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第 35 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【考试要求】
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
【知识梳理】
1．直线 Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
|Aa＋Bb＋C|
几何法：设圆心到直线的距离 d＝ drA ＋B
判定
Ax＋By＋C＝0
方法 代数法：由
x－a 2＋ y－b 2＝r2 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与 r1，r2 0≤d<|r1－r2|
d> r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|的关系 (r1≠r2)
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
Δ>0 相交
圆 C1方程 消元
――→一元二次方程 Δ＝0 内切或外切
圆 C2方程
Δ<0 内含或外离.
微思考
1．过一点圆的切线有几条？
提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在
圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．
2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？
提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程
组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况．
3．当两圆相交时，怎样求两圆公共弦所在直线的方程？
提示 两圆方程相减得到的直线方程即为两圆公共弦所在的直线的方程．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( √ )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
(4)过圆 O：x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( √ )
题组二 教材改编
2．直线 y＝x＋1与圆 x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案 B
3．直线 l：3x－y－6＝0与圆 x2＋y2－2x－4y＝0相交于 A，B两点，则|AB|＝________.
答案 10
4．两圆 x2＋y2－2y＝0与 x2＋y2－4＝0的位置关系是________．
答案 内切
题组三 易错自纠
5．(多选)直线 x－y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是
( )
A．0C．m<1 D．－3答案 AB
x－y＋m＝0，
解析 联立直线与圆的方程得 消去 y，得 2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，
x2＋y2－2x－1＝0，
根据题意得Δ＝(2m－2)2－8(m2－1)＝－4(m＋1)2＋16>0，得－3∵{m|0∴06．过点 A(3,5)作圆 O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_______________．
答案 5x－12y＋45＝0或 x－3＝0
解析 化圆 x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径为 2，
∵|OA|＝ 3－1 2＋ 5－2 2＝ 13>2，∴点 A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线
与圆相切，即切线方程为 x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为 y－5＝k(x－3)，
|3－2k|
即 kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径 r＝2，而圆心到切线的距离 d＝ ＝2，
k2＋1
即|3－2k|＝2 k2＋1，∴k 5＝ ，
12
故所求切线方程为 5x－12y＋45＝0或 x－3＝0.
【典型例题】
题型一 直线与圆的位置关系
例 1 (1)(多选)已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以
下几个命题正确的有( )
A．直线 l恒过定点(3,1) B．直线 l与圆 C相切
C．直线 l与圆 C恒相交 D．直线 l与圆 C相离
答案 AC
解析 将直线 l的方程整理为 x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
x＋y－4＝0， x＝3，
由 解得
2x＋y－7＝0， y＝1.
则无论 m为何值，直线 l过定点(3,1)，故直线 l与圆 C恒相交，故 AC正确．
(2)若圆 x2＋y2＝r2(r>0)上恒有 4个点到直线 l：x－y－2＝0的距离为 1，则实数 r的取值范围
是( )
A．( 2＋1，＋∞) B．( 2－1， 2＋1)
C．(0， 2－1) D．(0， 2＋1)
答案 A
2
解析 计算得圆心到直线 l的距离为 ＝ 2>1，如图．直线 l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与
2
l平行，且与直线 l的距离为 1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线 l2的距离 2＋1.
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用 d与 r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
跟踪训练 1 (1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1外，则直线 ax＋by＝1与圆 O的位置关系是
( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
答案 B
解析 因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1外，
2 2 |a·0＋b·0－1| 1所以 a ＋b >1，而圆心 O到直线 ax＋by＝1的距离 d＝ ＝ <1.
a2＋b2 a2＋b2
所以直线与圆相交．
(2)(2020·安徽江淮十校联考)已知直线 l：xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆 C：x2＋y2＝r2(r>0)相交，
则 r的取值范围是 ( )
A．01
答案 D
1
解析 圆心到直线的距离 d＝ ＝1，故 r>1.
cos2α＋sin2α
题型二 圆的切线、弦长问题
命题点 1 切线问题
例 2 (1)(2021·银川模拟)与 3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
答案 B
解析 设与直线 3x＋4y＝0垂直的直线方程为 l：4x－3y＋m＝0，
直线 l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1,0) l |4＋m|到直线 的距离为半径 2，即 ＝2，
5
所以 m＝6或 m＝－14，所以 4x－3y＋6＝0，或 4x－3y－14＝0，结合选项可知 B正确．
(2)(2019·浙江)已知圆 C的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2x－y＋3＝0与圆 C相切于
点 A(－2，－1)，则 m＝________，r＝________.
答案 －2 5
解析 方法一 设过点 A(－2，－1)且与直线 2x－y＋3＝0垂直的直线方程为 l：x＋2y＋t＝0，
所以－2－2＋ t＝0，所以 t＝4，所以 l：x＋2y＋4＝0，令 x＝0，得 m＝－2，则 r＝
－2－0 2＋ －1＋2 2＝ 5.
方法二 因为直线 2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为 A(－2，－1)，所以
m＋1
×2＝－1，所以 m＝－2，r＝ －2－0 2＋ －1＋2 2＝ 5.
0－ －2
命题点 2 弦长问题
例 3 (1)(多选)已知圆 M的一般方程为 x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A．圆 M的圆心为(4，－3)
B．圆 M被 x轴截得的弦长为 8
C．过原点的最短弦长为 8
D．圆 M被 y轴截得的弦长为 6
答案 ABD
解析 圆 M的一般方程为 x2＋y2－8x＋6y＝0，
则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为 5.过原点的最短弦长为 6，选项 C
不正确．ABD均正确．
(2)过点 P(0,2)引一条直线 l交圆(x－1)2＋y2＝4于 A，B两点，若|AB|＝2 3，则直线 l的方程
为________．
答案 x＝0或 3x＋4y－8＝0
解析 当直线 l的斜率不存在时，其方程为 x＝0，可求出它与圆(x－1)2＋y2＝4的两交点坐标
分别为(0， 3)，(0，－ 3)，所以弦长|AB|＝2 3，满足题意．当直线 l的斜率存在时，设直
线 l的方程为 y＝kx＋2，即 kx－y＋2＝0.
如图，设圆心为 C，点 D是弦 AB的中点，连接 CD，AC，
则 CD 1⊥AB.在 Rt△ADC中，∠ADC＝90°，|AC|＝r＝2，|AD|＝ |AB|＝ 3，
2
2 2 |k＋2|故|CD|＝ |AC| －|AD| 3＝ 4－3＝1，即 ＝1，解得 k＝－ ，
1＋k2 4
这时直线 l的方程为 3x＋4y－8＝0.
故所求直线方程为 x＝0或 3x＋4y－8＝0.
思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
跟踪训练 2 (1)已知过原点的直线 l与圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点 A，B，且线
段 AB的中点坐标为 D(2， 2)，则弦长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 将圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆 C的圆心坐
标为(3,0)，半径为 2.因为线段 AB的中点坐标为 D(2， 2)，所以|CD|＝ 1＋2＝ 3，所以|AB|
＝2 4－3＝2.
(2)过直线 y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )
A. 19 B．2 5 C. 21 D. 55
5
答案 A
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线 y＝2x＋3上的点和
|2×2＋3＋3|
圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线 y＝2x＋3的距离 d，d＝
5
＝2 5，故切线长的最小值为 d2－r2＝ 19.
(3)过点(2,0)引直线 l与圆 x2＋y2＝2相交于 A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大
值时，直线 l的斜率为________．
3
答案 ±
3
解析 由题意可得，直线 l的斜率存在，设直线 l的斜率为 k，则直线 l的方程为 y＝k(x－2)，
即 kx－y－2k＝0，当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心 O到直线的距离为 d＝1，
|－2k| 3
由点到直线的距离公式得 d＝ ＝1 k＝± .
1＋k2 3
题型三 圆与圆的位置关系
例 4 已知两圆 x2＋y2－2x－6y－1＝0和 x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)求 m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为 M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为 11和 61－m.
(1)当两圆外切时，
5－1 2＋ 6－3 2＝ 11＋ 61－m.
解得 m＝25＋10 11.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即 4x＋3y－23＝0.
|4＋3×3－23|
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为 2× 11 2－ 42＋32 2
＝2 7.
思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之
间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2项得到．
跟踪训练 3 (1)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆
M与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
答案 B
解析 由题意得圆 M的标准方程为 x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线 x＋y＝0 a的距离 d＝ ，
2
a2
所以 2 a2－ ＝2 2，解得 a＝2，圆 M，圆 N的圆心距|MN|＝ 2小于两圆半径之和 1＋2，
2
大于两圆半径之差 1，故两圆相交．
(2)若圆 x2＋y2＝a2与圆 x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为 2 3，则 a＝________.
答案 ±2
解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为 a2＋ay－6＝0.原点到 a2＋ay－6＝0的距离为 d
|6－a＝ a |.
6
－a
∵公共弦长为 2 3，∴a2＝( 3)2＋|a |2，
∴a2＝4，a＝±2.
公元前 3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多
的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点 A，B为两定点，动点 P满
足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点 P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点 P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗
尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以 AB的中点为原点，直线 AB为 x轴建立平面直角坐
标系，
则 A(－m,0)，B(m,0)．
又设 P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得 x＋m 2＋y2＝λ x－m 2＋y2，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段 AB的垂直平分线；
λ2x ＋1m λ
2＋1
－ 2 2 m 0 2λm，
当λ>0 且λ≠1时， λ2－1 2＋y2 4λ m＝ ，轨迹为以点 λ2－1 为圆心，|λ2－1|为半
λ2－1 2
径的圆．
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．
例 1 在平面直角坐标系 xOy中，设点 A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点 P，
使得|PA|＝ 2|PB|，|PC|＝|PD|，则实数 a的取值范围是________．
答案 [－2 2－1,2 2－1]
解析 设 P(x，y)，则 x－1 2＋y2＝ 2· x－3 2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点 P在以
(5,0)为圆心，2 2为半径的圆上运动．另一方面，由|PC|＝|PD|知动点 P在线段 CD的垂直平
分线 y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线 y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点．所以|a＋
1|≤2 2.故实数 a的取值范围是[－2 2－1,2 2－1]．
例 2 如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，点 A(0,3)，直线 l：y＝2x－4，设圆 C的半径为 1，
圆心在 l上．
(1)若圆心 C也在直线 y＝x－1上，过点 A作圆 C的切线，求切线的方程；
(2)若圆 C上存在点 M，使|MA|＝2|MO|，求圆心 C的横坐标 a的取值范围．
y＝x－1，
解 (1)联立
y＝2x－4，
得圆心为 C(3,2)．
切线的斜率存在，设切线方程为 y＝kx＋3.
|3k＋3－2|
圆心 C到切线的距离 d＝ ＝r＝1，
1＋k2
3
得 k＝0或 k＝－ .
4
故所求切线方程为 y＝3或 3x＋4y－12＝0.
(2)设点 M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
知 x2＋ y－3 2＝2 x2＋y2，
化简得 x2＋(y＋1)2＝4.
即点 M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，
可记为圆 D.
又因为点 M也在圆 C上，故圆 C与圆 D的关系为相交或相切．
故 1≤|CD|≤3，
其中|CD|＝ a2＋ 2a－3 2.
12
解得 0≤a≤ .
5
0 12，
即圆心 C的横坐标 a的取值范围是 5 .
【课后作业】
A 组
1．直线 l：mx－y＋1－m＝0与圆 C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案 A
|m|
解析 方法一 由题意知，圆心(0,1)到直线 l的距离 d＝ <1< 5，故直线 l与圆相交．
m2＋1
方法二 直线 l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，
因为点(1,1)在圆 x2＋(y－1)2＝5的内部，
所以直线 l与圆相交．
2．圆 O1：x2＋y2－2x＝0和圆 O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
答案 B
解析 圆 O1的圆心坐标为(1,0)，半径长 r1＝1，圆 O2的圆心坐标为(0,2)，半径长 r2＝2，所
以两圆的圆心距 d＝ 5，而 r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有 r2－r13．已知圆 x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线 x＋y－4＝0所得弦的长度小于 6，则实数 a的取值
范围为( )
A.(2－ 17，2＋ 17) B.(2－ 17，2)
C.(－15，＋∞) D．(－15,2)
答案 D
解析 圆心(1，－1)，半径 r＝ 2－a，2－a>0，∴a<2，
|1－1－4|
圆心到直线 x＋y－4＝0的距离 d＝ ＝2 2.
2
则弦长为 2 2－a 2－ 2 2 2＝2 －a－6<6.
解得 a>－15，故－154．已知圆 C与直线 x－y＝0及 x－y－4＝0都相切，圆心在直线 x＋y＝0上，则圆 C的方程
为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案 B
解析 方法一 设圆心坐标为(a，－a)，由圆 C与直线 x－y＝0及 x y 4 0 |2a|－ － ＝ 都相切可得
2
|2a－4|
＝ ，解得 a＝1，所以半径 r＝ 2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
2
方法二 圆心在 x＋y＝0上，可排除选项 C，D，再结合图象，或者验证选项 A，B中圆心到
两直线的距离等于半径 2，可知 B正确．
5．(多选)若直线 x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为 2 2，则实数 a的值为( )
A．0 B．4 C．－2 D．6
答案 AB
解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径 r＝2.又直线被圆截得的弦长为 2 2，所以圆
2 2
22 2 2 |a－2|心到直线的距离 d＝ － 2 ＝ .又 d＝ ，所以|a－2|＝2，解得 a＝4或 a＝0.
2
6．(多选)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝12上恰有三个点到直线 l：kx＋y＝0的距离等于 3，则直
线 l的斜率为( )
A．2＋ 6 B．－2＋ 6
C．－ 6＋2 D．－ 6－2
答案 AC
|2k－1|
解析 由题意，圆心到直线 l的距离等于半径的一半，所以 ＝ 3，解得 k＝2± 6.
k2＋1
7．与直线 y＝x＋3平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程为____________．
答案 x－y＋5＝0或 x－y－3＝0
解析 设直线的方程为 y＝x＋m，即 x－y＋m＝0.圆(x－2)2＋(y－3)2＝8的圆心坐标为(2,3)，
2 |2－3＋m|半径为 2 ，由 ＝2 2，解得 m＝5或 m＝－3.故所求直线方程为 y＝x＋5或 y＝x－
2
3，即 x－y＋5＝0或 x－y－3＝0.
8．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
答案 2 2
解析 设 P(3,1)，圆心 C(2,2)，则|PC|＝ 2，半径 r＝2.由题意知最短的弦过 P(3,1)且与 PC垂
直，所以最短弦长为 2 22－ 2 2＝2 2.
9．若 A为圆 C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆 C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段 AB
长度的最大值是______．
答案 8
解析 圆 C1：x2＋y2＝1的圆心为 C1(0,0)，半径 r1＝1，
圆 C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为 C2(3，－4)，半径 r2＝2，
∴|C1C2|＝5.又 A为圆 C1上的动点，B为圆 C2上的动点，
∴线段 AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
10．(2021·石家庄质检)已知直线 x－2y＋a＝0与圆 O：x2＋y2＝2相交于 A，B两点(O为坐标
原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数 a的值为________．
答案 5或－ 5
解析 因为直线 x－2y＋a＝0与圆 O：x2＋y2＝2相交于 A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB
|a|
为等腰直角三角形，所以 O到直线 AB的距离为 1，由点到直线的距离公式可得 ＝
12＋ －2 2
1，所以 a＝± 5.
11．已知圆 C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线 l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线 l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点 A(4，－1)．
解 (1)设切线方程为 x＋y＋b＝0(b≠－4)，
|1－2＋b|
则 ＝ 10，∴b＝1±2 5，
2
∴切线方程为 x＋y＋1±2 5＝0.
(2)设切线方程为 2x＋y＋m＝0，
|2－2＋m|
则 ＝ 10，∴m＝±5 2，
5
∴切线方程为 2x＋y±5 2＝0.
(3)∵k －2＋1 1AC＝ ＝ ，∴过切点 A(4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点 A(4，－1)的切线方程
1－4 3
为 y＋1＝－3(x－4)，即 3x＋y－11＝0.
12．已知一个圆与 y轴相切，圆心在直线 x－3y＝0上，且被直线 y＝x所截得的弦长为 2 7，
求该圆的方程．
解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线 x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与 y轴相切，∴半径 r＝3|a|，
又所求圆在直线 y＝x上截得的弦长为 2 7，
(3a a) y x d |2a|圆心 ， 到直线 ＝ 的距离 ＝ ，
2
∴d2＋( 7)2＝r2，即 2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即 x2＋y2－6x－2y＋1＝0或 x2
＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
|a－b|
则圆心(a，b)到直线 y＝x的距离为 ，
2
r2 a－b
2
∴ ＝ ＋7，即 2r2＝(a－b)2＋14.①
2
由于所求圆与 y轴相切，∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线 x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③
a＝3， a＝－3，
联立①②③，解得 b＝1， 或 b＝－1，
r2＝9 r2＝9.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即 x2＋y2－6x－2y＋1＝0或 x2
＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法三 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
D E
－ ，－
则圆心坐标为 2 2 ，
1
半径 r＝ D2＋E2－4F.
2
在圆的方程中，令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与 y轴相切，∴Δ＝0，则 E2＝4F.①
D E D E－ ＋
－ ，－ | 2 2|
圆心 2 2 到直线 y＝x的距离为 d＝ ，
2
由已知得 d2＋( 7)2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②
D E
－ ，－
又圆心 2 2 在直线 x－3y＝0上，
∴D－3E＝0.③
D＝－6， D＝6，
联立①②③，解得 E＝－2， 或 E＝2，
F＝1 F＝1.
故所求圆的方程为 x2＋y2－6x－2y＋1＝0或 x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
B 组
13．直线 x－ 3y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )
A.π B.π C.π D.2π
6 3 2 3
答案 D
|2|
解析 画出图形，如图，圆心(2,0)到直线的距离为 d＝ ＝1，
12＋ － 3 2
∴sin∠AOC d 1＝ ＝ ，
|OC| 2
∴∠AOC π＝ ，∴∠CAO π π π 2π＝ ，∴∠ACO＝π－ － ＝ .
6 6 6 6 3
14．(2020·长沙调研)在平面直角坐标系 xOy中，若圆 C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点 P，
且点 P关于直线 x－y＝0 的对称点 Q在圆 C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1 上，则 r的取值范围是
________．
答案 [ 2－1， 2＋1]
解析 圆 C1关于直线 x－y＝0对称的圆 C3的方程为(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，则圆 C3与圆 C2存
在公共点，所以|r－1|≤ 2≤r＋1，所以 r∈[ 2－1， 2＋1]．
C 组
15．已知直线 l：x＋y－1＝0截圆Ω：x2＋y2＝r2(r>0)所得的弦长为 14，点 M，N在圆Ω上，
且直线 l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点 P，若 PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A．[2－ 2，2＋ 3] B．[2－ 2，2＋ 2]
C．[ 6－ 2， 6＋ 3] D．[ 6－ 2， 6＋ 2]
答案 D
解析 由题意得，2 r2 1－ ＝ 14，解得 r＝2，因为直线 l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0
2
过定点 P，故 P(1,1)；设 MN的中点为 Q(x，y)，则|OM|2＝|OQ|2＋|MQ|2＝|OQ|2＋|PQ|2，即 4
x 1 1 1 1－ y－ ，
＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简可得 2 2＋ 2 2 3＝ ，所以点 Q的轨迹是以 2 2 为圆
2
1 1 6－ 2 6＋ 2
6 ， ，
心， 为半径的圆，P到圆心 2 2 2的距离为 ，所以|PQ|的取值范围为 2 2 ，
2 2
|MN|的取值范围为[ 6－ 2， 6＋ 2]．
16．已知圆 C经过(2,4)，(1,3)两点，圆心 C在直线 x－y＋1＝0上，过点 A(0,1)且斜率为 k的
直线 l与圆 C相交于 M，N两点．
(1)求圆 C的方程；
(2)①请问A→M·A→N是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
②若O→M·O→N＝12(O为坐标原点)，求直线 l的方程．
解 (1)设圆 C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
2－a 2＋ 4－b 2＝r2， a＝2，
依题意，得 1－a 2＋ 3－b 2＝r2， 解得 b＝3，
a－b＋1＝0， r＝1，
∴圆 C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)①A→M·A→N为定值．
过点 A(0,1)作直线 AT与圆 C相切，切点为 T，
易得|AT|2＝7，
A→∴ M·A→N＝|A→M|·|A→N|cos 0°＝|AT|2＝7，
A→∴ M·A→N为定值，且定值为 7.
②依题意可知，直线 l的方程为 y＝kx＋1，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，将 y＝kx＋1代入(x－2)2
＋(y－3)2＝1，
并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
x x 4 1＋k x x 7∴ 1＋ 2＝ ， 1 2＝ ，
1＋k2 1＋k2
O→M·O→N x x y y (1 k2)x x k(x x ) 1 4k 1＋k 8 12 4k 1＋k ∴ ＝ 1 2＋ 1 2＝ ＋ 1 2＋ 1＋ 2 ＋ ＝ ＋ ＝ ，即 ＝4，解得 k
1＋k2 1＋k2
＝1，
又当 k＝1时，Δ>0，∴k＝1，
∴直线 l的方程为 y＝x＋1.第 35 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识梳理】
1．直线 Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
|Aa＋Bb＋C|
几何法：设圆心到直线的距离 d＝
A2＋B2
判定
Ax＋By＋C＝0
方法 代数法：由
x－a 2＋ y－b 2＝r2
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与 r1，r2
的关系
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
Δ>0 相交
圆 C1方程 消元
――→一元二次方程 Δ＝0 内切或外切
圆 C2方程
Δ<0 内含或外离.
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(4)过圆 O：x2＋y2＝r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( )
2．直线 y＝x＋1与圆 x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
3．直线 l：3x－y－6＝0与圆 x2＋y2－2x－4y＝0相交于 A，B两点，则|AB|＝________.
4．两圆 x2＋y2－2y＝0与 x2＋y2－4＝0的位置关系是________．
5．(多选)直线 x－y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是
( )
A．0C．m<1 D．－36．过点 A(3,5)作圆 O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_______________．
【典型例题】
题型一 直线与圆的位置关系
例 1 (1)(多选)已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以
下几个命题正确的有( )
A．直线 l恒过定点(3,1) B．直线 l与圆 C相切
C．直线 l与圆 C恒相交 D．直线 l与圆 C相离
(2)若圆 x2＋y2＝r2(r>0)上恒有 4个点到直线 l：x－y－2＝0的距离为 1，则实数 r的取值范围
是( )
A．( 2＋1，＋∞) B．( 2－1， 2＋1)
C．(0， 2－1) D．(0， 2＋1)
跟踪训练 1 (1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1外，则直线 ax＋by＝1与圆 O的位置关系是
( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
(2)(2020·安徽江淮十校联考)已知直线 l：xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆 C：x2＋y2＝r2(r>0)相交，
则 r的取值范围是 ( )
A．01
题型二 圆的切线、弦长问题
例 2 (1)(2021·银川模拟)与 3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
(2)(2019·浙江)已知圆 C的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2x－y＋3＝0与圆 C相切于
点 A(－2，－1)，则 m＝________，r＝________.
例 3 (1)(多选)已知圆 M的一般方程为 x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A．圆 M的圆心为(4，－3)
B．圆 M被 x轴截得的弦长为 8
C．过原点的最短弦长为 8
D．圆 M被 y轴截得的弦长为 6
(2)过点 P(0,2)引一条直线 l交圆(x－1)2＋y2＝4于 A，B两点，若|AB|＝2 3，则直线 l的方程
为________．
跟踪训练 2 (1)已知过原点的直线 l与圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点 A，B，且线
段 AB的中点坐标为 D(2， 2)，则弦长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)过直线 y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )
A. 19 B．2 5 C. 21 D. 55
5
(3)过点(2,0)引直线 l与圆 x2＋y2＝2相交于 A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大
值时，直线 l的斜率为________．
题型三 圆与圆的位置关系
例 4 已知两圆 x2＋y2－2x－6y－1＝0和 x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)求 m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
跟踪训练 3 (1)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆
M与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)若圆 x2＋y2＝a2与圆 x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为 2 3，则 a＝________.
【课后作业】
A 组
1．直线 l：mx－y＋1－m＝0与圆 C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．圆 O1：x2＋y2－2x＝0和圆 O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
3．已知圆 x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线 x＋y－4＝0所得弦的长度小于 6，则实数 a的取值
范围为( )
A.(2－ 17，2＋ 17) B.(2－ 17，2)
C.(－15，＋∞) D．(－15,2)
4．已知圆 C与直线 x－y＝0及 x－y－4＝0都相切，圆心在直线 x＋y＝0上，则圆 C的方程
为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
5．(多选)若直线 x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为 2 2，则实数 a的值为( )
A．0 B．4 C．－2 D．6
6．(多选)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝12上恰有三个点到直线 l：kx＋y＝0的距离等于 3，则直
线 l的斜率为( )
A．2＋ 6 B．－2＋ 6
C．－ 6＋2 D．－ 6－2
7．与直线 y＝x＋3平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程为____________．
8．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
9．若 A为圆 C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆 C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段 AB
长度的最大值是______．
10．(2021·石家庄质检)已知直线 x－2y＋a＝0与圆 O：x2＋y2＝2相交于 A，B两点(O为坐标
原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数 a的值为________．
11．已知圆 C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线 l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线 l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点 A(4，－1)．
12．已知一个圆与 y轴相切，圆心在直线 x－3y＝0上，且被直线 y＝x所截得的弦长为 2 7，
求该圆的方程．
B 组
13．直线 x－ 3y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )
A.π B.π C.π D.2π
6 3 2 3
14．(2020·长沙调研)在平面直角坐标系 xOy中，若圆 C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点 P，
且点 P关于直线 x－y＝0 的对称点 Q在圆 C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1 上，则 r的取值范围是
________．
C 组
15．已知直线 l：x＋y－1＝0截圆Ω：x2＋y2＝r2(r>0)所得的弦长为 14，点 M，N在圆Ω上，
且直线 l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点 P，若 PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A．[2－ 2，2＋ 3] B．[2－ 2，2＋ 2]
C．[ 6－ 2， 6＋ 3] D．[ 6－ 2， 6＋ 2]
16．已知圆 C经过(2,4)，(1,3)两点，圆心 C在直线 x－y＋1＝0上，过点 A(0,1)且斜率为 k的
直线 l与圆 C相交于 M，N两点．
(1)求圆 C的方程；
(2) → →①请问AM·AN是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
O→②若 M·O→N＝12(O为坐标原点)，求直线 l的方程．

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