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第 33 讲 两条直线的位置关系
【考试要求】
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
【知识梳理】
一、两条直线的平行与垂直
1．两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1∥l2 k1＝k2.
(2)当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
2．两条直线垂直
(1)如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1⊥l2 k1·k2＝－1.
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0时，l1⊥l2.
二、两条直线的交点坐标
已知两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 相交，则交点 P的坐标是方程组
A1x B1y C1 0
的解．
A2x B2 y C2 0
三、三种距离公式
1．两点间的距离公式
(1)条件：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(2)结论：|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
(3)特例：点 P(x，y)到原点 O(0,0)的距离|OP|＝ x2＋y2.
2．点到直线的距离
|Ax0＋By ＋C|
点 P(x y ) 00， 0 到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ .
A2＋B2
3．两条平行直线间的距离
|C －C |
两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0与 l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d
1 2
＝ .
A2＋B2
微思考
1．已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同时为 0；A2，B2不同时
为 0)，则 l1∥l2的充要条件是什么，l1⊥l2的充要条件是什么？
提示 l1∥l2 A1B2＝A2B1，且 B1C2≠B2C1(或 A1C2≠A2C1)；l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．点 P(x0，y0)关于点 A(a，b)的对称点的坐标是什么？
提示 (2a－x0,2b－y0)．
3．点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线 y＝kx＋b(k≠0)对称，列出 P，Q坐标的关系式．
y2－y1·k＝－1，
x2－x1
提示 y1＋y2
＝k·x1＋x2＋b.
2 2
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1＝k2 l1∥l2.( × )
(2)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，
若直线 l1⊥l2，则 A1A2＋B1B2＝0.( √ )
|kx ＋b|
(3)点 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b
0
的距离为 .( × )
1＋k2
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )
题组二 教材改编
2．已知 P(－2，m)，Q(m,4)，且直线 PQ垂直于直线 x＋y＋1＝0，则 m＝________.
答案 1
m－4
解析 由题意知 ＝1，
－2－m
所以 m－4＝－2－m，
所以 m＝1.
3．若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则 m的值为________．
答案 －9
y＝2x， x＝1，
解析 由 得
x＋y＝3， y＝2.
所以点(1,2)满足方程 mx＋2y＋5＝0，
即 m×1＋2×2＋5＝0，所以 m＝－9.
4．两平行直线 l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________．
2 13
答案
13
|－8－ －10 |
解析 因为 l 2 131∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得 d＝ ＝ .
22＋32 13
题组三 易错自纠
5．直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线 mx＋3y－2＝0平行，则 m等于( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案 C
解析 直线 2x (m 1)y 4 0 mx 3y 2 0 2 m＋1 4＋ ＋ ＋ ＝ 与直线 ＋ － ＝ 平行，则有 ＝ ≠ (m≠0)，故
m 3 －2
m＝2或－3.故选 C.
6．(多选)等腰直角三角形 ABC的直角顶点为 C(3,3)，若点 A的坐标为(0,4)，则点 B的坐标
可能是( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(4,6) D．(6,4)
答案 AC
kAC·kBC＝－1，
解析 设 B(x，y)，根据题意可得
|BC|＝|AC|，
3－4·y－3＝－1，
即 3－0 x－3
x－3 2＋ y－3 2＝ 0－3 2＋ 4－3 2，
x＝2， x＝4，
解得 或 所以 B(2,0)或 B(4,6)．
y＝0 y＝6，
故选 AC.
【典型例题】
题型一 两条直线的平行与垂直
1．已知两条直线 l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则 a等于( )
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或 2
答案 D
解析 方法一 ∵直线 l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．
又∵l1∥l
a－1 1
2，∴ ＝－ ，
－2 a
∴a＝－1或 a＝2，又两条直线在 y轴上的截距不相等．
∴a＝－1或 a＝2时满足两条直线平行．
方法二 由 A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，
解得 a＝－1或 a＝2.
由 A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.
所以 a＝－1或 a＝2.
2．若直线 ax＋4y－2＝0与直线 2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则 a＋b＋c等于( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案 B
a
－
4 2解析 由已知得 × ＝－1，a＋4c－2＝0,2－5c＋b＝0，解得 a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a
5
＋b＋c＝－4.
3．经过抛物线 y2＝2x的焦点且平行于直线 3x－2y＋5＝0的直线 l的方程是( )
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
答案 A
1
，0 3
解析 因为抛物线 y2＝2x的焦点坐标为 2 ，直线 3x－2y＋5＝0的斜率为 ，所以所求直
2
x 1－
线 l的方程为 y 3＝ 2 ，化为一般式，得 6x－4y－3＝0.
2
4．已知三条直线 2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数 m的
取值集合为( )
4 2 4 2 4
－ ， － ， ，
A. 3 3 B. 3 3 3
4 2 4 2 2
，－ － ，－ ，
C. 3 3 D. 3 3 3
答案 D
解析 由题意得直线 mx－y－1＝0与 2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0平行，或者直线 mx－y－1
＝0过 2x－3y＋1＝0与 4x＋3y＋5＝0的交点．当直线 mx－y－1＝0与 2x－3y＋1＝0,4x＋3y
2 4
＋5＝0分别平行时，m＝ 或－ ；当直线 mx－y－1＝0过 2x－3y＋1＝0与 4x＋3y＋5＝0的
3 3
4 2 2
－ ，－ ，
交点时，m 2＝－ .所以实数 m的取值集合为 3 3 3 .
3
思维升华 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率
存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y的系数不能同时为
零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
题型二 两直线的交点与距离问题
1 1．已知直线 y＝kx＋2k＋1与直线 y＝－ x＋2的交点位于第一象限，则实数 k的取值范围是
2
________．
1 1
－ ，
答案 6 2
y＝kx＋2k＋1，
解析 由方程组 y 1＝－ x＋2，
2
x 2－4k＝ ，
2k＋1
解得
y 6k＋1＝ .
2k＋1
(若 2k＋1＝0 1，即 k＝－ ，则两直线平行)
2
2－4k 6k＋1
，
∴交点坐标为 2k＋1 2k＋1 .
2－4k>0，
2k＋1
又∵交点位于第一象限，∴ 6k＋1>0，
2k＋1
1
解得－ 6 2
2．求经过直线 l1：3x＋2y－1＝0和 l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线 l3：3x－5y＋6
＝0的直线 l的方程为________________．
答案 5x＋3y－1＝0
3x＋2y－1＝0，
解析 先解方程组
5x＋2y＋1＝0，
得 l1，l2的交点坐标为(－1,2)，
再由 l 3 53的斜率为 求出 l的斜率为－ ，
5 3
于是由直线的点斜式方程求出 l：
y－2 5＝－ (x＋1)，即 5x＋3y－1＝0.
3
3．(2020·广州模拟)已知点 P(4，a)到直线 4x－3y－1＝0的距离不大于 3，则 a的取值范围是
________．
答案 [0,10]
P |4×4－3×a－1| |15－3a|解析 由题意得，点 到直线的距离为 ＝ .
5 5
|15－3a|
又 ≤3，即|15－3a|≤15，解得 0≤a≤10，
5
所以 a的取值范围是[0,10]．
4．若 P，Q 分别为直线 3x＋4y－12＝0 与 6x＋8y＋5＝0 上任意一点，则|PQ|的最小值为
________．
29
答案
10
3 4 －12
解析 因为 ＝ ≠ ，所以两直线平行，将直线 3x＋4y－12＝0 化为 6x＋8y－24＝0，由
6 8 5
|－24－5| 29 29
题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即 ＝ ，所以|PQ|的最小值为 .
62＋82 10 10
思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)利用距离公式应注意：①点 P(x0，y0)到直线 x＝a的距离 d＝|x0－a|，到直线 y＝b的距离 d
＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y的系数化为相等．
题型三 对称问题
命题点 1 中心对称
例 1 (1)直线 x－2y－3＝0关于定点 M(－2,1)对称的直线方程是________________．
答案 x－2y＋11＝0
解析 设所求直线上任一点(x，y)，则关于 M(－2,1)的对称点(－4－x,2－y)在已知直线上，∴
所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即 x－2y＋11＝0.
(2)过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0和 l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点 P
平分，则直线 l的方程为________________．
答案 x＋4y－4＝0
解析 设 l1与 l的交点为 A(a,8－2a)，则由题意知，点 A关于点 P的对称点 B(－a,2a－6)在
l2上，代入 l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l上，所以直线
l的方程为 x＋4y－4＝0.
命题点 2 轴对称
例 2 (1)已知入射光线经过点 M(－3,4)，被直线 l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点 N(2,6)，
则反射光线所在直线的方程为______________．
答案 6x－y－6＝0
解析 设点 M(－3,4)关于直线 l：x－y＋3＝0的对称点为 M′(a，b)，则反射光线所在直线过
点 M′，
b－4 ·1＝－1，
a－ －3
所以 －3＋a b＋4
－ ＋3＝0，
2 2
解得 a＝1，b＝0.又反射光线经过点 N(2,6)，
y－0 x－1
所以所求直线的方程为 ＝ ，即 6x－y－6＝0.
6－0 2－1
(2)直线 2x－y＋3＝0关于直线 x－y＋2＝0对称的直线方程是______________．
答案 x－2y＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点 P(x，y)，
则 P关于 x－y＋2＝0的对称点为 P′(x0，y0)，
x＋x0 y＋y0
－ ＋2＝0，
由 2 2
x0＝y－2，
得
x－x ＝－ y－y ， y0＝x＋2，0 0
∵点 P′(x0，y0)在直线 2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即 x－2y＋3＝0.
思维升华 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)几个常用结论
①点(x，y)关于 x轴的对称点为(x，－y)，关于 y轴的对称点为(－x，y)．
②点(x，y)关于直线 y＝x的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x的对称点为(－y，－x)．
③点(x，y)关于直线 x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b的对称点为(x,2b－y)．
跟踪训练 1 (1)(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线 y＝－3x＋b射到直线 x＋y＝0上，经反射后沿着
直线 y＝ax＋2射出，则有( )
A a 1． ＝ ，b＝6 B．a＝－3，b 1＝
3 6
C a 1 1． ＝3，b＝－ D．a＝－ ，b＝－6
6 3
答案 D
解析 由题意，直线 y＝－3x＋b与直线 y＝ax＋2关于直线 y＝－x对称，
所以直线 y＝ax＋2上的点(0,2)关于直线 y＝－x的对称点(－2,0)在直线 y＝－3x＋b上，
所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以 b＝－6，
所以直线 y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线 y＝－x的对称点(6,0)在直线 y＝ax＋2上，所
1
以 6a＋2＝0，所以 a＝－ .
3
(2)已知直线 l：y＝3x＋3，则点 P(4,5)关于 l的对称点的坐标为________．
答案 (－2,7)
解析 设点 P关于直线 l的对称点为 P′(x′，y′)，
x′＋4 y′＋5
，
则线段 PP′的中点 M 2 2 在直线 l上，
且直线 PP′垂直于直线 l，
y′＋5 x′＋4
＝3· ＋3，
2 2 x′＝－2，
即 y′－5 解得·3＝－1， y′＝7.
x′－4
∴点 P′的坐标为(－2,7)．
题型四 直线系方程的应用
命题点 1 平行直线系、垂直直线系
例 3 (1)与直线 3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线 l的方程为________．
答案 3x＋4y－11＝0
解析 由题意，可设所求直线方程为 3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线 l过点(1,2)，
所以 3×1＋4×2＋c＝0，解得 c＝－11.
因此，所求直线方程为 3x＋4y－11＝0.
(2)经过点 A(2,1)，且与直线 2x＋y－10＝0垂直的直线 l的方程为________．
答案 x－2y＝0
解析 因为所求直线与直线 2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为 x－2y＋c＝0，又直线
过点 A(2,1)，
所以有 2－2×1＋c＝0，解得 c＝0，
即所求直线方程为 x－2y＝0.
命题点 2 过两直线交点的直线系
例 4 已知两条直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0的交点为 P，求过点 P且与直线 l3：
3x－4y＋5＝0垂直的直线 l的方程．
解 方法一 解 l1与 l2组成的方程组得到交点 P(0,2)，因为 k
3
3＝ ，所以直线 l的斜率 k
4
＝－ ，
4 3
4
方程为 y－2＝－ x，即 4x＋3y－6＝0.
3
方法二 设所求直线 l的方程为 4x＋3y＋c＝0，由法一可知 P(0，2)，将其代入方程，得 c＝
－6，所以直线 l的方程为 4x＋3y－6＝0.
方法三 设所求直线 l的方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，
因为直线 l与 l3垂直，所以 3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线 l的方程为 4x＋3y－
6＝0.
思维升华 几种常见的直线系方程
(1)与直线 Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R 且 m≠C)．
(2)与直线 Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1
＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括 l2.
跟踪训练 2 求过直线 2x＋7y－4＝0 与 7x－21y－1＝0的交点，且和 A(－3,1)，B(5,7)等距离
的直线方程．
解 设所求直线方程为 2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，
由点 A(－3,1)，B(5,7)到所求直线距离相等，可得
| 2＋7λ × －3 ＋ 7－21λ ×1－4－λ|
2＋7λ 2＋ 7－21λ 2
| 2＋7λ ×5＋ 7－21λ ×7－4－λ|
＝ ，
2＋7λ 2＋ 7－21λ 2
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，
29 1
解得λ＝ 或λ＝ ，
35 3
所以所求的直线方程为 21x－28y－13＝0或 x＝1.
【课后作业】
A 组
1．如果直线 l1的斜率为 a，l1⊥l2，则直线 l2的斜率为( )
A.1 B．a C 1 1．－ D．－ 或不存在
a a a
答案 D
解析 设直线 l1，l2的斜率分别是 k1，k2，
当 a≠0时，由 l1⊥l2得 k1·k2＝a·k2＝－1，∴k
1
2＝－ ；
a
当 a＝0时，l1与 x轴平行或重合，则 l2与 y轴平行或重合，
∴直线 l2的斜率不存在．
故直线 l 12的斜率为－ 或不存在．
a
2．设 a∈R，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若两直线平行，则 a(a＋1)＝2，即 a2＋a－2＝0，
∴a＝1或－2，故 a＝1是两直线平行的充分不必要条件．
3．已知直线 l过点(0,7)，且与直线 y＝－4x＋2平行，则直线 l的方程为( )
A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7
答案 D
解析 过点(0,7)且与直线 y＝－4x＋2平行的直线方程为 y－7＝－4x，即直线 l的方程为 y＝
－4x＋7，故选 D.
4．若直线 mx＋4y－2＝0与直线 2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数 n的值为( )
A．－12 B．－2 C．0 D．10
答案 A
解析 由 2m－20＝0，得 m＝10.
由垂足(1，p)在直线 mx＋4y－2＝0上，得 p＝－2，
∴垂足坐标为(1，－2)．
又垂足在直线 2x－5y＋n＝0上，得 n＝－12.
5．(2021·河北五校联盟质检)若直线 l1：x＋ay＋6＝0与 l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0 平行，则 l1
与 l2间的距离为( )
A. 2 B.8 2 C. 3 D.8 3
3 3
答案 B
解析 因为 a＝0或 a＝2时，l1与 l2均不平行，所以 a≠0且 a≠2.
因为 l1∥l2，
1 a 6
所以 ＝ ≠ ，
a－2 3 2a
解得 a＝－1，
2
所以 l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋ ＝0，
3
|6 2－ |
所以 l1与 l
3 8 2
2之间的距离 d＝ ＝ .
2 3
ax ＋by ＋c
6．(多选)定义点 P(x0，y0)到直线 l：ax＋by＋c＝0(a2
0 0
＋b2≠0)的有向距离为 d＝ .
a2＋b2
已知点 P1，P2到直线 l的有向距离分别是 d1，d2.以下命题不正确的是( )
A．若 d1＝d2＝1，则直线 P1P2与直线 l平行
B．若 d1＝1，d2＝－1，则直线 P1P2与直线 l垂直
C．若 d1＋d2＝0，则直线 P1P2与直线 l垂直
D．若 d1·d2≤0，则直线 P1P2与直线 l相交
答案 BCD
解析 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于 A，若 d1＝d2＝1，
则 ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝ a2＋b2，直线 P1P2与直线 l平行，正确；
对于 B，点 P1，P2在直线 l的两侧且到直线 l的距离相等，P1P2不一定与 l垂直，错误；
对于 C，若 d1＝d2＝0，满足 d1＋d2＝0，
即 ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，
则点 P1，P2都在直线 l上，所以此时直线 P1P2与直线 l重合，错误；
对于 D，若 d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，
所以点 P1，P2分别位于直线 l的两侧或在直线 l上，
所以直线 P1P2与直线 l相交或重合，错误．
7．(多选)点 P在直线 3x＋y－5＝0上，且点 P到直线 x－y－1＝0的距离为 2，则点 P的坐
标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(2，－1) D．(－2,1)
答案 AC
3x0＋y0－5＝0，
解析 设 P(x0，y0)，则 |x0－y0－1|＝ 2，
2
x0＝1， x0＝2，
解得 或
y0＝2 y0＝－1，
所以点 P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选 AC.
8．(多选)(2021·苏州模拟)已知直线 l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正
确的是( )
A．不论 a为何值时，l1与 l2都互相垂直
B．当 a变化时，l1与 l2分别经过定点 A(0,1)和 B(－1,0)
C．不论 a为何值时，l1与 l2都关于直线 x＋y＝0对称
D．如果 l1与 l2交于点 M，则|MO|的最大值是 2
答案 ABD
解析 对于 A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与 l2互相垂直恒成立，故 A正确；
对于 B，直线 l1：ax－y＋1＝0，当 a变化时，x＝0，y＝1恒成立，
所以 l1恒过定点 A(0,1)；
l2：x＋ay＋1＝0，当 a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，
所以 l2恒过定点 B(－1,0)，故 B正确．
对于 C，在 l1上任取点(x，ax＋1)，
关于直线 x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，
代入 l2：x＋ay＋1＝0，则左边不等于 0，故 C不正确；
x －a－1＝ ，
ax y 1 a
2＋1
－ ＋ ＝0，
对于 D，联立 解得
x＋ay＋1＝0， y －a＋1＝ ，
a2＋1
－a－1 －a＋1
，
即 M a2＋1 a2＋1 ，
－a－1 －a＋1
所以|MO|＝ a2＋1 2＋ a2 1 2 2＋ ＝ ≤ 2，
a2＋1
所以|MO|的最大值是 2，故 D正确.故选 ABD.
9．直线 3x－4y＋5＝0关于 x轴对称的直线方程是______________．
答案 3x＋4y＋5＝0
解析 在所求直线上任取一点 P(x，y)，则点 P关于 x轴的对称点 P′(x，－y)在已知直线 3x
－4y＋5＝0上，
所以 3x－4(－y)＋5＝0，即 3x＋4y＋5＝0.
10．已知点 A(－3，－4)，B(6,3)到直线 l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数 a的值为____．
1 7
答案 － 或－
3 9
|－3a－4＋1| |6a＋3＋1|
解析 由点到直线的距离公式得 ＝ ，
a2＋1 a2＋1
解得 a 1 7＝－ 或－ .
3 9
11．过两直线 l1：x－3y＋4＝0和 l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为_______．
答案 3x＋19y＝0
解析 过两直线交点的直线系方程为 x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－
4
，故所求直线方程为 x－3y 4＋4－ (2x＋y＋5)＝0，即 3x＋19y＝0.
5 5
3
12．设光线 l从点 A(－4， 3)出发，经过 x轴反射后经过点 B (0, )，则光线 l与 x轴的交
3
点为________，若该入射光线 l经 x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在
直线的纵截距为________．
答案 (－1,0) － 3
3 3
解析 点 A(－4， 3)关于 x轴的对称点为 A′(－4，－ 3)，则直线 A′B：y＝ x＋ 与 x
3 3
轴交于点(－1,0)，所以光线 l与 x轴的交点为(－1，0)；由入射角是 60°，得折射角是 30°，
且光线经过(－1,0)，得出折射光线所在直线方程为 y＝－ 3x－ 3，所以纵截距为－ 3.
B 组
13．若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的
最小值为( )
A. 5 B. 6 C．2 3 D．2 5
答案 A
y＝2x，
解析 联立 解得 x＝1，y＝2.
x＋y＝3，
把(1,2)代入 mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离 d＝ m2＋n2＝ 5＋2n 2＋n2＝ 5 n＋2 2＋5≥ 5，
当 n＝－2，m＝－1时取等号．
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 5.
14．在平面直角坐标系内，已知 A(1,2)，B(1,5)，C(3，6)，D(7，－1)，则平面内任意一点到
点 A与点 C的距离之和的最小值为________，平面内到 A，B，C，D的距离之和最小的点的
坐标是________．
答案 2 5 (2,4)
解析 设平面上任一点 M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|＝2 5，当且仅当 A，M，C共线，且 M在
A，C之间时取等号，同理，|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当 B，M，D共线，且 M在 B，D之
间时取等号，连接 AC，BD交于一点 M，此时|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点 M为所求
6－2
点．因为 kAC＝ ＝2，所以直线 AC的方程为 y－2＝2(x－1)，即 2x－y＝0.①
3－1
k 5－ －1 又因为 BD＝ ＝－1，所以直线 BD的方程为 y－5＝－(x－1)，即 x＋y－6＝0.②
1－7
2x－y＝0， x＝2，
联立①②得 解得 所以 M(2,4)．
x＋y－6＝0， y＝4，
C 组
15．(多选)(2020·福州期末)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几
何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧
拉线．已知△ABC的顶点 A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为 x－y＋2＝0，则顶点 C的坐标
可以是( )
A．(2,0) B．(0,2) C．(－2,0) D．(0，－2)
答案 AD
解析 设 C(x，y)，AB的垂直平分线为 y＝－x，
△ABC的外心为欧拉线方程 x－y＋2＝0与直线 y＝－x的交点 M(－1,1)，
∴|MC|＝|MA|＝ 10，
∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10，①
x－4 y＋4
，
由 A(－4，0)，B(0，4)，△ABC重心为 3 3 ，
代入欧拉线方程 x－y＋2＝0，得 x－y－2＝0，②
由①②可得 x＝2，y＝0或 x＝0，y＝－2.故选 AD.
16．已知点 A(4，－1)，B(8,2)和直线 l：x－y－1＝0，动点 P(x，y)在直线 l上，则|PA|＋|PB|
的最小值为________．
答案 65
解析 设点 A1与 A关于直线 l对称，P0为 A1B与直线 l的交点，
∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.
|PA1|＋|PB|≥|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，
∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.
当 P点运动到 P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
y1＋1·1＝－1，
x1－4
设点 A关于直线 l的对称点为 A1(x1，y1)，则由对称的充要条件知，x1＋4 y1－1
－ －1＝0，
2 2
x1＝0，
解得 ∴A1(0,3)．
y1＝3，
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝ 82＋ －1 2＝ 65.第 33 讲 两条直线的位置关系
【知识梳理】
一、两条直线的平行与垂直
1．两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1∥l2 .
(2)当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时， .
2．两条直线垂直
(1)如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1⊥l2 .
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0时， .
二、两条直线的交点坐标
已知两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 相交，则交点 P的坐标是方程组
A1x B1y C1 0
的解．
A2x B2 y C2 0
三、三种距离公式
1．两点间的距离公式
(1)条件：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(2)结论：|P1P2|＝ .
(3)特例：点 P(x，y)到原点 O(0,0)的距离|OP|＝ .
2．点到直线的距离
点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ .
3．两条平行直线间的距离
两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0与 l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝ .
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1＝k2 l1∥l2.( )
(2)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，
若直线 l1⊥l2，则 A1A2＋B1B2＝0.( )
|kx0＋b|(3)点 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b的距离为 .( )
1＋k2
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
1
2．已知 P(－2，m)，Q(m,4)，且直线 PQ垂直于直线 x＋y＋1＝0，则 m＝________.
3．若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则 m的值为________．
4．两平行直线 l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________．
5．直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线 mx＋3y－2＝0平行，则 m等于( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
6．(多选)等腰直角三角形 ABC的直角顶点为 C(3,3)，若点 A的坐标为(0,4)，则点 B的坐标
可能是( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(4,6) D．(6,4)
【典型例题】
题型一 两条直线的平行与垂直
1．已知两条直线 l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则 a等于( )
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或 2
2
2．若直线 ax＋4y－2＝0与直线 2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则 a＋b＋c等于( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
3．经过抛物线 y2＝2x的焦点且平行于直线 3x－2y＋5＝0的直线 l的方程是( )
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
4．已知三条直线 2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数 m的
取值集合为( )
A.{ 4 , 2} B.{ 4 2 4 , , }
3 3 3 3 3
C.{4 , 2 } D.{ 4 , 2 , 2}
3 3 3 3 3
题型二 两直线的交点与距离问题
1．已知直线 y＝kx＋2k＋1 1与直线 y＝－ x＋2的交点位于第一象限，则实数 k的取值范围是
2
________．
2．求经过直线 l1：3x＋2y－1＝0和 l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线 l3：3x－5y＋6
＝0的直线 l的方程为________________．
3．已知点 P(4，a)到直线 4x－3y－1＝0的距离不大于 3，则 a的取值范围是________．
3
4．若 P，Q 分别为直线 3x＋4y－12＝0 与 6x＋8y＋5＝0 上任意一点，则|PQ|的最小值为
________．
题型三 对称问题
例 1 (1)直线 x－2y－3＝0关于定点 M(－2,1)对称的直线方程是________________．
(2)过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0和 l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点 P
平分，则直线 l的方程为________________．
例 2 (1)已知入射光线经过点 M(－3,4)，被直线 l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点 N(2,6)，
则反射光线所在直线的方程为______________．
(2)直线 2x－y＋3＝0关于直线 x－y＋2＝0对称的直线方程是______________．
练习 1
(1)光线沿着直线 y＝－3x＋b射到直线 x＋y＝0上，经反射后沿着直线 y＝ax＋2射出，则有
( )
A 1．a＝ ，b＝6 B．a＝－3，b 1＝
3 6
C a 3 b 1． ＝ ， ＝－ D．a 1＝－ ，b＝－6
6 3
4
(2)已知直线 l：y＝3x＋3，则点 P(4,5)关于 l的对称点的坐标为________．
题型四 直线系方程的应用
例 3 (1)与直线 3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线 l的方程为________．
(2)经过点 A(2,1)，且与直线 2x＋y－10＝0垂直的直线 l的方程为________．
例 4 已知两条直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0的交点为 P，求过点 P且与直线 l3：
3x－4y＋5＝0垂直的直线 l的方程．
练习 2
求过直线 2x＋7y－4＝0与 7x－21y－1＝0的交点，且和 A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．
5
【课后作业】
A 组
1．如果直线 l1的斜率为 a，l1⊥l2，则直线 l2的斜率为( )
A.1 B．a C 1．－ D 1．－ 或不存在
a a a
2．设 a∈R，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知直线 l过点(0,7)，且与直线 y＝－4x＋2平行，则直线 l的方程为( )
A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7
答案 D
4．若直线 mx＋4y－2＝0与直线 2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数 n的值为( )
A．－12 B．－2 C．0 D．10
5．若直线 l1：x＋ay＋6＝0与 l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则 l1与 l2间的距离为( )
A. 2 B.8 2 C. 3 D.8 3
3 3
ax ＋by ＋c
6．(多选) 0 0定义点 P(x0，y0)到直线 l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为 d＝ .
a2＋b2
已知点 P1，P2到直线 l的有向距离分别是 d1，d2.以下命题不正确的是( )
A．若 d1＝d2＝1，则直线 P1P2与直线 l平行
B．若 d1＝1，d2＝－1，则直线 P1P2与直线 l垂直
C．若 d1＋d2＝0，则直线 P1P2与直线 l垂直
D．若 d1·d2≤0，则直线 P1P2与直线 l相交
\7．(多选)点 P在直线 3x＋y－5＝0上，且点 P到直线 x－y－1＝0的距离为 2，则点 P的坐
标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(2，－1) D．(－2,1)
8．(多选)(2021·苏州模拟)已知直线 l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正
确的是( )
A．不论 a为何值时，l1与 l2都互相垂直
B．当 a变化时，l1与 l2分别经过定点 A(0,1)和 B(－1,0)
6
C．不论 a为何值时，l1与 l2都关于直线 x＋y＝0对称
D．如果 l1与 l2交于点 M，则|MO|的最大值是 2
9．直线 3x－4y＋5＝0关于 x轴对称的直线方程是______________．
10．已知点 A(－3，－4)，B(6,3)到直线 l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数 a的值为____．
11．过两直线 l1：x－3y＋4＝0和 l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为_______．
12．设光线 l从点 A(－4， 3)出发，经过 x轴反射后经过点 B (0, 3 )，则光线 l与 x轴的交
3
点为________，若该入射光线 l经 x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在
直线的纵截距为________．
B 组
13．若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的
最小值为( )
A. 5 B. 6 C．2 3 D．2 5
14．在平面直角坐标系内，已知 A(1,2)，B(1,5)，C(3，6)，D(7，－1)，则平面内任意一点到
点 A与点 C的距离之和的最小值为________，平面内到 A，B，C，D的距离之和最小的点的
坐标是________．
C 组
15．(多选)(2020·福州期末)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几
何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧
拉线．已知△ABC的顶点 A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为 x－y＋2＝0，则顶点 C的坐标
可以是( )
A．(2,0) B．(0,2) C．(－2,0) D．(0，－2)
16．已知点 A(4，－1)，B(8,2)和直线 l：x－y－1＝0，动点 P(x，y)在直线 l上，则|PA|＋|PB|
的最小值为________．
7

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