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第 27讲 导数与函数的极值、最值
【知识梳理】
1．函数的极值与导数
f′(x0)＝0
条件 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧
f′(x)<0 f′(x)>0
图象
极值 f(x0)为 f(x0)为
极值点 x0为 x0为
2.函数的最值与导数
(1)函数 f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的 ；
②将函数 y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( )
(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( )
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( )
(4)函数 y＝f′(x)的零点是函数 y＝f(x)的极值点．( )
2．如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
1
3．当 x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________．
4．现有一块边长为 a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为 x的小正方形，然后做成
一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．
5．函数 f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数 a的取值范围是( )
A．(－∞，－ 6]∪[ 6，＋∞)
B．(－∞，－ 6)∪( 6，＋∞)
C．(－ 6， 6)
D．[－ 6， 6]
6 1．若函数 f(x)＝ x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为 4，则 m＝________.
3
【典型例题】
题型一 利用导数求函数的极值问题
例 1 (多选)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(0)为函数的极大值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为 f(x)的极小值
2
例 2 已知函数 f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数 f(x)的极值．
例 3 (1)已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在 x＝－1处有极值 0，则 a＋b＝________.
(2)已知函数 f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数 a的取值范围是________．
跟踪训练 1 (1)(2020·滨州模拟)已知 x＝1是 f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数
a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
3
(2)若函数 f(x)＝x2－x＋aln x有极值，则实数 a的取值范围是________．
题型二 利用导数求函数的最值
例 4 已知函数 g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．
(1)若 a＝1，求 g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求 g(x)在区间[1，e]上的最小值 h(a)．
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax＋ln x，其中 a为常数．
(1)当 a＝－1时，求 f(x)的最大值；
(2)若 f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求 a的值．
4
【课后作业】
A 组
1．函数 f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或 0 D．x＝0
2 x．函数 y＝ 在[0,2]上的最大值是( )
ex
A.1 B.2 C．0 D. 1
e e2 2 e
3．已知函数 f(x)＝2ln x＋ax2－3x在 x＝2处取得极小值，则 f(x)的极大值为( )
A．2 B 5．－
2
C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2
4．已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则 x21＋x 22等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
3 3 3 3
5．(多选)函数 y＝f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是( )
A．－3是函数 y＝f(x)的极值点
B．－1是函数 y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
D．y＝f(x)在 x＝0处切线的斜率小于零
2
6．(多选)(2021·烟台模拟) x ＋x－1已知函数 f(x)＝ ，则下列结论正确的是( )
ex
A．函数 f(x)存在两个不同的零点
B．函数 f(x)既存在极大值又存在极小值
C．当－eD．若 x∈[t 5，＋∞)时，f(x)max＝ ，则 t的最小值为 2
e2
7．函数 f(x)＝2x－ln x的最小值为________．
8．若函数 f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，则实数 c的取值范围为______________．
5
9．已知函数 f(x)＝sin x 1－ x，x 1∈[0，π]，cos x0＝ ，x0∈[0，π]．
3 3
①f(x)的最大值为 f(x0)；
②f(x)的最小值为 f(x0)；
③f(x)在[0，x0]上是减函数；
④f(x0)为 f(x)的极大值．
那么上面命题中真命题的序号是________．
10．已知不等式 ex－1≥kx＋ln x对于任意的 x∈(0，＋∞)恒成立，则 k的最大值为________．
11．已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1) 1当 a＝ 时，求 f(x)的极值；
2
(2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数．
12．已知函数 f(x)＝xln x.
(1)求函数 f(x)的极值点；
(2)设函数 g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中 a∈R，求函数 g(x)在区间(0，e]上的最小值(其中 e为自
然对数的底数)．
6
B 组
13．已知函数 f(x)＝x＋2sin x，x∈[0,2π]，则 f(x)的值域为( )
4π 3 2π 4π－ ， ＋ 3 0， － 3
A. 3 3 B. 3
2π
＋ 3，2π
C. 3 D．[0,2π]
14．(2020· 1邢台模拟)若函数 f(x)＝ x2＋(a－1)x－aln x存在唯一的极值，且此极值不小于 1，
2
则实数 a的取值范围为________．
C 组
15．已知函数 f(x)＝xln x＋mex(e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数 m的取值范围是
__________．
16．(2019·全国Ⅲ)已知函数 f(x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)当 07第 27讲 导数与函数的极值、最值
【考试要求】
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
【知识梳理】
1．函数的极值与导数
f′(x0)＝0
条件 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧
f′(x)<0 f′(x)>0
图象
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
2.函数的最值与导数
(1)函数 f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小
的一个是最小值．
微思考
1．对于可导函数 f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数 f(x)在 x＝x0处有极值”的什么条件？
提示 必要不充分．
2．函数的极大值一定大于极小值吗？
提示 不一定．函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( × )
(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × )
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ )
(4)函数 y＝f′(x)的零点是函数 y＝f(x)的极值点．( × )
题组二 教材改编
2．如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由题意知只有在 x＝－1处 f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．
3．当 x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________．
答案 ln x解析 构造函数 f(x)＝ln x－x，则 f′(x) 1＝ －1，可得 x＝1 为函数 f(x)在(0，＋∞)上唯一的极
x
大值点，也是最大值点，故 f(x)≤f(1)＝－1<0，所以 ln x4．现有一块边长为 a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为 x的小正方形，然后做成
一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．
2
答案 a3
27
V (a 2x)2x,02
＝0得 x a a a＝ 或 x＝ (舍去)，则 x＝ 为 V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时 Vmax
6 2 6
2
＝ a3.
27
题组三 易错自纠
5．函数 f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数 a的取值范围是( )
A．(－∞，－ 6]∪[ 6，＋∞)
B．(－∞，－ 6)∪( 6，＋∞)
C．(－ 6， 6)
D．[－ 6， 6]
答案 B
解析 f′(x)＝3x2－2ax＋2，
由题意知 f′(x)有变号零点，
∴Δ＝(2a)2－4×3×2>0，
解得 a> 6或 a<－ 6.
6．若函数 f(x) 1＝ x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为 4，则 m＝________.
3
答案 4
解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当 x∈[0,2)时，f′(x)<0，当 x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以 f(x)在[0,2)
上单调递减，在(2,3]上单调递增．又 f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，
所以 m＝4.
【典型例题】
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点 1 根据函数图象判断极值
例 1 (多选)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(0)为函数的极大值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为 f(x)的极小值
答案 BC
解析 由题图知，当 x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，
∴f′(x)<0，
当 x∈(－2,0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0，
当 x∈(0,1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，
当 x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0.
∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，
在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增．
故 AD错误，BC正确．
命题点 2 求已知函数的极值
例 2 已知函数 f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数 f(x)的极值．
解 因为 f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，
f′(x) 2x 2a 2 x
2－a
所以 ＝ － ＝ .
x x
①当 a<0 时，因为 x>0，且 x2－a>0，所以 f′(x)>0 对 x>0恒成立．所以 f(x)在(0，＋∞)上单调
递增，f(x)无极值．
②当 a>0时，令 f′(x)＝0，解得 x1＝ a，x2＝－ a(舍去)．
所以当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0， a) a ( a，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当 x＝ a时，f(x)取得极小值，且 f( a)＝( a)2－1－2aln a＝a－1－aln a．无极大值．
综上，当 a<0时，函数 f(x)在(0，＋∞)上无极值．
当 a>0时，函数 f(x)在 x＝ a处取得极小值 a－1－aln a，无极大值．
命题点 3 已知极值(点)求参数
例 3 (1)已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在 x＝－1处有极值 0，则 a＋b＝________.
答案 11
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
f′ －1 ＝0，
由题意得
f －1 ＝0，
a＝1， a＝2，
解得 或
b＝3 b＝9，
当 a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
∴f(x)在 R 上单调递增，
∴f(x)无极值，
所以 a＝1，b＝3不符合题意，
当 a＝2，b＝9时，经检验满足题意．
∴a＋b＝11.
(2)已知函数 f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数 a的取值范围是________．
0 1，
答案 2
解析 f(x)＝x(ln x－ax)，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋ln x－2ax.
由题意知，当 x>0时，1＋ln x－2ax＝0有两个不相等的实数根，
即 2a 1＋ln x＝ 有两个不相等的实数根，
x
φ(x) 1＋ln x令 ＝ (x>0)，∴φ′(x) －ln x＝ .
x x2
当 00；当 x>1时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
且φ(1)＝1，
当 x→0时，φ(x)→－∞，
当 x→＋∞时，φ(x)→0，
则 0<2a<1，即 02
思维升华 函数极值的两类热点问题
(1)求函数 f(x)极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域．
②求导数 f′(x)．
③解方程 f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．
④列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0的根 x0左右两侧值的符号．
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为 0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练 1 (1)(2020·滨州模拟)已知 x＝1是 f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数
a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
答案 D
解析 f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex＝(x－a)(x－1)ex.
令 f′(x)＝0，得(x－a)(x－1)ex＝0.
设 g(x)＝(x－1)(x－a)．
①当 a＝1时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)没有极值．
②当 a>1时，当 x>a或 x<1时，g(x)>0，f′(x)>0；
当 1∴x＝1是函数 f(x)的极大值点，不符合题意．
③当 a<1时，当 x>1或 x0，
当 a所以 x＝1是 f(x)的极小值点，符合题意．
综上所述，实数 a的取值范围是(－∞，1)．
(2)若函数 f(x)＝x2－x＋aln x有极值，则实数 a的取值范围是________．
1
－∞，
答案 8
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
2
f′(x)＝2x a 2x －x＋a－1＋ ＝ ，
x x
由题意知 y＝f′(x)有变号零点，
令 2x2－x＋a＝0，
即 a＝－2x2＋x(x>0)，
x 1－
令φ(x) 1＝－2x2＋x＝－2 4 2＋ (x>0)，
8
1
其图象如图所示，故 a< .
8
题型二 利用导数求函数的最值
例 4 已知函数 g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．
(1)若 a＝1，求 g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求 g(x)在区间[1，e]上的最小值 h(a)．
解 (1)∵a＝1，∴g(x)＝ln x＋x2－3x，
∴g′(x) 1 2x 3 2x－1 x－1 ＝ ＋ － ＝ ，
x x
∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，e]上单调递增，
∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1.
(2)g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x) a 2x (a 2) 2x
2－ a＋2 x＋a
＝ ＋ － ＋ ＝
x x
2x－a x－1
＝ .
x
a
①当 ≤1，即 a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；
2
1 a a e aa ， ，
②当 1< 2 2
1a2－a；
4
a
③当 ≥e，即 a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
2
－a－1，a≤2，
综上，h(a)＝ aln a 1－ a2－a，22 4
1－e a＋e2－2e，a≥2e.
思维升华 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则 f(a)与 f(b)一个为最大值，一个为最
小值．
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与 f(a)，f(b)比较，
最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数 f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在
导数的实际应用中经常用到．
(4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并
通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax＋ln x，其中 a为常数．
(1)当 a＝－1时，求 f(x)的最大值；
(2)若 f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求 a的值．
解 (1)易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当 a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x) 1 1 1－x＝－ ＋ ＝ ，
x x
令 f′(x)＝0，得 x＝1.
当 00；当 x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
∴当 a＝－1时，函数 f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
1
1 1 ，＋∞(2)f′(x)＝a＋ ，x∈(0，e]， ∈ e .
x x
a 1①若 ≥－ ，则 f′(x)≥0，从而 f(x)在(0，e]上单调递增，
e
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．
a< 1 f′(x)>0 a 1②若 － ，令 得 ＋ >0，结合 x∈(0，e]，解得 0e x a
令 f′(x)<0得 a 1＋ <0，结合 x∈(0 1，e]，解得－ x a
0 1 1，－ － ，e
从而 f(x)在 a 上单调递增，在 a 上单调递减，
1 1
－ －
∴f(x)max＝f a ＝－1＋ln a .
1 1
－ －
令－1＋ln a ＝－3，得 ln a ＝－2，
即 a＝－e2.
∵－e2< 1－ ，∴a＝－e2为所求．
e
故实数 a的值为－e2.
【课后作业】
A 组
1．函数 f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或 0 D．x＝0
答案 C
解析 f′(x)＝2(x2－1)·2x＝4x(x＋1)(x－1)，
令 f′(x)＝0，解得 x＝0或 x＝－1或 x＝1.
2．函数 y x＝ 在[0,2]上的最大值是( )
ex
A.1 B.2 C 0 D. 1．
e e2 2 e
答案 A
1－x
解析 易知 y′＝ ，x∈[0,2]，
ex
令 y′>0，得 0≤x<1，
令 y′<0，得 1所以函数 y x＝ 在[0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以 y x 1＝ 在[0,2]上的最大值是 ，故
ex ex e
选 A.
3．已知函数 f(x)＝2ln x＋ax2－3x在 x＝2处取得极小值，则 f(x)的极大值为( )
A．2 B 5．－
2
C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2
答案 B
解析 由题意得，f′(x) 2＝ ＋2ax－3，∵f(x)在 x＝2处取得极小值，∴f′(2)＝4a－2＝0，解得 a
x
1
＝ ，
2
f(x) 2ln x 1x2 3x f′(x) 2 x 3 x－1 x－2 ∴ ＝ ＋ － ， ＝ ＋ － ＝ ，
2 x x
∴f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
1 5
∴f(x)的极大值为 f(1)＝ －3＝－ .
2 2
4．已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则 x21＋x 22等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
3 3 3 3
答案 C
解析 由题中图象可知 f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数 f(x)的极值点，所以 1＋b
＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得 b＝－3，c＝2，所以 f(x)＝x3－3x2＋2x，所以 f′(x)＝3x2－6x＋2，
x 21，x2是方程 3x2－6x＋2＝0的两根，所以 x1＋x2＝2，x1·x2＝ ，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝
3
4 2 2 8－ × ＝ .
3 3
5．(多选)函数 y＝f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是( )
A．－3是函数 y＝f(x)的极值点
B．－1是函数 y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
D．y＝f(x)在 x＝0处切线的斜率小于零
答案 BD
解析 根据导函数的图象可知当 x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当 x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，
∴函数 y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3 是函数 y＝f(x)
的极值点，
∵函数 y＝f(x)在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数 y＝f(x)的最小值点，
∵函数 y＝f(x)在 x＝0处的导数大于 0，∴y＝f(x)在 x＝0处切线的斜率大于零．
故错误的命题为 BD.
2
6．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数 f(x) x ＋x－1＝ ，则下列结论正确的是( )
ex
A．函数 f(x)存在两个不同的零点
B．函数 f(x)既存在极大值又存在极小值
C．当－eD．若 x∈[t，＋∞)时，f(x) 5max＝ ，则 t的最小值为 2
e2
答案 ABC
解析 由 f(x)＝0，得 x2＋x－1＝0，
x －1± 5∴ ＝ ，故 A正确．
2
2
f′(x) x －x－2 x＋1 x－2 ＝－ ＝－ ，
ex ex
当 x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0，
当 x∈(－1,2)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1,2)上单调递增，
∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故 B正确．
又 f(－1)＝－e，f(2) 5＝ ，
e2
且当 x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→0，
∴f(x)的图象如图所示，
由图知 C正确，D不正确．
7．函数 f(x)＝2x－ln x的最小值为________．
答案 1＋ln 2
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x) 2 1 2x－1＝ － ＝ ，
x x
当 02
当 x>1时，f′(x)>0.
2
0 1 1， ，＋∞
∴f(x)在 2 上单调递减，在 2 上单调递增，
1
∴f(x)min＝f 2 1 ln 1＝ － ＝1＋ln 2.
2
8．若函数 f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，则实数 c的取值范围为______________．
3 3
－∞，－ ，＋∞
答案 2 ∪ 2
解析 若函数 f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，
则 f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不相等的实根，
故Δ＝(－4c)2－12>0，
3
解得 c> 或 c< 3－ .
2 2
3 3
－∞，－ ，＋∞
所以实数 c的取值范围为 2 ∪ 2 .
9．已知函数 f(x)＝sin x 1－ x，x∈[0，π]，cos x 10＝ ，x0∈[0，π]．
3 3
①f(x)的最大值为 f(x0)；
②f(x)的最小值为 f(x0)；
③f(x)在[0，x0]上是减函数；
④f(x0)为 f(x)的极大值．
那么上面命题中真命题的序号是________．
答案 ①④
解析 f′(x)＝cos x 1－ ，由 f′(x)＝0，得 cos x 1＝ ，即 x＝x0，因为 x0∈[0，π]，当 0≤x3 3
f′(x)>0；当 x0为 f(x)的极大值且为最大值．故①④正确，②③不正确．
10．已知不等式 ex－1≥kx＋ln x对于任意的 x∈(0，＋∞)恒成立，则 k的最大值为________．
答案 e－1
x
解析 x (0 ) ex 1 kx ln x x (0 ) k e －1－ln x∈ ，＋∞ ，不等式 － ≥ ＋ 恒成立，等价于 ∈ ，＋∞ ，≤
x
恒成立，
ex－1－ln x
令φ(x)＝ (x>0)，
x
x
φ′(x) e x－1 ＋ln x则 ＝ ，
x2
当 x∈(0,1)时，φ′(x)<0，
当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(1)＝e－1，
∴k≤e－1.
11．已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1) 1当 a＝ 时，求 f(x)的极值；
2
(2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数．
1 1 1 1 2－x
解 (1)当 a＝ 时，f(x)＝ln x－ x，函数的定义域为(0，＋∞)且 f′(x)＝ － ＝ ，
2 2 x 2 2x
令 f′(x)＝0，得 x＝2，
于是当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．
x (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ ln 2－1 ↘
故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x) 1 a 1－ax＝ － ＝ .
x x
当 a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
0 1，
当 a>0时，若 x∈ a ，则 f′(x)>0，
1
，＋∞
若 x∈ a ，则 f′(x)<0，
1
故函数在 x＝ 处有极大值．
a
综上可知，当 a≤0时，函数 f(x)无极值点，
当 a>0时，函数 y＝f(x) 1有一个极大值点，且为 x＝ .
a
12．已知函数 f(x)＝xln x.
(1)求函数 f(x)的极值点；
(2)设函数 g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中 a∈R，求函数 g(x)在区间(0，e]上的最小值(其中 e为自
然对数的底数)．
解 (1)f′(x)＝ln x＋1，x>0，
由 f′(x)＝0 1，得 x＝ .
e
0 1，
当 x∈ e 时，f′(x)<0，
1
，＋∞
当 x∈ e 时，f′(x)>0，
0 1 1， ，＋∞
所以 f(x)在区间 e 上单调递减，在区间 e 上单调递增．
1
所以 x＝ 是函数 f(x)的极小值点，极大值点不存在．
e
(2)g(x)＝xln x－a(x－1)，则 g′(x)＝ln x＋1－a，
由 g′(x)＝0，得 x＝ea－1.
所以在区间(0，ea－1)上，g(x)单调递减，
在区间(ea－1，＋∞)上，g(x)单调递增．
当 ea－1≥e，即 a≥2时，g(x)在(0，e]上单调递减，
∴g(x)min＝g(e)＝a＋e－ae，
当 ea－1∴g(x) －min＝g(ea 1)＝a－ea－1，
令 g(x)的最小值为 h(a)，
a－ea－1，a<2，
综上有 h(a)＝
a＋e－ae，a≥2.
B 组
13．已知函数 f(x)＝x＋2sin x，x∈[0,2π]，则 f(x)的值域为( )
4π 3 2π－ ， ＋ 3 0 4π， － 3
A. 3 3 B. 3
2π
＋ 3，2π
C. 3 D．[0,2π]
答案 D
解析 f′(x)＝1＋2cos x，x∈[0,2π]，
令 f′(x) 1＝0，得 cos x＝－ ，
2
∴x 2π＝ 或 x 4π＝ ，
3 3
2π
又 f 3 2π＝ ＋ 3，
3
4π
f 3 4π＝ － 3，
3
f(0)＝0，
f(2π)＝2π，
4π 2π
f 3 －f 3 2π＝ －2 3<0，
3
4π 2π
∴f(0)∴f(x)max＝f(2π)＝2π，f(x)min＝f(0)＝0，
∴f(x)的值域为[0,2π]．
14．(2020· 1邢台模拟)若函数 f(x)＝ x2＋(a－1)x－aln x存在唯一的极值，且此极值不小于 1，
2
则实数 a的取值范围为________．
3
，＋∞
答案 2
1 1－
f′(x) x 1 a x x＋a x－1 解析 对函数求导得 ＝ － ＋ ＝ ，x>0，因为函数存在唯一的极值，
x
所以导函数存在唯一的零点，且零点大于 0，故 x＝1是唯一的极值点，此时－a≤0，且 f(1)
1
＝－ ＋a≥1 a 3，所以 ≥ .
2 2
C 组
15．已知函数 f(x)＝xln x＋mex(e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数 m的取值范围是
__________．
1
－ ，0
答案 e
解析 f(x)＝xln x＋mex(x>0) ln x＋1，∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x>0)，令 f′(x)＝0，得－m＝ ，设 g(x)
ex
ln x＋1
＝ ，
ex
1
－ln x－1
则 g′(x)＝x (x>0) 1，令 h(x)＝ －ln x－1，
ex x
则 h′(x) 1 1＝－ 2－ <0(x>0)，x x
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且 h(1)＝0，
∴当 x∈(0,1]时，h(x)≥0，即 g′(x)≥0，g(x)在(0,1]上单调递增；当 x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，
即 g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故 g(x)max＝g(1)
1
＝ ，
e
而当 x→0时，g(x)→－∞，当 x→＋∞时，g(x)→0，
若 f(x)有两极值点，只要 y＝－m和 g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
0< m<1 1只需 － ，故－ e e
16．(2019·全国Ⅲ)已知函数 f(x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)当 0解 (1)f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令 f′(x)＝0，得 x＝0或 x a＝ .
3
a
，＋∞
若 a>0，则当 x∈(－∞，0)∪ 3 时，f′(x)>0，
0 a，
当 x∈ 3 时，f′(x)<0，
a a
，＋∞ 0，
故 f(x)在(－∞，0)， 3 上单调递增，在 3 上单调递减；
若 a＝0，则 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
a
－∞，
若 a<0，则当 x∈ 3 ∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，
a
，0
当 x∈ 3 时，f′(x)<0，
a a
－∞， ，0
故 f(x)在 3 ，(0，＋∞)上单调递增，在 3 上单调递减．
0 a a， ，1
(2)当 0a
a3
最小值为 f 3 ＝－ ＋2，最大值为 f(0)＝2或 f(1)＝4－a.
27
a3 4－a，0于是 m＝－ ＋2，M＝
27 2，2≤a<3.
a32－a＋ ，027
所以 M－m＝ a3
，2≤a<3.
27
①当 03
可知 y＝2 a a－ ＋ 单调递减，
27
8
，2
所以 M－m的取值范围是 27 .
3
②当 2≤a<3 y a时， ＝ 单调递增，
27
8
，1
所以 M－m的取值范围是 27 .
8
，2
综上，M－m的取值范围是 27 .

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