资源简介 第 27讲 导数与函数的极值、最值【知识梳理】1.函数的极值与导数f′(x0)=0条件 x0附近的左侧 f′(x)>0,右侧 x0附近的左侧 f′(x)<0,右侧f′(x)<0 f′(x)>0图象极值 f(x0)为 f(x0)为极值点 x0为 x0为2.函数的最值与导数(1)函数 f(x)在区间[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求 y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤:①求函数 y=f(x)在区间(a,b)上的 ;②将函数 y=f(x)的各极值与 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【基础自测】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数 f(x)在区间(a,b)上不存在最值.( )(2)函数的极小值一定是函数的最小值.( )(3)函数的极小值一定不是函数的最大值.( )(4)函数 y=f′(x)的零点是函数 y=f(x)的极值点.( )2.如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象,则 f(x)的极小值点的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.413.当 x>0时,ln x,x,ex的大小关系是________.4.现有一块边长为 a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________.5.函数 f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数 a的取值范围是( )A.(-∞,- 6]∪[ 6,+∞)B.(-∞,- 6)∪( 6,+∞)C.(- 6, 6)D.[- 6, 6]6 1.若函数 f(x)= x3-4x+m在[0,3]上的最大值为 4,则 m=________.3【典型例题】题型一 利用导数求函数的极值问题例 1 (多选)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 g(x)=xf′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.f(x)有两个极值点B.f(0)为函数的极大值C.f(x)有两个极小值D.f(-1)为 f(x)的极小值2例 2 已知函数 f(x)=x2-1-2aln x(a≠0),求函数 f(x)的极值.例 3 (1)已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2在 x=-1处有极值 0,则 a+b=________.(2)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a的取值范围是________.跟踪训练 1 (1)(2020·滨州模拟)已知 x=1是 f(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]ex的极小值点,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-∞,1)3(2)若函数 f(x)=x2-x+aln x有极值,则实数 a的取值范围是________.题型二 利用导数求函数的最值例 4 已知函数 g(x)=aln x+x2-(a+2)x(a∈R).(1)若 a=1,求 g(x)在区间[1,e]上的最大值;(2)求 g(x)在区间[1,e]上的最小值 h(a).跟踪训练 2 已知函数 f(x)=ax+ln x,其中 a为常数.(1)当 a=-1时,求 f(x)的最大值;(2)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a的值.4【课后作业】A 组1.函数 f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( )A.x=1 B.x=-1C.x=1或-1或 0 D.x=02 x.函数 y= 在[0,2]上的最大值是( )exA.1 B.2 C.0 D. 1e e2 2 e3.已知函数 f(x)=2ln x+ax2-3x在 x=2处取得极小值,则 f(x)的极大值为( )A.2 B 5.-2C.3+ln 2 D.-2+2ln 24.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则 x21+x 22等于( )A.2 B.4 C.8 D.163 3 3 35.(多选)函数 y=f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,则以下命题错误的是( )A.-3是函数 y=f(x)的极值点B.-1是函数 y=f(x)的最小值点C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增D.y=f(x)在 x=0处切线的斜率小于零26.(多选)(2021·烟台模拟) x +x-1已知函数 f(x)= ,则下列结论正确的是( )exA.函数 f(x)存在两个不同的零点B.函数 f(x)既存在极大值又存在极小值C.当-eD.若 x∈[t 5,+∞)时,f(x)max= ,则 t的最小值为 2e27.函数 f(x)=2x-ln x的最小值为________.8.若函数 f(x)=x3-2cx2+x有两个极值点,则实数 c的取值范围为______________.59.已知函数 f(x)=sin x 1- x,x 1∈[0,π],cos x0= ,x0∈[0,π].3 3①f(x)的最大值为 f(x0);②f(x)的最小值为 f(x0);③f(x)在[0,x0]上是减函数;④f(x0)为 f(x)的极大值.那么上面命题中真命题的序号是________.10.已知不等式 ex-1≥kx+ln x对于任意的 x∈(0,+∞)恒成立,则 k的最大值为________.11.已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R).(1) 1当 a= 时,求 f(x)的极值;2(2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数.12.已知函数 f(x)=xln x.(1)求函数 f(x)的极值点;(2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区间(0,e]上的最小值(其中 e为自然对数的底数).6B 组13.已知函数 f(x)=x+2sin x,x∈[0,2π],则 f(x)的值域为( )4π 3 2π 4π- , + 3 0, - 3A. 3 3 B. 32π+ 3,2πC. 3 D.[0,2π]14.(2020· 1邢台模拟)若函数 f(x)= x2+(a-1)x-aln x存在唯一的极值,且此极值不小于 1,2则实数 a的取值范围为________.C 组15.已知函数 f(x)=xln x+mex(e 为自然对数的底数)有两个极值点,则实数 m的取值范围是__________.16.(2019·全国Ⅲ)已知函数 f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 07第 27讲 导数与函数的极值、最值【考试要求】1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.【知识梳理】1.函数的极值与导数f′(x0)=0条件 x0附近的左侧 f′(x)>0,右侧 x0附近的左侧 f′(x)<0,右侧f′(x)<0 f′(x)>0图象极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值极值点 x0为极大值点 x0为极小值点2.函数的最值与导数(1)函数 f(x)在区间[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求 y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤:①求函数 y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.微思考1.对于可导函数 f(x),“f′(x0)=0”是“函数 f(x)在 x=x0处有极值”的什么条件?提示 必要不充分.2.函数的极大值一定大于极小值吗?提示 不一定.函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值.【基础自测】题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数 f(x)在区间(a,b)上不存在最值.( × )(2)函数的极小值一定是函数的最小值.( × )(3)函数的极小值一定不是函数的最大值.( √ )(4)函数 y=f′(x)的零点是函数 y=f(x)的极值点.( × )题组二 教材改编2.如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象,则 f(x)的极小值点的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 A解析 由题意知只有在 x=-1处 f′(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正.3.当 x>0时,ln x,x,ex的大小关系是________.答案 ln x解析 构造函数 f(x)=ln x-x,则 f′(x) 1= -1,可得 x=1 为函数 f(x)在(0,+∞)上唯一的极x大值点,也是最大值点,故 f(x)≤f(1)=-1<0,所以 ln x4.现有一块边长为 a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________.2答案 a327V (a 2x)2x,02=0得 x a a a= 或 x= (舍去),则 x= 为 V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时 Vmax6 2 62= a3.27题组三 易错自纠5.函数 f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数 a的取值范围是( )A.(-∞,- 6]∪[ 6,+∞)B.(-∞,- 6)∪( 6,+∞)C.(- 6, 6)D.[- 6, 6]答案 B解析 f′(x)=3x2-2ax+2,由题意知 f′(x)有变号零点,∴Δ=(2a)2-4×3×2>0,解得 a> 6或 a<- 6.6.若函数 f(x) 1= x3-4x+m在[0,3]上的最大值为 4,则 m=________.3答案 4解析 f′(x)=x2-4,x∈[0,3],当 x∈[0,2)时,f′(x)<0,当 x∈(2,3]时,f′(x)>0,所以 f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增.又 f(0)=m,f(3)=-3+m.所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=4,所以 m=4.【典型例题】题型一 利用导数求函数的极值问题命题点 1 根据函数图象判断极值例 1 (多选)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 g(x)=xf′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.f(x)有两个极值点B.f(0)为函数的极大值C.f(x)有两个极小值D.f(-1)为 f(x)的极小值答案 BC解析 由题图知,当 x∈(-∞,-2)时,g(x)>0,∴f′(x)<0,当 x∈(-2,0)时,g(x)<0,∴f′(x)>0,当 x∈(0,1)时,g(x)<0,∴f′(x)<0,当 x∈(1,+∞)时,g(x)>0,∴f′(x)>0.∴f(x)在(-∞,-2),(0,1)上单调递减,在(-2,0),(1,+∞)上单调递增.故 AD错误,BC正确.命题点 2 求已知函数的极值例 2 已知函数 f(x)=x2-1-2aln x(a≠0),求函数 f(x)的极值.解 因为 f(x)=x2-1-2aln x(x>0),f′(x) 2x 2a 2 x2-a 所以 = - = .x x①当 a<0 时,因为 x>0,且 x2-a>0,所以 f′(x)>0 对 x>0恒成立.所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值.②当 a>0时,令 f′(x)=0,解得 x1= a,x2=- a(舍去).所以当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x (0, a) a ( a,+∞)f′(x) - 0 +f(x) ↘ 极小值 ↗所以当 x= a时,f(x)取得极小值,且 f( a)=( a)2-1-2aln a=a-1-aln a.无极大值.综上,当 a<0时,函数 f(x)在(0,+∞)上无极值.当 a>0时,函数 f(x)在 x= a处取得极小值 a-1-aln a,无极大值.命题点 3 已知极值(点)求参数例 3 (1)已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2在 x=-1处有极值 0,则 a+b=________.答案 11解析 f′(x)=3x2+6ax+b,f′ -1 =0,由题意得f -1 =0,a=1, a=2,解得 或b=3 b=9,当 a=1,b=3时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,∴f(x)在 R 上单调递增,∴f(x)无极值,所以 a=1,b=3不符合题意,当 a=2,b=9时,经检验满足题意.∴a+b=11.(2)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a的取值范围是________.0 1,答案 2解析 f(x)=x(ln x-ax),定义域为(0,+∞),f′(x)=1+ln x-2ax.由题意知,当 x>0时,1+ln x-2ax=0有两个不相等的实数根,即 2a 1+ln x= 有两个不相等的实数根,xφ(x) 1+ln x令 = (x>0),∴φ′(x) -ln x= .x x2当 00;当 x>1时,φ′(x)<0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且φ(1)=1,当 x→0时,φ(x)→-∞,当 x→+∞时,φ(x)→0,则 0<2a<1,即 02思维升华 函数极值的两类热点问题(1)求函数 f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域.②求导数 f′(x).③解方程 f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根.④列表检验 f′(x)在 f′(x)=0的根 x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式:根据极值点处导数为 0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.②验证:求解后验证根的合理性.跟踪训练 1 (1)(2020·滨州模拟)已知 x=1是 f(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]ex的极小值点,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-∞,1)答案 D解析 f′(x)=[x2-(a+1)x+a]ex=(x-a)(x-1)ex.令 f′(x)=0,得(x-a)(x-1)ex=0.设 g(x)=(x-1)(x-a).①当 a=1时,g(x)≥0,f′(x)≥0,f(x)没有极值.②当 a>1时,当 x>a或 x<1时,g(x)>0,f′(x)>0;当 1∴x=1是函数 f(x)的极大值点,不符合题意.③当 a<1时,当 x>1或 x0,当 a所以 x=1是 f(x)的极小值点,符合题意.综上所述,实数 a的取值范围是(-∞,1).(2)若函数 f(x)=x2-x+aln x有极值,则实数 a的取值范围是________.1-∞,答案 8解析 f(x)的定义域为(0,+∞),2f′(x)=2x a 2x -x+a-1+ = ,x x由题意知 y=f′(x)有变号零点,令 2x2-x+a=0,即 a=-2x2+x(x>0),x 1-令φ(x) 1=-2x2+x=-2 4 2+ (x>0),81其图象如图所示,故 a< .8题型二 利用导数求函数的最值例 4 已知函数 g(x)=aln x+x2-(a+2)x(a∈R).(1)若 a=1,求 g(x)在区间[1,e]上的最大值;(2)求 g(x)在区间[1,e]上的最小值 h(a).解 (1)∵a=1,∴g(x)=ln x+x2-3x,∴g′(x) 1 2x 3 2x-1 x-1 = + - = ,x x∵x∈[1,e],∴g′(x)≥0,∴g(x)在[1,e]上单调递增,∴g(x)max=g(e)=e2-3e+1.(2)g(x)的定义域为(0,+∞),g′(x) a 2x (a 2) 2x2- a+2 x+a= + - + =x x 2x-a x-1 = .xa①当 ≤1,即 a≤2时,g(x)在[1,e]上单调递增,h(a)=g(1)=-a-1;21 a a e aa , ,②当 1< 2 21a2-a;4a③当 ≥e,即 a≥2e时,g(x)在[1,e]上单调递减,h(a)=g(e)=(1-e)a+e2-2e.2-a-1,a≤2,综上,h(a)= aln a 1- a2-a,22 4 1-e a+e2-2e,a≥2e.思维升华 (1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递减,则 f(a)与 f(b)一个为最大值,一个为最小值.(2)若函数在区间[a,b]内有极值,则要先求出函数在[a,b]上的极值,再与 f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.(3)函数 f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.(4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.跟踪训练 2 已知函数 f(x)=ax+ln x,其中 a为常数.(1)当 a=-1时,求 f(x)的最大值;(2)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a的值.解 (1)易知 f(x)的定义域为(0,+∞),当 a=-1时,f(x)=-x+ln x,f′(x) 1 1 1-x=- + = ,x x令 f′(x)=0,得 x=1.当 00;当 x>1时,f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.∴f(x)max=f(1)=-1.∴当 a=-1时,函数 f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1.11 1 ,+∞(2)f′(x)=a+ ,x∈(0,e], ∈ e .x xa 1①若 ≥- ,则 f′(x)≥0,从而 f(x)在(0,e]上单调递增,e∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不符合题意.a< 1 f′(x)>0 a 1②若 - ,令 得 + >0,结合 x∈(0,e],解得 0e x a令 f′(x)<0得 a 1+ <0,结合 x∈(0 1,e],解得- x a0 1 1,- - ,e从而 f(x)在 a 上单调递增,在 a 上单调递减,1 1- -∴f(x)max=f a =-1+ln a .1 1- -令-1+ln a =-3,得 ln a =-2,即 a=-e2.∵-e2< 1- ,∴a=-e2为所求.e故实数 a的值为-e2.【课后作业】A 组1.函数 f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( )A.x=1 B.x=-1C.x=1或-1或 0 D.x=0答案 C解析 f′(x)=2(x2-1)·2x=4x(x+1)(x-1),令 f′(x)=0,解得 x=0或 x=-1或 x=1.2.函数 y x= 在[0,2]上的最大值是( )exA.1 B.2 C 0 D. 1.e e2 2 e答案 A1-x解析 易知 y′= ,x∈[0,2],ex令 y′>0,得 0≤x<1,令 y′<0,得 1所以函数 y x= 在[0,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以 y x 1= 在[0,2]上的最大值是 ,故ex ex e选 A.3.已知函数 f(x)=2ln x+ax2-3x在 x=2处取得极小值,则 f(x)的极大值为( )A.2 B 5.-2C.3+ln 2 D.-2+2ln 2答案 B解析 由题意得,f′(x) 2= +2ax-3,∵f(x)在 x=2处取得极小值,∴f′(2)=4a-2=0,解得 ax1= ,2f(x) 2ln x 1x2 3x f′(x) 2 x 3 x-1 x-2 ∴ = + - , = + - = ,2 x x∴f(x)在(0,1),(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,1 5∴f(x)的极大值为 f(1)= -3=- .2 24.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则 x21+x 22等于( )A.2 B.4 C.8 D.163 3 3 3答案 C解析 由题中图象可知 f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数 f(x)的极值点,所以 1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得 b=-3,c=2,所以 f(x)=x3-3x2+2x,所以 f′(x)=3x2-6x+2,x 21,x2是方程 3x2-6x+2=0的两根,所以 x1+x2=2,x1·x2= ,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=34 2 2 8- × = .3 35.(多选)函数 y=f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,则以下命题错误的是( )A.-3是函数 y=f(x)的极值点B.-1是函数 y=f(x)的最小值点C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增D.y=f(x)在 x=0处切线的斜率小于零答案 BD解析 根据导函数的图象可知当 x∈(-∞,-3)时,f′(x)<0,当 x∈(-3,+∞)时,f′(x)≥0,∴函数 y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,则-3 是函数 y=f(x)的极值点,∵函数 y=f(x)在(-3,+∞)上单调递增,∴-1不是函数 y=f(x)的最小值点,∵函数 y=f(x)在 x=0处的导数大于 0,∴y=f(x)在 x=0处切线的斜率大于零.故错误的命题为 BD.26.(多选)(2021·烟台模拟)已知函数 f(x) x +x-1= ,则下列结论正确的是( )exA.函数 f(x)存在两个不同的零点B.函数 f(x)既存在极大值又存在极小值C.当-eD.若 x∈[t,+∞)时,f(x) 5max= ,则 t的最小值为 2e2答案 ABC解析 由 f(x)=0,得 x2+x-1=0,x -1± 5∴ = ,故 A正确.22f′(x) x -x-2 x+1 x-2 =- =- ,ex ex当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f′(x)<0,当 x∈(-1,2)时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,∴f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,故 B正确.又 f(-1)=-e,f(2) 5= ,e2且当 x→-∞时,f(x)→+∞,x→+∞时,f(x)→0,∴f(x)的图象如图所示,由图知 C正确,D不正确.7.函数 f(x)=2x-ln x的最小值为________.答案 1+ln 2解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x) 2 1 2x-1= - = ,x x当 02当 x>1时,f′(x)>0.20 1 1, ,+∞∴f(x)在 2 上单调递减,在 2 上单调递增,1∴f(x)min=f 2 1 ln 1= - =1+ln 2.28.若函数 f(x)=x3-2cx2+x有两个极值点,则实数 c的取值范围为______________.3 3-∞,- ,+∞答案 2 ∪ 2解析 若函数 f(x)=x3-2cx2+x有两个极值点,则 f′(x)=3x2-4cx+1=0有两个不相等的实根,故Δ=(-4c)2-12>0,3解得 c> 或 c< 3- .2 23 3-∞,- ,+∞所以实数 c的取值范围为 2 ∪ 2 .9.已知函数 f(x)=sin x 1- x,x∈[0,π],cos x 10= ,x0∈[0,π].3 3①f(x)的最大值为 f(x0);②f(x)的最小值为 f(x0);③f(x)在[0,x0]上是减函数;④f(x0)为 f(x)的极大值.那么上面命题中真命题的序号是________.答案 ①④解析 f′(x)=cos x 1- ,由 f′(x)=0,得 cos x 1= ,即 x=x0,因为 x0∈[0,π],当 0≤x3 3f′(x)>0;当 x0为 f(x)的极大值且为最大值.故①④正确,②③不正确.10.已知不等式 ex-1≥kx+ln x对于任意的 x∈(0,+∞)恒成立,则 k的最大值为________.答案 e-1x解析 x (0 ) ex 1 kx ln x x (0 ) k e -1-ln x∈ ,+∞ ,不等式 - ≥ + 恒成立,等价于 ∈ ,+∞ ,≤x恒成立,ex-1-ln x令φ(x)= (x>0),xxφ′(x) e x-1 +ln x则 = ,x2当 x∈(0,1)时,φ′(x)<0,当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)>0,∴φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴φ(x)min=φ(1)=e-1,∴k≤e-1.11.已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R).(1) 1当 a= 时,求 f(x)的极值;2(2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数.1 1 1 1 2-x解 (1)当 a= 时,f(x)=ln x- x,函数的定义域为(0,+∞)且 f′(x)= - = ,2 2 x 2 2x令 f′(x)=0,得 x=2,于是当 x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表.x (0,2) 2 (2,+∞)f′(x) + 0 -f(x) ↗ ln 2-1 ↘故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值=f(2)=ln 2-1,无极小值.(2)由(1)知,函数的定义域为(0,+∞),f′(x) 1 a 1-ax= - = .x x当 a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,则函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;0 1,当 a>0时,若 x∈ a ,则 f′(x)>0,1,+∞若 x∈ a ,则 f′(x)<0,1故函数在 x= 处有极大值.a综上可知,当 a≤0时,函数 f(x)无极值点,当 a>0时,函数 y=f(x) 1有一个极大值点,且为 x= .a12.已知函数 f(x)=xln x.(1)求函数 f(x)的极值点;(2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区间(0,e]上的最小值(其中 e为自然对数的底数).解 (1)f′(x)=ln x+1,x>0,由 f′(x)=0 1,得 x= .e0 1,当 x∈ e 时,f′(x)<0,1,+∞当 x∈ e 时,f′(x)>0,0 1 1, ,+∞所以 f(x)在区间 e 上单调递减,在区间 e 上单调递增.1所以 x= 是函数 f(x)的极小值点,极大值点不存在.e(2)g(x)=xln x-a(x-1),则 g′(x)=ln x+1-a,由 g′(x)=0,得 x=ea-1.所以在区间(0,ea-1)上,g(x)单调递减,在区间(ea-1,+∞)上,g(x)单调递增.当 ea-1≥e,即 a≥2时,g(x)在(0,e]上单调递减,∴g(x)min=g(e)=a+e-ae,当 ea-1∴g(x) -min=g(ea 1)=a-ea-1,令 g(x)的最小值为 h(a),a-ea-1,a<2,综上有 h(a)=a+e-ae,a≥2.B 组13.已知函数 f(x)=x+2sin x,x∈[0,2π],则 f(x)的值域为( )4π 3 2π- , + 3 0 4π, - 3A. 3 3 B. 32π+ 3,2πC. 3 D.[0,2π]答案 D解析 f′(x)=1+2cos x,x∈[0,2π],令 f′(x) 1=0,得 cos x=- ,2∴x 2π= 或 x 4π= ,3 32π又 f 3 2π= + 3,34πf 3 4π= - 3,3f(0)=0,f(2π)=2π,4π 2πf 3 -f 3 2π= -2 3<0,34π 2π∴f(0)∴f(x)max=f(2π)=2π,f(x)min=f(0)=0,∴f(x)的值域为[0,2π].14.(2020· 1邢台模拟)若函数 f(x)= x2+(a-1)x-aln x存在唯一的极值,且此极值不小于 1,2则实数 a的取值范围为________.3,+∞答案 21 1-f′(x) x 1 a x x+a x-1 解析 对函数求导得 = - + = ,x>0,因为函数存在唯一的极值,x所以导函数存在唯一的零点,且零点大于 0,故 x=1是唯一的极值点,此时-a≤0,且 f(1)1=- +a≥1 a 3,所以 ≥ .2 2C 组15.已知函数 f(x)=xln x+mex(e 为自然对数的底数)有两个极值点,则实数 m的取值范围是__________.1- ,0答案 e解析 f(x)=xln x+mex(x>0) ln x+1,∴f′(x)=ln x+1+mex(x>0),令 f′(x)=0,得-m= ,设 g(x)exln x+1= ,ex1-ln x-1则 g′(x)=x (x>0) 1,令 h(x)= -ln x-1,ex x则 h′(x) 1 1=- 2- <0(x>0),x x∴h(x)在(0,+∞)上单调递减且 h(1)=0,∴当 x∈(0,1]时,h(x)≥0,即 g′(x)≥0,g(x)在(0,1]上单调递增;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即 g′(x)<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减,故 g(x)max=g(1)1= ,e而当 x→0时,g(x)→-∞,当 x→+∞时,g(x)→0,若 f(x)有两极值点,只要 y=-m和 g(x)的图象在(0,+∞)上有两个交点,0< m<1 1只需 - ,故- e e16.(2019·全国Ⅲ)已知函数 f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 0解 (1)f(x)的定义域为 R,f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令 f′(x)=0,得 x=0或 x a= .3a,+∞若 a>0,则当 x∈(-∞,0)∪ 3 时,f′(x)>0,0 a,当 x∈ 3 时,f′(x)<0,a a,+∞ 0,故 f(x)在(-∞,0), 3 上单调递增,在 3 上单调递减;若 a=0,则 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;a-∞,若 a<0,则当 x∈ 3 ∪(0,+∞)时,f′(x)>0,a,0当 x∈ 3 时,f′(x)<0,a a-∞, ,0故 f(x)在 3 ,(0,+∞)上单调递增,在 3 上单调递减.0 a a, ,1(2)当 0aa3最小值为 f 3 =- +2,最大值为 f(0)=2或 f(1)=4-a.27a3 4-a,0于是 m=- +2,M=27 2,2≤a<3.a32-a+ ,027所以 M-m= a3,2≤a<3.27①当 03可知 y=2 a a- + 单调递减,278,2所以 M-m的取值范围是 27 .3②当 2≤a<3 y a时, = 单调递增,278,1所以 M-m的取值范围是 27 .8,2综上,M-m的取值范围是 27 . 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第27讲 导数与函数的极值 最值 学生版.pdf 第27讲 导数与函数的极值 最值 教师版.pdf