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第 32 讲 直线的方程
【知识梳理】
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线 l与 x轴相交时，我们以 x轴作为基准， 与直线 l 的方向之
间所成的角α叫做直线 l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
2．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k表示，
即 k＝ ．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率 k＝ .
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( )
(2)若直线的斜率为 tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(4)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b表示．( )
2．若过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m的值为( )
A．1 B．4
C．1或 3 D．1或 4
1
3．已知直线斜率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角为________．
4．已知三点 A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数 m的值为________．
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．有的直线斜率不存在
B．若直线 l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率 k＝tan α
C 3π．若直线 l的斜率为 1，则它的倾斜角为
4
D．截距可以为负值
6．过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
【典型例题】
题型一 直线的倾斜角与斜率
3
－ －1， 3－1
例 1 (1)已知两点 A(－1,2)，B(m,3)，且 m∈ 3 ，则直线 AB的倾斜角α的取值
范围是( )
π π π 2π
， ，
A. 6 2 B. 2 3
π π π 2π π 2π
， ， ，
C. 6 2 ∪ 2 3 D. 6 3
(2)(2020·安阳模拟)已知点 A(1,3)，B(－2，－1)．若直线 l：y＝k(x－2)＋1 与线段 AB相交，
则 k的取值范围是( )
A 1．k≥ B．k≤－2
2
C 1 1．k≥ 或 k≤－2 D．－2≤k≤
2 2
2
跟踪训练 1 (1)(2021·宿州模拟)若图中直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则( )
A．k1C．k3(2)直线 l过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l的斜率的取
值范围是______________．
题型二 求直线的方程
1．(2021·荆门期末)经过点 P(2，－3)，且倾斜角为 45°的直线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
2．已知点 M是直线 l：2x－y－4＝0与 x轴的交点，将直线 l绕点 M按逆时针方向旋转 45°，
得到的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
3．经过两条直线 l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量 v＝(－3,2)的直
线方程为__________．
4．过点(2,1)且在 x轴上截距与在 y轴上截距之和为 6的直线方程为_________________．
3
题型三 直线方程的综合应用
例 2 已知 k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标：
(1)若直线方程为 y＝kx＋3，则直线过定点________；
(2)若直线方程为 y＝kx＋3k，则直线过定点________；
(3)若直线方程为 x＝ky＋3，则直线过定点________．
例 3 已知直线 l过点 M(2,1)，且分别与 x轴的正半轴，y轴的正半轴交于 A，B两点，O为原
点，当△AOB面积最小时，求直线 l的方程．
跟踪训练 2 已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线 l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求 k的取值范围；
(3)若直线 l交 x轴负半轴于 A，交 y轴正半轴于 B，△AOB的面积为 S(O为坐标原点)，求 S
的最小值并求此时直线 l的方程．
4
【课后作业】
A 组
1．(2021·清远期末)倾斜角为 120°且在 y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A．y＝－ 3x＋2 B．y＝－ 3x－2
C．y＝ 3x＋2 D．y＝ 3x－2
2．(2021·菏泽模拟)若平面内三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则 a等于( )
A．1± 2或 0 B.2－ 5或 0
2
C.2± 5 D.2＋ 5或 0
2 2
3．(2021·广东七校联考)若过点 P(1－a,1＋a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数 a的
取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－1,2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
4．(2020·北京丰台区模拟)若直线 y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有( )
A．a>0，c>0 B．a>0，c<0
C．a<0，c>0 D．a<0，c<0
π π
，
5．直线 2xcos α－y－3＝0 α∈ 6 3 的倾斜角的取值范围是 ( )
π π π π
， ，
A. 6 3 B. 4 3
π π π 2π
， ，
C. 4 2 D. 4 3
6．(多选)在下列四个命题中，错误的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为 tan α，则此直线的倾斜角为α
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 tan α
7．(多选)若直线过点 A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
8．(多选)垂直于直线 3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6的直线在 x轴上
的截距是( )
A．4 B．－4
C．3 D．－3
5
9．直线 l过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b)在 l上，则 b的值为________．
10．设直线 l的方程为 2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线 l的斜率为－1，则 k＝______；
若直线 l在 x轴、y轴上的截距之和等于 0，则 k＝________.
11．已知三角形的三个顶点 A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则 BC边上中线所在的直线方程为
____________．
12．(八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2，则该正方形的两条邻边所在直线的
斜率分别为________．
B 组
13．已知 P(－3,2)，Q(3,4) →及直线 ax＋y＋3＝0.若沿PQ的方向延长线段 PQ与直线有交点(不
含 Q点)，则 a的取值范围是________．
14．已知数列{an}
1 9 x y
的通项公式为 an＝ (n∈N*)，其前 n项和 Sn＝ ，则直线 ＋ ＝1
n n＋1 10 n＋1 n
与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
C 组
15．(多选)已知直线 xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于 1
16．如图，射线 OA，OB分别与 x轴正半轴成 45°和 30°角，过点 P(1,0)作直线 AB分别交 OA，
OB于 A 1，B两点，当 AB的中点 C恰好落在直线 y＝ x上时，则直线 AB的方程是______．
2
6第 32 讲 直线的方程
【考试要求】
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直
线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
【知识梳理】
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线 l与 x轴相交时，我们以 x轴作为基准，x轴正向与直线 l向上的方向之间所
成的角α叫做直线 l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k表示，
即 k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
y2－y1
如果直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率 k＝ .
x2－x1
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线 x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于 x轴的直线
y－y1 x－x1
两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线 x＝x1 和直线 y＝yy y x x 12－ 1 2－ 1
x y
截距式 ＋ ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
a b
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ )
(2)若直线的斜率为 tan α，则其倾斜角为α.( × )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )
(4)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b表示．( × )
2．若过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m的值为( )
A．1 B．4
C．1或 3 D．1或 4
答案 A
m－4
解析 由题意得 ＝1，解得 m＝1.
－2－m
3．已知直线斜率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角为________．
π 3π
答案 或
4 4
解析 由|k|＝|tan α|＝1知 tan α＝±1，
∴α π 3π＝ 或 .
4 4
4．已知三点 A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数 m的值为________．
答案 2
2－ －1 4－2
解析 因为 A，B，C三点在同一直线上，所以 kAB＝kBC，即 ＝ ，故 m＝2.
0－ －3 m－0
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．有的直线斜率不存在
B．若直线 l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率 k＝tan α
C．若直线 l 3π的斜率为 1，则它的倾斜角为
4
D．截距可以为负值
答案 ABD
6．过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
答案 3x－2y＝0或 x＋y－5＝0
解析 当截距为 0时，直线方程为 3x－2y＝0；
x y
当截距不为 0时，设直线方程为 ＋ ＝1，
a a
2 3
则 ＋ ＝1，解得 a＝5.所以直线方程为 x＋y－5＝0.
a a
【典型例题】
题型一 直线的倾斜角与斜率
3
－ －1， 3－1
例 1 (1)已知两点 A(－1,2)，B(m,3)，且 m∈ 3 ，则直线 AB的倾斜角α的取值
范围是( )
π π π 2π
， ，
A. 6 2 B. 2 3
π π π 2π π 2π
， ， ，
C. 6 2 ∪ 2 3 D. 6 3
答案 D
解析 ①当 m＝－1时，α π＝ ；
2
3
，＋∞
②当 m≠－1时，∵k 1＝ ∈(－∞，－ 3 ]∪ 3 ，
m＋1
π π π 2π
， ，
∴α∈ 6 2 ∪ 2 3 .
π 2π
，
综合①②知直线 AB的倾斜角α的取值范围是 6 3 .
(2)(2020·安阳模拟)已知点 A(1,3)，B(－2，－1)．若直线 l：y＝k(x－2)＋1 与线段 AB相交，
则 k的取值范围是( )
A．k 1≥ B．k≤－2
2
C k 1． ≥ 或 k≤－2 D 1．－2≤k≤
2 2
答案 D
解析 直线 l：y＝k(x－2)＋1经过定点 P(2,1)，
k 3－1 －1－1 1∵ PA＝ ＝－2，kPB＝ ＝ ，
1－2 －2－2 2
又直线 l：y＝k(x－2)＋1与线段 AB相交，
∴－2≤k 1≤ .
2
本例(2)直线 l改为 y＝kx，若 l与线段 AB相交，则 k的取值范围是______．
1
－∞，
答案 2 ∪[3，＋∞)
解析 直线 l过定点 P(0,0)，
∵kPA＝3，k
1
PB＝ ，∴k
1
≥3或 k≤ .
2 2
思维升华 (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．
(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数 k＝tan α的单调性．
跟踪训练 1 (1)(2021·宿州模拟)若图中直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则( )
A．k1C．k3答案 D
解析 因为直线 l2，l3的倾斜角为锐角，且直线 l2的倾斜角大于直线 l3的倾斜角，所以 0直线 l1的倾斜角为钝角，斜率 k1<0，所以 k1(2)直线 l过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l的斜率的取
值范围是______________．
答案 (－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)
3－0
解析 如图所示，当直线 l过点 B时，k1＝ ＝－ 3.
0－1
1－0
当直线 l过点 A时，k2＝ ＝1，
2－1
∴要使直线 l与线段 AB有公共点，则直线 l的斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．
题型二 求直线的方程
1．(2021·荆门期末)经过点 P(2，－3)，且倾斜角为 45°的直线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
答案 D
解析 倾斜角为 45°的直线的斜率为 tan 45°＝1，又该直线经过点 P(2，－3)，所以用点斜式
求得直线的方程为 y＋3＝x－2，即 x－y－5＝0.
2．已知点 M是直线 l：2x－y－4＝0与 x轴的交点，将直线 l绕点 M按逆时针方向旋转 45°，
得到的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
答案 D
解析 设直线 l的倾斜角为α，则 tan α＝k＝2，
α π＋
直线 l绕点 M 2＋1按逆时针方向旋转 45°，所得直线的斜率 k′＝tan 4 ＝ ＝－3，又
1－2×1
点 M(2,0)，
所以 y＝－3(x－2)，即 3x＋y－6＝0.
3．经过两条直线 l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量 v＝(－3,2)的直
线方程为__________．
答案 2x＋3y－5＝0
x＋y＝2，
解析 联立 解得 x＝1，y＝1，
2x－y＝1，
∴直线过点(1,1)，
∵直线的方向向量 v＝(－3,2)，
2
∴直线的斜率 k＝－ .
3
2
则直线的方程为 y－1＝－ (x－1)，
3
即 2x＋3y－5＝0.
4．过点(2,1)且在 x轴上截距与在 y轴上截距之和为 6的直线方程为_________________．
答案 x＋y－3＝0或 x＋2y－4＝0
x y
解析 由题意可设直线方程为 ＋ ＝1.
a b
a＋b＝6，
则 2 1 1 解得 a＝b＝3，或 a＝4，b＝2.＋ ＝ ，
a b
故所求直线方程为 x＋y－3＝0或 x＋2y－4＝0.
思维升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件
求出待定系数，即得所求直线方程．
(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、
截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．
题型三 直线方程的综合应用
命题点 1 直线过定点问题
例 2 已知 k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标：
(1)若直线方程为 y＝kx＋3，则直线过定点________；
(2)若直线方程为 y＝kx＋3k，则直线过定点________；
(3)若直线方程为 x＝ky＋3，则直线过定点________．
答案 (1)(0,3) (2)(－3,0) (3)(3,0)
解析 (1)当 x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0,3)．
(2)直线方程可化为 y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3,0)．
(3)当 y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3,0)．
命题点 2 与直线有关的多边形面积的最值
例 3 已知直线 l过点 M(2,1)，且分别与 x轴的正半轴，y轴的正半轴交于 A，B两点，O为原
点，当△AOB面积最小时，求直线 l的方程．
解 方法一 设直线 l的方程为 y－1＝k(x－2)，
2k－1
，0
则可得 A k ，B(0,1－2k)．
2k－1>0，
∵与 x轴，y轴正半轴分别交于 A，B两点，∴ k k<0.于是
1－2k>0
4 1－ －4k 1－
S 1 1 2k－1 1 1△AOB＝ ·|OA|·|OB|＝ · ·(1－2k)＝ k ≥ 4＋2 k · －4k ＝4.2 2 k 2 2
1 1
当且仅当－ ＝－4k，即 k＝－ 时，△AOB面积有最小值为 4，
k 2
此时，直线 l y 1 1的方程为 － ＝－ (x－2)，
2
即 x＋2y－4＝0.
x y
方法二 设所求直线 l的方程为 ＋ ＝1(a>0，b>0)，
a b
2 1
则 ＋ ＝1.
a b
2 1 2 1 2 1 1 1
又∵ ＋ ≥2 ab≥4，当且仅当 ＝ ＝ ，即 a＝4，b＝2 时，△AOB面积 S＝ ab有
a b ab 2 a b 2 2
最小值为 4.
x y
此时，直线 l的方程是 ＋ ＝1.
4 2
本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线 l的方程．
2k－1
，0
解 方法一 由本例知 A k ，B(0,1－2k)(k<0)．
12 －k ＋
∴|MA|·|MB| 1 1· 4 4k2 21＋k＝ ＋ ＋ ＝ ＝2 －k ≥4.
k2 |k|
1
当且仅当－k＝－ ，即 k＝－1时取等号．
k
此时直线 l的方程为 x＋y－3＝0.
方法二 由本例知 A(a,0)，B(0，b)，a>0 b>0 2 1， ， ＋ ＝1.
a b
∴|MA|·|MB|＝|M→A|·|M→B|
→
＝－MA·M→B＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
2 1 b a
＋ ＋
＝(2a＋b) a b －5＝2 a b ≥4，
当且仅当 a＝b＝3时取等号，此时直线 l的方程为 x＋y－3＝0.
思维升华 (1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标．
(2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得
多边形面积．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或
基本不等式求解．
跟踪训练 2 已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线 l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求 k的取值范围；
(3)若直线 l交 x轴负半轴于 A，交 y轴正半轴于 B，△AOB的面积为 S(O为坐标原点)，求 S
的最小值并求此时直线 l的方程．
(1)证明 直线 l的方程可化为 k(x＋2)＋(1－y)＝0，
x＋2＝0， x＝－2，
令 解得
1－y＝0， y＝1.
∴无论 k取何值，直线 l总经过定点(－2,1)．
(2) 1＋2k解 由方程知，当 k≠0 时直线在 x轴上的截距为－ ，在 y轴上的截距为 1＋2k，要
k
1＋2k
－ ≤－2，
使直线不经过第四象限，则必须有 k
1＋2k≥1，
解得 k>0；
当 k＝0时，直线为 y＝1，符合题意，故 k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解 由题意可知 k≠0，再由 l的方程，
1＋2k
－ ，0
得 A k ，B(0,1＋2k)．
1＋2k
－ <0，
依题意得 k 解得 k>0.
1＋2k>0，
1＋2k 1
S 1·|OA|·|OB| 1·| |·|1 2k| 1· 1＋2k 2 1 4k＋ ＋4k k 1∵ ＝ ＝ ＋ ＝ ＝ ≥ ×(2×2＋4)＝4，
2 2 2 k 2 2
“＝”成立的条件是 k>0 4k 1 k 1且 ＝ ，即 ＝ ，
k 2
∴Smin＝4，此时直线 l的方程为 x－2y＋4＝0.
【课后作业】
A 组
1．(2021·清远期末)倾斜角为 120°且在 y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A．y＝－ 3x＋2 B．y＝－ 3x－2
C．y＝ 3x＋2 D．y＝ 3x－2
答案 B
解析 斜率为 tan 120°＝－ 3，利用斜截式直接写出方程，即 y＝－ 3x－2.
2．(2021·菏泽模拟)若平面内三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则 a等于( )
A 1± 2 0 B.2－ 5． 或 或 0
2
C.2± 5 D.2＋ 5或 0
2 2
答案 A
2 3
解析 由题意知 k a ＋a a ＋aAB＝kAC，即 ＝ ，
2－1 3－1
即 a(a2－2a－1)＝0，解得 a＝0或 a＝1± 2.
3．(2021·广东七校联考)若过点 P(1－a,1＋a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数 a的
取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－1,2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
2a－1－a a－1
解析 由题意知 <0，即 <0，解得－23－1＋a 2＋a
4．(2020·北京丰台区模拟)若直线 y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有( )
A．a>0，c>0 B．a>0，c<0
C．a<0，c>0 D．a<0，c<0
答案 A
解析 ∵直线 y＝ax＋c经过第一、二、三象限，
∴直线的斜率 a>0，在 y轴上的截距 c>0.
π π
，
5．直线 2xcos α－y－3＝0 α∈ 6 3 的倾斜角的取值范围是 ( )
π π π π
， ，
A. 6 3 B. 4 3
π π π 2π
， ，
C. 4 2 D. 4 3
答案 B
解析 直线 2xcos α－y－3＝0的斜率 k＝2cos α，
π π
，
α 6 3 1 cos α 3因为 ∈ ，所以 ≤ ≤ ，
2 2
因此 k＝2cos α∈[1， 3 ]．
设直线的倾斜角为θ，则有 tan θ∈[1， 3 ]．
π π
，
又θ∈[0，π)，所以θ∈ 4 3 ，
π π
，
即倾斜角的取值范围是 4 3 .
6．(多选)在下列四个命题中，错误的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为 tan α，则此直线的倾斜角为α
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 tan α
答案 ACD
解析 对于 A，当直线与 x轴垂直时，直线的倾斜角为 90°，斜率不存在，∴A错误；
对于 B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B正确；
对于 C，一条直线的斜率为 tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误；
对于 D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为 tan α或不存在，D错误．
故选 ACD.
7．(多选)若直线过点 A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
答案 ABC
2－0
解析 当直线经过原点时，斜率为 k＝ ＝2，
1－0
所求的直线方程为 y＝2x，即 2x－y＝0；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为 x±y＝k，把点 A(1,2)代入可得 1－2＝k，或 1＋2＝k，
求得 k＝－1，或 k＝3，故所求的直线方程为 x－y＋1＝0，或 x＋y－3＝0.
综上知，所求的直线方程为 2x－y＝0，x－y＋1＝0，
或 x＋y－3＝0.
8．(多选)垂直于直线 3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6的直线在 x轴上
的截距是( )
A．4 B．－4
C．3 D．－3
答案 CD
解析 设直线方程是 4x＋3y＋d＝0，分别令 x＝0和 y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是
d d
d d 1 － － d2
－ ，－ ，所以 6＝ ×| 3|×| 4|＝ .所以 d＝±12，则直线在 x轴上的截距为 3或－
3 4 2 24
3.
9．直线 l过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b)在 l上，则 b的值为________．
答案 2 023
y－ －1 x－ －1
解析 直线 l的方程为 ＝ ，
5－ －1 2－ －1
y＋1 x＋1
即 ＝ ，即 y＝2x＋1.
6 3
令 x＝1 011，得 y＝2 023，∴b＝2 023.
10．设直线 l的方程为 2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线 l的斜率为－1，则 k＝______；
若直线 l在 x轴、y轴上的截距之和等于 0，则 k＝________.
答案 5 1
解析 因为直线 l 2 2的斜率存在，所以直线 l的方程可化为 y＝－ x＋2，由题意得－ ＝
k－3 k－3
－1，解得 k＝5.直线 l x y的方程可化为 ＋ ＝1，由题意得 k－3＋2＝0，解得 k＝1.
k－3 2
11．已知三角形的三个顶点 A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则 BC边上中线所在的直线方程为
____________．
答案 x＋13y＋5＝0
3 1
，－ y－0 x＋5
解析 BC的中点坐标为 2 2 ，∴BC边上中线所在直线方程为 1 ＝3 ，即 x＋13y
－ －0 ＋5
2 2
＋5＝0.
12．(八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2，则该正方形的两条邻边所在直线的
斜率分别为________．
1
答案 ，－3
3
解析 方法一 设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率 k＝tan α.
π
π α＋
则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α＋ ，其斜率为 tan 4 .
4
π
α π tan α＋tan＋
依题意知：tan 2 4 tan α＋14 1＝ ，即 ＝ ＝2，∴tan α＝ ，
1 tan α·tan π 1－tan α 3－
4
1
∴正方形一边的斜率 k＝ ，可知相邻一边所在直线的斜率为－3.
3
π
方法二 正方形两条相邻边与对角线的夹角为 ，
4
设正方形的边所在直线的斜率为 k，
k－2
π
则由夹角公式得 tan ＝|1＋2k| k 1＝ 或 k＝－3.
4 3
B 组
13 →．已知 P(－3,2)，Q(3,4)及直线 ax＋y＋3＝0.若沿PQ的方向延长线段 PQ与直线有交点(不
含 Q点)，则 a的取值范围是________．
7 1
－ ，－
答案 3 3
解析 直线 l：ax＋y＋3＝0是过点 A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a，易知 PQ，QA，
l 1 7的斜率分别为：kPQ＝ ，kAQ＝ ，kl＝－a.若 l与 PQ延长线相交，由图可知 kPQ3 3
7
得－ 3 3
14 1 9 x y．已知数列{an}的通项公式为 an＝ (n∈N*)，其前 n项和 Sn＝ ，则直线 ＋ ＝1
n n＋1 10 n＋1 n
与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
答案 45
a 1 a 1 1解析 由 n＝ 可知 n＝ － ，
n n＋1 n n＋1
1 1 1 1 1 1
1 1
－ － － － 1
所以 Sn＝ 2 ＋ 2 3 ＋ 3 4 ＋…＋ n n＋1 ＝1－ ，
n＋1
S 9 1 1 9又知 n＝ ，所以 － ＝ ，所以 n＝9.
10 n＋1 10
x y
所以直线方程为 ＋ ＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，所以直线与坐标轴所围成的三
10 9
1
角形的面积为 ×10×9＝45.
2
C 组
15．(多选)已知直线 xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于 1
答案 BD
解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以 A不正确；当 x＝y＝0 时，xsin α
＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α π＝ 时，直线斜率不存在，C不正确；
2
1 1
1
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为 S＝ |－sin α|·|－cos α|
2
1
＝ ≥1，所以 D正确．
|sin 2α|
16．如图，射线 OA，OB分别与 x轴正半轴成 45°和 30°角，过点 P(1,0)作直线 AB分别交 OA，
OB 1于 A，B两点，当 AB的中点 C恰好落在直线 y＝ x上时，则直线 AB的方程是______．
2
答案 (3＋ 3)x－2y－3－ 3＝0
解析 由题意可得 kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180° 30°)
3
－ ＝－ ，
3
3
所以直线 lOA：y＝x，lOB：y＝－ x.
3
设 A(m，m)，B(－ 3n，n)，
m－ 3n m＋n
，
所以 AB的中点 C 2 2 ，
1
由点 C在直线 y＝ x上，且 A，P，B三点共线得
2
m＋n 1·m－ 3n＝ ，
2 2 2
m－0 · － 3n－1 ＝ n－0 · m－1 ，
解得 m＝ 3，所以 A( 3， 3)．
3 3＋ 3
又 P(1,0)，所以 kAB＝kAP＝ ＝ ，
3－1 2
3＋ 3
所以 lAB：y＝ (x－1)，
2
即直线 AB的方程为(3＋ 3)x－2y－3－ 3＝0.

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