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第 24讲 函数与方程
【考试要求】
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在性定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
【知识梳理】
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0的实数 x叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程 f(x)＝0有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 x轴有交点 函数 y＝f(x)有零点．
(3)函数零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0，那么，函
数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c也就是方程 f(x)＝0
的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)<0的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在
的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋
bx＋c (a>0)的图象
与 x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与 x轴的交点．( × )
(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)<0.( × )
(3)若 f(x)在(a，b)上连续，且 f(a)f(b)>0，则 f(x)在(a，b)上没有零点．( × )
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac<0时没有零点．( √ )
2．下列函数图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是( )
答案 C
解析 对于选项 C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分
法求解．
3．已知函数 y＝f(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6
则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 B
解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数 f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零
点，所以 y＝f(x)在[1,6]上至少有 3个零点．
4．若函数 f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数 a的取值范围是________．
答案 (－∞，4)
5．函数 f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数 a的值为( )
A 1 B 1 1．－ ．0 C. D．0或－
4 4 4
答案 D
解析 当 a＝0时，f(x)＝－x－1，令 f(x)＝0得 x＝－1，
故 f(x)只有一个零点为－1.
当 a≠0 1时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－ .
4
1
综上有 a＝0或－ .
4
6．若函数 f(x)＝ax＋b有一个零点 2，则函数 g(x)＝bx2－ax的零点是________．
1
答案 0，－
2
解析 由题意知 2a＋b＝0，
则 b＝－2a，
令 g(x)＝bx2－ax＝0，
得 x＝0或 x a 1＝ ＝－ ，
b 2
所以 g(x) 1的零点为 0，－ .
2
【典型例题】
题型一 函数零点所在区间的判定
1．(2020·开封模拟)函数 f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且 f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，
故 f(x)在(2,3)上有唯一零点，故选 C.
2．若 a间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析 函数 y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于 ac<0，b－c<0，因此 f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以
f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即 f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
3．(2020· 1湖南雅礼中学月考)设函数 f(x)＝ x－ln x，则函数 y＝f(x)( )
3
1
，1
A．在区间 e ，(1，e)内均有零点
1
，1
B．在区间 e ，(1，e)内均无零点
1
，1
C．在区间 e 内有零点，在区间(1，e)内无零点
1
，1
D．在区间 e 内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案 D
解析 f(x)的定义域为{x|x>0}，
f′(x) 1 1 x－3＝ － ＝ ，
3 x 3x
令 f′(x)>0 x>3，
f′(x)<0 0∴f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
1
又 f e 1 1＝ ＋1>0，f(1)＝ >0，
3e 3
1
，1
∴f(x)在 e 内无零点．
又 f(e) e＝ －1<0，∴f(x)在(1，e)内有零点．
3
4．已知 2答案 2
解析 方程 logax＝－x＋b的解，
即为函数 f(x)＝logax＋x－b的零点，
∴x0为 f(x)＝logax＋x－b的零点，
∵2∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又 f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，
∴x0∈(2,3)，即 n＝2.
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否
有 f(a)·f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x轴在给定区间上是否有交点来判断．
题型二 函数零点个数的判定
例 1 (1)函数 f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 方法一 ∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数 f(x)在区间(0,1)内有且只有 1个零点．
方法二 设 y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为 f(x)的零点个数．
故函数 f(x)在区间(0,1)内有且只有 1个零点．
(2)已知函数 y＝f(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数 F(x)
＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )
A．9 B．10 C．11 D．18
答案 B
解析 由函数 y＝f(x)的性质，画出函数 y＝f(x)的图象，如图，再作出函数 y＝|lg x|的图象，
由图可知，y＝f(x)与 y＝|lg x|共有 10个交点，
故原函数有 10个零点．
思维升华 函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，
还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个
不同的零点．
跟踪训练 1 (1)(2021·惠州质检)函数 f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由题意可知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数 y＝|x－2|(x>0)，
y＝ln x(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.
(2)函数 y＝lg|x|－sin x的零点个数为________．
答案 6
解析 在平面直角坐标系中，分别作出 y＝lg|x|与 y＝sin x的图象，
如图所示，
由图可知，两函数图象共有 6个交点，故原函数有 6个零点．
题型三 函数零点的应用
命题点 1 根据函数零点个数求参数
ex－a，x≤0，
例 2 已知函数 f(x)＝ (a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a的取
2x－a，x>0
值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
答案 A
解析 画出函数 f(x)的大致图象如图所示．因为函数 f(x)在 R 上有两个零点，所以 f(x)在(－∞，
0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当 x≤0 时，f(x)有一个零点，需 00 时，f(x)有
一个零点，需－a<0，即 a>0.综上，0命题点 2 根据函数零点范围求参数
例 3 函数 f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1,2)内有零点，则实数 k的取值范围是________．
答案 (0,3)
解析 令 f(x)＝0，
∴x·2x－kx－2＝0，
即 k 2x 2＝ － ，
x
即 y＝k与φ(x) 2＝2x－ ，x∈(1,2)的图象有交点，
x
又φ(x) 2＝2x－ 在(1,2)上单调递增，
x
且φ(1)＝0，φ(2)＝3.
∴0命题点 3 数形结合法求解函数零点问题
例 4 若函数 f(x)＝|logax|－2－x(a>0且 a≠1)的两个零点是 m，n，则( )
A．mn＝1 B．mn>1
C．0答案 C
1 1
解析 由题设可得|logax|＝ 2 x，不妨设 a>1，m所示，
1 1
结合图象可知 01，且－logam＝ 2 m，logan＝ 2 n，以上两式两边相减可得 loga(mn)
1 1
＝ 2 n－ 2 m<0，所以 0素养提升 (1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)
求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值．
(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问
题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．
(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象
间的关系解决问题，提升直观想象核心素养．
2|x|，x≤1，
跟踪训练 2 (2021·湖南雅礼中学检测)已知函数 f(x)＝ 若关于 x的方程 f(x)
x2－3x＋3，x>1，
＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数 a的取值范围为( )
1
，1 1
A. 2 B. 2
3 1
，
C. 8 2 ∪(1，＋∞) D．R
答案 C
解析 作出函数 f(x)的图象如图，
因为关于 x的方程 f(x)＝2a恰有两个不同实根，
所以 y＝2a与函数 y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，
得 2a>2 3或 <2a≤1.
4
解得 a>1 38 2
【课后作业】
A 组
1．函数 f(x)＝ln x 2－ 的零点所在的区间是( )
x－1
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
答案 B
解析 函数 f(x)＝ln x 2－ 在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续．因为 f(2)＝ln 2
x－1
－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以 f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
2．(2020· x青岛模拟)已知 x＝a是函数 f (x) 2 log1 x的零点，若 02
足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
答案 C
x
解析 f (x) 2 log1 x在(0，＋∞)上单调递增，且 f(a)＝0，
2
又 03．函数 f(x)＝x·cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 借助余弦函数的图象求解．f(x)＝x·cos 2x＝0 x＝0或 cos 2x＝0，又 cos 2x＝0在[0,2π]
π 3π 5π 7π
上有 ， ， ， ，共 4个根，故原函数有 5个零点．
4 4 4 4
4．(2020· 2济宁模拟)若函数 f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a的取值范围是
x
( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
答案 C
解析 由条件可知 f(1)·f(2)<0，
即(2－2－a)(4－1－a)<0，即 a(a－3)<0，
解得 02x－a，x≤0，
5．(多选)若函数 f(x)＝ 有两个不同的零点，则实数 a的取值可能为( )
ln x，x>0
A．－1 B.1 C．1 D．2
2
答案 BC
解析 当 x>0时，由 f(x)＝ln x＝0，得 x＝1.
因为函数 f(x)有两个不同的零点，
则当 x≤0时，函数 f(x)＝2x－a有一个零点．
令 f(x)＝0，得 a＝2x.
因为 0<2x≤20＝1，
所以 0－x2－2x，x≤0，
6．(多选)已知函数 f(x)＝ 若 x1|log2x|，x>0，
则下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1答案 BCD
－x2－2x，x≤0，
解析 由函数 f(x)＝ 作出其函数图象如图所示：
|log2x|，x>0，
由图可知，x1＋x2＝－2，－2当 y＝1时，|log 12x|＝1，有 x＝ ，2，
2
1
所以 2
由 f(x3)＝f(x4)，得|log2x3|＝|log2x4|，
即 log2x3＋log2x4＝0，
所以 x3x4＝1，
由图可知 07．已知函数 f(x) 2＝ ＋a的零点为 1，则实数 a的值为________．
3x＋1
1
答案 －
2
2 1
解析 依题意，f(1)＝ ＋a＝0，∴a＝－ .
3＋1 2
xln x，x>0，
8．(2021·济南模拟)已知函数 f(x)＝ 则 f(x)的零点为________．
x2－x－2，x≤0，
答案 －1和 1
x>0， x≤0，
解析 令 f(x)＝0得 或
xln x＝0 x2－x－2＝0，
解得 x＝1或 x＝－1，
∴f(x)的零点为－1和 1.
9．已知函数 f(x)＝|1－x2|＋a，若 f(x)有四个零点，则实数 a的取值范围是________．
答案 (－1,0)
解析 函数 y＝f(x)有四个零点，
即 y＝－a与 y＝|1－x2|有四个交点，
作出函数 y＝|1－x2|的图象如图，
由图可知 0<－a<1，即－12x＋4，x≤0，
10．已知函数 f(x)＝ 若函数 y＝f(f(x)＋m)有四个零点，则实数 m的取值范
2x－2，x>0，
围是________．
答案 [－3，－1)
解析 令 f(x)＝0 x＝－2或 1.
令 f(f(x)＋m)＝0得 f(x)＋m＝－2或 f(x)＋m＝1，
∴f(x)＝－2－m或 f(x)＝1－m.
作出 y＝f(x)的图象，如图所示．
y＝f(f(x)＋m)有四个零点，
∴f(x)＝－2－m，f(x)＝1－m各有两个根，
－1<－2－m≤4，
∴
－1<1－m≤4，
解得－3≤m<－1.
11．函数 f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为 2,3.
(1)求 b，c的值；
(2)若函数 g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1,2)，(2,4)内，求 m的取值范围．
解 (1)∵2,3为方程 x2＋bx＋c＝0的两根，
－b＝2＋3， b＝－5，
∴ ∴
c＝2×3. c＝6.
(2)由(1)知 f(x)＝x2－5x＋6.
∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，
g 1 >0，
1
依题意 g 2 <0， 解得－ g 4 >0，
1
－ ，0
故实数 m的取值范围是 2 .
1 1－
12．设函数 f(x)＝| x|(x>0)．
(1)作出函数 f(x)的图象；
(2)当 0a b
(3)若方程 f(x)＝m有两个不相等的正根，求实数 m的取值范围．
解 (1)函数 f(x)的图象如图所示．
1
－1，x∈ 0，1]，
1 1－ x
(2)因为 f(x)＝| x|＝
1 1－ ，x∈ 1，＋∞ ，
x
故 f(x)在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
由 01 1 1 1
且 －1＝1－ ，所以 ＋ ＝2.
a b a b
(3)由函数 f(x)的图象可知，当 0值范围为(0,1)．
B 组
13．(2020·长沙统考)已知函数 f(x)＝|ex－1|＋1，若函数 g(x)＝[f(x)－2][f(x)＋a]有三个零点，
则实数 a的取值范围是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 A
解析 作出 f(x)的图象如图所示，
令 g(x)＝0，
∴f(x)＝2或 f(x)＝－a，
∵f(x)＝2有一解，
∴f(x)＝－a有两解．
由图知 1<－a<2，
即－214．函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足 f(x＋2)＝f(x)．当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x，若方程
ax＋a－f(x)＝0(a>0)恰有三个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是________．
1
，1
答案 2
解析 f(x)为偶函数，且 T＝2，
当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x，
作出函数 y＝f(x)的图象如图，
方程 ax＋a－f(x)＝0(a>0)有三个解，
即 y＝f(x)与 y＝ax＋a有三个交点，
又 y＝ax＋a＝a(x＋1)恒过定点(－1,0)，
1
如图，kAB＝1，kAC＝ ，
2
1
故 2
C 组
15．对于函数 f(x)和 g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|<1，则
称 f(x)与 g(x)互为“零点相邻函数”．若函数 f(x)＝ex－1＋x－2与 g(x)＝x2－ax＋1互为“零点
相邻函数”，则实数 a的取值范围是( )
2 5，
A. 2 B．[2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 B
解析 f(x)＝ex－∵ 1＋x－2，∴f(x)在 R 上单调递增，
又 f(1)＝e0＋1－2＝0，
∴f(x)有唯一零点为 1，
令 g(x)的零点为 x0，
依题意知|x0－1|<1，即 0即函数 g(x)在(0,2)上有零点，
令 g(x)＝0，则 x2－ax＋1＝0在(0,2)上有解，
即 a＝x 1＋ 在(0,2)上有解，
x
∵x 1 1＋ ≥2，当且仅当 x＝ ，
x x
即 x＝1时取等号，∴a≥2.
2
－2，x∈[0，1 ，
16．定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x≥0时，f(x)＝ x＋1 求函数 F(x)
1－|x－3|，x∈[1，＋∞ ，
1
＝f(x)－ 的所有零点之和．
π
解 由题意知，当 x<0时，
2
＋2，x∈ －1，0 ，
f(x)＝ x－1
|x＋3|－1，x∈ －∞，－1]，
作出函数 f(x)的图象如图所示，
1
设函数 y＝f(x)的图象与 y＝ 交点的横坐标从左到右依次为 x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称
π
性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，
2 2 1 1令 ＋ ＝ ，解得 x3＝ ，
x－1 π 1－2π
所以函数 F(x)＝f(x) 1 1－ 的所有零点之和为 .
π 1－2π第 24讲 函数与方程
【知识梳理】
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于函数 y＝f(x)，我们把使 的实数 x叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程 f(x)＝0有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 有交点 函数 y＝f(x)有 ．
(3)函数零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，
函数 y＝f(x)在区间 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 ，这个 c也就是方程
f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在
的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋
bx＋c (a>0)的图象
与 x轴的交点
零点个数
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与 x轴的交点．( )
(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)<0.( )
(3)若 f(x)在(a，b)上连续，且 f(a)f(b)>0，则 f(x)在(a，b)上没有零点．( )
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac<0时没有零点．( )
2．下列函数图象与 x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是( )
3．已知函数 y＝f(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6
则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．若函数 f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数 a的取值范围是________．
5．函数 f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数 a的值为( )
A 1 B 0 C.1 1．－ ． D．0或－
4 4 4
6．若函数 f(x)＝ax＋b有一个零点 2，则函数 g(x)＝bx2－ax的零点是________．
【典型例题】
题型一 函数零点所在区间的判定
1．(2020·开封模拟)函数 f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
2．若 a间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
3 (2020· ) f(x) 1． 湖南雅礼中学月考 设函数 ＝ x－ln x，则函数 y＝f(x)( )
3
1
，1
A．在区间 e ，(1，e)内均有零点
1
，1
B．在区间 e ，(1，e)内均无零点
1
，1
C．在区间 e 内有零点，在区间(1，e)内无零点
1
，1
D．在区间 e 内无零点，在区间(1，e)内有零点
4．已知 2题型二 函数零点个数的判定
例 1 (1)函数 f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知函数 y＝f(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数 F(x)
＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )
A．9 B．10 C．11 D．18
跟踪训练 1 (1)(2021·惠州质检)函数 f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)函数 y＝lg|x|－sin x的零点个数为________．
题型三 函数零点的应用
ex－a，x≤0，
例 2 已知函数 f(x)＝ (a∈R)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a的取
2x－a，x>0
值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
例 3 函数 f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1,2)内有零点，则实数 k的取值范围是________．
例 4 －若函数 f(x)＝|logax|－2 x(a>0且 a≠1)的两个零点是 m，n，则( )
A．mn＝1 B．mn>1
C．02|x|，x≤1，
跟踪训练 2 (2021·湖南雅礼中学检测)已知函数 f(x)＝ 若关于 x的方程 f(x)
x2－3x＋3，x>1，
＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数 a的取值范围为( )
1 1 1，
A. 2 B. 2
3 1
，
C. 8 2 ∪(1，＋∞) D．R
【课后作业】
A 组
1 f(x) ln x 2．函数 ＝ － 的零点所在的区间是( )
x－1
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
2．(2020·青岛模拟)已知 x＝a是函数 f (x) 2x log1 x的零点，若 02
足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
3．函数 f(x)＝x·cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．(2020· 2济宁模拟)若函数 f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a的取值范围是
x
( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
2x－a，x≤0，
5．(多选)若函数 f(x)＝ 有两个不同的零点，则实数 a的取值可能为( )
ln x，x>0
A．－1 B.1 C．1 D．2
2
－x2－2x，x≤0，
6．(多选)已知函数 f(x)＝ 若 x1|log2x|，x>0，
则下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．17．已知函数 f(x) 2＝ ＋a的零点为 1，则实数 a的值为________．
3x＋1
xln x，x>0，
8．(2021·济南模拟)已知函数 f(x)＝ 则 f(x)的零点为________．
x2－x－2，x≤0，
9．已知函数 f(x)＝|1－x2|＋a，若 f(x)有四个零点，则实数 a的取值范围是________．
2x＋4，x≤0，
10．已知函数 f(x)＝ 若函数 y＝f(f(x)＋m)有四个零点，则实数 m的取值范
2x－2，x>0，
围是________．
11．函数 f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为 2,3.
(1)求 b，c的值；
(2)若函数 g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1,2)，(2,4)内，求 m的取值范围．
|1 1－12．设函数 f(x)＝ x|(x>0)．
(1)作出函数 f(x)的图象；
(2)当 0a b
(3)若方程 f(x)＝m有两个不相等的正根，求实数 m的取值范围．
B 组
13．(2020·长沙统考)已知函数 f(x)＝|ex－1|＋1，若函数 g(x)＝[f(x)－2][f(x)＋a]有三个零点，
则实数 a的取值范围是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
14．函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足 f(x＋2)＝f(x)．当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x，若方程
ax＋a－f(x)＝0(a>0)恰有三个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是________．
C 组
15．对于函数 f(x)和 g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|<1，则
－
称 f(x)与 g(x)互为“零点相邻函数”．若函数 f(x)＝ex 1＋x－2与 g(x)＝x2－ax＋1互为“零点
相邻函数”，则实数 a的取值范围是( )
2 5，
A. 2 B．[2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
2
－2，x∈[0，1 ，
16．定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x≥0时，f(x)＝ x＋1 求函数 F(x)
1－|x－3|，x∈[1，＋∞ ，
f(x) 1＝ － 的所有零点之和．
π

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