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第 23讲 函数的图象
【知识梳理】
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
a>1 1，横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变
①y＝f(x)――――――――――――a―1 ――――――→y＝f(ax)．0a
a>1，纵坐标伸长为原来的 a倍，横坐标不变
②y＝f(x)――――――――――――――――――――→0(3)对称变换
关于 x轴对称
①y＝f(x)――――――→y＝－f(x)．
关于 y轴对称
②y＝f(x)―――――→y＝f(－x)．
关于原点对称
③y＝f(x)――――――→y＝－f(－x)．
关于 y＝x对称
④y＝ax (a>0且 a≠1)――――――――→y＝logax(a>0且 a≠1)．
(4)翻折变换
保留 x轴上方图象
①y＝f(x)――――――――――→x y＝|f(x)|.将 轴下方图象翻折上去
保留 y轴右边图象，并作其
②y＝f(x)――――――――――→y y＝f(|x|)．关于 轴对称的图象
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y＝f(1－x)的图象，可由 y＝f(－x)的图象向左平移 1个单位长度得到．( )
(2)当 x∈(0，＋∞)时，函数 y＝|f(x)|与 y＝f(|x|)的图象相同．( )
(3)函数 y＝f(x)的图象关于 y轴对称即函数 y＝f(x)与 y＝f(－x)的图象关于 y轴对称．( )
(4)若函数 y＝f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1对称．( )
x2，x<0，
2．下列图象是函数 y＝ 的图象的是( )
x－1，x≥0
3．在 2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量 Q随时间 t变化的图象
是( )
4.已知函数 f(x)在 R 上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2则实数 t的值为________．
5．函数 f(x)的图象向右平移 1个单位长度，所得到的图象与函数 y＝ex的图象关于 y轴对称，
则 f(x)等于( )
A ex＋． 1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
6．将函数 f(x)＝2x＋3 的图象向右平移 3 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)＝
________.
【典型例题】
题型一 作出函数的图象
例 1 作出下列函数的图象：
(1)y ＋＝2x 1－1； (2)y＝|lg(x－1)|；
(3)y＝x2－|x|－2.
跟踪训练 1 作出下列函数的图象：
(1)y 2x－1＝ ； (2)y＝|x2－4x＋3|.
x－1
题型二 函数图象的辨识
例 2 (1)(2019· ) f(x) sin x＋x全国Ⅰ 函数 ＝ 在[－π，π]上的图象大致为( )
cos x＋x2
(2)如图可能是下列哪个函数的图象( )
x
A．y＝2x－x2－1 B 2 sin x．y＝
4x＋1
C．y＝(x2－2x)ex D．y x＝
ln x
x －x
跟踪训练 2 (1)(2021·武汉调研) 3 －3函数 f(x)＝ 的大致图象为( )
x4
(2)设函数 f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝－|f(x)|
C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)
题型三 函数图象的应用
命题点 1 研究函数的性质
例 3 已知函数 f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
|lg x|，x>0，
例 4 (1)已知 f(x)＝ 则函数 y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
2|x|，x≤0，
(2)设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且 f(1) 0 f x －f －x ＝ ，则不等式 <0的解集为( )
x
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
例 5 (2021·唐山模拟)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，
则实数 k的取值范围是__________．
跟踪训练 3 (1)若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是
________．
(2)已知函数 y＝f(x)的图象是圆 x2＋y2＝2 上的两段弧，如图所示，则不等式 f(x)>f(－x)－2x
的解集是________．
【课后作业】
A 组
1．函数 y＝－ex的图象( )
A．与 y＝ex的图象关于 y轴对称 B．与 y＝ex的图象关于坐标原点对称
C y e－x －．与 ＝ 的图象关于 y轴对称 D．与 y＝e x的图象关于坐标原点对称
2．函数 f(x)＝(2x＋2－x)ln|x|的图象大致为( )
3 y lg x＋3．为了得到函数 ＝ 的图象，只需把函数 y＝lg x的图象上所有的点( )
10
A．向左平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度
B．向右平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度
C．向左平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度
D．向右平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度
4．下列函数中，其图象与函数 f(x)＝ln x的图象关于直线 x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
5．(多选)将函数 f(x)的图象沿 x轴向左平移 1 个单位长度，得到奇函数 g(x)的图象，则下列
函数 f(x)不能满足条件的是( )
A．f(x) 1＝ B．f(x)＝ex－1 e1－－ x
x＋1
C．f(x) x 2＝ ＋ D．f(x)＝log2(x＋1)＋1
x
6．(多选)对于函数 f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
7．已知函数 y＝f(－x)的图象过点(4,2)，则函数 y＝f(x)的图象一定过点________．
8 f(x) ax－2．若函数 ＝ 的图象关于点(1,1)对称，则实数 a＝________.
x－1
1 1
9．(2020·福州质检)设函数 y＝f(x) ＋的图象与 y＝ 3 x a的图象关于直线 y＝x对称，且 f(3)＋f 3
＝4，则实数 a＝________.
10．已知函数 f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数 m的取值范围是________．
3－x，x≥0，
11．已知函数 f(x)＝ 试讨论方程 f(x)－a＝0的根的个数情况．
－x2－4x，x<0，
12．已知函数 f(x)＝2x，x∈R.
(1)当 m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式 f2(x)＋f(x)－m>0在 R 上恒成立，求 m的取值范围．
B 组
13.如图，圆与两坐标轴分别切于 A，B两点，圆上一动点 P从 A开始沿圆周按逆时针方向匀
速旋转回到 A点，则与△OBP的面积随时间变化的图象相符合的是( )
14．(2020·济南模拟)若直角坐标系内 A，B两点满足：
(1)点 A，B都在 f(x)图象上；(2)点 A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数 f(x)的一个“和
x2＋2x x<0 ，
谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数 f(x)＝ 2 x≥0 则 f(x)，
ex
的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C 组
1
15．(2020·太原调研)已知函数 g(x) －＝－ 2 |x 1|，h(x)＝cos πx，当 x∈(－2,4)时，函数 g(x)与 h(x)
n
的交点横坐标分别记为 xi(i＝1,2，…，n)，则 xi i等于( )
i 1
A．5 B．6 C．7 D．8
16.如图，函数 y＝f(x)的图象由曲线段 OA和直线段 AB构成．
(1)写出函数 y＝f(x)的一个解析式；
(2)提出一个能满足函数 y＝f(x)的图象变化规律的实际问题．第 23讲 函数的图象
【考试要求】
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
【知识梳理】
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
a>1 1，横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变
①y＝f(x)――――――――――――a―1 ――――――→y＝f(ax)．0a
a>1，纵坐标伸长为原来的 a倍，横坐标不变
②y＝f(x)――――――――――――――――――――→y＝af(x)．
0(3)对称变换
关于 x轴对称
①y＝f(x)――――――→y＝－f(x)．
关于 y轴对称
②y＝f(x)―――――→y＝f(－x)．
关于原点对称
③y＝f(x)――――――→y＝－f(－x)．
x 关于 y＝x对称④y＝a (a>0且 a≠1)――――――――→y＝logax(a>0且 a≠1)．
(4)翻折变换
保留 x轴上方图象
①y＝f(x)――――――――――→
将 x y＝|f(x)|.轴下方图象翻折上去
保留 y轴右边图象，并作其
②y＝f(x)――――――――――→y＝f(|x|)．
关于 y轴对称的图象
微思考
1．函数 f(x)的图象关于直线 x＝a对称，你能得到 f(x)解析式满足什么条件？
提示 f(a＋x)＝f(a－x)或 f(x)＝f(2a－x)．
2．函数 y＝f(x)和 y＝f(2－x)的图象有什么关系？
提示 y＝f(x)与 y＝f(2－x)的图象关于 x＝1对称．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y＝f(1－x)的图象，可由 y＝f(－x)的图象向左平移 1个单位长度得到．( × )
(2)当 x∈(0，＋∞)时，函数 y＝|f(x)|与 y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(3)函数 y＝f(x)的图象关于 y轴对称即函数 y＝f(x)与 y＝f(－x)的图象关于 y轴对称．( × )
(4)若函数 y＝f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1对称．( √ )
x2，x<0，
2．下列图象是函数 y＝ 的图象的是( )
x－1，x≥0
答案 C
解析 其图象是由 y＝x2图象中 x<0的部分和 y＝x－1图象中 x≥0的部分组成．
3．在 2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量 Q随时间 t变化的图象
是( )
答案 B
解析 依题意，在 2 h内血液中药物含量 Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象 B
适合．
4.已知函数 f(x)在 R 上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2则实数 t的值为________．
答案 1
解析 由图象可知不等式－2集为(－t，3－t)，依题意可得 t＝1.
5．函数 f(x)的图象向右平移 1个单位长度，所得到的图象与函数 y＝ex的图象关于 y轴对称，
则 f(x)等于( )
A ＋ －．ex 1 B．ex 1
C － ＋ －．e x 1 D．e x－1
答案 D
解析 依题意 f(x)的图象可由 y＝ex的图象关于 y轴对称后，再向左平移 1个单位长度得到．
x 关于 y轴对称 －x 向左平移 1个单位长度∴y＝e ――――――→y＝e ―――――――――→y＝e－(x＋1)＝e－x－1，
－ －
∴f(x)＝e x 1.
6．将函数 f(x)＝2x＋3 的图象向右平移 3 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)＝
________.
答案 2x－3
解析 g(x)＝2(x－3)＋3＝2x－3.
【典型例题】
题型一 作出函数的图象
例 1 作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝|lg(x－1)|；
(3)y＝x2－|x|－2.
解 (1)将 y＝2x的图象向左平移 1个单位长度，得到 y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移
1个单位长度，得到 y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．
(2)首先作出 y＝lg x的图象，然后将其向右平移 1个单位长度，得到 y＝lg(x－1)的图象，再
把所得图象在 x轴下方的部分翻折到 x轴上方，即得所求函数 y＝|lg(x－1)|的图象，如图②所
示(实线部分)．
x2－x－2，x≥0，
(3)y＝x2－|x|－2＝ 函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，
x2＋x－2，x<0，
再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示．
思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂
1
函数、形如 y＝x＋ 的函数．
x
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象
变换作出，但要注意变换顺序．
跟踪训练 1 作出下列函数的图象：
(1)y 2x－1＝ ；
x－1
(2)y＝|x2－4x＋3|.
(1)y 2x－1 1 1解 ＝ ＝2＋ ，故函数的图象可由 y＝ 的图象向右平移 1个单位长度，再向上
x－1 x－1 x
平移 2个单位长度得到，如图①所示．
(2)先用描点法作出函数 y＝x2－4x＋3的图象，再把 x轴下方的图象沿 x轴向上翻折，x轴上
方的图象不变，如图②实线部分所示．
题型二 函数图象的辨识
2 (1)(2019· ) f(x) sin x＋x例 全国Ⅰ 函数 ＝ 在[－π，π]上的图象大致为( )
cos x＋x2
答案 D
sin －x －x sin x＋x
解析 ∵f(－x)＝ ＝－ ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除 A；
cos －x ＋ －x 2 cos x＋x2
sin π＋π
∵f(π) π＝ ＝ >0，∴排除 BC.故选 D.
cos π＋π2 －1＋π2
(2)如图可能是下列哪个函数的图象( )
A．y＝2x－x2－1
B 2
xsin x
．y＝
4x＋1
C．y＝(x2－2x)ex
D x．y＝
ln x
答案 C
解析 函数的定义域为 R，排除 D；
当 x<0 3时，y>0，A中，x＝－1时，y＝2－1－1－1＝－ <0，排除 A；
2
B sin x 0 y 0 y 2
x·sin x
中，当 ＝ 时， ＝ ，∴ ＝ 有无数个零点，排除 B.
4x＋1
思维升华 辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
3x －－3 x
跟踪训练 2 (1)(2021·武汉调研)函数 f(x)＝ 的大致图象为( )
x4
答案 B
3－x－3x x －x
解析 易知定义域为(－∞，0) 3 －3∪(0，＋∞)，关于原点对称．f(－x)＝ ＝－ ＝
－x 4 x4
－f(x)，则 f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除 A，f(1) 1 8＝3－ ＝ >0，排除 D，当 x→
3 3
＋∞时，3x→＋∞，则 f(x)→＋∞，排除 C，选项 B符合．
(2)设函数 f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝－|f(x)|
C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)
答案 C
解析 题图中是函数 y＝－2－|x|的图象，
即函数 y＝－f(－|x|)的图象，故选 C.
题型三 函数图象的应用
命题点 1 研究函数的性质
例 3 已知函数 f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析 将函数 f(x)＝x|x|－2x
x2－2x，x≥0，
去掉绝对值，得 f(x)＝
－x2－2x，x<0，
画出函数 f(x)的图象，如图所示，
观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
命题点 2 确定零点个数、解不等式
|lg x|，x>0，
例 4 (1)已知 f(x)＝ 则函数 y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
2|x|，x≤0，
答案 5
解析 方程 2f 2(x)－3f(x)＋1＝0的解为 f(x) 1＝ 或 1.
2
作出 y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为 5.
(2) f(x) (0 ) f(1) 0 f x －f －x 设奇函数 在 ，＋∞ 上单调递增，且 ＝ ，则不等式 <0的解集为( )
x
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
答案 D
解析 因为 f(x)为奇函数，
f x －f －x
所以不等式 <0 f x 可化为 <0，
x x
即 xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示，
所以原不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．
命题点 3 求参数的取值范围
例 5 (2021·唐山模拟)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，
则实数 k的取值范围是__________．
1
，1
答案 2
解析 先作出函数 f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线 g(x)＝kx与直线 AB平行时斜率
为 1，当直线 g(x)＝kx过 A 1点时斜率为 ，故 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围
2
1
，1
为 2 .
若 f(x)>g(x)恒成立，则实数 k的取值范围是________．
1
－1，
答案 2
解析 如图作出函数 f(x)的图象，
当－1 k<1≤ 时，
2
函数 g(x)＝kx的图象恒在函数 f(x)图象的下方．
思维升华 (1)利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值
域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．
(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x)与
g(x)图象交点的横坐标；不等式 f(x)坐标的集合，体现了数形结合思想．
跟踪训练 3 (1)若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是
________．
答案 (1，＋∞)
解析 函数 f(x)的零点的个数就是函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与函数 y＝x＋a的图象的交点的个
数，如图，当 a>1时，两函数图象有两个交点；当 01.
(2)已知函数 y＝f(x)的图象是圆 x2＋y2＝2 上的两段弧，如图所示，则不等式 f(x)>f(－x)－2x
的解集是________．
答案 (－1,0)∪(1， 2]
解析 由图象可知，函数 f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为 f(x)>－x.
在同一平面直角坐标系中分别画出 y＝f(x)与 y＝－x的图象，
由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1， 2]．
【课后作业】
A 组
1．函数 y＝－ex的图象( )
A．与 y＝ex的图象关于 y轴对称
B．与 y＝ex的图象关于坐标原点对称
C．与 y＝e－x的图象关于 y轴对称
D －．与 y＝e x的图象关于坐标原点对称
答案 D
解析 由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知 D正确．
2．函数 f(x)＝(2x＋2－x)ln|x|的图象大致为( )
答案 B
解析 ∵f(x)的定义域为{x|x≠0}，且 f(－x)＝(2－x＋2x)ln|－x|＝(2x＋2－x)ln|x|＝f(x)，∴f(x)为偶
函数，关于 y轴对称，排除 D；当 x∈(0,1)时，2x＋2－x>0，ln|x|<0，可知 f(x)<0，排除 A，C.
3 y lg x＋3．为了得到函数 ＝ 的图象，只需把函数 y＝lg x的图象上所有的点( )
10
A．向左平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度
B．向右平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度
C．向左平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度
D．向右平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度
答案 C
x＋3
解析 ∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1，
10
向左平移 3个单位长度 向下平移 1个单位长度
∴y＝lg x――――――――――→y＝lg(x＋3)――――――――――→y＝lg(x＋3)－1.
4．下列函数中，其图象与函数 f(x)＝ln x的图象关于直线 x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
答案 B
解析 方法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线 x＝1的对称点的坐
标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数 f(x)＝ln x的图象上，所以 y＝ln(2－x)．
方法二 由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数 y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代
入选项中的函数解析式逐一检验，排除 A，C，D.
5．(多选)将函数 f(x)的图象沿 x轴向左平移 1 个单位长度，得到奇函数 g(x)的图象，则下列
函数 f(x)不能满足条件的是( )
A 1．f(x)＝
x＋1
B．f(x)＝ex－1－e1－x
C．f(x) x 2＝ ＋
x
D．f(x)＝log2(x＋1)＋1
答案 ACD
解析 由题意知 f(x)必须满足两个条件：①f(1)＝0，
②f(1＋x)＝－f(1－x)．
对于选项 A，C，D，f(1)均不为 0，不满足条件；
对于选项 B，f(1)＝e0－e0＝0，f(1＋x)＝ex－e－x，
f(1－x)＝e－x－ex＝－f(1＋x)．
6．(多选)对于函数 f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
答案 AC
解析 f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A 正确，B 错误．作出 f(x)的图象如图所示，可知 f(x)
在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值 0，C正确，
D错误．
7．已知函数 y＝f(－x)的图象过点(4,2)，则函数 y＝f(x)的图象一定过点________．
答案 (－4,2)
解析 y＝f(－x)与 y＝f(x)的图象关于 y轴对称，
故 y＝f(x)的图象一定过点(－4,2)．
8 f(x) ax－2．若函数 ＝ 的图象关于点(1,1)对称，则实数 a＝________.
x－1
答案 1
解析 f(x) ax－a＋a－2 a－2＝ ＝a＋ ，
x－1 x－1
关于点(1，a)对称，故 a＝1.
1 1
9．(2020·福州质检)设函数 y ＋＝f(x)的图象与 y＝ 3 x a的图象关于直线 y＝x对称，且 f(3)＋f 3
＝4，则实数 a＝________.
答案 －2
1
解析 设(x，y)是 y＝f(x)图象上任意一点，则(y，x)在函数 y＝ 3 x＋a的图象上．
1
所以 x＝ 3 y＋a，则 y log 1 x a .
3
因此 f (x) log 1 x a .
3
1
由 f(3)＋f 3 ＝4，得－1＋1－2a＝4，所以 a＝－2.
10．已知函数 f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数 m的取值范围是________．
答案 {－1}∪(0，＋∞)
解析 在同一平面直角坐标系内作出函数 y＝x2－2|x|的图象和直线 y＝m，可知当 m>0 或 m
＝－1时，直线 y＝m与函数 y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数 f(x)＝x2－2|x|－m有两个
零点．
3－x，x≥0，
11．已知函数 f(x)＝ 试讨论方程 f(x)－a＝0的根的个数情况．
－x2－4x，x<0，
解 作出 f(x)的图象如图．
方程 f(x)－a＝0的根的个数，
即为函数 y＝f(x)与 y＝a的交点个数，
由图知，
当 a>4时，方程无实数根，
当 a＝4或 a≤0时方程有 1个实数根，
当 1当 012．已知函数 f(x)＝2x，x∈R.
(1)当 m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式 f2(x)＋f(x)－m>0在 R 上恒成立，求 m的取值范围．
解 (1)令 F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出 F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当 m＝0或 m≥2时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当 0(2)令 f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，
t 1＋
因为 H(t)＝ 2 2 1－ 在区间(0，＋∞)上单调递增，
4
所以 H(t)>H(0)＝0.
因此要使 t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有 m≤0，
即所求 m的取值范围为(－∞，0]．
B 组
13.如图，圆与两坐标轴分别切于 A，B两点，圆上一动点 P从 A开始沿圆周按逆时针方向匀
速旋转回到 A点，则与△OBP的面积随时间变化的图象相符合的是( )
答案 A
解析 △OBP中，OB＝r是一个定值，
∴△OBP的面积由点 P到 x轴的距离 h确定．当 P由 A点逆时针旋转到 A时，点 P到 x轴
的距离先减小到 0，再逐渐增大，最大为 2r，然后由 2r逐渐减小到 r，故选 A.
14．(2020·济南模拟)若直角坐标系内 A，B两点满足：
(1)点 A，B都在 f(x)图象上；(2)点 A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数 f(x)的一个“和
x2＋2x x<0 ，
谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数 f(x)＝ 2 x 0 则 f(x)≥ ，
ex
的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 作出函数 y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数
y 2＝
ex
(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为 2，即 f(x)的“和谐点对”有 2个．
C 组
1
15．(2020·太原调研) －已知函数 g(x)＝－ 2 |x 1|，h(x)＝cos πx，当 x∈(－2,4)时，函数 g(x)与 h(x)
n
的交点横坐标分别记为 xi(i＝1,2，…，n)，则 xi i等于( )
i 1
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
1
解析 易知 g(x)＝－ 2 |x－1|的图象关于 x＝1 对称，h(x)＝cos πx的图象关于 x＝1对称．作出
两个函数的图象，如图所示．
根据图象知，两函数有 7个交点，其中一个点的横坐标为 x＝1，另外 6个交点关于直线 x＝1
n
对称，因此 xi ＝3×2＋1＝7.
i 1
16.如图，函数 y＝f(x)的图象由曲线段 OA和直线段 AB构成．
(1)写出函数 y＝f(x)的一个解析式；
(2)提出一个能满足函数 y＝f(x)的图象变化规律的实际问题．
解 (1)当 0≤x≤2时，曲线段 OA类似指数函数 y＝2x，由 O(0,0)，A(2,3)可知 f(x)＝2x－1，
当 23＝2a＋b， a＝－1，
得 解得
0＝5a＋b， b＝5，
此时 y＝－x＋5，
2x－1，0≤x≤2，
所以 f(x)＝
－x＋5，2(2)答案不唯一，合理即可．
离上课时间还有 5 分钟时，小明用了 2分钟急速跑(先慢后快)到距离教室 3百米的操场找小
华来上课，然后两个人用了 3分钟时间匀速走到教室．

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