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第 22讲 对数与对数函数
【知识梳理】
1．对数的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 ，其中 叫
做对数的底数， 叫做真数．
以 为底的对数叫做常用对数，记作 lg N.
以 为底的对数叫做自然对数，记作 ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝ ，logaa＝ ， a loga N N (a>0，且 a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝ ；
M
②loga ＝ ；
N
③logaMn＝ (n∈R)．
(3)换底公式：log logcbab＝ (a>0，且 a≠1，b>0，c>0，且 c≠1)．
logca
3．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域
值域
性质
4.反函数
指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于
直线 对称．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)函数 y log 1＋x＝ a 与函数 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．( )
1－x
1
，－1
(4)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)， a .( )
2．设函数 f(x)＝3x＋9x，则 f(log32)＝________.
3．已知 f(x)是不恒为 0的函数，定义域为 D，对任意 x∈D，n∈N*，都有 nf(x)＝f(xn)成立，
则 f(x)＝________.(写出满足条件的一个 f(x)即可)
4．函数 y log 2 (2x 1)的定义域是______．
3
5．已知 b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
6．计算：(log29)·(log34)＝________.
【典型例题】
题型一 对数式的运算
例 1 (1)(2020·全国Ⅰ)设 alog －34＝2，则 4 a等于( )
A. 1 B.1 C.1 D.1
16 9 8 6
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝____.
跟踪训练 1 (1)设 2a＝5b m 1 1＝ ，且 ＋ ＝2，则 m等于( )
a b
A. 10 B．10 C．20 D．100
(2)计算：log535＋ 2log 2 log 11 － 5 －log514＝________.50
2
题型二 对数函数的图象及应用
例 2 (1)已知函数 f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，则 a，b满足的关系是
( )
A．0C．00 1，
(2)若方程 4x＝logax在 2 上有解，则实数 a的取值范围为__________．
跟踪训练 2 (1)函数 f(x)＝loga|x|＋1(0log2x，x>0，
(2)已知函数 f(x)＝ 关于 x的方程 f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数 a
3x，x≤0，
的取值范围是________．
题型三 对数函数的性质及应用
命题点 1 比较指数式、对数式的大小
例 3 (1)设 a＝log3e，b＝e1.5， c log
1
1 ，则( )
3 4
A．bC．c(2)若实数 a，b，c满足 loga2A．aC．c命题点 2 解对数方程(不等式)
log2 x, x 0
例 4 设函数 f (x) log ( x), x 0若 f(a)>f(－a)，则实数 a的取值范围是( )
1 2
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
命题点 3 对数函数性质的综合应用
例 5 (1)(2020·全国Ⅱ)设函数 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则 f(x)( )
1
，＋∞
A．是偶函数，且在 2 上单调递增
1 1
－ ，
B．是奇函数，且在 2 2 上单调递减
1
－∞，－
C．是偶函数，且在 2 上单调递增
1
－∞，－
D．是奇函数，且在 2 上单调递减
[高考改编题](多选)已知函数 f(x)＝ln 2x＋1，下列说法正确的是( )
2x－1
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数
1
，＋∞
C．f(x)在 2 上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)若 f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则 a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
跟踪训练 3 (1)已知函数 f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且 a≠1)，若 f(x)>1 在区间[1,2]上恒成立，则
实数 a的取值范围是__________．
(2)已知函数 f(x)＝|log2x|，实数 a，b满足 02 1，则 ＋b＝________.
a
【课后作业】
A 组
1．(2019·全国Ⅰ)已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c2．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的反函数且 f(2)＝1，则 f(x)等于( )
A log x B. 1 C log x D －． 2 ． 1 ．2x 22x
2
3．若函数 f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中 a，b为常数，则函数 g(x)＝ax＋b的图象大
致是( )
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m2－
m 51＝ lg E1，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星
2 E2
等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D －．10 10.1
5．(多选)已知 a，b>0且 a≠1，b≠1，若 logab>1，则( )
A．(a－1)(a－b)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
6．(多选)已知函数 f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数 f(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于 y轴对称
C．f(x)的最大值为 0 D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增
7 1 5．计算：log3 ×log49＋lg ＋2lg 2＝________.
2 2
8．已知函数 y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点 P，则点 P的坐标是________．
9．函数 f(x)＝log2 x· log 2 (2x)的最小值为________．
10．若函数 f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为 2，则实数 a＝________.
11．设 f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且 a≠1)，且 f(1)＝2.
(1)求实数 a的值及 f(x)的定义域；
0 3，
(2)求 f(x)在区间 2 上的最大值．
1
＋a
12．(2020·合肥调研)已知函数 f(x)＝log2 2x .
(1)若函数 f(x)是 R 上的奇函数，求 a的值；
(2)若函数 f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于 2，求实数 a的取值范围．
B 组
13．(多选)已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上的最大值为 0
C．f(x)的图象关于直线 x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
14．设实数 a，b是关于 x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且 a是________．
C 组
15．设 a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋bC．a＋b<016．(2020·武汉调研)函数 f(x)的定义域为 D，若满足：①f(x)在 D内是单调函数；②存在[a，
a b
，
b] D，使 f(x)在[a，b]上的值域为 2 2 ，那么就称 y＝f(x)为“半保值函数”，若函数 f(x)
＝loga(ax＋t2)(a>0，且 a≠1)是“半保值函数”，求实数 t的取值范围．第 22讲 对数与对数函数
【考试要求】
1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理
解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数 y＝ax与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数．
【知识梳理】
1．对数的概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x＝logaN，其中
a叫做对数的底数，N叫做真数．
以 10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N.
以 e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1) log N对数的性质：loga1＝0，logaa＝1， a a N (a>0，且 a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
log M② a ＝logaM－logaN；
N
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(3)换底公式：log b log＝ cba (a>0，且 a≠1，b>0，c>0，且 c≠1)．
logca
3．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点(1,0)，即 x＝1时，y＝0
性质 当 x>1时，y>0； 当 x>1时，y<0；
当 00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于
直线 y＝x对称．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN.( × )
(2)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(3) 1＋x函数 y＝loga 与函数 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．( × )
1－x
1
，－1
(4)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)， a .( √ )
2．设函数 f(x)＝3x＋9x，则 f(log32)＝________.
答案 6
解析 ∵函数 f(x)＝3x＋9x，
∴f(log 2)＝3log3 2 9log3 23 2 9log9 4＝2＋4＝6.
3．已知 f(x)是不恒为 0的函数，定义域为 D，对任意 x∈D，n∈N*，都有 nf(x)＝f(xn)成立，
则 f(x)＝________.(写出满足条件的一个 f(x)即可)
答案 log2x
解析 运算符合对数函数的运算法则，如 f(x)＝log2x，nf(x)＝nlog2x＝log2xn＝f(xn)，可以填写
f(x)＝log2x.
4．函数 y log 2 (2x 1)的定义域是______．
3
1
，1
答案 2
解析 由 log 2 (2x 1)≥0，得 0<2x－1≤1.
3
1
∴ 2
1
∴函数 y log 2 (2x 1)
，1
的定义域是 2 .
3
5．已知 b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案 B
6．计算：(log29)·(log34)＝________.
答案 4
(log 9)·(log 4) lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2解析 2 3 ＝ × ＝ × ＝4.
lg 2 lg 3 lg 2 lg 3
【典型例题】
题型一 对数式的运算
例 1 (1)(2020·全国Ⅰ)设 alog34 －＝2，则 4 a等于( )
A. 1 B.1 C.1 D.1
16 9 8 6
答案 B
解析 方法一 因为 alog34＝2，
所以 log34a＝2，
所以 4a＝32＝9，
所以 4－a 1 1＝ ＝ .
4a 9
方法二 因为 alog34＝2，
所以 a 2＝ ＝2log43＝log432＝log49，
log34
a log 9 log 9 1所以 4 4 4 4 4 9 1 1 .
9
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝____.
答案 4
解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变
形应用．
(4)利用常用对数中的 lg 2＋lg 5＝1.
跟踪训练 1 (1)设 2a＝5b＝m 1 1，且 ＋ ＝2，则 m等于( )
a b
A. 10 B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 2a＝5b＝m，
∴log2m＝a，log5m＝b，
1 1 1 1
∴ ＋ ＝ ＋ ＝logm2＋logm5＝logm10＝2，
a b log2m log5m
∴m2＝10，∴m＝ 10(舍 m＝－ 10)．
(2)计算：log535＋ 2log1 2－log
1
5 －log514＝________.
50
2
答案 2
1
解析 原式＝log535－log5 －log514＋ log ( 2)2
50 1
2
35
＝log5 1 ＋ log 1 2
×14
50 2
＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.
题型二 对数函数的图象及应用
例 2 (1)已知函数 f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，则 a，b满足的关系是
( )
A．0C －．0答案 A
解析 由函数图象可知，f(x)为增函数，故 a>1.函数图象与 y轴的交点坐标为(0，logab)，由
函数图象可知－1a
综上有 0<1a
0 1，
(2)若方程 4x＝logax在 2 上有解，则实数 a的取值范围为__________．
0 2，
答案 2
1 1
解析 若方程 4x
0， 0，
＝logax在 2 上有解，则函数 y＝4x和函数 y＝logax在 2 上有交点，
0由图象知 log 1 解得 02
≤ .
a ≤2，
2 2
思维升华 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练 2 (1)函数 f(x)＝loga|x|＋1(0答案 A
解析 由函数 f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于 y轴对称．设 g(x)＝loga|x|，先
画出 x>0时，g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y轴对称画出 x<0时 g(x)的图象，最后由
函数 g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得 f(x)的图象，结合图象知选 A.
log2x，x>0，
(2)已知函数 f(x)＝ 关于 x的方程 f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数 a
3x，x≤0，
的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 问题等价于函数 y＝f(x)与 y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知
a>1.
题型三 对数函数的性质及应用
命题点 1 比较指数式、对数式的大小
1
例 3 (1)设 a＝log3e，b＝e1.5， c log1 ，则( )
3 4
A．bC．c答案 D
1
解析 c log1 ＝log34>log3e＝a.
3 4
又 c＝log342，
∴a(2)若实数 a，b，c满足 loga2A．aC．c答案 C
解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得
1 < 1 < 1 <0，
log2a log2b log2c
即 log2c可得 c思维升华 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可
用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而
底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选 0
或 1.
命题点 2 解对数方程(不等式)
log2 x, x 0
例 4 设函数 f (x) log ( x), x 0若 f(a)>f(－a)，则实数 a的取值范围是( )
1 2
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 C
lao>g0，1 a
解析 由题意得 log22a>
lao或 2 >log2 －a ，
解得 a>1或－1命题点 3 对数函数性质的综合应用
例 5 (1)(2020·全国Ⅱ)设函数 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则 f(x)( )
1
，＋∞
A．是偶函数，且在 2 上单调递增
1 1
－ ，
B．是奇函数，且在 2 2 上单调递减
1
－∞，－
C．是偶函数，且在 2 上单调递增
1
－∞，－
D．是奇函数，且在 2 上单调递减
答案 D
x 1≠±
解析 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为 x| 2 .
∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除 A，C.
1
－∞，－
当 x∈ 2 时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x) ln －2x－1＝
1－2x
2
ln 2x＋1
1＋
＝ ＝ln 2x－1 ，
2x－1
1
y 1 2
－∞，－
∵ ＝ ＋ 在 2 上单调递减，
2x－1
1
－∞，－
∴由复合函数的单调性可得 f(x)在 2 上单调递减．
[ ]( ) f(x) ln 2x＋1高考改编题 多选 已知函数 ＝ ，下列说法正确的是( )
2x－1
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
1
，＋∞
C．f(x)在 2 上单调递减
D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 ACD
2x＋1 2x＋1
解析 f(x) 1 1＝ln ，令 >0，解得 x> 或 x<－ ，
2x－1 2x－1 2 2
1 1
－∞，－ ，＋∞
∴f(x)的定义域为 2 ∪ 2 ，
2x＋1
－2x＋1 2x－1
又 f(－x)＝ln ＝ln ＝ln 2x－1 －1
－2x－1 2x＋1
2x＋1
＝－ln ＝－f(x)，
2x－1
∴f(x)为奇函数，故 A正确；B错误．
1 2＋
又 f(x)＝ln 2x＋1＝ln 2x－1 ，
2x－1
t 1 2令 ＝ ＋ ，t>0且 t≠1，∴y＝ln t，
2x－1
1
2 ，＋∞
又 t＝1＋ 在 2 上单调递减，且 y＝ln t为增函数，
2x－1
1
，＋∞
∴f(x)在 2 上单调递减，故 C正确；
∴y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故 D正确．
(2)若 f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则 a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 令函数 g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为 x＝a，要使函数在(－∞，
g 1 >0， 2－a>0，
1]上递减，则有 即 解得 1≤a<2，即 a∈[1,2)．
a≥1， a≥1，
思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必
须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1的大小
关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意
数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
跟踪训练 3 (1)已知函数 f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且 a≠1)，若 f(x)>1 在区间[1,2]上恒成立，则
实数 a的取值范围是__________．
1 8，
答案 3
解析 当 a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上单调递减，由 f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则 f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且 8－2a>0，
8
解得 13
当 0由 f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
知 f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且 8－2a>0.
解得 a∈ ，
1 8，
综上可知，实数 a的取值范围是 3 .
(2)已知函数 f(x)＝|log2x|，实数 a，b满足 02 1，则 ＋b＝________.
a
答案 4
解析 ∵f(x)＝|log2x|，
∴f(x)的图象如图所示，
又 f(a)＝f(b)且 0∴01且 ab＝1，
∴a2f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，
∴a 1＝ ，∴b＝2，
2
1
∴ ＋b＝4.
a
【课后作业】
A 组
1．(2019·全国Ⅰ)已知 a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c答案 B
解析 ∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a2．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的反函数且 f(2)＝1，则 f(x)等于( )
A log x B. 1． 2 C．x log 1 x D．2
x－2
2
2
答案 A
解析 函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的反函数是 f(x)＝logax，
又 f(2)＝1，即 loga2＝1，
所以 a＝2.
故 f(x)＝log2x.
3．若函数 f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中 a，b为常数，则函数 g(x)＝ax＋b的图象大
致是( )
答案 D
解析 由 f(x)的图象可知 0∴g(x)的图象应为 D.
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m2－
m 5lg E＝ 11 ，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星
2 E2
等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
答案 A
解析 由题意可设太阳的星等为 m2，太阳的亮度为 E2，天狼星的星等为 m1，天狼星的亮度
E m m 5lg E1 5 E 5 E为 ，则由 － ＝ ，得－26.7＋1.45＝ lg 1，则 lg 11 2 1 ＝－25.25 E，∴lg 1＝－10.1，
2 E2 2 E2 2 E2 E2
lg E2＝10.1 E，∴ 2＝1010.1.故选 A.
E1 E1
5．(多选)已知 a，b>0且 a≠1，b≠1，若 logab>1，则( )
A．(a－1)(a－b)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
答案 AD
解析 ①当 a>1时，logab>1＝logaa，
∴b>a，∴b>a>1，
∴(a－1)(a－b)<0.
②当 01＝logaa，∴b∴0∴b－1<0，b－a<0，
∴(b－1)(b－a)>0.
6．(多选)已知函数 f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数 f(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于 y轴对称
C．f(x)的最大值为 0
D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增
答案 BC
解析 f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，
∴A错误，B正确；
根据 f(x)的图象(图略)可知 D错误；
∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故 C正确．
7 1．计算：log3 ×log49＋lg5＋2lg 2＝________.
2 2
答案 0
2
解析 原式＝－log32× log 2 3 ＋lg5＋lg 42 2
5
×4
＝－log32×log23＋lg 2
＝－1＋1＝0.
8．已知函数 y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点 P，则点 P的坐标是________．
答案 (4，－1)
解析 令 x－3＝1，则 x＝4，
∴y＝loga1－1＝－1，
故点 P坐标为(4，－1)．
9．函数 f(x)＝log2 x· log 2 (2x)的最小值为________．
1
答案 －
4
log x 1＋
解析 依题意得 f(x) 1＝ log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log
2 1 1
2x＝ 2 2－ ≥－ ，当 log2x
2 4 4
1 2 1
＝－ ，即 x＝ 时等号成立，所以函数 f(x)的最小值为－ .
2 2 4
10．若函数 f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为 2，则实数 a＝________.
答案 2
解析 令 u(x)＝x2－x＋2，则 u(x)在[0,2]上的最大值 u(x) 7max＝4，最小值 u(x)min＝ .
4
当 a>1时，y＝logau是增函数，f(x)max＝loga4＝2，得 a＝2；
7 7
当 04 2
11．设 f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且 a≠1)，且 f(1)＝2.
(1)求实数 a的值及 f(x)的定义域；
0 3，
(2)求 f(x)在区间 2 上的最大值．
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且 a≠1)，
1＋x>0，
∴a＝2.由 得－13－x>0，
∴函数 f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当 x∈[0,1]时，f(x)单调递增；
1 3，
当 x∈ 2 时，f(x)单调递减，
0 3，
故函数 f(x)在 2 上的最大值是 f(1)＝log24＝2.
1
＋a
12．(2020·合肥调研)已知函数 f(x)＝log2 2x .
(1)若函数 f(x)是 R 上的奇函数，求 a的值；
(2)若函数 f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于 2，求实数 a的取值范围．
解 (1)若函数 f(x)是 R 上的奇函数，则 f(0)＝0，
∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.
经验证当 a＝0时，f(x)＝－x是 R 上的奇函数．
∴a＝0.
(2)由已知得函数 f(x)是减函数，故 f(x)在区间[0,1]上的最大值是 f(0)＝log2(1＋a)，最小值是 f(1)
1
＋a
＝log2 2 .
1
＋a
由题设得 log2(1＋a)－log2 2 ≥2，
则 log2(1＋a)≥log2(4a＋2)．
1＋a≥4a＋2，
∴
4a＋2>0，
1 1
解得－ 2 3
1 1
－ ，－
故实数 a的取值范围是 2 3 .
B 组
13．(多选)已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上的最大值为 0
C．f(x)的图象关于直线 x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 BC
解析 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0,2)，
f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)，
令 t＝－x2＋2x，y＝ln t，
∵t＝－x2＋2x，x∈(0,2)，在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故 A不正确；
f(x)max＝f(1)＝0，故 B正确；
∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，
f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)，
∴f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(x)的图象关于直线 x＝1对称，故 C正确，D不正确．
14．设实数 a，b是关于 x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且 a是________．
答案 (0,1)
解析 由题意知，在(0,10)上，函数 y＝|lg x|的图象和直线 y＝c有两个不同交点(如图)，∴ab
＝1,0C 组
15．设 a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋bC．a＋b<0答案 B
解析 ∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，
b＝log20.3a＋b 1 1
∵ ＝ ＋ ＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
ab a b
∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，
0ab
16．(2020·武汉调研)函数 f(x)的定义域为 D，若满足：①f(x)在 D内是单调函数；②存在[a，
a b
，
b] D，使 f(x)在[a，b]上的值域为 2 2 ，那么就称 y＝f(x)为“半保值函数”，若函数 f(x)
＝loga(ax＋t2)(a>0，且 a≠1)是“半保值函数”，求实数 t的取值范围．
解 函数 f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且 a≠1)是“半保值函数”，且定义域为 R.当 a>1时，z＝ax
＋t2在 R 上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得 f(x)为 R 上的增函数；当 0时，f(x)仍为 R 上的增函数，
∴f(x)在定义域 R 上为增函数，
f(x)＝loga(ax＋t2)
1
＝ x，
2
1 x
∴ax＋t2＝ a 2 ,
x
则 ax－ a 2 ＋t2＝0.
x
令 u＝ a 2 ，u>0，
则 u2－u＋t2＝0有两个不相等的正实根．
得Δ＝1－4t2>0，且 t2>0，
1 1
2 1 － ，0 0，∴04
1
－ ，0 0 1，
∴实数 t的取值范围是 2 ∪ 2 .

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