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第 26讲 导数与函数的单调性
【知识梳理】
函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在(a，b)上
函数 y＝f(x)在区间(a，b)
f′(x)<0 f(x)在(a，b)上
上可导
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( )
(2)在(a，b)内 f′(x)≤0且 f′(x)＝0的根有有限个，则 f(x)在(a，b)内单调递减．( )
(3)若函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0，则 f(x)在定义域上一定单调递增．( )
(4)函数 f(x)＝x－sin x在 R 上是增函数．( )
2.如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上 f(x)单调递增
B．在区间(1,3)上 f(x)单调递减
C．在区间(4,5)上 f(x)单调递增
D．在区间(3,5)上 f(x)单调递增
3．函数 y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上单调递增( )
π 3π
，
A. 2 2
B．(π，2π)
3π 5π
，
C. 2 2
D．(2π，3π)
4．函数 f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为________．
5．若函数 f(x) 1＝ x3 3－ x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1,4]，则实数 a的值为________．
3 2
2
6 a．若 y＝x＋ (a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则 a的取值范围是________．
x
【典型例题】
题型一 不含参的函数的单调性
1．函数 f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A．(0,1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1,1)
2．函数 f(x)＝x＋2 1－x的单调递增区间是( )
A．(0,1)
B．(－∞，1)
C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
3．已知定义在区间(0，π)上的函数 f(x)＝x＋2cos x，则 f(x)的单调递增区间为________．
4．函数 f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
题型二 含参的函数的单调性
例 1 1已知函数 f(x)＝ ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数 y＝f(x)的单调性．
2
跟踪训练 1 讨论下列函数的单调性．
(1)f(x)＝x－aln x；
(2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2.
题型三 函数单调性的应用
命题点 1 比较大小或解不等式
π π
－
例 2 (1)已知函数 f(x)＝xsin x，x∈R，则 f 5 ，f(1)，f 3 的大小关系为( )
π π
－
A．f 3 >f(1)>f 5
π π
－
B．f(1)>f 3 >f 5
π π
－
C．f 5 >f(1)>f 3
π π
－
D．f 3 >f 5 >f(1)
(2)已知函数 f (x) e x e x 2x 1，则不等式 f(2x－3)>1的解集为________．
例 3 已知函数 f(x)＝ln x 1－ ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则 a的取值范围是________．
2
1 1
跟踪训练 2 (1)已知 y＝f(x)是定义在 R 上的函数，且 f(2)＝5，对任意的 x都有 f′(x)< ，则 f(x)< x
2 2
＋4的解集是________．
(2)(2020· ) f(x) 1深圳调研 设函数 ＝ x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数 a的取值
2
范围是________．
【课后作业】
A 组
1．函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．g(x)＝x3－x
C．h(x)＝xex D．m(x)＝－x＋ln x
3．(2020· a甘肃静宁一中模拟)已知函数 f(x)＝x2＋ ，若函数 f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则实
x
数 a的取值范围为( )
A．(－∞，8) B．(－∞，16]
C．(－∞，－8)∪(8，＋∞) D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)
4．已知函数 f(x)＝sin x＋cos x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则 a，b，c的大小关系
是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
5．(多选)若函数 f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数 a的取值可以是( )
A．－3 B．－1 C．0 D．2
6．(多选)若函数 g(x)＝exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增，
则称函数 f(x)具有 M性质．下列函数不具有 M性质的为( )
A．f(x) 1＝ B．f(x)＝x2＋1
x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝x
7．函数 y＝2ln x－3x2的单调递增区间为________．
8．若函数 f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式 f(x－1)≤f(1)的解集为________．
2
9 f(x) 1x3 1 2
，＋∞
．若函数 ＝－ ＋ x ＋2ax 在 3 上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是
3 2
________．
10．(2020·济南质检)若函数 f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调
函数，则实数 k的取值范围是________．
11．函数 f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若 f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 6x－y－5＝0.
(1)求 a，b的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间．
12．讨论函数 f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
B 组
13．(多选)若 0A．x1＋ln x2>x2＋ln x1 B．x1＋ln x22
14．已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(1)＝1，f(x) 1 x 1的导数 f′(x)< ，则不等式 f(x2)< ＋ 的解集为
2 2 2
____________．
C 组
ln 1
15．已知函数 f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式 f(ln x)＋f x <2f(1)的解集为________．
16．已知函数 f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)若函数 y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的 t∈[1,2]，函数 g(x)第 26讲 导数与函数的单调性
【考试要求】
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
【知识梳理】
函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增
函数 y＝f(x)在区间(a，b)
f′(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减
上可导
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
微思考
1．“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的什么条件？
提示 若 f(x)在(a，b)上单调递增，则 f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，
b)上单调递增”的充分不必要条件．
2．若函数 f(x)在区间(a，b)上存在递增区间，则在区间(a，b)上，f′(x)应满足什么条件？
提示 若 f(x)在(a，b)上存在递增区间，则当 x∈(a，b)时，f′(x)>0有解．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( √ )
(2)在(a，b)内 f′(x)≤0且 f′(x)＝0的根有有限个，则 f(x)在(a，b)内单调递减．( √ )
(3)若函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0，则 f(x)在定义域上一定单调递增．( × )
(4)函数 f(x)＝x－sin x在 R 上是增函数．( √ )
题组二 教材改编
2.如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上 f(x)单调递增
B．在区间(1,3)上 f(x)单调递减
C．在区间(4,5)上 f(x)单调递增
D．在区间(3,5)上 f(x)单调递增
答案 C
解析 在(4,5)上 f′(x)>0恒成立，∴f(x)在区间(4,5)上单调递增．
3．函数 y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上单调递增( )
π 3π
，
A. 2 2 B．(π，2π)
3π 5π
，
C. 2 2 D．(2π，3π)
答案 B
解析 y′＝－xsin x，
经验证，4个选项中只有在(π，2π)内 y′>0恒成立，
∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)上单调递增．
4．函数 f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为________．
答案 (1，＋∞)
解析 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝(x－1)ex，
令 f′(x)＝0，得 x＝1，
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当 x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
题组三 易错自纠
5 f(x) 1 3．若函数 ＝ x3－ x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1,4]，则实数 a的值为________．
3 2
答案 －4
解析 f′(x)＝x2－3x＋a，且 f(x)的单调递减区间为[－1,4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－
1,4]，
∴－1,4是方程 f′(x)＝0的两根，
则 a＝(－1)×4＝－4.
2
6．若 y x a＝ ＋ (a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则 a的取值范围是________．
x
答案 (0,2]
2
解析 方法一 由 y′＝1 a－ ≥0，得 x≤－a或 x≥a.
x2
a2
∴y＝x＋ 的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．
x
∵函数在[2，＋∞)上单调递增，
∴[2，＋∞) [a，＋∞)，∴a≤2.又 a>0，∴0y′ 1 a
2 a2
方法二 ＝ － ，依题意知 1－ ≥0在 x∈[2，＋∞)上恒成立，即 a2≤x2恒成立，
x2 x2
∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，
∴a2≤4，又 a>0，∴0【典型例题】
题型一 不含参的函数的单调性
1．函数 f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
答案 A
f′(x) 2x 2 2 x＋1 x－1 解析 ∵ ＝ － ＝ (x>0)，
x x
令 f′(x)＝0，得 x＝1，
∴当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
2．函数 f(x)＝x＋2 1－x的单调递增区间是( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 f(x)的定义域为(－∞，1]，
1
f′(x)＝1－ ，令 f′(x)＝0，得 x＝0.
1－x
当 00.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
3．已知定义在区间(0，π)上的函数 f(x)＝x＋2cos x，则 f(x)的单调递增区间为________．
0 π 5π， ，π
答案 6 ， 6
解析 f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．
f′(x) 0 x π x 5π令 ＝ ，得 ＝ 或 ＝ ，
6 6
当 00，
6
π6 6
5π
当 0，
6
0 π 5π π 5π， ，π ，
∴f(x)在 6 和 6 上单调递增，在 6 6 上单调递减．
4．函数 f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
答案 (－∞，0)，(ln 2，＋∞) (0，ln 2)
解析 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，
令 f′(x)＝0，得 x＝0或 x＝ln 2，
当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
x (－∞，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2)．
思维升华 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调的步骤即可，但应注意一是不能遗
忘求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
题型二 含参的函数的单调性
例 1 已知函数 f(x) 1＝ ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数 y＝f(x)的单调性．
2
解 函数的定义域为(0，＋∞)，
2
f′(x) ax (a 1) 1 ax － a＋1 x＋1 ax－1 x－1 ＝ － ＋ ＋ ＝ ＝ .
x x x
①当 01，
a
1
，＋∞
∴x∈(0,1)和 a 时，f′(x)>0；
1 1，
x∈ a 时，f′(x)<0，
1
，＋∞
∴函数 f(x)在(0,1)和 a 上单调递增，
1 1，
在 a 上单调递减；
②当 a 1＝1时， ＝1，
a
∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当 a>1 1时，0< <1，
a
0 1，
∴x∈ a 和(1，＋∞)时，f′(x)>0；
1
，1
x∈ a 时，f′(x)<0，
0 1，
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，
1
，1
在 a 上单调递减．
1 1
，＋∞ 1，
综上，当 0当 a＝1时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
0 1 1， ，1
当 a>1时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
若将本例中参数 a的范围改为 a∈R，其他条件不变，试讨论 f(x)的单调性？
解 当 a>0时，讨论同上；
当 a≤0时，ax－1<0，
∴x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，
∴函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
综上，当 a≤0时，函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
1
，＋∞ 1 1，
当 0当 a＝1时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
0 1 1， ，1
当 a>1时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
跟踪训练 1 讨论下列函数的单调性．
(1)f(x)＝x－aln x；
(2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2.
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x) 1 a x－a＝ － ＝ ，
x x
令 f′(x)＝0，得 x＝a，
①当 a≤0时，f′(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
②当 a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，
x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
综上，当 a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当 a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)的定义域为 R，
g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，
令 g′(x)＝0，得 x＝a或 x＝ln 2，
①当 a>ln 2时，
x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0，
x∈(ln 2，a)时，f′(x)<0，
②当 a＝ln 2时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在 R 上单调递增，
③当 ax∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，f′(x)>0，
x∈(a，ln 2)时，f′(x)<0，
综上，当 a>ln 2时，f(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；
当 a＝ln 2时，f(x)在 R 上单调递增；
当 a题型三 函数单调性的应用
命题点 1 比较大小或解不等式
π π
－
例 2 (1)已知函数 f(x)＝xsin x，x∈R，则 f 5 ，f(1)，f 3 的大小关系为( )
π π
－
A．f 3 >f(1)>f 5
π π
－
B．f(1)>f 3 >f 5
π π
－
C．f 5 >f(1)>f 3
π π
－
D．f 3 >f 5 >f(1)
答案 A
解析 因为 f(x)＝xsin x，所以 f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数 f(x)是偶函数，
π π π π
－ 0， 0，
所以 f 3 ＝f 3 .又当 x∈ 2 时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数 f(x)在 2 上是增函
π π π π
－
数，所以 f 5 f(1)>f 5 ，故选 A.
(2) －已知函数 f(x)＝ex－e x－2x＋1，则不等式 f(2x－3)>1的解集为________．
3
，＋∞
答案 2
解析 f(x)＝ex－e－x－2x＋1，定义域为 R，
f′(x)＝ex＋e－x－2≥2 ex·e－x－2＝0，
当且仅当 x＝0时取“＝”，
∴f(x)在 R 上单调递增，
又 f(0)＝1，
∴原不等式可化为 f(2x－3)>f(0)，
2x 3>0 x>3即 － ，解得 ，
2
3
，＋∞
∴原不等式的解集为 2 .
命题点 2 根据函数的单调性求参数的值(范围)
例 3 1已知函数 f(x)＝ln x－ ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则 a的取值范围是________．
2
7
－ ，0
答案 16 ∪(0，＋∞)
解析 因为 f(x) 1 1在[1,4]上单调递减，所以当 x∈[1,4]时，f′(x)＝ －ax－2≤0恒成立，即 a≥ －
x x2
2
恒成立．
x
设 G(x) 1 2＝ － ，x∈[1,4]，
x2 x
1
－1
所以 a≥G(x)max，而 G(x)＝ x 2－1，
1
，1
因为 x∈[1,4] 1，所以 ∈ 4 ，
x
所以 G(x) 7max＝－ (此时 x＝4)，
16
所以 a 7≥－ ，又因为 a≠0，
16
7
－ ，0
所以 a的取值范围是 16 ∪(0，＋∞)．
本例中，若 f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求 a的取值范围．
解 因为 f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
则 f′(x)<0在[1,4]上有解，
所以当 x∈[1,4]时，a>1 2－ 有解，
x2 x
1 2
－
又当 x∈[1,4]时， x2 x min＝－1(此时 x＝1)，
所以 a>－1，又因为 a≠0，
所以 a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任
一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
1 1
跟踪训练 2 (1)已知 y＝f(x)是定义在 R 上的函数，且 f(2)＝5，对任意的 x都有 f′(x)< ，则 f(x)< x
2 2
＋4的解集是________．
答案 (2，＋∞)
1
解析 设 F(x)＝f(x)－ x，
2
∴F′(x) 1＝f′(x)－ <0，
2
∴F(x)为 R 上的减函数，
又 F(2)＝f(2)－1＝4，
1 1
∴不等式 f(x)< x＋4可化为 f(x)－ x<4，
2 2
即 F(x)所以 x>2.
(2)(2020·深圳调研)设函数 f(x) 1＝ x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数 a的取值
2
范围是________．
答案 (1,2]
解析 易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝x 9－ .
x
又 x>0，由 f′(x)＝x 9－ ≤0，得 0x
因为函数 f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调递减，
a－1>0，
所以
a＋1≤3，
解得 1以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x) f(x)g(x) f x ， ， ”等特征式、
g x
旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，
常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数
运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
一、构造 y＝f(x)±g(x)型可导函数
例 1 设 f(x)为 R上的奇函数，当 x≥0时，f′(x)－cos x<0，则不等式 f(x)答案 (0，＋∞)
解析 令φ(x)＝f(x)－sin x，
∴当 x≥0时，φ′(x)＝f′(x)－cos x<0，
∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递减，
又 f(x)为 R 上的奇函数，
∴φ(x)为 R 上的奇函数，
∴φ(x)在(－∞，0]上单调递减，
故φ(x)在 R 上单调递减且φ(0)＝0，
不等式 f(x)即φ(x)<0，
即φ(x)<φ(0)，
故 x>0，
∴原不等式的解集为(0，＋∞)．
二、利用 f(x)与 x构造可导型函数
例 2 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且 f(－4)＝0，则不等式 xf(x)>0
的解集为________．
思路点拨 出现“＋”法形式，优先构造 F(x)＝xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数
形结合求解即可．
答案 (－∞，－4)∪(0,4)
解析 构造 F(x)＝xf(x)，则 F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当 x<0 时，f(x)＋xf′(x)<0，可以推出当 x<0时，
F′(x)<0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)
在(0，＋∞)上也单调递减．根据 f(－4)＝0可得 F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得
函数图象(图略)，根据图象可知 xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．
例 3 (八省联考)已知 a<5且 ae5＝5ea，b<4且 be4＝4eb，c<3且 ce3＝3ec，则( )
A．cC．a思路点拨 出现“－”法形式，优先构造 F(x) f x ＝ ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形
x
结合求解即可．
答案 D
e5 ea e4 eb e3 ec
解析 方法一 由已知 ＝ ， ＝ ， ＝ ，
5 a 4 b 3 c
ex x－1 ex
设 f(x)＝ ，则 f′(x)＝ ，
x x2
所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以 f(3)所以 ae5
方法二 设 ex＝ x，①
5
e4ex＝ x，②
4
3
ex e＝ x，③
3
a，b，c依次为方程①②③的根，结合图象，方程的根可以看作两个图象的交点的横坐标，
e5 e4 3
∵ > >e ，
5 4 3
由图可知 a例 4 已知偶函数 f(x)(x≠0)的导函数为 f′(x)，且满足 f(－1)＝0，当 x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使
得 f(x)>0成立的 x的取值范围是________．
思路点拨 满足“xf′(x)－nf(x) F(x) f x ”形式，优先构造 ＝ n ，然后利用函数的单调性、奇偶性x
和数形结合求解即可．
答案 (－1,0)∪(0,1)
f x f′ x ·x－2f x
解析 构造 F(x)＝ ，则 F′(x)＝ ，当 x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，可以推出当 x>0
x2 x3
时，F′(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，
∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据 f(－1)＝0可得 F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性
可得函数图象(图略)，根据图象可知 f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
思维升华 (1)出现 nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数 F(x)＝xnf(x)；
(2)出现 xf′(x)－nf(x) f x 形式，构造函数 F(x)＝ .
xn
三、利用 f(x)与 ex构造可导型函数
例 5 已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数 f′(x)满足 f′(x)则( )
A．f(2)>e2f(0)，f(2 021)>e2 021f(0)
B．f(2)e2 021f(0)
C．f(2)>e2f(0)，f(2 021)D．f(2)思路点拨 满足“f′(x)－f(x)<0 f x ”形式，优先构造 F(x)＝ ，然后利用函数的单调性和数形结
ex
合求解即可．注意选项的转化．
答案 D
x
F(x) f x F′(x) e f′ x －e
xf x f′ x －f x
解析 构造 ＝ ，则 ＝ ＝ ，导函数 f′(x)满足 f′(x)ex e2x ex
F′(x)<0，F(x)在 R 上单调递减，根据单调性可知选 D.
例 6 1若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f′(x)＋2f(x)>0，且 f(0)＝1，则不等式 f(x)> 的解集为
e2x
________．
答案 (0，＋∞)
解析 构造 F(x)＝f(x)·e2x，
∴F′(x)＝f′(x)·e2x＋f(x)·2e2x＝e2x[f′(x)＋2f(x)]>0，
∴F(x)在 R 上单调递增，且 F(0)＝f(0)·e0＝1，
不等式 f(x)> 1 可化为 f(x)e2x>1，
e2x
即 F(x)>F(0)，
∴x>0
∴原不等式的解集为(0，＋∞)．
思维升华 (1)出现 f′(x)＋nf(x)形式，构造函数 F(x)＝enxf(x)；
(2) f x 出现 f′(x)－nf(x)形式，构造函数 F(x)＝ .
enx
四、利用 f(x)与 sin x，cos x构造可导型函数
π π
－ ，
例 7 已知函数 y＝f(x)对于任意的 x∈ 2 2 满足 f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(其中 f′(x)是函数 f(x)
的导函数)，则下列不等式不成立的是( )
π π
A. 2f 3 π π
－ －
B. 2f 3 π
C．f(0)< 2f 4
π
D．f(0)<2f 3
思路点拨 满足“f′(x)cos x＋f(x)sin x>0 f x ”形式，优先构造 F(x)＝ ，然后利用函数的单调
cos x
性和数形结合求解即可．注意选项的转化．
答案 A
F(x) f x F′(x) f′ x cos x＋f x sin x解析 构造 ＝ ，则 ＝ ，
cos x cos2x
π π
－ ，
导函数 f′(x)满足 f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，则 F′(x)>0，F(x)在 2 2 上单调递增．把选项转化
后可知选 A.
思维升华 f(x)与 sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x) f x F′(x) f′ x sin x－f x cos x＝ ， ＝ ；
sin x sin2x
F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
F(x) f x F′(x) f′ x cos x＋f x sin x＝ ， ＝ .
cos x cos2x
【课后作业】
A 组
1．函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0 的解集对应 y＝f(x)的增区间，f′(x)<0 的解
集对应 y＝f(x)的减区间，验证只有 D选项符合．
2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．g(x)＝x3－x
C．h(x)＝xex D．m(x)＝－x＋ln x
答案 C
解析 h(x)＝xex，定义域为 R，
∴h′(x)＝(x＋1)ex，
当 x>0时，h′(x)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
3．(2020· a甘肃静宁一中模拟)已知函数 f(x)＝x2＋ ，若函数 f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则实
x
数 a的取值范围为( )
A．(－∞，8) B．(－∞，16]
C．(－∞，－8)∪(8，＋∞) D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)
答案 B
解析 f′(x)＝2x a－ ，
x2
∴当 x∈[2，＋∞)时，f′(x) 2x a＝ － ≥0恒成立，
x2
即 a≤2x3恒成立，
∵x≥2，∴(2x3)min＝16，
故 a≤16.
4．已知函数 f(x)＝sin x＋cos x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则 a，b，c的大小关系
是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
答案 A
解析 f(x)的定义域为 R，
x π＋
f′(x)＝cos x－sin x－2＝ 2cos 4 －2<0，
∴f(x)在 R 上单调递减，
又 2e>1,0∴－π故 f(－π)>f(ln 2)>f(2e)，
即 a>c>b.
5．(多选)若函数 f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数 a的取值可以是( )
A．－3 B．－1 C．0 D．2
答案 BD
a≠0，
解析 依题意知，f′(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故
Δ＝36＋12a>0
解得 a>－3且 a≠0.故选 BD.
6．(多选)若函数 g(x)＝exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增，
则称函数 f(x)具有 M性质．下列函数不具有 M性质的为( )
A．f(x) 1＝ B．f(x)＝x2＋1
x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝x
答案 ACD
1 ex x
解析 对于 A，f(x)＝ ，则 g(x)＝ ，g′(x) e x－1 ＝ ，当 x<1 且 x≠0时，g′(x)<0，当 x>1时，
x x x2
g′(x)>0，
∴g(x)在(－∞，0)，(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
对于 B，f(x)＝x2＋1，则 g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋1)，
g′(x)＝ex(x2＋1)＋2xex＝ex(x＋1)2>0在实数集 R 上恒成立，
∴g(x)＝exf(x)在定义域 R 上是增函数；
x π＋
对于 C，f(x)＝sin x，则 g(x)＝exsin x，g′(x)＝ex(sin x＋cos x)＝ 2exsin 4 ，显然 g(x)不单调；
对于 D，f(x)＝x，则 g(x)＝xex，则 g′(x)＝(x＋1)ex.当 x<－1时，g′(x)<0，所以 g(x)在 R 上先减
后增；
∴具有 M性质的函数的选项为 B，不具有 M性质的函数的选项为 A，C，D.
7．函数 y＝2ln x－3x2的单调递增区间为________．
0 3，
答案 3
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
2
f′(x) 2＝ －6x 2－6x＝ ，
x x
0 3，
当 x∈ 3 时，f′(x)>0，
3
，＋∞
当 x∈ 3 时，f′(x)<0，
0 3 3， ，＋∞
∴f(x)在 3 上单调递增，在 3 上单调递减．
8．若函数 f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式 f(x－1)≤f(1)的解集为________．
答案 (1,2]
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x) 1＝ ＋ex－cos x.
x
∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又 f(x－1)≤f(1)，
∴0即 1原不等式的解集为(1,2]．
2
9．若函数 f(x) 1＝－ x3 1 2
，＋∞
＋ x ＋2ax 在 3 上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是
3 2
________．
1
－ ，＋∞
答案 9
解析 对 f(x)求导，得 f′(x)＝－x2＋x＋2a
x 1－
＝－ 2 2 1＋ ＋2a.
4
2
，＋∞
由题意知，f′(x)>0在 3 上有解，
2 2
，＋∞
当 x∈ 3 时，f′(x)的最大值为 f′ 3 2＝ ＋2a.
9
2 2a>0 a> 1令 ＋ ，解得 － ，
9 9
1
－ ，＋∞
所以 a的取值范围是 9 .
10．(2020·济南质检)若函数 f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调
函数，则实数 k的取值范围是________．
1 3，
答案 2
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
2
f′(x) 1 4x －1＝4x－ ＝ ，
x x
0 1，
当 x∈ 2 时，f′(x)<0，
1
，＋∞
当 x∈ 2 时，f′(x)>0，
0 1 1， ，＋∞
∴f(x)在 2 上单调递减，在 2 上单调递增，
k＋1>k－1，
k－1≥0，
依题意有 k 1>1＋ ，
2
k 1－1< ，
2
解得 1≤k<3.
2
11．函数 f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若 f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 6x－y－5＝0.
(1)求 a，b的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间．
解 (1)f′(x)＝(2x＋a)e－x－(x2＋ax＋b)·e－x＝[－x2＋(2－a)x＋a－b]e－x，
∴f′(0)＝a－b，
又 f(0)＝b，
∴f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 y－b＝(a－b)x，
即(a－b)x－y＋b＝0，
a－b＝6， a＝1，
∴ 解得
b＝－5， b＝－5.
(2) f(x)＝(x2＋x－5)e－∵ x，x∈R，
∴f′(x)＝(－x2＋x＋6)e－x
＝－(x＋2)(x－3)e－x，
当 x<－2或 x>3时，f′(x)<0；
当－20，
故 f(x)的单调递增区间是(－2,3)，
单调递减区间是(－∞，－2)，(3，＋∞)．
12．讨论函数 f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
2
f′(x) a－1 2ax ＋a－1＝ ＋2ax＝ .
x x
①当 a≥1时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当 a≤0时，f′(x)<0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
1－a
③当 02a
0 1－a，
则当 x∈ 2a 时，f′(x)<0；
1－a
，＋∞
当 x∈ 2a 时，f′(x)>0，
0 1－a，
故 f(x)在 2a 上单调递减，
1－a
，＋∞
在 2a 上单调递增．
综上，当 a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当
0 1－a 1－a， ，＋∞
0B 组
13．(多选)若 0A．x1＋ln x2>x2＋ln x1 B．x1＋ln x2C． x ex12 x e
x2 D x x1 ． x 1 22e x1e
答案 AC
解析 令 f(x)＝x－ln x，
f′(x) 1 1 x－1∴ ＝ － ＝ ，
x x
当 0∴f(x)在(0,1)上单调递减．
∵0∴f(x2)即 x2－ln x2即 x1＋ln x2>x2＋ln x1.
ex
设 g(x)＝ ，
x
x x x
g′(x) xe －e e x－1 则 ＝ ＝ .
x2 x2
当 0即 g(x)在(0,1)上单调递减，
∵0ex2 ex1
即 ，
x2 x1
x
∴ x e 12 x1e
x2 ，故选 AC.
2
14．已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(1)＝1，f(x)的导数 f′(x)<1，则不等式 f(x2)2 2 2
____________．
答案 {x|x<－1或 x>1}
解析 设 F(x) f(x) 1x F′(x) f′(x) 1＝ － ，∴ ＝ － ，
2 2
∵f′(x)<1，∴F′(x)＝f′(x) 1－ <0，
2 2
即函数 F(x)在 R 上单调递减．
2 2
∵f(x2)2 2 2 2
∴F(x2)∴x2>1，即不等式的解集为{x|x<－1或 x>1}．
C 组
ln 1
15．已知函数 f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式 f(ln x)＋f x <2f(1)的解集为________．
1
，e
答案 e
解析 f(x)＝xsin x＋cos x＋x2是偶函数，
ln 1
所以 f x ＝f(－ln x)＝f(ln x)．
则原不等式可变形为 f(ln x)又 f′(x)＝xcos x＋2x＝x(2＋cos x)，
由 2＋cos x>0，得当 x>0时，f′(x)>0.
所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴|ln x|<1 －1e
16．已知函数 f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)若函数 y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的 t∈[1,2]，函数 g(x)
m
＝x3＋x2·[ f (x) ]在区间(t,3)上总不是单调函数，求实数 m的取值范围．
2
(1) f(x) (0 ) f′(x) a 1－x 解 函数 的定义域为 ，＋∞ ，且 ＝ ，
x
当 a>0时，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)；
当 a<0时，f(x)的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0,1)；
当 a＝0时，f(x)为常函数，无单调区间.
(2)由(1) a及题意得 f′(2)＝－ ＝1，即 a＝－2，
2
∴f(x)＝－2ln x 2x－2＋2x－3，f′(x)＝ (x>0)．
x
m
＋2
∴g(x)＝x3＋ 2 x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，
即 g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．
g′ t <0，
由于 g′(0)＝－2，∴
g′ 3 >0，
当 g′(t)<0时，即 3t2＋(m＋4)t－2<0对任意 t∈[1,2]恒成立，
由于 g′(0)<0，故只要 g′(1)<0且 g′(2)<0，
即 m<－5且 m<－9，即 m<－9，
又 g′(3)>0，即 m> 37－ .
3
37
∴－ 3
37
－ ，－9
即实数 m的取值范围是 3 .

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