”：在“点 P处的切线”，说明点 P
为切点，点 P既在曲线上，又在切线上；“过点 P处的切线”，说明点 P不一定是切点，点
P一定在切线上，不一定在曲线上．
跟踪训练 (1)已知曲线 f(x)＝x3－x＋3在点 P处的切线与直线 x＋2y－1＝0垂直，则 P点的坐
标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
答案 C
解析 设切点 P(x0，y0)，
f′(x)＝3x2－1，
又直线 x＋2y－1＝0 1的斜率为－ ，
2
∴f′(x0)＝3x20－1＝2，
∴x02＝1，
∴x0＝±1，
又切点 P(x0，y0)在 y＝f(x)上，
∴y0＝x30－x0＋3，
∴当 x0＝1时，y0＝3；
当 x0＝－1时，y0＝3.
∴切点 P为(1,3)或(－1,3)．
(2) y x－1函数 ＝ 在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
x＋1
A.1 B.1 C.1 D．1
8 4 2
答案 B
解析 ∵y x－1＝ ，
x＋1
y′ x＋1 － x－1 2∴ ＝ ＝ ，
x＋1 2 x＋1 2
∴k＝y′|x＝0＝2，
∴切线方程为 y＋1＝2(x－0)，即 y＝2x－1，
令 x＝0，得 y＝－1；
令 y＝0，得 x 1＝ ，
2
1 1 1
故所求的面积为 ×1× ＝ .
2 2 4
(3)(2021·乐山调研)已知曲线 f(x)＝e2x－2ex＋ax－1 存在两条斜率为 3的切线，则实数 a的取
值范围是( )
3 7，
A. 2 B．(3，＋∞)
7
－∞，
C. 2 D．(0,3)
答案 A
解析 f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
依题意知 f′(x)＝3有两个实数解，
即 2e2x－2ex＋a＝3有两个实数解，
即 a＝－2e2x＋2ex＋3有两个实数解，
令 t＝ex，
∴t>0，
∴a＝－2t2＋2t＋3(t>0)有两个实数解，
∴y＝a与φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t>0)的图象有两个交点，
t 1－
φ(t)＝－2t2＋2t 3 2 2 2 7＋ ＝－ ＋ ，
2
1
7
∵t>0，∴φ(t)max＝φ 2 ＝ ，
2
又φ(0)＝3，
32
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路
更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线
与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．
例 1 已知曲线 y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则 a＝ .
答案 8
1
解析 方法一 因为 y＝x＋ln x，所以 y′＝1＋ ，y′|x＝1＝2.x
所以曲线 y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1.
因为 y＝2x－1与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
所以 a≠0(当 a＝0时曲线变为 y＝2x＋1与已知直线平行)．
y＝2x－1，
由 消去 y，得 ax2＋ax＋2＝0.
y＝ax2＋ a＋2 x＋1，
由Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8.
方法二 同方法一得切线方程为 y＝2x－1.
设 y＝2x－1与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax20＋(a＋2)x0＋1)．因为 y′＝2ax＋(a＋
2)，

所以 y |x x ＝2ax0＋(a＋2)．0
1
2ax0＋ a＋2 ＝2， x0＝－ ，
由 解得 2
ax02＋ a＋2 x0＋1＝2x0－1， a＝8.
例 2 (2020·江南十校联考)已知 f(x)＝ex(e 为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线 l是 f(x)与
g(x)的公切线，则直线 l的方程为 ．
答案 y＝ex或 y＝x＋1
解析 设 l与 f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，
则 y x1＝ e 1 ，
f′(x)＝ex，
∴f′(x1)＝ ex1 ，
x
∴切点为(x1， e 1 )，
x
切线斜率 k＝ e 1 ，
x x
∴切线方程为 y－ e 1 ＝ e 1 (x－x1)，
y ex即 ＝ 1 x x x11e e
x1 ，①
同理设 l与 g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，
∴y2＝ln x2＋2，
g′(x) 1＝ ，
x
∴g′(x 12)＝ ，
x2
切点为(x2，ln x2＋2)，
1
切线斜率 k＝ ，
x2
∴切线方程为 y－(ln x2＋2) 1＝ (x－x2)，
x2
y 1即 ＝ ·x＋ln x2＋1，②
x2
由题意知，①与②相同，
ex 11 x e
x1 ,③
∴ x
2
2
x x
x 1 11e e ln x2 1,④
x
把③代入④有 x e 11 e
x1 ＝－x1＋1，
即(1－x x1)( e 1 －1)＝0，
解得 x1＝1或 x1＝0，
当 x1＝1时，切线方程为 y＝ex；
当 x1＝0时，切线方程为 y＝x＋1，
综上，直线 l的方程为 y＝ex或 y＝x＋1.
例 3 已知曲线 f(x)＝ln x＋1与 g(x)＝x2－x＋a有公共切线，求实数 a的取值范围．
解 设切线与 f(x)＝ln x＋1相切于点 P(x0，ln x0＋1)，
f′(x 10)＝ ，
x0
∴切线方程为 y－(ln x 10＋1)＝ (x－x0)，
x0
y 1即 ＝ x＋ln x0，
x0
y 1＝ x＋ln x0， 1
联立 x
1＋
0 得 x2－ x0 x＋a－ln x0＝0，
y＝x2－x＋a，
1 1＋
∴Δ＝ x 20 －4(a－ln x0)＝0，
1 2
即 ＋ ＋1－4a＋4ln x0＝0，
x20 x0
即 4a 1 2＝ ＋ ＋1＋4ln x
2 0
有解，
x0 x0
令φ(x) 1 2＝ ＋ ＋1＋4ln x(x>0)，
x2 x
φ′(x) 2 2 4＝－ － ＋
x3 x2 x
4x2－2x－2
＝
x3
2 2x＋1 x－1
＝ ，
x3
当 x∈(0,1)时，φ′(x)<0，当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(1)＝4，
又 x→＋∞时，φ(x)→＋∞，
故φ(x)的值域为[4，＋∞)，
所以 4a≥4，即 a≥1，
故实数 a的取值范围是[1，＋∞)．
【课后作业】
A 组
1．下列求导运算正确的是( )
1
A. (x ) 1＝1＋ B．(log2x)′ 1＝
x x2 xln 2
C．(5x)′＝5xlog5x D．(x2cos x)′＝－2xsin x
答案 B
解析 (log2x)′ 1＝ ，故 B正确．
xln 2
2 (2021· ) f(x) 1－2ln x． 安徽江南十校联考 曲线 ＝ 在点 P(1，f(1))处的切线 l的方程为( )
x
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0
答案 D
f(x) 1－2ln x f′(x) －3＋2ln x解析 因为 ＝ ，所以 ＝ .
x x2
又 f(1)＝1，且 f′(1)＝－3，
故所求切线方程为 y－1＝－3(x－1)，即 3x＋y－4＝0.
3．(2020· 1广元模拟)已知函数 f(x)＝ x2＋cos x，则其导函数 f′(x)的图象大致是( )
4
答案 A
1
解析 f′(x)＝ x－sin x，
2
∴f′(x)为奇函数，排除 B，D，
π
又 f′ 6 π π π 1＝ －sin ＝ － <0，
12 6 12 2
故选 A.
4 2．设点 P是曲线 y＝x3－ 3x＋ 上的任意一点，则曲线在点 P处切线的倾斜角α的取值范围
3
为( )
0 π 5π π 2π， ， ，π
A. 2 ∪ 6 B. 3
0 π 2π π π 5π， ， ，
C. 2 ∪ 3 D. 2 6
答案 C
解析 y′＝3x2－ 3，
∴y′≥－ 3，
∴tan α≥－ 3，
又α∈[0，π)，
0 π 2π， ，π
故α∈ 2 ∪ 3
故选 C.
5.(多选)已知函数 f(x)的图象如图，f′(x)是 f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f′(3)>f′(2)
B．f′(3)C．f(3)－f(2)>f′(3)
D．f(3)－f(2)答案 BCD
解析 f′(x0)的几何意义是 f(x)在 x＝x0处的切线的斜率．
由图知 f′(2)>f′(3)>0，
故 A错误，B正确．
设 A(2，f(2))，B(3，f(3))，
f(3) f(2) f 3 －f 2 则 － ＝ ＝kAB，
3－2
由图知 f′(3)即 f′(3)6．(多选)已知函数 f(x)及其导函数 f′(x)，若存在 x0使得 f(x0)＝f′(x0)，则称 x0是 f(x)的一个“巧
值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
答案 AC
解析 若 f(x)＝x2，则 f′(x)＝2x，令 x2＝2x，得 x＝0或 x＝2，方程显然有解，故 A符合要求；
若 f(x)＝e－x，则 f′(x)＝－e－x，令 e－x＝－e－x，此方程无解，故 B不符合要求；若 f(x)＝ln x，
则 f′(x) 1 1 1＝ ，令 ln x＝ ，在同一直角坐标系内作出函数 y＝ln x与 y＝ 的图象(作图略)，可得
x x x
两函数的图象有一个交点，所以方程 f(x)＝f′(x)存在实数解，故 C符合要求；若 f(x)＝tan x，
sin x
则 f′(x)＝ cos x ′ 1＝ ，令 tan x 1＝ ，化简得 sin xcos x＝1，变形可得 sin 2x＝2，无
cos2x cos2x
解，故 D不符合要求．故选 AC.
7．已知函数 y＝f(x)的图象在 x＝2处的切线方程是 y＝3x＋1，则 f(2)＋f′(2)＝ .
答案 10
解析 切点坐标为(2，f(2))，
∵切点在切线上，
∴f(2)＝3×2＋1＝7，
又 k＝f′(2)＝3，
∴f(2)＋f′(2)＝10.
8 1．已知函数 f(x)＝ ＋excos x，若 f′(0)＝－1，则 a＝ .
ax－1
答案 2
f′(x) － ax－1 ′解析 ＝ ＋excos x－exsin x
ax－1 2
－a
＝ ＋excos x－exsin x，
ax－1 2
∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则 a＝2.
9．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正 n
边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统
科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近
似代替在切点附近的曲线来近似计算．设 f(x)＝ln(1＋x)，则曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方
程为________，用此结论计算 ln 2 022－ln 2 021≈________.
答案 y＝x 1
2 021
解析 函数 f(x)＝ln(1＋x)，
则 f′(x) 1＝ ，f′(0)＝1，f(0)＝0，
1＋x
∴切线方程为 y＝x.
1 1 1＋
∴ln 2 022－ln 2 021＝ln 2 021 ＝f 2 021 ，
1
根据以直代曲，x＝ 也非常接近切点 x＝0.
2 021
1
x 1∴可以将 ＝ 代入切线近似代替 f 2 021 ，
2 021
1
即 f 2 021 1≈ .
2 021
10．(2021·山东省实验中学四校联考)曲线 y＝x2－ln x上的点到直线 x－y－2＝0的最短距离
是 ．
答案 2
解析 设曲线在点 P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线 x－y－2＝0平行，
y | 2x 1 1则 x x ＝0 x x x
＝2x0－ ＝1.
x0
∴x0＝1，y0＝1，则 P(1,1)，
2 |1－1－2|则曲线 y＝x －ln x上的点到直线 x－y－2＝0的最短距离 d＝ ＝ 2.
12＋ －1 2
11．已知函数 f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求 a，b的值；
(2)若曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y轴的切线，求 a的取值范围．
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
f 0 ＝b＝0，
(1)由题意得
f′ 0 ＝－a a＋2 ＝－3，
解得 b＝0，a＝－3或 a＝1.
(2)因为曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y轴的切线，所以关于 x的方程 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a
＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
4a2 4a 1>0 a 1即 ＋ ＋ ，所以 ≠－ .
2
1 1
－∞，－ － ，＋∞
所以 a的取值范围为 2 ∪ 2 .
12．设函数 f(x)＝ax b－ ，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 7x－4y－12＝0.
x
(1)求 f(x)的解析式；
(2)证明曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x所围成的三角形面积为定值，并
求此定值．
解 (1)方程 7x－4y－12＝0 7可化为 y＝ x－3，
4
x 2 y 1当 ＝ 时， ＝ .
2
又因为 f′(x)＝a b＋ ，
x2
2a b 1－ ＝ ，
2 2 a＝1，
所以
a b 7
解得
＋ ＝ ， b＝3，
4 4
所以 f(x) 3＝x－ .
x
(2) 3设 P(x0，y0)为曲线 y＝f(x)上任一点，由 y′＝1＋ 知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y
x2
1 3 x 3 3＋ 0－ 1＋
－y0＝ x20 (x－x0)，即 y－ x0 ＝ x20 (x－x0)．
0 6，－
令 x＝0，得 y 6＝－ ，所以切线与直线 x＝0的交点坐标为 x0 .令 y＝x，得 y＝x＝2x0，x0
所以切线与直线 y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0 和 y＝x 所围成的三角形的面积 S＝
| 61 －x |0 |2x0|＝6.2
故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0和 y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值
为 6.
B 组
13．(2020·青岛模拟)已知 f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝
f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则 f2 022(x)等于( )
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
答案 C
解析 ∵f1(x)＝sin x＋cos x，
∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，
f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，
f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，
∴fn(x)的解析式以 4为周期重复出现，
∵2 022＝4×505＋2，
∴f2 022(x)＝f2(x)＝cos x－sin x.
故选 C.
14．已知函数 f(x) x a＝ ＋ ，若曲线 y＝ f(x)存在两条过 (1,0)点的切线，则 a 的取值范围
2x
是 ．
答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)
解析 f′(x) a＝1－ ，
2x2
x x a0， 0＋
设切点坐标为 2x0 ，
a
∴切线的斜率 k＝f′(x0)＝1－ ，
2x02
x a a0＋ 1－
∴切线方程为 y－ 2x0 ＝ 2x20 (x－x0)，
又切线过点(1,0)，
x a a0＋ 1－
即－ 2x0 ＝ 2x02 (1－x0)，
整理得 2x20＋2ax0－a＝0，
∵曲线存在两条切线，
故该方程有两个解，
∴Δ＝4a2－8(－a)>0，
解得 a>0或 a<－2.
C 组
15．已知曲线 f(x)＝x3＋ax 1＋ 在 x＝0处的切线与曲线 g(x)＝－ln x相切，则 a的值为 ．
4
3

答案 e 4
解析 f′(x)＝3x2＋a，
∴f′(0)＝a，
又 f(0) 1＝ ，
4
∴f(x)在 x＝0 1处的切线方程为 y－ ＝a(x－0)，
4
1
即 y＝ax＋ ，
4
故 y＝ax 1＋ 与 g(x)＝－ln x相切，
4
设切点坐标为(x0，y0)，
又 g′(x) 1＝－ ，
x
3
a 1

＝－ ， x0 e4 ,x0
∴ y0＝－ln x 30， 解得 y0 ,
1 4y0＝ax0＋ ，
4
3

a e
4 .
16．已知函数 f(x) 1＝ x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线 C.
3
(1)求在曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线 C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C的切点的横坐标的取值
范围．
解 (1)由题意得 f′(x)＝x2－4x＋3，则 f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即曲线 C上任意一点处的切线
斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线 C的其中一条切线的斜率为 k(k≠0)，
k≥－1，
则由题意并结合(1)中结论可知 1 1 ，解得－1≤k<0 或 k≥1，则－1≤x
2－4x＋3<0
－ ≥－
k
或 x2－4x＋3≥1，解得 x∈(－∞，2－ 2]∪(1,3)∪[2＋ 2，＋∞)．

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