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第 28讲 平面向量的概念及线性运算
【考试要求】
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个
向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.
4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量
共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
【知识梳理】
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为 0的向量，记作 0.
(3)单位向量：长度等于 1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝b＋
求两个向量和的
加法 a；结合律：(a＋b)
运算
＋c＝a＋(b＋c)
求两个向量差的
减法 a－b＝a＋(－b)
运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与 a
λ(μ a)＝(λμ)a；
求实数λ与向量a 的方向相同；
数乘 (λ＋μ)a＝λa＋μa；
的积的运算 当λ<0时，λa与 a的方向相反；
λ(a＋b)＝λa＋λb
当λ＝0时，λa＝0
3.向量共线定理
向量 b与非零向量 a共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa.
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × )
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × )
(3) A→ →若向量 B与向量CD是共线向量，则 A，B，C，D四点在一条直线上．( × )
(4)当两个非零向量 a，b共线时，一定有 b＝λa，反之亦成立．( √ )
2．(多选)下列命题中，正确的是( )
A.若 a与 b都是单位向量，则 a＝b
B．直角坐标平面上的 x轴、y轴都是向量
C → →．若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点 M与 N不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
答案 CD
解析 A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大
小，故 x轴，y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D
正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．
3．设 M为平行四边形 ABCD对角线的交点，O为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，
O→A O→B O→ →则 ＋ ＋ C＋OD等于( )
A.O→M B．2O→M C．3O→M D →．4OM
答案 D
→ → →
解析 OA＋OB＋OC O→＋ D＝(O→A →＋OC) (O→＋ B＋O→D)＝2O→M →＋2OM＝4O→M.
4．已知 ABCD的对角线 AC和 BD →相交于点 O，且OA＝a，O→B＝b →，则DC＝________，B→C＝
________.(用 a，b表示)
答案 b－a －a－b
解析 如图，D→C →＝AB＝O→B →－OA＝b a B→－ ， C＝O→C－O→B →＝－OA－O→B＝－a－b.
5．对于非零向量 a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若 a＋2b＝0，则 a＝－2b，所以 a∥b.
若 a∥b，则 a＋2b＝0 不一定成立，
故前者是后者的充分不必要条件．
6．(多选)下列四个命题中，错误的是( )
A．若 a∥b，则 a＝b
B．若|a|＝|b|，则 a＝b
C．若|a|＝|b|，则 a∥b
D．若 a＝b，则|a|＝|b|
答案 ABC
【典型例题】
题型一 平面向量的概念
1．(多选)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( )
A．向量A→B →的长度与向量BA的长度相等
B．向量 a与 b平行，则 a与 b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b| a与 b方向相反
D．若非零向量 a与非零向量 b的方向相同或相反，则 a＋b与 a，b之一的方向相同
答案 BCD
→
解析 对于 A，向量AB →与向量BA，长度相等，方向相反，命题成立；对于 B，当 a＝0 时，
不成立；对于 C，当 a，b 之一为零向量时，不成立；对于 D，当 a＋b＝0 时，a＋b 的方向
是任意的，它可以与 a，b的方向都不相同．
2 a b．设 a，b都是非零向量，下列四个条件中，使 ＝ 成立的充分条件是( )
|a| |b|
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
答案 C
a a b a b解析 因为向量 的方向与向量 方向相同，向量 的方向与向量 b方向相同，且 ＝ ，
|a| |b| |a| |b|
所以向量 a 与向量 b 方向相同，故可排除选项 A，B D. a 2b a 2b b， 当 ＝ 时， ＝ ＝ ，故 a＝
|a| |2b| |b|
2b a b是 ＝ 成立的充分条件．
|a| |b|
3．(多选)下列命题中错误的有( )
A．平行向量就是共线向量
B．相反向量就是方向相反的向量
C．a与 b同向，且|a|>|b|，则 a>b
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
答案 BC
解析 由平行向量和共线向量可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向
量，所以 B是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大
小，所以 C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两
个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以 D是正确的．
4．(多选)下列命题正确的有( )
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．“若 A → →，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC” “四边形 ABCD是平行四边形”
答案 AD
解析 方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；
单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故 B错误；
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和
终点，故 C错误；
A，B → →，C，D是不共线的点，AB＝DC，即模相等且方向相同，即平行四边形 ABCD对边平
行且相等，反之也成立，故 D正确．
思维升华 平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移
混淆．
(4) a a非零向量 a与 的关系： 是与 a同方向的单位向量．
|a| |a|
题型二 平面向量的线性运算
命题点 1 向量加、减法的几何意义
例 1 设非零向量 a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
答案 A
解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则．
在 ABCD →中，设AB＝a →，AD＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知，|A→C|＝|D→B|，
从而四边形 ABCD为矩形，即 AB⊥AD，故 a⊥b.
故选 A.
方法二 ∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
故选 A.
命题点 2 向量的线性运算
例 2 (2020·合肥质检)在△ABC中，B→D 1＝ B→C → → →，若AB＝a，AC＝b，则AD等于( )
3
A.2a 1b B.1a 2＋ ＋ b
3 3 3 3
C.1a 2b D.2a 1－ － b
3 3 3 3
答案 A
解析 方法一 如图，过点 D分别作 AC，AB的平行线交 AB，AC于点 E，F，则四边形 AEDF
A→D A→为平行四边形，所以 ＝ E＋A→F. →因为BD 1B→＝ C A→E 2A→ →，所以 ＝ B，AF 1A→C → 2→＝ ，所以AD＝ AB
3 3 3 3
1A→C 2a 1＋ ＝ ＋ b，故选 A.
3 3 3
→
方法二 AD A→B B→＝ ＋ D＝A→B 1＋ B→C A→B 1＝ ＋ (A→C A→－ B) 2A→B 1A→C 2a 1＝ ＋ ＝ ＋ b，故选 A.
3 3 3 3 3 3
B→D 1B→C A→D A→B 1(A→C A→B) A→D A→B 1(A→C A→B) 2A→B 1A→ 2方法三 由 ＝ ，得 － ＝ － ，所以 ＝ ＋ － ＝ ＋ C＝ a
3 3 3 3 3 3
1
＋ b，故选 A.
3
命题点 3 根据向量线性运算求参数
例 3 (2021· → → → →河南八市联考改编)在等腰梯形 ABCD中，AB＝2DC，点 E是线段BC的中点，若AE
＝λA→B＋μA→D，则λ＋μ＝________.
5
答案
4
解析 取 AB → → → →的中点 F，连接 CF，则由题意可得 CF∥AD，且 CF＝AD.因为AE＝AB＋BE＝AB
→
1→ → 1 → → → 1 AD
1→
－ AB
BC AB (FC FB) AB 2 3→ 1→ 3 1 5＋ ＝ ＋ － ＝ ＋ ＝ AB＋ AD，所以λ＝ ，μ＝ ，则λ＋μ＝ .
2 2 2 4 2 4 2 4
思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；
求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求
参数的值．
→
跟踪训练 1 (1)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为 BC边上的中线，E为 AD的中点，则EB等
于( )
A.3A→B 1A→－ C B.1A→B 3A→－ C
4 4 4 4
C.3A→B 1→ 1→ 3→＋ AC D. AB＋ AC
4 4 4 4
答案 A
解析 作出示意图如图所示．
E→B＝E→D D→B 1→＋ ＝ AD 1＋ C→B
2 2
1 1(A→B A→＝ × ＋ C) 1 → →＋ (AB－AC)
2 2 2
3
＝ A→B 1→－ AC.故选 A.
4 4
(2) → → →在平行四边形 ABCD中，E，F分别为边 BC，CD的中点，若AB＝xAE＋yAF(x，y∈R)，
则 x－y＝______.
答案 2
解析 由题意得A→E →＝AB＋B→E A→B 1→＝ ＋ AD，
2
A→F＝A→D＋D→F＝A→D 1A→＋ B，
2
→
因为AB＝xA→E＋yA→F，
→ x
y x
＋
AB 2 A→
＋y →
所以 ＝ B＋ 2 AD，
x y＋ ＝1， x 4＝ ，
2 3
所以 x 解得
＋y 0 y 2＝ ， ＝－ ，
2 3
所以 x－y＝2.
题型三 共线定理的应用
例 4 设两向量 a与 b不共线．
(1) → → →若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数 k，使 ka＋b和 a＋kb共线．
(1) → →证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)．
B→D B→C C→∴ ＝ ＋ D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5A→B. A→B →∴ ，BD共线，
又它们有公共点 B，
∴A，B，D三点共线．
(2)解 ∵ka＋b与 a＋kb共线，∴存在实数λ，
使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即 ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
思维升华 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即 A，B，C三点共线 A→B，A→C共线．
(3)若 a与 b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)O→A＝λO→B →＋μOC(λ，μ为实数)，若 A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
跟踪训练 2 (1)(2021·南昌质检)已知 a，b →是不共线的向量，AB＝λa＋b →，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，
若 A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( )
A．λμ＝1 B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2
答案 A
→ → → →
解析 ∵AB与AC有公共点 A，∴若 A，B，C三点共线，则存在一个实数 t，使AB＝tAC，即
λ＝t，
λa＋b＝ta＋μtb → 1，则 消去参数 t，得λμ＝1；反之，当λμ＝1 时，AB＝ a＋b，此时
μt＝1， μ
1 →
存在实数 使AB 1A→C A→B A→＝ ，故 和 C → →共线．∵AB与AC有公共点 A，∴A，B，C三点共线，故选
μ μ
A.
(2)(2020·郑州模拟)设 e1与 e2是两个不共线向量，A→B＝3e1＋2e2，C→B＝ke →1＋e2，CD＝3e1－2ke2，
若 A，B，D三点共线，则 k的值为________．
9
答案 －
4
解析 由题意知，A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得A→B＝λB→D.
又A→B＝3e → →1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，
∴B→D C→D →＝ －CB＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
∴3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
3＝λ 3－k ，
∴ 解得 k 9＝－ .
2＝－λ 2k＋1 ， 4
【课后作业】
A 组
1．(2021·湖北宜昌一中月考)已知 a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确
的是( )
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与 b共线反向
D．存在正实数λ，使 a＝λb
答案 D
解析 因为 a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，
所以 a与 b共线同向，故 D正确．
2. → → →如图所示，在正六边形 ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于( )
A．0 B.B→E
C.A→D D.C→F
答案 D
解析 根据正六边形的性质，
易得，B→A＋C→D＋E→F
B→A A→F E→＝ ＋ ＋ F
B→F →＝ ＋CB＝C→F.
3．已知平面内一点 P及△ABC，若P→A＋P→B＋P→C →＝AB，则点 P与△ABC的位置关系是( )
A．点 P在线段 AB上 B．点 P在线段 BC上
C．点 P在线段 AC上 D．点 P在△ABC外部
答案 C
→ → →
解析 由PA＋PB＋PC A→B P→A P→B P→C P→ →＝ ，得 ＋ ＋ ＝ B－PA，即P→C →＝－2PA，故点 P在线段 AC上．
4 (2020· ) O ABCD D→O λA→ → λ． 唐山模拟 已知 是正方形 的中心．若 ＝ B＋μAC，其中λ，μ∈R，则 等
μ
于( )
A．－2 B 1．－ C．－ 2 D. 2
2
答案 A
D→O D→A A→O C→B A→O A→B A→C 1A→C A→B 1A→C 1 λ解析 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ － ＋ ＝ － ，所以λ＝1，μ＝－ ，因此 ＝－
2 2 2 μ
2.
5．(多选)下列说法中正确的是( )
A.A→B＋B→A＝0
B．若|a|＝|b|且 a∥b，则 a＝b
C．向量 a与 b不共线，则 a与 b都是非零向量
D．若 a∥b，则有且只有一个实数λ，使得 b＝λa
答案 AC
→
解析 由AB，B→A → →互为相反向量，得AB＋BA＝0，故 A正确；
由|a|＝|b|且 a∥b，得 a＝b或 a＝－b，故 B错误；
若 a与 b不共线，则 a与 b都是非零向量，故 C正确；
根据向量共线基本定理可知 D错误，因为要排除零向量．
故选 AC.
6．(多选)设点 M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A A→M 1A→B 1A→．若 ＝ ＋ C，则点 M是边 BC的中点
2 2
B → →．若AM＝2AB－A→C，则点 M在边 BC的延长线上
C → → →．若AM＝－BM－CM，则点 M是△ABC的重心
D A→M xA→B yA→C x y 1．若 ＝ ＋ ，且 ＋ ＝ ，则△MBC的面积是△ABC 1面积的
2 2
答案 ACD
→ 1
解析 若AM＝ A→B 1→＋ AC，则点 M是边 BC的中点，故 A正确；
2 2
若A→M＝2A→B A→C → → → →－ ，即有AM－AB＝AB－AC，
即B→M＝C→B，
则点 M在边 CB的延长线上，故 B错误；
A→若 M＝－B→M－C→M，
A→M → →即 ＋BM＋CM＝0，
则点 M是△ABC的重心，故 C正确；
如图，A→M＝xA→B →＋yAC，
且 x y 1＋ ＝ ，
2
→
可得 2AM＝2xA→B＋2yA→C，
A→设 N＝2A→M，
则 M为 AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC 1面积的 ，故 D正确．
2
故选 ACD.
7 |A→B| |A→C| |A→ →．若 ＝ ＝ B－AC|＝2 → →，则|AB＋AC|＝________.
答案 2 3
解析 因为|A→B| |A→C| |A→＝ ＝ B－A→C|＝2，
所以△ABC是边长为 2的正三角形，
→
所以|AB A→＋ C|为△ABC的边 BC上的高的 2倍，
所以|A→B →＋AC|＝2 3.
8．设向量 a，b不平行，向量λa＋b与 a＋2b平行，则实数λ＝____________.
1
答案
2
解析 ∵向量 a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与 a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，
λ＝μ，
使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b 1＝μa＋2μb，则 解得λ＝μ＝ .
1＝2μ， 2
|D→M|
9．设 M是△ABC → 3→ 3 →所在平面上的一点，且MB＋ MA＋ MC＝0，D是 AC的中点，则 ＝
2 2 |B→M|
________.
1
答案
3
解析 ∵D AC → → →是 的中点，∴MA＋MC＝2MD，
又∵M→B 3＋ M→A 3→＋ MC＝0，
2 2
∴M→B 3＝－ (M→A M→C) 3＋ ＝－ ×2M→D，
2 2
→
即MB 3D→M M→D 1→＝ ，故 ＝ BM，
3
|M→D| 1
∴ ＝ .
|B→M| 3
10 → →．已知 D，E，F分别为△ABC的边 BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命
A→D 1a b → 1 →题：① ＝ － ；②BE＝a＋ b；③CF 1a 1＝－ ＋ b → →；④AD＋BE＋C→F＝0.
2 2 2 2
其中正确命题有________．
答案 ②③④
B→C a C→A b A→D 1A→B 1A→C 1解析 ＝ ， ＝ ， ＝ ＋ ＝ (A→C＋C→B) 1→ 1→ → 1＋ AC＝ CB＋AC＝－ a－b，故①错；
2 2 2 2 2 2
B→E → 1＝BC＋ C→A a 1＝ ＋ b，故②正确；
2 2
C→F 1＝ (C→B →＋CA) 1( a 1 1＝ － ＋b)＝－ a＋ b，故③正确；
2 2 2 2
A→D B→E C→＋ ＋ F＝－b 1 1 1 1－ a＋a＋ b＋ b－ a＝0，故④正确．
2 2 2 2
所以正确命题序号为②③④.
11 a b O→A a O→．已知 ， 不共线， ＝ ， B＝b，O→C＝c，O→D＝d →，OE＝e，设 t∈R，如果 3a＝c,2b
＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数 t使 C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数 t的值，
若不存在，请说明理由．
解 由题设知，C→D＝d－c＝2b－3a，
C→E＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C D E k C→， ， 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 ，使得 E＝kC→D，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为 a，b不共线，
t－3＋3k＝0，
t 6所以有 解得 ＝ .
2k－t＝0， 5
6
故存在实数 t＝ 使 C，D，E三点在一条直线上．
5
12.如图，在△ABC中，D为 BC的四等分点，且靠近 B点，E，F分别为 AC，AD的三等分
点，且分别靠近 A D → →， 两点，设AB＝a，AC＝b.
(1) a b B→C A→D B→试用 ， 表示 ， ，E；
(2)证明：B，E，F三点共线．
(1)解 在△ABC中，因为A→B →＝a，AC＝b，
所以B→C＝A→C－A→B＝b－a，
A→D → →＝AB＋BD A→B 1＝ ＋ B→C
4
a 1＝ ＋ (b－a) 3＝ a 1＋ b，
4 4 4
B→E B→A A→E A→B 1A→＝ ＋ ＝－ ＋ C 1＝－a＋ b.
3 3
(2) B→E a 1证明 因为 ＝－ ＋ b，
3
B→F →＝BA＋A→F A→B 2→＝－ ＋ AD
3
3a 1＋ b
＝－a 2＋ 4 4 1＝－ a 1＋ b
3 2 6
1
1 －a＋ b
＝ 3 ，
2
B→F 1B→E B→所以 ＝ ， F与B→E共线，且有公共点 B，
2
所以 B，E，F三点共线．
B 组
13．( →多选)设 a，b是不共线的两个平面向量， 已知PQ＝a＋sin α·b，其中α∈(0,2π) →，QR＝
2a－b.若 P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )
A.π B.5π C.7π D.11π
6 6 6 6
答案 CD
→
解析 因为 a，b是不共线的两个平面向量，所以 2a－b≠0.即QR≠0，因为 P，Q，R三点共
线，所以P→Q →与QR → →共线，所以存在实数λ，使PQ＝λQR，所以 a＋sin α·b＝2λa－λb，所以
1＝2λ，
解得 sin α 1＝－ .又α∈(0,2π) α 7π 11π，故 的值可为 或 .
sin α＝－λ， 2 6 6
14 →．(2020·广东六校联考)如图，在△ABC中，AN 2N→＝ C →，P是 BN上一点，若AP＝tA→B 1→＋ AC，
3 3
则实数 t的值为( )
A.2 B.2 C.1 D.3
3 5 6 4
答案 C
→ 2
解析 方法一 因为AN＝ N→C → 2→，所以AN＝ AC.
3 5
→
设NP λN→B →＝ ，则AP A→N →＝ ＋NP 2＝ A→C＋λN→B
5
2A→C A→2A→C → →
－ ＋ B
＝ ＋λ(NA＋AB) 2→＝ AC＋λ 5
5 5
→
＝λAB 2(1 →＋ －λ)AC.
5
A→P → 1→又 ＝tAB＋ AC，
3
tA→B 1A→所以 ＋ C＝λA→B 2＋ (1 →－λ)AC，
3 5
t＝λ，
得 2 1 1 1 解得 t＝λ＝ ，故选 C.－λ ＝ ，
5 3 6
A→N 2N→方法二 因为 ＝ C → 5→，所以AC＝ AN，
3 2
所以A→P＝tA→B 1＋ A→C tA→B 5→＝ ＋ AN，
3 6
因为 B，P，N三点共线，
所以 t 5 1＋ ＝1，所以 t＝ ，故选 C.
6 6
C 组
15．(2020·滁州模拟)已知 A1，A A
—→ —→
2， 3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足A1M＝λ(A1A2
—A→＋ 1A3)(λ —→ —→ —→是实数)，且MA1＋MA2＋MA3是单位向量，则这样的点 M有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
答案 C
—MA→ λ(—A→A —A→A ) —MA→ —MA→ —A→A —→ —→ —→解析 方法一 由题意得， 1＝－ 1 2＋ 1 3 ， 2＝ 1＋ 1 2，MA3＝MA1＋A1A3，
—→ —→ —→ —→ —→
∴MA1＋MA2＋MA3＝(1－3λ)·(A1A2＋A1A3)，如图所示，设 D为 A2A3的中点，
—
∴(1－3λ)(A→ —1A2＋A→ —→1A3)是与A1D共起点且共线的一个向量，显然直线 A1D与以 A1为圆心的单
位圆有两个交点，故λ有两个值，即符合题意的点 M有两个，故选 C.
方法二 以 A1为原点建立平面直角坐标系，
设 A2(a，b)，A3(m，n)，
—
则A→A —1 2＋A→1A3＝(a＋m，b＋n)，
∴M(λ(a＋m)，λ(b＋n))，
—→
∴MA1＝(－λ(a＋m)，－λ(b＋n))，
—MA→2＝(a－λ(a＋m)，b－λ(b＋n))，
—MA→3＝(m－λ(a＋m)，n－λ(b＋n))，
—MA→ —∴ 1＋MA→ —2＋MA→3＝((1－3λ)(a＋m)，(1－3λ)(b＋n))．
—→ —→ —
∵MA1＋MA2＋MA→3是单位向量，
∴(1－3λ)2[(a＋m)2＋(b＋n)2]＝1，
∵A1，A2，A3是平面上三个不共线的定点，
∴(a＋m)2＋(b＋n)2>0，所以关于λ的方程有两解，
故满足条件的 M有两个，故选 C.
16．经过△OAB的重心 G的直线与 OA，OB分别交于点 P，Q，设O→P →＝mOA，O→Q＝nO→B，
m，n∈R*.
(1) 1 1证明： ＋ 为定值；
m n
(2)求 m＋n的最小值．
(1) O→证明 设 A →＝a，OB＝b.
由题意知O→G 2 1 → → 1＝ × (OA＋OB)＝ (a＋b)，
3 2 3
P→Q → →＝OQ－OP＝nb－ma，
1
－m
P→G → →＝OG－OP＝ 3 a 1＋ b，
3
由 P，G，Q三点共线得，
→ →
存在实数λ，使得PQ＝λPG，
1
－m
即 nb－ma＝λ 3 a 1＋ λb，
3
1
－m
－m＝λ 3 ，
从而
n 1＝ λ，
3
λ 1 1消去 得 ＋ ＝3.
n m
(2) (1) 1 1解 由 知， ＋ ＝3，
m n
1 1
＋
于是 m 1＋n＝ m n (m＋n)
3
n m
1 2＋ ＋ 1
＝ m n ≥ (2＋2) 4＝ .
3 3 3
当且仅当 m＝n 2＝ 时，m＋n 4取得最小值，最小值为 .
3 3第 28讲 平面向量的概念及线性运算
【知识梳理】
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 ．
(2)零向量：长度为 的向量，记作 0.
(3)单位向量：长度等于 长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向 的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向 的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝b＋
求两个向量和的
加法 a；结合律：(a＋b)
运算
＋c＝a＋(b＋c)
求两个向量差的
减法 a－b＝a＋(－b)
运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa 与 a
λ(μ a)＝(λμ)a；
求实数λ与向量a 的方向相同；
数乘 (λ＋μ)a＝λa＋μa；
的积的运算 当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；
λ(a＋b)＝λa＋λb
当λ＝0时，λa＝0
3.向量共线定理
向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa.
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
(3) →若向量AB与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之亦成立．( )
2．(多选)下列命题中，正确的是( )
A.若 a 与 b 都是单位向量，则 a＝b
B．直角坐标平面上的 x轴、y轴都是向量
C → →．若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点 M与 N不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
3．设 M为平行四边形 ABCD对角线的交点，O为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，
O→A O→B O→ →则 ＋ ＋ C＋OD等于( )
A.O→M B．2O→M C．3O→M D．4O→M
4．已知 ABCD的对角线 AC和 BD相交于点 O，且O→A＝a，O→B → →＝b，则DC＝________，BC＝
________.(用 a，b 表示)
5．对于非零向量 a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．(多选)下列四个命题中，错误的是( )
A．若 a∥b，则 a＝b B．若|a|＝|b|，则 a＝b
C．若|a|＝|b|，则 a∥b D．若 a＝b，则|a|＝|b|
【典型例题】
题型一 平面向量的概念
1．(多选)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( )
A A→．向量 B →的长度与向量BA的长度相等
B．向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b| a 与 b 方向相反
D．若非零向量 a 与非零向量 b 的方向相同或相反，则 a＋b 与 a，b 之一的方向相同
2．设 a a b，b 都是非零向量，下列四个条件中，使 ＝ 成立的充分条件是( )
|a| |b|
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b 且|a|＝|b|
3．(多选)下列命题中错误的有( )
A．平行向量就是共线向量
B．相反向量就是方向相反的向量
C．a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
4．(多选)下列命题正确的有( )
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．“若 A，B，C → →，D是不共线的四点，且AB＝DC” “四边形 ABCD是平行四边形”
题型二 平面向量的线性运算
例 1 设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
例 2 (2020·合肥质检)在△ABC中，B→D 1B→＝ C，若A→B＝a →，AC →＝b，则AD等于( )
3
A.2a 1＋ b B.1a 2＋ b
3 3 3 3
C.1a 2b D.2a 1－ － b
3 3 3 3
命题点 3 根据向量线性运算求参数
例 3 (2021· → → → →河南八市联考改编)在等腰梯形 ABCD中，AB＝2DC，点 E是线段BC的中点，若AE
→
＝λAB＋μA→D，则λ＋μ＝________.
跟踪训练 1 (1)(2018·全国Ⅰ)在△ABC →中，AD为 BC边上的中线，E为 AD的中点，则EB等
于( )
A.3A→B 1A→C B.1A→B 3A→－ － C
4 4 4 4
C.3A→B 1A→C D.1→＋ AB 3→＋ AC
4 4 4 4
(2)在平行四边形 ABCD中，E，F分别为边 BC CD A→， 的中点，若 B＝xA→E＋yA→F(x，y∈R)，
则 x－y＝______.
题型三 共线定理的应用
例 4 设两向量 a 与 b 不共线．
(1) A→B a b B→若 ＝ ＋ ， C＝2a＋8b →，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
→ →
跟踪训练 2 (1)(2021·南昌质检)已知 a，b 是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，
若 A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( )
A．λμ＝1 B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2
(2)(2020· → →郑州模拟)设 e1与 e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，C
→D＝3e1－2ke2，
若 A，B，D三点共线，则 k的值为________．
【课后作业】
A 组
1．(2021·湖北宜昌一中月考)已知 a，b 是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确
的是( )
A．a＋b＝0 B．a＝b
C．a 与 b 共线反向 D．存在正实数λ，使 a＝λb
2.如图所示，在正六边形 ABCDEF →中，BA＋C→D →＋EF等于( )
A 0 B.B→． E
C.A→D D.C→F
3．已知平面内一点 P及△ABC，若P→A P→B → →＋ ＋PC＝AB，则点 P与△ABC的位置关系是( )
A．点 P在线段 AB上 B．点 P在线段 BC上
C．点 P在线段 AC上 D．点 P在△ABC外部
4．(2020·唐山模拟)已知 O是正方形 ABCD →的中心．若DO＝λA→B＋μA→C λ，其中λ，μ∈R，则 等
μ
于( )
A 2 B 1．－ ．－ C．－ 2 D. 2
2
5．(多选)下列说法中正确的是( )
A.A→B →＋BA＝0
B．若|a|＝|b|且 a∥b，则 a＝b
C．向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量
D．若 a∥b，则有且只有一个实数λ，使得 b＝λa
6．(多选)设点 M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A A→M 1A→．若 ＝ B 1A→＋ C，则点 M是边 BC的中点
2 2
B →．若AM＝2A→B →－AC，则点 M在边 BC的延长线上
C．若A→M → →＝－BM－CM，则点 M是△ABC的重心
D．若A→M xA→B → 1 1＝ ＋yAC，且 x＋y＝ ，则△MBC的面积是△ABC面积的
2 2
7．若|A→B|＝|A→C|＝|A→B →－AC|＝2，则|A→B＋A→C|＝________.
8．设向量 a，b 不平行，向量λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数λ＝____________.
|D→M|
9．设 M是△ABC → 3→ 3 →所在平面上的一点，且MB＋ MA＋ MC＝0，D是 AC的中点，则 ＝
2 2 |B→M|
________.
10 → →．已知 D，E，F分别为△ABC的边 BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命
→ 1 → 1 → 1 1 → → →
题：①AD＝ a－b；②BE＝a＋ b；③CF＝－ a＋ b；④AD＋BE＋CF＝0.
2 2 2 2
其中正确命题有________．
11．已知 a b → → →， 不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，O→D →＝d，OE＝e，设 t∈R，如果 3a＝c,2b
＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数 t使 C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数 t的值，
若不存在，请说明理由．
12.如图，在△ABC中，D为 BC的四等分点，且靠近 B点，E，F分别为 AC，AD的三等分
→ →
点，且分别靠近 A，D两点，设AB＝a，AC＝b.
(1)试用 a，b →表示BC A→D →， ，BE；
(2)证明：B，E，F三点共线．
B 组
13 → →．(多选)设 a，b 是不共线的两个平面向量， 已知PQ＝a＋sin α·b，其中α∈(0,2π)，QR＝
2a－b.若 P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )
A.π B.5π C.7π D.11π
6 6 6 6
14．(2020· → 2→ →广东六校联考)如图，在△ABC中，AN＝ NC，P是 BN上一点，若AP＝tA→B 1＋ A→C，
3 3
则实数 t的值为( )
A.2 B.2 C.1 D.3
3 5 6 4
C 组
15．(2020· —→ —→滁州模拟)已知 A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足A1M＝λ(A1A2
—→ —→ —→ —→
＋A1A3)(λ是实数)，且MA1＋MA2＋MA3是单位向量，则这样的点 M有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
16．经过△OAB的重心 G →的直线与 OA，OB分别交于点 P，Q，设OP＝mO→A O→， Q＝nO→B，
m，n∈R*.
(1) 1 1证明： ＋ 为定值；
m n
(2)求 m＋n的最小值．

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