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第 21讲 指数与指数函数
【知识梳理】
1．根式
(1)如果 xn＝a，那么 叫做 a的 n次方根．
n
(2)式子 a叫做 ，其中 n叫做根指数，a叫做被开方数．
n
(3)( a)n＝ .
n
当 n为奇数时， an＝a，
n a，a≥0，
当 n为偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
2．分数指数幂
m
n
正数的正分数指数幂， a n ＝ am(a>0，m，n∈N*，n>1)．
m

n 1 1正数的负分数指数幂， a m ＝n (a>0，m，n∈N*，n>1)．
a n a
m
0的正分数指数幂为 ,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x是自变量，函数的定义域是 R，
a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域
值域
性质
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4
(1) －4 4＝－4.( )
(2)2a·2b＝2ab.( )
(3)函数 y＝3·2x与 y＝2x＋1都不是指数函数．( )
(4)若 am0，且 a≠1)，则 m4
2．化简 16x8y4(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
3 －．函数 f(x)＝ax 1＋2(a>0且 a≠1)的图象恒过定点________．
1 1 3

3 3 34
4 3 4
．已知 a ,b ,c ,则 a，b，c的大小关系是________．
5 5 2
5．若函数 f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则 a＝______.
6．函数 f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为 2，则 a＝______.
【典型例题】
题型一 指数幂的运算
2 7 1
83
－ 0 41．计算： － 8 ＋ 3－π 4＋[( 2)6]2 ＝______.
1

1 2 (4ab 1)32．计算： 1 ＝________.(a>0，b>0) 4 (0.1) 1 (a3 b 3)2
3 3
1 1
x 2 x 2 3
3．若 x 2 x 2 3，则
x2 x 2
＝________.
2
题型二 指数函数的图象及应用
例 1 (1)(多选)已知实数 a，b满足等式 2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．0(2)若函数 f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数 b的取值范围是________．
跟踪训练 1 (1)(2021·山东师大附中月考)函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
(2)函数 f(x) ax－＝ b的图象如图所示，其中 a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0题型三 指数函数的性质及应用
命题点 1 比较指数式的大小
例 2 (2020·全国Ⅱ)若 2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
[高考改编题]若 ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
命题点 2 解简单的指数方程或不等式
1 x 22
例 3 (1) 2x 1 若 ≤ ，则函数 y＝2x的值域是( )
4
1 2 1， ，2
A. 8 B. 8
1
－∞，
C. 8 D．[2，＋∞)
4x，x≥0，
(2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝ 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a的值为______．
2a－x，x<0，
例 4 (1) －已知函数 f(x)＝2|2x m|(m为常数)，若 f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则 m的取值范
围是________．
(2)不等式 4x－2x＋1＋a>0对任意 x∈R 都成立，则实数 a的取值范围是________．
跟踪训练 2 (1)(多选)下列各式比较大小正确的是( )
2
3 4
A．1.72.5>1.73
1
B. 2 3
2
3 2
2 40.3 3.1 3 3C．1.7 >0.9 D. 3

4
1
(2) m n R m1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
ax2 4x 3
(3)函数 f (x) 1 .若 f(x)在(－∞，－3)上单调递减，则 a的取值范围是________．
3
【课后作业】
A 组
1．若实数 a>0，则下列等式成立的是( )
A．( 2)－－ 2＝4 B 2a－3 1． ＝
2a3
1

C．(－2)0＝－1 D． (a 4 )4 1
a
2．已知 a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则 a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
1 －－2 x，x≥0，
3．已知函数 f(x)＝ 则函数 f(x)是( )
2x－1，x<0，
A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减
4．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数 R0与世代间隔 T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本
再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠
肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的
变化规律，指数增长率 r与 R0，T近似满足 R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R0＝3.28，
T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 (ln
2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
5．(多选)函数 y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是( )
6．(多选)设函数 f(x)＝2x，对于任意的 x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
x ＋x
C.f x1 －f
1 2
x2 >0 D f ＋f x2
．
x1－x2 2
2 1 1 1
(a 3 b 1

) 2 a 2 b3
7．化简： (a>0，b>0)＝________.
6 a b5
8．已知函数 f(x)＝ax(a>0 a，且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ，则 a的值为________．
2
9．(2020·西安调研)已知 01
x
10．已知函数 f(x)＝ － 2 ，a≤x<0， 的值域是[－8,1]，则实数 a的取值范围是________．
－x2＋2x，0≤x≤4
11．已知函数 f(x)＝b·ax(其中 a，b为常数，且 a>0，a≠1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24)．
(1)求 f(x)的解析式；
1 1
(2)若不等式 a x＋ b x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数 m的取值范围．
x
12．已知函数 f(x) 4 ＋m＝ 是奇函数．
2x
(1)求实数 m的值；
(2) g(x) 2x＋设 ＝ 1－a，若函数 f(x)与 g(x)的图象有公共点，求实数 a的取值范围．
B 组
13．若关于 x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且 a≠1)有两个不相等的实根，则 a的取值范围是( )
0 1 1， 0，
A. 2 ∪(1，＋∞) B. 2
1
，1
C. 2 D．(1，＋∞)
14．如果函数 y＝a2x＋2ax－1(a>0，且 a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是 14，则 a 的值为
________．
C 组
15．(2019·全国Ⅱ)2019年 1月 3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，
我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面
与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地
月拉格朗日 L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M1，
月球质量为 M2，地月距离为 R，L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，
r M1 M M r满足方程： ＋ 2＝ (R＋ r) 1 .设 α＝ .由于α的值很小，因此在近似计算中
R＋r 2 r2 R3 R
3α3＋3α4＋α5
≈3α3，则 r的近似值为( )
1＋α 2
A. M2R B. M2
3
R C. 3M2
3
R D. M2 R
M1 2M1 M1 3M1
16 R f(x) 2x 1．已知定义在 上的函数 ＝ － .
2|x|
(1)若 f(x) 3＝ ，求 x的值；
2
(2)若 2tf(2t)＋mf(t)≥0对于 t∈[1,2]恒成立，求实数 m的取值范围．第 21讲 指数与指数函数
【考试要求】
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用．
【知识梳理】
1．根式
(1)如果 xn＝a，那么 x叫做 a的 n次方根．
n
(2)式子 a叫做根式，其中 n叫做根指数，a叫做被开方数．
n
(3)( a)n＝a.
n
当 n为奇数时， an＝a，
n a，a≥0，
当 n为偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
2．分数指数幂
m
n
正数的正分数指数幂， a n ＝ am(a>0，m，n∈N*，n>1)．
m
1
正数的负分数指数幂， a n 1 m ＝n (a>0，m，n∈N*，n>1)．
a n a
m
0的正分数指数幂为 0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x是自变量，函数的定义域是 R，
a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即 x＝0时，y＝1
当 x>0时，y>1； 当 x<0时，y>1；
当 x<0时，00时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4
(1) －4 4＝－4.( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)函数 y＝3·2x ＋与 y＝2x 1都不是指数函数．( √ )
(4)若 am0，且 a≠1)，则 m4
2．化简 16x8y4(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
答案 D
3．函数 f(x)＝ax－1＋2(a>0且 a≠1)的图象恒过定点________．
答案 (1,3)
1 1 3
3 3 3 4 3

4
4 ．已知 a ,b ,c ,则 a，b，c的大小关系是________．
5 5 2
答案 c3
解析 ∵y＝ 5 x是 R 上的减函数，
1 1
3 0 3 3 4 3
∴ 5
5
,即 a>b>1，
5
3
3 3 0c
4
又 =1，∴c 2 2
5．若函数 f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则 a＝______.
答案 2
a2－3＝1，
解析 依题意
a>0且 a≠1，
解得 a＝2.
6．函数 f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为 2，则 a＝______.
答案 2 1或
2
解析 当 a>1时，f(x)＝ax为增函数，
则 a1＝2，
∴a＝2满足题意，
当 0则 a－1 1＝2，∴a＝ 满足题意，
2
综上有 a 2 1＝ 或 .
2
【典型例题】
题型一 指数幂的运算
2 7 1
－ 4
1．计算：83 － 8 0＋ 3－π 4＋[( 2)6]2 ＝______.
答案 π＋8
2 1
3 6
解析 原式＝ (2 )3 －1＋|3－π|＋ (2 )2
＝4－1＋π－3＋23
＝π＋8.
1

1 2 (4ab 1)32．计算： 4

1
＝________.(a>0，b>0)
(0.1) 1 (a3 b 3)2
8
答案
5
3 3 3

2 42 a 2b 2 8
解析 原式＝ 3 3 .

10a 2b 2 5
3 3
1 1
2 2
3．若 x 2 x 2 3 x x 3，则
x2 2
＝________.
x 2
1
答案
3
1 1

解析 由 x 2 x 2 3，两边平方，得 x＋x－1＝7，
再平方得 x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
3 3 1 1 1 1

x2 x 2 (x2 )3 (x 2 )3 (x2 x 2 )(x 1 x 1) 3 (7 1) 18.
3 3

x 2 x 2 3 1
∴ 2 ＝ .x x 2 2 3
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，
还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
题型二 指数函数的图象及应用
例 1 (1)(多选)已知实数 a，b满足等式 2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．0答案 ABD
解析 如图，观察易知，a(2)若函数 f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数 b的取值范围是________．
答案 (0,2)
解析 在同一平面直角坐标系中画出 y＝|2x－2|与 y＝b的图象，如图所示．
∴当 0∴b的取值范围是(0,2)．
思维升华 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通
过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数 a与 1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
跟踪训练 1 (1)(2021·山东师大附中月考)函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
答案 A
解析 方法一 当 x＝0时，y＝0，排除 C.
又 f(x)为偶函数，排除 B，D，故选 A.
方法二 y＝1－e|x|的图象可由 y＝e|x|关于 x轴对称得到 y＝－e|x|的图象，再向上平移一个单位
长度得到，故选 A.
(2)函数 f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中 a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0答案 D
解析 由 f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数 f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以 0又 f(0)＝a－b∴－b>0，即 b<0.
题型三 指数函数的性质及应用
命题点 1 比较指数式的大小
例 2 (2020·全国Ⅱ)若 2x－2y<3－x －－3 y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
答案 A
解析 设函数 f(x)＝2x－3－x.
因为函数 y＝2x与 y＝－3－x在 R 上均单调递增，
所以 f(x)在 R 上单调递增．
原式等价于 2x－3－x<2y－3－y，即 f(x)所以 x0，所以 A正确，B不正确．
因为|x－y|与 1的大小关系不能确定，所以 C，D不正确．
[高考改编题] ea πb e－若 ＋ ≥ b＋π－a，下列结论一定成立的是( )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
答案 D
解析 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a －≥e b－πb，①
令 f(x)＝ex－π－x，
则 f(x)是 R 上的增函数，
①式即为 f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即 a＋b≥0.
命题点 2 解简单的指数方程或不等式
1 x 22
例 3 (1) 2x 1 若 ≤ ，则函数 y＝2x的值域是( )
4
1 1
，2 ，2
A. 8 B. 8
1
－∞，
C. 8 D．[2，＋∞)
答案 B
1
解析 4 x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，
x22 1∴ ≤2 2x 4 ,
即 x2＋1≤－2x＋4，即 x2＋2x－3≤0，
∴－3≤x≤1，此时 y＝2x的值域为[2－3，21]，
1
，2
即为 8 .
4x，x≥0，
(2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝ 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a的值为______．
2a－x，x<0，
1
答案
2
解析 当 a<1时，41－a＝21 1，解得 a＝ ；
2
当 a>1 1时，代入不成立．故 a的值为 .
2
命题点 3 指数函数性质的综合应用
例 4 (1)已知函数 f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若 f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则 m的取值范
围是________．
答案 (－∞，4]
m m
，＋∞ －∞，
解析 令 t＝|2x－m|，则 t＝|2x－m|在区间 2 上单调递增，在区间 2 上单调递
m
减．而 y＝2t是增函数，所以要使函数 f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有 ≤2，即 m≤4，
2
所以 m的取值范围是(－∞，4]．
(2) 4x 2x＋不等式 － 1＋a>0对任意 x∈R 都成立，则实数 a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 原不等式可化为 a>－4x＋2x＋1对 x∈R 恒成立，
令 t＝2x，则 t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，
当 t＝1时，ymax＝1，∴a>1.
思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，
比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最
值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练 2 (1)(多选)下列各式比较大小正确的是( )
2
3 4
A．1.72.5>1.73
1
B. 2 3
2
3 2
4 3
C．1.70.3
2 3
>0.93.1 D. 3

4
答案 BCD
解析 ∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故 A不正确．
4 1 2 44 4
1 3 3 3 2 3 ，y＝ 2 x
1 1
为减函数，∴ 2 3 ，故 B正确；
2 2 2
∵1.70.3>1，而 0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故 C正确；
2 3 2 2 4x 2 3y＝ 3 为减函数，∴ 3
,
3
2 2
2 3
y x3 2 3(0 )
3
又 在 ，＋∞ 上递增，∴ 3 4
,

3 2 2
2 4 2
3 3 3
∴ ，故 D正确．
3 3 4
1
(2)设 m，n∈R，则“m1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
1
解析 2 m－n>1，
1 1
即 2 m－n> 2 0，
∴m－n<0，∴m1
故 －“m1”的充要条件．
ax2 4x 3
(3)函数 f (x) 1 .若 f(x)在(－∞，－3)上单调递减，则 a的取值范围是________．
3
2
－∞，－
答案 3
1
解析 令 t＝ax2－4x＋3，则 y＝ 3 t，
1
∵y＝ 3 t为减函数，
∴t＝ax2－4x＋3在(－∞，－3)上单调递增，
a<0，
则 2
≥－3，
a
2
解得 a≤－ .
3
【课后作业】
A 组
1．若实数 a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3 1＝
2a3
1

C．(－2)0 4
1
＝－1 D． (a 4 )
a
答案 D
1 2
解析 对于 A，(－2)－2＝ ，故 A 错误；对于 B,2a－3＝ 3，故 B错误；对于 C，(－2)
0＝1，
4 a
1
1
故 C错误；对于 D， (a 4 )4 ，故 D正确．
a
2．已知 a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则 a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 y＝0.4x为减函数，
∴0.40.6<0.40.2<0.40＝1，
又 20.2>1，即 a>b>c.
1 2－－ x，x≥0，
3．(2020·东北四校联考)已知函数 f(x)＝ 则函数 f(x)是( )
2x－1，x<0，
A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
答案 C
解析 作出函数 f(x)的图象(图略)，由图可知 f(x)为奇函数，且 f(x)在 R 上为增函数．
4．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数 R0与世代间隔 T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本
再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠
肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的
变化规律，指数增长率 r与 R0，T近似满足 R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R0＝3.28，
T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 (ln
2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
答案 B
解析 由 R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
r R0－1 3.28－1得 ＝ ＝ ＝0.38.
T 6
由题意，累计感染病例数增加 1倍，
则 I(t2)＝2I(t1)，
即 e0.38t2 2e0.38t1 ,
所以 e0.38(t2 t1 ) 2,
即 0.38(t2－t1)＝ln 2，
t t ln 2 0.69所以 2－ 1＝ ≈ ≈1.8.
0.38 0.38
5．(多选)函数 y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是( )
答案 BC
解析 当 a>1时，y＝ax－a为增函数，且过点(1,0)，
当 x＝0时，y＝1－a<0，故选项 A不正确，B正确．
当 0当 x＝0时，y＝1－a∈(0,1)，故选项 C正确，D不正确．
6．(多选)设函数 f(x)＝2x，对于任意的 x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C.f x1 －f x2 >0
x1－x2
x1＋x2
D．f 2 <
f x1 ＋f x2
2
答案 ACD
解析 2x1·2x2＝2x1＋x2，所以 A成立，
2x1＋2x2≠2x1x2，所以 B不成立，
函数 f(x)＝2x在 R 上是增函数，
x >x f x1 －f x2 若 1 2，则 f(x1)>f(x2)，则 >0，
x1－x2
若 x1f x1 －f x2
2，则 f(x1)0，故 C正确，
x1－x2
x1＋x2
f 2 <
f x1 ＋f x2
说明函数是凹函数，可知 f(x)＝2x的图象满足条件，故 D正确．
2
2 1 1 1
(a 3 b 1

) 2 a 2 b3
7．化简： (a>0，b>0)＝________.
6 a b5
1
答案
a
1
1 1 1
a 3b 2 a 2b3 1 1 1 1 1 5
解析 原式＝ a 3 2 6 b 2 3 6 11 5 .
a 6b6 a
8 f(x) ax(a>0 a 1) [1,2] a．已知函数 ＝ ，且 ≠ 在 上的最大值比最小值大 ，则 a的值为________．
2
1 3
答案 或
2 2
a
解析 当 02
∴a 1＝ 或 a＝0(舍去)．
2
当 a>1时，a2－a a＝ ，
2
a 3∴ ＝ 或 a＝0(舍去)．
2
综上所述，a 1 3＝ 或 .
2 2
9．(2020·西安调研)已知 0答案 ab
解析 ∵0∴ab>aa，ba又 y＝xb在(0，＋∞)上单调递增，∴ab>bb.
综上，ab最大．
1
x
10．已知函数 f(x)＝ － 2 ，a≤x<0， 的值域是[－8,1]，则实数 a的取值范围是________．
－x2＋2x，0≤x≤4
答案 [－3,0)
解析 当 0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，
1
－ ，－1
当 a≤x<0时，f(x)∈ 2a ，
1
－ ，－1
所以 2a ?[－8,1]，
即－8 1≤－ <－1，即－3≤a<0.
2a
所以实数 a的取值范围是[－3,0)．
11．已知函数 f(x)＝b·ax(其中 a，b为常数，且 a>0，a≠1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24)．
(1)求 f(x)的解析式；
1 1
(2)若不等式 a x＋ b x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数 m的取值范围．
解 (1)因为 f(x)的图象过 A(1,6)，B(3,24)，
b·a＝6，
所以 所以 a2＝4，
b·a3＝24.
又 a>0，所以 a＝2，b＝3.所以 f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知 a＝2，b＝3，
1 1
则当 x∈(－∞，1]时， 2 x＋ 3 x－m≥0恒成立，
1 1
即 m≤ 2 x＋ 3 x在(－∞，1]上恒成立．
1 1 1 1
又因为 y＝ 2 x与 y＝ 3 x在(－∞，1]上均单调递减，所以 y＝ 2 x＋ 3 x在(－∞，1]上也单调
1 1 5
－∞，
递减，所以当 x＝1时，y 5 5＝ 2 x＋ 3 x有最小值 ，所以 m≤ ，即 m的取值范围是 6 .
6 6
x
12 f(x) 4 ＋m．已知函数 ＝ 是奇函数．
2x
(1)求实数 m的值；
(2)设 g(x)＝2x＋1－a，若函数 f(x)与 g(x)的图象有公共点，求实数 a的取值范围．
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，得 m＝－1，
经检验当 m＝－1时，f(x)为奇函数，∴m＝－1.
x
(2) 4 －1令 ＝2x＋1－a，
2x
令 t＝2x，∴t>0，
t2－1
∴ ＝2t－a，
t
即 a＝t 1＋ ，
t
∴方程 a t 1＝ ＋ 有正实数根，
t
1
∵t＋ ≥2，当且仅当 t＝1时取等号．∴a≥2.
t
即实数 a的取值范围是[2，＋∞)．
B 组
13．若关于 x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且 a≠1)有两个不相等的实根，则 a的取值范围是( )
0 1 1， 0，
A. 2 ∪(1，＋∞) B. 2
1
，1
C. 2 D．(1，＋∞)
答案 B
解析 方程|ax－1|＝2a(a>0，且 a≠1)有两个不相等实根转化为函数 y＝|ax－1|与 y＝2a的图象
有两个交点．
(1)当 02
(2)当 a>1时，如图②，而 y＝2a>1不符合要求．
所以 02
14．如果函数 y＝a2x＋2ax－1(a>0，且 a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是 14，则 a 的值为
________．
答案 3 1或
3
解析 令 ax＝t，则 y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当 a>1时，因为 x∈[－1,1]，所以
1 1
，a ，a
t∈ a ，又函数 y＝(t＋1)2－2在 a 上单调递增，所以 ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得 a＝
a 1 a 1， ，
3(负值舍去)．当 01
＋1
上单调递增，则 ymax＝ a 2 2 1 1－ ＝14，解得 a＝ (负值舍去)．综上，a＝3或 a＝ .
3 3
C 组
15．(2019·全国Ⅱ)2019年 1月 3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，
我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面
与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地
月拉格朗日 L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M1，
月球质量为 M2，地月距离为 R，L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，
r M1 M2 (R r)M1 . α r满足方程： ＋ ＝ ＋ 设 ＝ .由于α的值很小，因此在近似计算中
R＋r 2 r2 R3 R
3α3＋3α4＋α5
≈3α3，则 r的近似值为( )
1＋α 2
A. M2
3 3
R B. M2 R C. 3M2R D. M2 R
M1 2M1 M1 3M1
答案 D
M1 M2 1 rM1 M2 M1 ＋(R r) R M . r M1 M解析 由 ＋ ＝ ＋ ，得 r ＋ r ＝ 1 因为α＝ ，所以 ＋ 2＝
R＋r 2 r2 R3 1＋R 2 2
R
R 1＋α
2 α2
3 4 5 3 4 5 r
(1 α)M 3α ＋3α ＋α M＋ ，得 ＝ 2. 3α ＋3α ＋α1 由 ≈3α3，得 3α3 M≈ 2，即 3 R 3 M≈ 2，所以
1＋α 2 M1 1＋α 2 M1 M1
3
r M2≈ ·R，故选 D.
3M1
16 1．已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2x－ .
2|x|
(1)若 f(x) 3＝ ，求 x的值；
2
(2)若 2tf(2t)＋mf(t)≥0对于 t∈[1,2]恒成立，求实数 m的取值范围．
解 (1)当 x<0时，f(x)＝0，无解；
当 x≥0 1时，f(x)＝2x－ ，
2x
2x 1 3由 － ＝ ，得 2·22x－3·2x－2＝0，
2x 2
将上式看成关于 2x的一元二次方程，
1
解得 2x＝2或 2x＝－ ，
2
因为 2x>0，所以 x＝1.
22t 1 1t － 2
t－
(2)当 t∈[1,2]时，2 22t ＋m 2t ≥0，
即 m(22t－1)≥－(24t－1)，
因为 22t－1>0 ，
所以 m≥－(22t＋1)，
因为 t∈[1,2]，
所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数 m的取值范围是[－5，＋∞)．

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