资源简介 第 32 讲 直线的方程【知识梳理】1.直线的倾斜角(1)定义:当直线 l与 x轴相交时,我们以 x轴作为基准, 与直线 l 的方向之间所成的角α叫做直线 l的倾斜角.(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为 .2.直线的斜率(1)定义:把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母 k表示,即 k= .(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率 k= .3.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点斜式斜截式两点式截距式一般式【基础自测】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )(2)若直线的斜率为 tan α,则其倾斜角为α.( )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b表示.( )2.若过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m的值为( )A.1 B.4C.1或 3 D.1或 413.已知直线斜率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角为________.4.已知三点 A(-3,-1),B(0,2),C(m,4)在同一直线上,则实数 m的值为________.5.(多选)下列说法正确的是( )A.有的直线斜率不存在B.若直线 l的倾斜角为α,且α≠90°,则它的斜率 k=tan αC 3π.若直线 l的斜率为 1,则它的倾斜角为4D.截距可以为负值6.过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.【典型例题】题型一 直线的倾斜角与斜率3- -1, 3-1例 1 (1)已知两点 A(-1,2),B(m,3),且 m∈ 3 ,则直线 AB的倾斜角α的取值范围是( )π π π 2π, ,A. 6 2 B. 2 3π π π 2π π 2π, , ,C. 6 2 ∪ 2 3 D. 6 3(2)(2020·安阳模拟)已知点 A(1,3),B(-2,-1).若直线 l:y=k(x-2)+1 与线段 AB相交,则 k的取值范围是( )A 1.k≥ B.k≤-22C 1 1.k≥ 或 k≤-2 D.-2≤k≤2 22跟踪训练 1 (1)(2021·宿州模拟)若图中直线 l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,则( )A.k1C.k3(2)直线 l过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段有公共点,则直线 l的斜率的取值范围是______________.题型二 求直线的方程1.(2021·荆门期末)经过点 P(2,-3),且倾斜角为 45°的直线方程为( )A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+5=0 D.x-y-5=02.已知点 M是直线 l:2x-y-4=0与 x轴的交点,将直线 l绕点 M按逆时针方向旋转 45°,得到的直线方程是( )A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=03.经过两条直线 l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线的一个方向向量 v=(-3,2)的直线方程为__________.4.过点(2,1)且在 x轴上截距与在 y轴上截距之和为 6的直线方程为_________________.3题型三 直线方程的综合应用例 2 已知 k∈R,写出以下动直线所过的定点坐标:(1)若直线方程为 y=kx+3,则直线过定点________;(2)若直线方程为 y=kx+3k,则直线过定点________;(3)若直线方程为 x=ky+3,则直线过定点________.例 3 已知直线 l过点 M(2,1),且分别与 x轴的正半轴,y轴的正半轴交于 A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,求直线 l的方程.跟踪训练 2 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线 l过定点;(2)若直线不经过第四象限,求 k的取值范围;(3)若直线 l交 x轴负半轴于 A,交 y轴正半轴于 B,△AOB的面积为 S(O为坐标原点),求 S的最小值并求此时直线 l的方程.4【课后作业】A 组1.(2021·清远期末)倾斜角为 120°且在 y轴上的截距为-2的直线方程为( )A.y=- 3x+2 B.y=- 3x-2C.y= 3x+2 D.y= 3x-22.(2021·菏泽模拟)若平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则 a等于( )A.1± 2或 0 B.2- 5或 02C.2± 5 D.2+ 5或 02 23.(2021·广东七校联考)若过点 P(1-a,1+a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数 a的取值范围是( )A.(-2,1) B.(-1,2)C.(-∞,0) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)4.(2020·北京丰台区模拟)若直线 y=ax+c经过第一、二、三象限,则有( )A.a>0,c>0 B.a>0,c<0C.a<0,c>0 D.a<0,c<0π π,5.直线 2xcos α-y-3=0 α∈ 6 3 的倾斜角的取值范围是 ( )π π π π, ,A. 6 3 B. 4 3π π π 2π, ,C. 4 2 D. 4 36.(多选)在下列四个命题中,错误的有( )A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线倾斜角的取值范围是[0,π)C.若一条直线的斜率为 tan α,则此直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为 tan α7.(多选)若直线过点 A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线 l的方程为( )A.x-y+1=0 B.x+y-3=0C.2x-y=0 D.x-y-1=08.(多选)垂直于直线 3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6的直线在 x轴上的截距是( )A.4 B.-4C.3 D.-359.直线 l过(-1,-1),(2,5)两点,点(1 011,b)在 l上,则 b的值为________.10.设直线 l的方程为 2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),若直线 l的斜率为-1,则 k=______;若直线 l在 x轴、y轴上的截距之和等于 0,则 k=________.11.已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则 BC边上中线所在的直线方程为____________.12.(八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________.B 组13.已知 P(-3,2),Q(3,4) →及直线 ax+y+3=0.若沿PQ的方向延长线段 PQ与直线有交点(不含 Q点),则 a的取值范围是________.14.已知数列{an}1 9 x y的通项公式为 an= (n∈N*),其前 n项和 Sn= ,则直线 + =1n n+1 10 n+1 n与坐标轴所围成的三角形的面积为________.C 组15.(多选)已知直线 xsin α+ycos α+1=0(α∈R),则下列命题正确的是( )A.直线的倾斜角是π-αB.无论α如何变化,直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于 116.如图,射线 OA,OB分别与 x轴正半轴成 45°和 30°角,过点 P(1,0)作直线 AB分别交 OA,OB于 A 1,B两点,当 AB的中点 C恰好落在直线 y= x上时,则直线 AB的方程是______.26第 32 讲 直线的方程【考试要求】1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).【知识梳理】1.直线的倾斜角(1)定义:当直线 l与 x轴相交时,我们以 x轴作为基准,x轴正向与直线 l向上的方向之间所成的角α叫做直线 l的倾斜角.(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180°.2.直线的斜率(1)定义:把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母 k表示,即 k=tan_α(α≠90°).(2)过两点的直线的斜率公式y2-y1如果直线经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率 k= .x2-x13.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含直线 x=x0斜截式 y=kx+b 不含垂直于 x轴的直线y-y1 x-x1两点式 = (x1≠x2,y1≠y2) 不含直线 x=x1 和直线 y=yy y x x 12- 1 2- 1x y截距式 + =1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线a b一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用【基础自测】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ )(2)若直线的斜率为 tan α,则其倾斜角为α.( × )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(4)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b表示.( × )2.若过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m的值为( )A.1 B.4C.1或 3 D.1或 4答案 Am-4解析 由题意得 =1,解得 m=1.-2-m3.已知直线斜率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角为________.π 3π答案 或4 4解析 由|k|=|tan α|=1知 tan α=±1,∴α π 3π= 或 .4 44.已知三点 A(-3,-1),B(0,2),C(m,4)在同一直线上,则实数 m的值为________.答案 22- -1 4-2解析 因为 A,B,C三点在同一直线上,所以 kAB=kBC,即 = ,故 m=2.0- -3 m-05.(多选)下列说法正确的是( )A.有的直线斜率不存在B.若直线 l的倾斜角为α,且α≠90°,则它的斜率 k=tan αC.若直线 l 3π的斜率为 1,则它的倾斜角为4D.截距可以为负值答案 ABD6.过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.答案 3x-2y=0或 x+y-5=0解析 当截距为 0时,直线方程为 3x-2y=0;x y当截距不为 0时,设直线方程为 + =1,a a2 3则 + =1,解得 a=5.所以直线方程为 x+y-5=0.a a【典型例题】题型一 直线的倾斜角与斜率3- -1, 3-1例 1 (1)已知两点 A(-1,2),B(m,3),且 m∈ 3 ,则直线 AB的倾斜角α的取值范围是( )π π π 2π, ,A. 6 2 B. 2 3π π π 2π π 2π, , ,C. 6 2 ∪ 2 3 D. 6 3答案 D解析 ①当 m=-1时,α π= ;23,+∞②当 m≠-1时,∵k 1= ∈(-∞,- 3 ]∪ 3 ,m+1π π π 2π, ,∴α∈ 6 2 ∪ 2 3 .π 2π,综合①②知直线 AB的倾斜角α的取值范围是 6 3 .(2)(2020·安阳模拟)已知点 A(1,3),B(-2,-1).若直线 l:y=k(x-2)+1 与线段 AB相交,则 k的取值范围是( )A.k 1≥ B.k≤-22C k 1. ≥ 或 k≤-2 D 1.-2≤k≤2 2答案 D解析 直线 l:y=k(x-2)+1经过定点 P(2,1),k 3-1 -1-1 1∵ PA= =-2,kPB= = ,1-2 -2-2 2又直线 l:y=k(x-2)+1与线段 AB相交,∴-2≤k 1≤ .2本例(2)直线 l改为 y=kx,若 l与线段 AB相交,则 k的取值范围是______.1-∞,答案 2 ∪[3,+∞)解析 直线 l过定点 P(0,0),∵kPA=3,k1PB= ,∴k1≥3或 k≤ .2 2思维升华 (1)斜率的两种求法:定义法、斜率公式法.(2)倾斜角和斜率范围求法:①图形观察(数形结合);②充分利用函数 k=tan α的单调性.跟踪训练 1 (1)(2021·宿州模拟)若图中直线 l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,则( )A.k1C.k3答案 D解析 因为直线 l2,l3的倾斜角为锐角,且直线 l2的倾斜角大于直线 l3的倾斜角,所以 0直线 l1的倾斜角为钝角,斜率 k1<0,所以 k1(2)直线 l过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段有公共点,则直线 l的斜率的取值范围是______________.答案 (-∞,- 3 ]∪[1,+∞)3-0解析 如图所示,当直线 l过点 B时,k1= =- 3.0-11-0当直线 l过点 A时,k2= =1,2-1∴要使直线 l与线段 AB有公共点,则直线 l的斜率的取值范围是(-∞,- 3 ]∪[1,+∞).题型二 求直线的方程1.(2021·荆门期末)经过点 P(2,-3),且倾斜角为 45°的直线方程为( )A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+5=0 D.x-y-5=0答案 D解析 倾斜角为 45°的直线的斜率为 tan 45°=1,又该直线经过点 P(2,-3),所以用点斜式求得直线的方程为 y+3=x-2,即 x-y-5=0.2.已知点 M是直线 l:2x-y-4=0与 x轴的交点,将直线 l绕点 M按逆时针方向旋转 45°,得到的直线方程是( )A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0答案 D解析 设直线 l的倾斜角为α,则 tan α=k=2,α π+直线 l绕点 M 2+1按逆时针方向旋转 45°,所得直线的斜率 k′=tan 4 = =-3,又1-2×1点 M(2,0),所以 y=-3(x-2),即 3x+y-6=0.3.经过两条直线 l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线的一个方向向量 v=(-3,2)的直线方程为__________.答案 2x+3y-5=0x+y=2,解析 联立 解得 x=1,y=1,2x-y=1,∴直线过点(1,1),∵直线的方向向量 v=(-3,2),2∴直线的斜率 k=- .32则直线的方程为 y-1=- (x-1),3即 2x+3y-5=0.4.过点(2,1)且在 x轴上截距与在 y轴上截距之和为 6的直线方程为_________________.答案 x+y-3=0或 x+2y-4=0x y解析 由题意可设直线方程为 + =1.a ba+b=6,则 2 1 1 解得 a=b=3,或 a=4,b=2.+ = ,a b故所求直线方程为 x+y-3=0或 x+2y-4=0.思维升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法:①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.(2)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件,特别是对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用.题型三 直线方程的综合应用命题点 1 直线过定点问题例 2 已知 k∈R,写出以下动直线所过的定点坐标:(1)若直线方程为 y=kx+3,则直线过定点________;(2)若直线方程为 y=kx+3k,则直线过定点________;(3)若直线方程为 x=ky+3,则直线过定点________.答案 (1)(0,3) (2)(-3,0) (3)(3,0)解析 (1)当 x=0时,y=3,所以直线过定点(0,3).(2)直线方程可化为 y=k(x+3),故直线过定点(-3,0).(3)当 y=0时,x=3,所以直线过定点(3,0).命题点 2 与直线有关的多边形面积的最值例 3 已知直线 l过点 M(2,1),且分别与 x轴的正半轴,y轴的正半轴交于 A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,求直线 l的方程.解 方法一 设直线 l的方程为 y-1=k(x-2),2k-1,0则可得 A k ,B(0,1-2k).2k-1>0,∵与 x轴,y轴正半轴分别交于 A,B两点,∴ k k<0.于是1-2k>04 1- -4k 1-S 1 1 2k-1 1 1△AOB= ·|OA|·|OB|= · ·(1-2k)= k ≥ 4+2 k · -4k =4.2 2 k 2 21 1当且仅当- =-4k,即 k=- 时,△AOB面积有最小值为 4,k 2此时,直线 l y 1 1的方程为 - =- (x-2),2即 x+2y-4=0.x y方法二 设所求直线 l的方程为 + =1(a>0,b>0),a b2 1则 + =1.a b2 1 2 1 2 1 1 1又∵ + ≥2 ab≥4,当且仅当 = = ,即 a=4,b=2 时,△AOB面积 S= ab有a b ab 2 a b 2 2最小值为 4.x y此时,直线 l的方程是 + =1.4 2本例中,当|MA|·|MB|取得最小值时,求直线 l的方程.2k-1,0解 方法一 由本例知 A k ,B(0,1-2k)(k<0). 12 -k +∴|MA|·|MB| 1 1· 4 4k2 21+k= + + = =2 -k ≥4.k2 |k|1当且仅当-k=- ,即 k=-1时取等号.k此时直线 l的方程为 x+y-3=0.方法二 由本例知 A(a,0),B(0,b),a>0 b>0 2 1, , + =1.a b∴|MA|·|MB|=|M→A|·|M→B|→=-MA·M→B=-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-52 1 b a+ +=(2a+b) a b -5=2 a b ≥4,当且仅当 a=b=3时取等号,此时直线 l的方程为 x+y-3=0.思维升华 (1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征,对照得到定点坐标.(2)求解与直线方程有关的面积问题,应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度,进而求得多边形面积.(3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.跟踪训练 2 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线 l过定点;(2)若直线不经过第四象限,求 k的取值范围;(3)若直线 l交 x轴负半轴于 A,交 y轴正半轴于 B,△AOB的面积为 S(O为坐标原点),求 S的最小值并求此时直线 l的方程.(1)证明 直线 l的方程可化为 k(x+2)+(1-y)=0,x+2=0, x=-2,令 解得1-y=0, y=1.∴无论 k取何值,直线 l总经过定点(-2,1).(2) 1+2k解 由方程知,当 k≠0 时直线在 x轴上的截距为- ,在 y轴上的截距为 1+2k,要k1+2k- ≤-2,使直线不经过第四象限,则必须有 k1+2k≥1,解得 k>0;当 k=0时,直线为 y=1,符合题意,故 k的取值范围是[0,+∞).(3)解 由题意可知 k≠0,再由 l的方程,1+2k- ,0得 A k ,B(0,1+2k).1+2k- <0,依题意得 k 解得 k>0.1+2k>0,1+2k 1S 1·|OA|·|OB| 1·| |·|1 2k| 1· 1+2k 2 1 4k+ +4k k 1∵ = = + = = ≥ ×(2×2+4)=4,2 2 2 k 2 2“=”成立的条件是 k>0 4k 1 k 1且 = ,即 = ,k 2∴Smin=4,此时直线 l的方程为 x-2y+4=0.【课后作业】A 组1.(2021·清远期末)倾斜角为 120°且在 y轴上的截距为-2的直线方程为( )A.y=- 3x+2 B.y=- 3x-2C.y= 3x+2 D.y= 3x-2答案 B解析 斜率为 tan 120°=- 3,利用斜截式直接写出方程,即 y=- 3x-2.2.(2021·菏泽模拟)若平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则 a等于( )A 1± 2 0 B.2- 5. 或 或 02C.2± 5 D.2+ 5或 02 2答案 A2 3解析 由题意知 k a +a a +aAB=kAC,即 = ,2-1 3-1即 a(a2-2a-1)=0,解得 a=0或 a=1± 2.3.(2021·广东七校联考)若过点 P(1-a,1+a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数 a的取值范围是( )A.(-2,1) B.(-1,2)C.(-∞,0) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案 A2a-1-a a-1解析 由题意知 <0,即 <0,解得-23-1+a 2+a4.(2020·北京丰台区模拟)若直线 y=ax+c经过第一、二、三象限,则有( )A.a>0,c>0 B.a>0,c<0C.a<0,c>0 D.a<0,c<0答案 A解析 ∵直线 y=ax+c经过第一、二、三象限,∴直线的斜率 a>0,在 y轴上的截距 c>0.π π,5.直线 2xcos α-y-3=0 α∈ 6 3 的倾斜角的取值范围是 ( )π π π π, ,A. 6 3 B. 4 3π π π 2π, ,C. 4 2 D. 4 3答案 B解析 直线 2xcos α-y-3=0的斜率 k=2cos α,π π,α 6 3 1 cos α 3因为 ∈ ,所以 ≤ ≤ ,2 2因此 k=2cos α∈[1, 3 ].设直线的倾斜角为θ,则有 tan θ∈[1, 3 ].π π,又θ∈[0,π),所以θ∈ 4 3 ,π π,即倾斜角的取值范围是 4 3 .6.(多选)在下列四个命题中,错误的有( )A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线倾斜角的取值范围是[0,π)C.若一条直线的斜率为 tan α,则此直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为 tan α答案 ACD解析 对于 A,当直线与 x轴垂直时,直线的倾斜角为 90°,斜率不存在,∴A错误;对于 B,直线倾斜角的取值范围是[0,π),∴B正确;对于 C,一条直线的斜率为 tan α,此直线的倾斜角不一定为α,∴C错误;对于 D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为 tan α或不存在,D错误.故选 ACD.7.(多选)若直线过点 A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线 l的方程为( )A.x-y+1=0 B.x+y-3=0C.2x-y=0 D.x-y-1=0答案 ABC2-0解析 当直线经过原点时,斜率为 k= =2,1-0所求的直线方程为 y=2x,即 2x-y=0;当直线不过原点时,设所求的直线方程为 x±y=k,把点 A(1,2)代入可得 1-2=k,或 1+2=k,求得 k=-1,或 k=3,故所求的直线方程为 x-y+1=0,或 x+y-3=0.综上知,所求的直线方程为 2x-y=0,x-y+1=0,或 x+y-3=0.8.(多选)垂直于直线 3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6的直线在 x轴上的截距是( )A.4 B.-4C.3 D.-3答案 CD解析 设直线方程是 4x+3y+d=0,分别令 x=0和 y=0,得直线在两坐标轴上的截距分别是d dd d 1 - - d2- ,- ,所以 6= ×| 3|×| 4|= .所以 d=±12,则直线在 x轴上的截距为 3或-3 4 2 243.9.直线 l过(-1,-1),(2,5)两点,点(1 011,b)在 l上,则 b的值为________.答案 2 023y- -1 x- -1 解析 直线 l的方程为 = ,5- -1 2- -1 y+1 x+1即 = ,即 y=2x+1.6 3令 x=1 011,得 y=2 023,∴b=2 023.10.设直线 l的方程为 2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),若直线 l的斜率为-1,则 k=______;若直线 l在 x轴、y轴上的截距之和等于 0,则 k=________.答案 5 1解析 因为直线 l 2 2的斜率存在,所以直线 l的方程可化为 y=- x+2,由题意得- =k-3 k-3-1,解得 k=5.直线 l x y的方程可化为 + =1,由题意得 k-3+2=0,解得 k=1.k-3 211.已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则 BC边上中线所在的直线方程为____________.答案 x+13y+5=03 1,- y-0 x+5解析 BC的中点坐标为 2 2 ,∴BC边上中线所在直线方程为 1 =3 ,即 x+13y- -0 +52 2+5=0.12.(八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________.1答案 ,-33解析 方法一 设正方形一边所在直线的倾斜角为α,其斜率 k=tan α.ππ α+则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α+ ,其斜率为 tan 4 .4πα π tan α+tan+依题意知:tan 2 4 tan α+14 1= ,即 = =2,∴tan α= ,1 tan α·tan π 1-tan α 3-41∴正方形一边的斜率 k= ,可知相邻一边所在直线的斜率为-3.3π方法二 正方形两条相邻边与对角线的夹角为 ,4设正方形的边所在直线的斜率为 k,k-2π则由夹角公式得 tan =|1+2k| k 1= 或 k=-3.4 3B 组13 →.已知 P(-3,2),Q(3,4)及直线 ax+y+3=0.若沿PQ的方向延长线段 PQ与直线有交点(不含 Q点),则 a的取值范围是________.7 1- ,-答案 3 3解析 直线 l:ax+y+3=0是过点 A(0,-3)的直线系,斜率为参变数-a,易知 PQ,QA,l 1 7的斜率分别为:kPQ= ,kAQ= ,kl=-a.若 l与 PQ延长线相交,由图可知 kPQ3 37得- 3 314 1 9 x y.已知数列{an}的通项公式为 an= (n∈N*),其前 n项和 Sn= ,则直线 + =1n n+1 10 n+1 n与坐标轴所围成的三角形的面积为________.答案 45a 1 a 1 1解析 由 n= 可知 n= - ,n n+1 n n+11 1 1 1 1 11 1- - - - 1所以 Sn= 2 + 2 3 + 3 4 +…+ n n+1 =1- ,n+1S 9 1 1 9又知 n= ,所以 - = ,所以 n=9.10 n+1 10x y所以直线方程为 + =1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9),所以直线与坐标轴所围成的三10 91角形的面积为 ×10×9=45.2C 组15.(多选)已知直线 xsin α+ycos α+1=0(α∈R),则下列命题正确的是( )A.直线的倾斜角是π-αB.无论α如何变化,直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于 1答案 BD解析 根据直线倾斜角的范围为[0,π),而π-α∈R,所以 A不正确;当 x=y=0 时,xsin α+ycos α+1=1≠0,所以直线必不过原点,B正确;当α π= 时,直线斜率不存在,C不正确;21 11当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为 S= |-sin α|·|-cos α|21= ≥1,所以 D正确.|sin 2α|16.如图,射线 OA,OB分别与 x轴正半轴成 45°和 30°角,过点 P(1,0)作直线 AB分别交 OA,OB 1于 A,B两点,当 AB的中点 C恰好落在直线 y= x上时,则直线 AB的方程是______.2答案 (3+ 3)x-2y-3- 3=0解析 由题意可得 kOA=tan 45°=1,kOB=tan(180° 30°)3- =- ,33所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- x.3设 A(m,m),B(- 3n,n),m- 3n m+n,所以 AB的中点 C 2 2 ,1由点 C在直线 y= x上,且 A,P,B三点共线得2m+n 1·m- 3n= ,2 2 2 m-0 · - 3n-1 = n-0 · m-1 ,解得 m= 3,所以 A( 3, 3).3 3+ 3又 P(1,0),所以 kAB=kAP= = ,3-1 23+ 3所以 lAB:y= (x-1),2即直线 AB的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第32讲 直线的方程 学生版.pdf 第32讲 直线的方程 教师版.pdf