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第 34 讲 圆的方程
【考试要求】
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
【知识梳理】
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
圆心 C(a，b)
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
半径为 r
方
D E
－ ，－
程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆心 C 2 2
一般
(D2＋E2－4F>0)
半径 r 1＝ D2＋E2－4F
2
2.点与圆的位置关系
平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)
＝0.( √ )
(3)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则 x20＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为 t的圆．( × )
题组二 教材改编
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径 r＝ 12＋12＝ 2，则该圆的方程为(x－1)2
＋(y－1)2＝2.
3．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)， 3
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)， 13
答案 D
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径 r＝ 13.
4．(2021·石家庄模拟)圆心在直线 x－2y＋7＝0上的圆 C与 x轴交于两点 A(－2,0)，B(－4,0)，
则圆 C的方程为________．
答案 (x＋3)2＋(y－2)2＝5
解析 因为直线 AB的中垂线方程为 x＝－3，代入直线 x－2y＋7＝0，得 y＝2，
故圆心的坐标为 C(－3,2)，再由两点间的距离公式求得半径 r＝|AC|＝ 5，
所以圆 C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝5.
题组三 易错自纠
5．方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则 a的取值范围是( )
A a< 2 B 2． － ．－ 3
C．－23
答案 D
解析 由方程表示圆的条件得
a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，
即 3a2＋4a－4<0，
∴－23
6．(多选)圆 x2＋y2－4x－1＝0( )
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线 y＝0对称
C．关于直线 x＋3y－2＝0对称
D．关于直线 x－y＋2＝0对称
答案 ABC
解析 x2＋y2－4x－1＝0 (x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)．
圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心坐标，所以 A选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 y＝0过圆心，所以 B选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 x＋3y－2＝0过圆心，所以 C选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线 x－y＋2＝0不过圆心，所以 D选项不正确．
故选 ABC.
【典型例题】
题型一 圆的方程
1．已知圆 E经过三点 A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆 E的标准方程为( )
A. (x 3)2 y 2 25 B. (x 3)2 y 2 25
2 16 4 16
3
C. (x )2 y 2 25 D. (x 3 25 )2 y 2
4 16 4 4
答案 C
解析 方法一 (待定系数法)
设圆 E的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
3
1＋E＋F＝0， D＝－ ，2
则由题意得 4＋2D＋F＝0， 解得 E＝0，
1－E＋F＝0， F＝－1.
所以圆 E x2 y2 3的一般方程为 ＋ － x－1＝0，
2
x 3－ 25
即 4 2＋y2＝ .
16
方法二 (几何法)
因为圆 E经过点 A(0,1)，B(2,0) 1，所以圆 E的圆心在线段 AB的垂直平分线 y－ ＝2(x－1)上．
2
由题意知圆 E的圆心又在 x轴上，
3
，0
所以圆 E的圆心坐标为 4 .
2 3－
则圆 E的半径为|EB|＝ 4 2＋ 0 5－0 2＝ ，
4
x 3－ 25
所以圆 E的标准方程为 4 2＋y2＝ .
16
2．(2021·潍坊调研)在平面直角坐标系 xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线 x－by＋2b＋1＝0
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
答案 B
解析 由直线 x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点 A(－1,2)，设圆心为 B(0,1)，由题意可知
要使所求圆的半径最大，则 rmax＝|AB|＝ －1－0 2＋ 2－1 2＝ 2，所以半径最大的圆的标准
方程为 x2＋(y－1)2＝2.故选 B.
3．(2020·苏州模拟)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 M经过直线 l：x－ 3y＋2 3＝0与圆
C：x2＋y2＝4的两个交点，当圆 M的面积最小时，圆 M的标准方程为________．
x 3 y 3＋ －
答案 2 2＋ 2 2＝1
解析 由 l：x－ 3y＋2 3＝0与 C：x2＋y2＝4联立得( 3y－2 3)2＋y2＝4，
得 y＝1或 y＝2，则两交点坐标为 A(－ 3，1)，B(0,2)，
当圆 M的面积最小时，圆 M以 AB为直径，
3 3
－ ， |AB|
则圆心 2 2 ，半径为 ＝1，
2
x 3 3＋
圆 M的标准方程为 2 2
y－
＋ 2 2＝1.
思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F的方程组，进而求出 D，E，F的值．
题型二 与圆有关的最值问题
例 1 (1)(2020·保定质检)已知 A(0,2)，点 P在直线 x＋y＋2＝0上，点 Q在圆 C：x2＋y2－4x－
2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
答案 2 5
解析 因为圆 C：x2＋y2－4x－2y＝0，
故圆 C是以 C(2,1)为圆心，半径 r＝ 5的圆．
设点 A(0,2)关于直线 x＋y＋2＝0的对称点为 A′(m，n)，
m＋0 n＋2
＋ ＋2＝0，
2 2 m＝－4，
故 n－2 解得 故 A′(－4，－2)．
＝1， n＝－2，
m－0
连接 A′C交圆 C于 Q，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2 5.
(2)已知实数 x，y满足方程 x2＋y2－4x＋1 y＝0，求 的最大值和最小值．
x
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆．
y
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
x
y
所以设 ＝k，即 y＝kx.
x
当直线 y＝kx与圆相切时，斜率 k取最大值和最小值，
|2k－0|
此时 ＝ 3，解得 k＝± 3.
k2＋1
y
所以 的最大值为 3，最小值为－ 3.
x
本例(2)中，求 x2＋y2的最大值和最小值．
解 x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆
的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为 2－0 2＋ 0－0 2＝2，
所以 x2＋y2的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，
x2＋y2的最小值是(2－ 3)2＝7－4 3.
思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几
何性质数形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．
u y－b①形如 ＝ 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
x－a
②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
跟踪训练 1 已知 M(x，y)为圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点 Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2) y－3求 的最大值和最小值．
x＋2
解 (1)由圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心 C的坐标为(2,7)，半径 r＝2 2.
又|QC|＝ 2＋2 2＋ 7－3 2＝4 2，
∴|MQ|max＝4 2＋2 2＝6 2，
|MQ|min＝4 2－2 2＝2 2.
(2) y－3可知 表示直线 MQ的斜率 k.
x＋2
设直线 MQ的方程为 y－3＝k(x＋2)，
即 kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线 MQ与圆 C有交点，
|2k－7＋2k＋3|
∴ ≤2 2，
1＋k2
可得 2－ 3≤k≤2＋ 3，
y－3
∴ 的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
x＋2
题型三 与圆有关的轨迹方程
例 2 已知 Rt△ABC的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点 C的轨迹方程；
(2)直角边 BC的中点 M的轨迹方程．
解 (1)方法一 设 C(x，y)，因为 A，B，C三点不共线，所以 y≠0.
因为 AC⊥BC，且 BC，AC斜率均存在，
所以 kAC·kBC＝－1，
k y k y y y又 AC＝ ， BC＝ ，所以 · ＝－1，
x＋1 x－3 x＋1 x－3
化简得 x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点 C的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设 AB的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD| 1＝ |AB|
2
＝2.由圆的定义知，动点 C的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于 A，B，C三点不共
线，所以应除去与 x轴的交点)．
所以直角顶点 C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M是线段 BC
x0＋3
的中点，由中点坐标公式得 x＝ ，
2
y y0＋0＝ ，
2
所以 x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点 C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将 x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点 M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练 2 已知线段 AB的端点 B的坐标为(8,6)，端点 A在圆 C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求
线段 AB的中点 P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解 设点 P的坐标为(x，y)，点 A的坐标为(x0，y0)，
由于点 B的坐标为(8,6)，且 P为线段 AB的中点，
x x0＋8 y y0＋6∴ ＝ ， ＝ ，于是有 x0＝2x－8，y0＝2y－6.
2 2
∵点 A在圆 C上运动，
∴点 A的坐标满足方程 x2＋y2＋4x＝0，
即 x20＋y20＋4x0＝0，
∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，
化简整理，得 x2＋y2－6x－6y＋17＝0，
即(x－3)2＋(y－3)2＝1.
故点 P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径的圆．
【课后作业】
A 组
1．圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
答案 C
D E 1
解析 方法一 易知 D＝4，E＝－6，F＝－3，则－ ＝－2，－ ＝3， D2＋E2－4F＝4，
2 2 2
故圆心坐标为(－2,3)，半径为 4.
方法二 将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径
为 4.
2．圆心在 x轴上，半径为 1，且过点(2,1)的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－2)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1
答案 A
解析 设圆的圆心为(a,0)，则 a－2 2＋ 0－1 2＝1，解得 a＝2，所以圆的标准方程是(x－2)2
＋y2＝1.故选 A.
3．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在 x轴和 y轴上，则此圆的方程是
( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 A
解析 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为 2 13，则半径长为 13，所
以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
4．已知圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆 C2与圆 C1关于直线 x－y－1＝0对称，则圆 C2的方
程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－2)2＋(y－2)2＝4
答案 B
解析 根据题意，设圆 C2的圆心为(a，b)，
圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1,1)，半径为 2，
若圆 C2与圆 C1关于直线 x－y－1＝0对称，则圆 C1与 C2的圆心关于直线 x－y－1＝0对称，
b－1
＝－1，
a＋1 a＝2，
且圆 C2的半径为 2，则有 a－1 b＋1 解得
－ －1＝0， b＝－2，
2 2
则圆 C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
5．(多选)已知直线 l与圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于 A，B两点，弦 AB的中点为M(0，1)，
则实数 a的取值可以为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 AB
解析 圆 C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故 a<5.
又因为弦 AB的中点为 M(0，1)，
故 M点在圆内，所以 (0＋1)2＋(1－2)2<5－a，
即 a<3.综上 a<3.
故选 AB.
6．(多选)设有一组圆 Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论 k如何变化，圆心 C始终在一条直线上
B．所有圆 Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆 Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为 4π
答案 ABD
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线 y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得 2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，
∴B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得 k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，
∴经过点(2,2)的圆 Ck有两个，C错误；
由圆的半径为 2，得圆的面积为 4π，D正确．
7．已知圆 C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当 m变化时，圆 C上的点与原点 O的最短距离是
________．
答案 1
解析 圆 C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1表示圆心为
C(2，－m＋4)，半径 r＝1的圆，
则|OC|＝ 22＋ －m＋4 2，所以当 m＝4时，|OC|的最小值为 2，故当 m变化时，圆 C上的点
与原点的最短距离是|OC|－r＝2－1＝1.
8．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线 kx＋2y－4＝0对称，则 k的值为________．
答案 2
解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，
直线 kx＋2y－4＝0过圆心，则 k×(－1)＋2×3－4＝0，解得 k＝2.
9．已知 P，Q分别为圆 M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆 N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为
x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为________．
答案 5 5－3
解析 圆 N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1，关于 x轴对称的圆为圆 N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，
则|AP|＋|AQ|的最小值为|MN′|－1－2＝ 102＋52－3＝5 5－3.
10．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8 上总存在到原点的距离为 2的点，则实数 a的取值范围是
________________．
答案 [－3，－1]∪[1,3]
解析 圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为| 2a|，半径 r＝2 2，由圆(x－a)2
＋(y－a)2＝8 上总存在点到原点的距离为 2，得 2 2－ 2≤| 2a|≤2 2＋ 2，∴1≤|a|≤3，
解得 1≤a≤3或－3≤a≤－1.
∴实数 a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．
11．已知圆心为 C的圆经过点 A (－1，1)和 B(－2，－2)，且圆心在直线 L：x＋y－1＝0上．
(1)求圆心为 C的圆的标准方程；
(2)设点 P在圆 C上，点 Q在直线 x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．
解 (1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∵圆经过点 A (－1，1)和 B(－2，－2)，
且圆心在直线 L：x＋y－1＝0上，
－1－a 2＋(1－b)2＝r2，
∴ －2－a 2＋(－2－b)2＝r2，
a＋b－1＝0，
解得 a＝3，b＝－2，r＝5，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25.
|3＋2＋5|
(2)∵圆心 C到直线 x－y＋5＝0的距离为 d＝ ＝5 2>5，
2
∴直线与圆 C相离，
∴|PQ|的最小值为 d－r＝5 2－5.
12．已知点 A(－3,0)，B(3,0)，动点 P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点 P的轨迹为曲线 C，求此曲线的方程；
(2)若点 Q在直线 l1：x＋y＋3＝0上，直线 l2经过点 Q且与曲线 C只有一个公共点 M，求|QM|
的最小值．
解 (1)设点 P的坐标为(x，y)，
则 x＋3 2＋y2＝2 x－3 2＋y2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．
(2)曲线 C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．
由题意知直线 l2是此圆的切线，
连接 CQ，
则|QM|＝ |CQ|2－|CM|2＝ |CQ|2－16，
当|QM|最小时，|CQ|最小，
此时 CQ⊥l1，
|5＋3|
|CQ|＝ ＝4 2，
2
则|QM|的最小值为 32－16＝4.
B 组
13．直线 x＋y＋2＝0分别与 x轴、y轴交于 A，B两点，点 P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP
面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[ 2，3 2] D．[2 2，3 2]
答案 A
解析 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为 C，半径为 r，点 P到直线 x＋y＋2＝0的距离为 d，则圆
心 C(2,0)，r＝ 2，所以圆心 C到直线 x＋y＋2＝0的距离为 2 2，可得 dmax＝2 2＋r＝3 2，
d 1min＝2 2－r＝ 2.由已知条件可得|AB|＝2 2，所以△ABP 面积的最大值为 |AB|·dmax＝6，
2
△ABP 1面积的最小值为 |AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．故选 A.
2
14．圆 x2＋y2＋4x－12y＋1 0 2 6＝ 关于直线 ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则 ＋ 的最小值是
a b
( )
A 2 3 B.20． C.32 D.16
3 3 3
答案 C
解析 由圆 x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆 x2＋y2＋4x
－12y＋1＝0关于直线 ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a－
6b＋6＝0，
∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，
1 3
2 6 2 ＋
∴ ＋ ＝ (a＋3b) a b
a b 3
1 3a 3b 3a 3b2 ＋ ＋ ＋9 2 10＋2 ·
＝ b a ≥ b a 32＝ ，
3 3 3
3b 3a
当且仅当 ＝ ，即 a＝b时取等号，故选 C.
a b
C 组
15．(2020·泰安模拟)已知直线 l：3x＋4y＋m＝0，圆 C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆 C的半径 r
＝________；若在圆 C上存在两点 A，B，在直线 l上存在一点 P，使得∠APB＝90°，则实
数 m的取值范围是________．
答案 2 [－16，4]
解析 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为 C(2,0)，半径为 r＝ 2，
若在圆 C上存在两点 A，B，在直线 l上存在一点 P，使得∠APB＝90°，过 P作圆的两条切
线 PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当 CP⊥l时，∠MPN最大，只要
2
此最大角≥90° |6＋m| r 2即可，此时圆心 C到直线 l的距离为 d＝|CP|＝ .所以 ＝
5 d |6＋m|
≥ ，解
2
5
得－16≤m≤4.
16．已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P的动直线 l与圆 C交于 A，B两点，线作业
段 AB的中点为 M，O为坐标原点．
(1)求 M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求 l的方程及△POM的面积．
解 (1)圆 C的方程可化为 x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为 C(0,4)，半径为 4.
M(x y) C→M (x y 4) M→设 ， ，则 ＝ ， － ， P＝(2－x,2－y)．
→
由题设知CM·M→P＝0，故 x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点 P在圆 C的内部，所以 M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知 M的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故 O在线段
PM的垂直平分线上，又 P在圆 N上，从而 ON⊥PM.
因为 ON 1的斜率为 3，所以 l的斜率为－ ，
3
故 l的方程为 x＋3y－8＝0.
又|OM| 4 10＝|OP|＝2 2，O到 l的距离为 ，
5
4 10 1 4 10 4 10 16
所以|PM|＝ ，S
5 △
POM＝ × × ＝ ，
2 5 5 5
16
故△POM的面积为 .
5第 34 讲 圆的方程
【知识梳理】
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到 的距离等于 的点的集合叫做圆
圆心 C：
标准
方 半径为：
程 圆心 C：
一般
半径：
2.点与圆的位置关系
平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)
＝0.( )
(3)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为 t的圆．( )
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)， 3
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)， 13
4．(2021·石家庄模拟)圆心在直线 x－2y＋7＝0上的圆 C与 x轴交于两点 A(－2,0)，B(－4,0)，
则圆 C的方程为________．
5．方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则 a的取值范围是( )
A．a< 2－2 B．－ 3
C 2．－23
6．(多选)圆 x2＋y2－4x－1＝0( )
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线 y＝0对称
C．关于直线 x＋3y－2＝0对称
D．关于直线 x－y＋2＝0对称
【典型例题】
题型一 圆的方程
1．已知圆 E经过三点 A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆 E的标准方程为( )
x 3 x 3－ ＋
A. 2 2＋y2 25 B. 4 2 y2 25＝ ＋ ＝
4 16
x 3 3－
C. 4 2
x－
＋y2 25 D. 4 2 y2 25＝ ＋ ＝
16 4
2．(2021·潍坊调研)在平面直角坐标系 xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线 x－by＋2b＋1＝0
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
3．(2020·苏州模拟)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 M经过直线 l：x－ 3y＋2 3＝0与圆
C：x2＋y2＝4的两个交点，当圆 M的面积最小时，圆 M的标准方程为________．
题型二 与圆有关的最值问题
例 1 (1)(2020·保定质检)已知 A(0,2)，点 P在直线 x＋y＋2＝0上，点 Q在圆 C：x2＋y2－4x－
2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
跟踪训练 1 已知 M(x，y)为圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点 Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
y－3
(2)求 的最大值和最小值．
x＋2
题型三 与圆有关的轨迹方程
例 2 已知 Rt△ABC的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点 C的轨迹方程；
(2)直角边 BC的中点 M的轨迹方程．
跟踪训练 2 已知线段 AB的端点 B的坐标为(8,6)，端点 A在圆 C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求
线段 AB的中点 P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
【课后作业】
A 组
1．圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
2．圆心在 x轴上，半径为 1，且过点(2,1)的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－2)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1
3．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在 x轴和 y轴上，则此圆的方程是
( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
4．已知圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆 C2与圆 C1关于直线 x－y－1＝0对称，则圆 C2的方
程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－2)2＋(y－2)2＝4
5．(多选)已知直线 l与圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于 A，B两点，弦 AB的中点为M(0，1)，
则实数 a的取值可以为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(多选)设有一组圆 Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论 k如何变化，圆心 C始终在一条直线上
B．所有圆 Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆 Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为 4π
7．已知圆 C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当 m变化时，圆 C上的点与原点 O的最短距离是
________．
8．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线 kx＋2y－4＝0对称，则 k的值为________．
9．已知 P，Q分别为圆 M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆 N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为
x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为________．
10．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8 上总存在到原点的距离为 2的点，则实数 a的取值范围是
________________．
11．已知圆心为 C的圆经过点 A (－1，1)和 B(－2，－2)，且圆心在直线 L：x＋y－1＝0上．
(1)求圆心为 C的圆的标准方程；
(2)设点 P在圆 C上，点 Q在直线 x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．
12．已知点 A(－3,0)，B(3,0)，动点 P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点 P的轨迹为曲线 C，求此曲线的方程；
(2)若点 Q在直线 l1：x＋y＋3＝0上，直线 l2经过点 Q且与曲线 C只有一个公共点 M，求|QM|
的最小值．
B 组
13．直线 x＋y＋2＝0分别与 x轴、y轴交于 A，B两点，点 P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP
面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[ 2，3 2] D．[2 2，3 2]
14．圆 x2＋y2＋4x－12y＋1＝0 关于直线 ax－by＋6＝0(a>0，b>0) 2 6对称，则 ＋ 的最小值是
a b
( )
A 2 3 B.20 C.32． D.16
3 3 3
C 组
15．(2020·泰安模拟)已知直线 l：3x＋4y＋m＝0，圆 C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆 C的半径 r
＝________；若在圆 C上存在两点 A，B，在直线 l上存在一点 P，使得∠APB＝90°，则实
数 m的取值范围是________．
16．已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P的动直线 l与圆 C交于 A，B两点，线作业
段 AB的中点为 M，O为坐标原点．
(1)求 M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求 l的方程及△POM的面积．

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