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第 36 讲 椭 圆
【考试要求】
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
【知识梳理】
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点 F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
图形
x2 y2 2 2
标准方程 ＋ ＝1 (a>b>0)
y x
＋ ＝1 (a>b>0)
a2 b2 a2 b2
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
顶点
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 短轴长为 2b，长轴长为 2a
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴：x轴和 y轴，对称中心：原点
c
离心率 e＝ (0a
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
微思考
1．在椭圆的定义中，若 2a＝|F1F2|或 2a<|F1F2|，动点 P的轨迹如何？
提示 当 2a＝|F1F2|时，动点 P的轨迹是线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时动点 P的轨迹是不存在的．
2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
b
e c提示 由 ＝ ＝ 1－ a 2知，当 a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁平；e越小，b越大，
a
椭圆越接近于圆．
3．焦点弦的弦长最短是什么？
2b2
提示 焦点弦中通径(垂直于轴的焦点弦)最短，弦长为 .
a
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )
(3)椭圆上一点 P与两焦点 F1，F2构成△PF1F2的周长为 2a＋2c(其中 a为椭圆的长半轴长，c
为椭圆的半焦距)．( √ )
(4)x
2 y2 2 2
＋ ＝1(a>b>0) y x与 ＋ ＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
a2 b2 a2 b2
题组二 教材改编
2．已知 F1(－3,0)，F2(3,0)，若点 P到 F1，F2的距离之和为 10，则 P点的轨迹方程是
____________．
x2 y2
答案 ＋ ＝1
25 16
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点 P的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆，其中 a
x25 y
2
＝ ，c＝3，b＝ a2－c2＝4，故点 P的轨迹方程为 ＋ ＝1.
25 16
x2 y23．若椭圆 ＋ ＝1的焦距为 4，则 m＝________.
10－m m－2
答案 4或 8
解析 当焦点在 x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在 y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或 8.
4 xOy C F F x 2．在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 1， 2在 轴上，离心率为 .
2
过 F1的直线 l交 C于 A，B两点，且△ABF2的周长为 16，那么椭圆 C的方程为________．
x2 y2
答案 ＋ ＝1
16 8
x2 y2
解析 如图，设椭圆方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，
a2 b2
由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又△ABF2的周长为 16，
所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16，
4a 16 a 4 e c 2即 ＝ ， ＝ ，又 ＝ ＝ ，
a 2
则 c＝2 2，b＝ a2－c2＝2 2，
2 2
故椭圆 C x y的方程为 ＋ ＝1.
16 8
x2 y25．已知点 P是椭圆 ＋ ＝1上 y轴右侧的一点，且以点 P及焦点 F1，F2为顶点的三角形的
5 4
面积等于 1，则点 P的坐标为__________________．
15
，1 15，－1
答案 2 或 2
解析 设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以 c＝1，则 F1(－1,0)，F2(1,0)．
由题意可得点 P到 x轴的距离为 1，
2 2
所以 y ±1 y ±1 x y＝ ，把 ＝ 代入 ＋ ＝1，
5 4
15
得 x＝± ，又 x>0 15，所以 x＝ ，
2 2
15 1 15， ，－1
所以点 P的坐标为 2 或 2 .
题组三 易错自纠
x2 y26．若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则 m满足的条件是____________________．
m 2m－1
m>1
答案 m| 2 且 m≠1
x2 y2
解析 由方程 ＋ ＝1表示椭圆，
m 2m－1
m>0，
1
知 2m－1>0， 解得 m> 且 m≠1.2
m≠2m－1，
7 x
2 y2 1(m>0) 10．已知椭圆 ＋ ＝ 的离心率 e＝ ，则 m的值为________．
5 m 5
答案 3 25或
3
解析 若 a2＝5，b2＝m，则 c＝ 5－m，
c 10 5－m 10
由 ＝ ，即 ＝ ，解得 m＝3.
a 5 5 5
若 a2＝m，b2＝5，
则 c＝ m－5.
c 10 m－5 10
由 ＝ ，即 ＝ ，
a 5 m 5
m 25解得 ＝ .
3
25
综上，m＝3或 .
3
2 2
8．已知点 A(－2,0) x y，B(0,1)在椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)上，则椭圆 C的方程为________；若a b
y 1直线 ＝ x交椭圆 C于 M，N两点，则|MN|＝________.
2
x2
答案 ＋y2＝1 10
4
x2 y2
解析 由题意可知，椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)中，
a2 b2
由点 A(－2,0)，B(0,1)且焦点在 x轴上，得 a＝2，b＝1，
2
∴椭圆 C x的方程为 ＋y2＝1；
4
x2
＋y2＝1，
4
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1>0)，则
y 1＝ x，
2
解得 x1＝ 2 y 2 2， 1＝ ，x2＝－ 2，y2＝－ ，
2 2
2 2
＋
则|MN|＝ 2＋ 2 2＋ 2 2 2＝ 10.
【典型例题】
题型一 椭圆的定义及应用
例 1 (1)如图，圆 O的半径为定长 r，A是圆 O内一个定点，P是圆上任意一点，线段 AP
的垂直平分线 l和半径 OP相交于点 Q，当点 P在圆上运动时，点 Q的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 A
解析 连接 QA(图略)．
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点 A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义知，点 Q的轨迹是以 O，A为焦点，r
为长轴长的椭圆．
2 2
(2) x y设点 P为椭圆 C： ＋ ＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为 C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，
a2 4
则△PF1F2的面积为________．
4 3
答案
3
解析 由题意知，c＝ a2－4.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2 a2－4，
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
|F P|·|PF | 16∴ 1 2＝ ，
3
∴ S 1△PF F ＝ |F1P|·|PF2|sin 60°
1 16 3 4 3
＝ × × ＝ .
1 2 2 2 3 2 3
若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
解 ∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴ S△PF F ＝4.1 2
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和
离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
2 2
跟踪训练 1 (1) P x y设 是椭圆 ＋ ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|
16 9
＝12，则∠F1PF2的大小为________．
答案 60°
x2 y2
解析 由椭圆 ＋ ＝1，
16 9
可得 2a＝8，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
m＋n＝2a＝8，
可得 mn＝12，
4c2＝28＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
1
化简可得 cos∠F1PF2＝ ，∴∠F1PF2＝60°.
2
(2)已知 F是椭圆 5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|
的最大值为________，最小值为________．
答案 6＋ 2 6－ 2
x2 y2
解析 椭圆方程化为 ＋ ＝1，
9 5
设 F1是椭圆的右焦点，则 F1(2,0)，
∴|AF1|＝ 2，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当 P，A，F1共线时等号成立)，
∴|PA|＋|PF|的最大值为 6＋ 2，最小值为 6－ 2.
题型二 椭圆的标准方程
1
例 2 (1)已知中心在原点的椭圆 C的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C的方程是( )
2
x2 y2 x2 y2A. 1 B. 1 C.x
2 y2 2 2
＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝1 D.x y＋ ＝1
3 4 4 3 4 2 4 3
答案 D
解析 由题意可知椭圆焦点在 x轴上，
x2 y2
所以设椭圆方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，
a2 b2
c 1
由题意可知 c＝1，e＝ ＝ ，
a 2
可得 a＝2，又 a2＝b2＋c2，可得 b2＝3，
x2 y2
所以椭圆方程为 ＋ ＝1.
4 3
2 2
(2)过点( 3 y x，－ 5)，且与椭圆 ＋ ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
25 9
y2 x2
答案 ＋ ＝1
20 4
y2 x2
解析 方法一 (待定系数法)设所求椭圆方程为 ＋ ＝1(k<9)，将点( 3，－ 5)的坐标
25－k 9－k
－ 5 2 3 2 2 2
代入可得 ＋ ＝1，解得 k＝5(k y x＝21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
25－k 9－k 20 4
y2 x2
方法二 (定义法)椭圆 ＋ ＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即 c＝4.
25 9
由椭圆的定义知，2a＝ 3－0 2＋ － 5＋4 2＋ 3－0 2＋ － 5－4 2，解得 a＝2 5.
由 c2＝a2－b2可得 b2＝4.
y2 x2
所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
20 4
思维升华 (1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点
位置)，再定量，也可把椭圆方程设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆的标准方程的两个应用
x2 y2 1 x
2 y2
①方程 ＋ ＝ 与 ＋ ＝λ(λ>0)有相同的离心率．
a2 b2 a2 b2
x2 y2 x2 y2
②与椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为 ＋ ＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运
a2 b2 a2＋k b2＋k
用椭圆系方程，可使运算简便．
跟踪训练 2 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，则这个椭圆的标准
方程可以为( )
x2 y2A. 1 B.x
2 y2
＋ ＝ ＋ ＝1
100 84 25 9
2 2 2 2
C.x y 1 D.x y＋ ＝ ＋ ＝1
84 100 9 25
答案 BD
2a＝10，
解析 因为椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，所以 解得 a＝5，b2
c＝4，
2 2
＝25 x y－16＝9.所以当椭圆的焦点在 x轴上时，椭圆方程为 ＋ ＝1；当椭圆的焦点在 y轴上
25 9
x2 y2
时，椭圆方程为 ＋ ＝1.
9 25
(2)(2020·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)，M是椭圆上一点，若
MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是( )
x2 y2 x2 y2A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
7 2 2 7
x2 y2 2 2C. ＋ ＝1 D.x y＋ ＝1
9 4 4 9
答案 C
解析 设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
因为 MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2 5，
所以 m2＋n2＝20，mn＝8，
所以(m＋n)2＝36，所以 m＋n＝2a＝6，所以 a＝3.
因为 c＝ 5，所以 b＝ a2－c2＝2.
x2 y2
所以椭圆的方程是 ＋ ＝1.
9 4
题型三 椭圆的简单几何性质
命题点 1 离心率
2 2
例 3 (1)已知 F1，F2是椭圆 C
x y
： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是 C的左顶点，点 P在过
a2 b2
A 3且斜率为 的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则 C的离心率为( )
6
A.2 B.1 C.1 D.1
3 2 3 4
答案 D
解析 如图，作 PB⊥x轴于点 B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则 c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝ 3，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB |PB| 3 3＝ ＝ ＝ ，
|AB| a＋2 6
解得 a＝4，所以 e c 1＝ ＝ .
a 4
2 2
(2) C x y过椭圆 ： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点作 x轴的垂线，交 C于 A，B两点，直线 l过 C的左
a2 b2
焦点和上顶点．若以 AB为直径的圆与 l存在公共点，则 C的离心率的取值范围是( )
0 5 5， ，1
A. 5 B. 5
0 2 2， ，1
C. 2 D. 2
答案 A
x y
解析 由题设知，直线 l： ＋ ＝1，即 bx－cy＋bc＝0，以 AB为直径的圆的圆心为(c,0)，
－c b
b2 b2
根据题意，将 x＝c代入椭圆 C的方程，得 y＝± ，即圆的半径 r＝ .又圆与直线 l有公共点，
a a
2bc b2 2c b a2 5c2 e c 5所以 ≤ ，化简得 ≤ ，平方整理得 ≥ ，所以 ＝ ≤ .又 0b2＋c2 a a 5
5
所以 05
思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于 a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为 e的关系式，常
用方法如下：
(1)直接求出 a，c c，利用离心率公式 e＝ 求解．
a
2
(2)由 a与 b的关系求离心率，利用变形公式 e＝ 1 b－ 求解．
a2
(3)构造 a，c的齐次式．离心率 e的求解中可以不求出 a，c的具体值，而是得出 a与 c的关
系，从而求得 e.
命题点 2 与椭圆有关的最值(或范围)问题
2 2
例 4 设 A，B x y是椭圆 C： ＋ ＝1 长轴的两个端点．若 C上存在点 M满足∠AMB＝120°，
3 m
则 m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， 3]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， 3]∪[4，＋∞)
答案 A
解析 方法一 设焦点在 x轴上，点 M(x，y)．
过点 M作 x轴的垂线，交 x轴于点 N，则 N(x,0)．
3＋x 3－x
＋
tan AMB tan( AMN BMN) |y| |y| 2 3|y|故 ∠ ＝ ∠ ＋∠ ＝ ＝ .
3＋x 3－x x2＋y2－31－ ·
|y| |y|
又 tan∠AMB＝tan 120°＝－ 3，
x2 y2 3y2
且由 ＋ ＝1，可得 x2＝3－ ，
3 m m
2 3|y| 2 3|y|
则 3y2 ＝ 3 ＝－ 3.3－ ＋y2－3 1－ 2
m m y
|y| 2m解得 ＝ .
3－m
又 0<|y| m 0< 2m≤ ，即 ≤ m，
3－m
结合 0对于焦点在 y轴上的情况，同理亦可得 m≥9.
则 m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞).故选 A.
方法二 当 0要使 C上存在点 M满足∠AMB＝120°，
a
则 ≥tan 60° 3＝ 3，即 ≥ 3，解得 0b m
当 m>3时，焦点在 y轴上，
要使 C上存在点 M满足∠AMB＝120°，
a
则 ≥tan 60°＝ 3 m，即 ≥ 3，解得 m≥9.
b 3
故 m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
故选 A.
思维升华 利用椭圆的简单几何性质求值或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用 a，b，c表示，利用 a，b，c自身的范围、关系求范围．
跟踪训练 3 (1)(2020·济南质检)设椭圆 E的两焦点分别为 F1，F2，以 F1为圆心，|F1F2|为半径
的圆与 E交于 P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则 E的离心率为( )
A. 2 1 B. 5－1－ C. 2 D. 2＋1
2 2
答案 A
x2 y2
解析 不妨设椭圆 E 的方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PF1F2 为直角三角形，a b
∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2 2c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2 2c＝2a，∴椭圆 E
c
的离心率 e＝ ＝ 2－1.故选 A.
a
2
(2)已知点 P(0,1) x → →，椭圆 ＋y2＝m(m>1)上两点 A，B满足AP＝2PB，则当 m＝________时，点
4
B横坐标的绝对值最大．
答案 5
解析 设 B(x0，y0)，A(x1，y1)，
→ →
∴AP＝(－x1,1－y1)，PB＝(x0，y0－1)．
∵A→P＝2P→B，
－x1＝2x0， x1＝－2x0，
∴ 解得
1－y1＝2 y0－1 ， y1＝3－2y0，
2
将 A B x， 两点的坐标代入 ＋y2＝m，
4
x20＋y20＝m，
4 x20＋4y20＝4m，
得 －2x0 2 即
＋ 3－2y0 2＝m， x02＋ 3－2y0 2＝m，
4
两式相减，得 y 1m 30＝ ＋ .
4 4
∴x20＝4m－4y2 10＝－ m2 5＋ m 9－ ，m>1，
4 2 4
5
2
∴当 m＝－ 21 ＝5时，x 0取得最大值，此时|x0|最大．
－
2× 4
【课后作业】
A 组
1．与椭圆 9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为 2 5的椭圆方程是( )
2
A.x y
2 2 2
＋ ＝1 B.x y＋ ＝1
25 20 20 25
x2 y2 x2 y2C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
20 45 80 85
答案 B
x2 y2
解析 由 9x2＋4y2＝36可得 ＋ ＝1，所以所求椭圆的焦点在 y轴上，且 c2＝9－4＝5，b＝
4 9
2 2
2 5 x y，a2＝25，所以所求椭圆方程为 ＋ ＝1.
20 25
2 2
2 x y．若椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )a b
A.1 B. 3
2 3
C. 2 D. 2
2 4
答案 C
解析 依题意可知，c＝b，
又 a＝ b2＋c2＝ 2c，
c 2
∴椭圆的离心率 e＝ ＝ .
a 2
3．已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，
和圆 C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为( )
x2 y2 x2 2A. y－ ＝1 B. ＋ ＝1
64 48 48 64
x2 y2 x2C. y
2
－ ＝1 D. ＋ ＝1
48 64 64 48
答案 D
解析 设圆 M的半径为 r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以 M的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，
所以 a＝8，c＝4，b＝ a2－c2＝4 3，
M x
2 y2
故所求动圆圆心 的轨迹方程为 ＋ ＝1.
64 48
2 2
4．(2021·广东华附、省实、广雅、深中联考)设 F F x y1， 2分别是椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的左、右
a2 b2
2
焦点，若在直线 x a＝ 上存在点 P，使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围
c
是( )
0 2 3 2， 0， ，1 3，1
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
答案 D
a2
，m
解析 设 P c ，F1(－c,0)，F2(c,0)，
由线段 PF1的中垂线过点 F2得|PF2|＝|F1F2|，
a2
－c
即 c 2＋m2＝2c，
a2
2 2 －cm 4c c 2 a
4
得 ＝ － ＝－ ＋2a2＋3c2≥0，
c2
即 3c4＋2a2c2－a4≥0，
得 3e4＋2e2－1≥0 1，解得 e2≥ ，
3
又 03
2 2
5．(多选)(2021·湖南省衡阳八中月考)对于曲线 C x y： ＋ ＝1，下面四个说法正确的是
4－k k－1
( )
A．曲线 C不可能是椭圆
B．“1C．“曲线 C是焦点在 y轴上的椭圆”是“3D．“曲线 C是焦点在 x轴上的椭圆”是“1答案 CD
解析 对于 A，当 14－k＝k－1，此时曲线 C是圆，所以 B错误；对于 C，若曲线 C是焦点在 y轴上的椭圆，则
4－k>0，
k－1>0， 解得 2.5k－1>4－k，
k－1>0，
不充分条件，所以 C正确；对于 D，若曲线 C是焦点在 x轴上的椭圆，则 4－k>0， 解
4－k>k－1，
得 12 2
6．(多选)(2020· ) x y海南模拟 设椭圆 ＋ ＝1的右焦点为 F，直线 y＝m (09 3
B两点，则( )
A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C 3．当 m＝ 时，△ABF为直角三角形
2
D．当 m＝1时，△ABF的面积为 6
答案 ACD
解析 设椭圆的左焦点为 F′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
因为|AF|＋|BF|为定值 6，∴|AB|的取值范围是(0,6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；
3 3 3 3 3 3
3 － ， ，
将 y＝ 与椭圆方程联立，可解得 A 2 2 ，B 2 2 ，
2
6 3 3→ → ＋ 6
3 3 3
－
又∵F( 6，0)，∴AF·BF＝ 2 2 ＋ 2 2＝0，∴AF⊥BF，
∴△ABF为直角三角形，C正确；
将 y＝1与椭圆方程联立，解得 A(－ 6，1)，B( 6，1)，
∴S 1△ABF＝ ×2 6×1＝ 6，D正确．2
2 2 m>16
7．已知椭圆 C x y： ＋ ＝1，P为椭圆上任意一点．点 A(3，m) 5 ，B(－3,0)，则|PA|＋|PB|
25 16
的最小值为________．
答案 36＋m2
解析 如图，点 P为线段 AB与椭圆的交点时|PA|＋|PB|最小，其最小值为|AB|＝ 62＋m2＝
36＋m2.
x2 y28．已知椭圆 ＋ ＝1上的一点 P到两焦点的距离的乘积为 m，当 m取最大值时，点 P的坐
9 25
标是________________．
答案 (－3,0)或(3,0)
解析 记椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，
由题意知 a＝5，b＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
|PF1|＋|PF2|
则 m＝|PF1|·|PF2|≤ 2 2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，等号成立，
即点 P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值 25.
所以此时点 P的坐标为(－3,0)或(3,0)．
x2 y29．已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)，F为椭圆的右焦点，AB为过原点 O的弦，则△ABF面积的
a2 b2
最大值为________．
答案 b a2－b2
解析 如图，设 E为椭圆的左焦点，则 S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝S△AOF＋S△AOE＝S△AEF≤b a2－b2.
2 2
10．(2019·全国Ⅲ) x y设 F1，F2为椭圆 C： ＋ ＝1的两个焦点，M为 C上一点且在第一象限．若
36 20
△MF1F2为等腰三角形，则 M的坐标为________．
答案 (3， 15)
解析 不妨令 F1，F2分别为椭圆 C的左、右焦点，根据题意可知 c＝ 36－20＝4.因为△MF1F2
为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
x2 y2
＋ ＝1，
36 20
x＝3，
设 M(x，y)，则 |F1M|2＝ x＋4 2＋y2＝64， 得
y＝ 15，
x>0，
y>0，
所以 M的坐标为(3， 15)．
2 2
11. x y如图所示，已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上
a2 b2
顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2) → →若椭圆的焦距为 2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．
解 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即 b＝c.
c 2
所以 a＝ 2c，e＝ ＝ .
a 2
(2)由题意知 A(0，b)，F2(1,0)，设 B(x，y)，
A→
2 x－1 ＝1，
由 F2＝2F
→
2B，得
2y＝－b，
解得 x 3＝ ，y b＝－ .
2 2
9 b2
x2 y2
代入 ＋ ＝1，得 4＋ 4＝1.
a2 b2 a2 b2
9 1
即 ＋ ＝1，解得 a2＝3.
4a2 4
x2 y2
所以椭圆方程为 ＋ ＝1.
3 2
12．已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
x2(1) y
2
解 设椭圆方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则 m＋n＝2a.
a2 b2
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn
m＋n
2
＝4a2－3mn≥4a2－3· 2 2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当 m n c 1＝ 时取等号)，∴ ≥ ，
a2 4
1
e 1
，1
即 ≥ .又 02
(2)证明 由(1)知 mn 4＝ b2 1，∴ S△PF F ＝ mnsin 60°
3
＝ b2，即△PF1F2的面积只与椭圆的短
3 1 2 2 3
轴长有关．
B 组
13．已知 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且
交椭圆于点 M，N，若过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A. 3－1 B 2 3．2－ 3 C. D.
2 2
答案 A
解析 ∵过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝ 3c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝ 3c＋c＝2a，
2
∴椭圆的离心率 e＝ ＝ 3－1.
1＋ 3
2
14 x y
2
．已知椭圆 ＋ ＝1的左焦点为 F，点 P在椭圆上且在 x轴的上方．若线段 PF的中点在
9 5
以原点 O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 PF的斜率是________．
答案 15
解析 如图，左焦点 F(－2,0)，右焦点 F′(2,0)．
线段 PF的中点 M在以 O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，
因此|OM|＝2.
1
在△FF′P中，OM 綊 PF′，
2
所以|PF′|＝4.
根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，
所以|PF|＝2.
又因为|FF′|＝4，
所以在 Rt△MFF′中，
tan PFF |MF′| |FF′|
2－|MF|2
∠ ′＝ ＝ ＝ 15，
|MF| |MF|
即直线 PF的斜率是 15.
C 组
15．(多选)(2020·德州模拟)1970年 4月 24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方
红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运
动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变
化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设
椭圆的长轴长、焦距分别为 2a,2c，下列结论正确的是( )
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
答案 ABD
解析 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，运行时间
更长，B正确；
a－c 1－e 2
＝ ＝ －1，当比值越大，则 e越小，椭圆轨道越圆，C错误．
a＋c 1＋e 1＋e
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度
最小，D正确．
2 2
16．(2021·商洛模拟) x y如图，椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线
a2 b2
交椭圆于 P，Q两点，且 PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋ 2，|PF2|＝2－ 2，求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率 e.
解 (1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋ 2)＋(2－ 2)＝4，故 a＝2.
设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1⊥PF2，
因此 2c＝|F1F2|＝ |PF1|2＋|PF2|2＝ (2＋ 2)2＋(2－ 2)2＝2 3，
所以 c＝ 3，从而 b＝ 22－( 3)2＝1，
x2
故所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1.
4
(2)连接 F1Q，如图所示，
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.
从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
有|QF1|＝4a－2|PF1|.
设|PF1|＝m，所以|QF1|＝4a－2m，|QF2|＝2m－2a，
|PF2|＝2a－m，
又由 PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
所以
|QF1|＝ 2|PF1|，
m2＋(2a－m)2＝4c2，
即
4a－2m＝ 2m，
c 6＝ m，
4 6m
解得 2＋ 2 所以 e
c 4
＝ ＝ ＝ 6－ 3.
a＝ m， a 2＋ 2
4 m4第 36 讲 椭 圆
【知识梳理】
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点 F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
图形
x2 y2 2 2
标准方程 ＋ ＝1 (a>b>0)
y x
＋ ＝1 (a>b>0)
a2 b2 a2 b2
范围
顶点
轴长 短轴长为 ，长轴长为
焦点
焦距
对称性 对称轴： ，对称中心：
离心率
a，b，c的关系
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(3)椭圆上一点 P与两焦点 F1，F2构成△PF1F2的周长为 2a＋2c(其中 a为椭圆的长半轴长，c
为椭圆的半焦距)．( )
2 2
(4)x y 1(a>b>0) y
2 x2
＋ ＝ 与 ＋ ＝1(a>b>0)的焦距相等．( )
a2 b2 a2 b2
2．已知 F1(－3,0)，F2(3,0)，若点 P到 F1，F2的距离之和为 10，则 P点的轨迹方程是
____________．
3 x
2 y2
．若椭圆 ＋ ＝1的焦距为 4，则 m＝________.
10－m m－2
4．在平面直角坐标系 xOy 2中，椭圆 C的中心为原点，焦点 F1，F2在 x轴上，离心率为 .
2
过 F1的直线 l交 C于 A，B两点，且△ABF2的周长为 16，那么椭圆 C的方程为________．
2 2
5．已知点 P x y是椭圆 ＋ ＝1上 y轴右侧的一点，且以点 P及焦点 F1，F2为顶点的三角形的
5 4
面积等于 1，则点 P的坐标为__________________．
x2 26 y．若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则 m满足的条件是____________________．
m 2m－1
x27 y
2 10
．已知椭圆 ＋ ＝1(m>0)的离心率 e＝ ，则 m的值为________．
5 m 5
8 x
2 y2
．已知点 A(－2,0)，B(0,1)在椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)上，则椭圆 C的方程为________；若
a2 b2
1
直线 y＝ x交椭圆 C于 M，N两点，则|MN|＝________.
2
【典型例题】
题型一 椭圆的定义及应用
例 1 (1)如图，圆 O的半径为定长 r，A是圆 O内一个定点，P是圆上任意一点，线段 AP
的垂直平分线 l和半径 OP相交于点 Q，当点 P在圆上运动时，点 Q的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
x2(2) P C y
2
设点 为椭圆 ： ＋ ＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为 C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，
a2 4
则△PF1F2的面积为________．
2 2
跟踪训练 1 (1) P x y设 是椭圆 ＋ ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|
16 9
＝12，则∠F1PF2的大小为________．
(2)已知 F是椭圆 5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|
的最大值为________，最小值为________．
题型二 椭圆的标准方程
例 2 (1) 1已知中心在原点的椭圆 C的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，则 C的方程是( )
2
x2 y2 x2 y2 x2 2 2 2A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. y＋ ＝1 D.x y＋ ＝1
3 4 4 3 4 2 4 3
2 2
(2)过点( 3 y x，－ 5)，且与椭圆 ＋ ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
25 9
跟踪训练 2 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，则这个椭圆的标准
方程可以为( )
x2 y2A. 1 B.x
2 y2
＋ ＝ ＋ ＝1
100 84 25 9
2 2 2 2
C.x y 1 D.x y＋ ＝ ＋ ＝1
84 100 9 25
(2)(2020·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)，M是椭圆上一点，若
MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是( )
x2A. y
2 x2 y2
＋ ＝1 B. ＋ ＝1
7 2 2 7
x2C. y
2 x2 y2
＋ ＝1 D. ＋ ＝1
9 4 4 9
题型三 椭圆的简单几何性质
2 2
例 3 (1)已知 F1，F2是椭圆 C
x y
： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是 C的左顶点，点 P在过a b
A 3且斜率为 的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则 C的离心率为( )
6
A.2 B.1 C.1 D.1
3 2 3 4
x2 2(2)过椭圆 C y： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点作 x轴的垂线，交 C于 A，B两点，直线 l过 C的左
a2 b2
焦点和上顶点．若以 AB为直径的圆与 l存在公共点，则 C的离心率的取值范围是( )
0 5 5， ，1
A. 5 B. 5
0 2 2， ，1
C. 2 D. 2
x2 y2
例 4 设 A，B是椭圆 C： ＋ ＝1 长轴的两个端点．若 C上存在点 M满足∠AMB＝120°，
3 m
则 m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， 3]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， 3]∪[4，＋∞)
跟踪训练 3 (1)(2020·济南质检)设椭圆 E的两焦点分别为 F1，F2，以 F1为圆心，|F1F2|为半径
的圆与 E交于 P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则 E的离心率为( )
A. 2 1 B. 5－1 C. 2－ D. 2＋1
2 2
2
(2)已知点 P(0,1) x，椭圆 ＋y2＝m(m>1) →上两点 A，B满足AP＝2P→B，则当 m＝________时，点
4
B横坐标的绝对值最大．
【课后作业】
A 组
1．与椭圆 9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为 2 5的椭圆方程是( )
x2 y2 x2 2A. ＋ ＝1 B. y＋ ＝1
25 20 20 25
x2 y2 x2 y2C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
20 45 80 85
2 2
2．若椭圆 C x y： 2＋ 2＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )a b
A.1 B. 3
2 3
C. 2 D. 2
2 4
3．已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，
和圆 C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为( )
A.x
2 y2 2 2
－ ＝1 B.x y＋ ＝1
64 48 48 64
x2 y2 2 2C. － ＝1 D.x y＋ ＝1
48 64 64 48
2 2
4．(2021· x y广东华附、省实、广雅、深中联考)设 F1，F2分别是椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的左、右
a2 b2
a2
焦点，若在直线 x＝ 上存在点 P，使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围
c
是( )
0 2 3 2 3， 0， ，1 ，1
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
5 ( x
2 y2
． 多选)(2021·湖南省衡阳八中月考)对于曲线 C： ＋ ＝1，下面四个说法正确的是
4－k k－1
( )
A．曲线 C不可能是椭圆
B．“1C．“曲线 C是焦点在 y轴上的椭圆”是“3D．“曲线 C是焦点在 x轴上的椭圆”是“1x2 y26．(多选)(2020·海南模拟)设椭圆 ＋ ＝1的右焦点为 F，直线 y＝m (09 3
B两点，则( )
A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C 3．当 m＝ 时，△ABF为直角三角形
2
D．当 m＝1时，△ABF的面积为 6
2 2 m>16
7 x y．已知椭圆 C： ＋ ＝1，P为椭圆上任意一点．点 A(3，m) 5 ，B(－3,0)，则|PA|＋|PB|
25 16
的最小值为________．
x2 y28．已知椭圆 ＋ ＝1上的一点 P到两焦点的距离的乘积为 m，当 m取最大值时，点 P的坐
9 25
标是________________．
2 2
9 x y．已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)，F为椭圆的右焦点，AB为过原点 O的弦，则△ABF面积的
a2 b2
最大值为________．
2 2
10．(2019·全国Ⅲ)设 F x y1，F2为椭圆 C： ＋ ＝1的两个焦点，M为 C上一点且在第一象限．若
36 20
△MF1F2为等腰三角形，则 M的坐标为________．
2
11. x y
2
如图所示，已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上
a2 b2
顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2) → →若椭圆的焦距为 2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．
12．已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
B 组
13．已知 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且
交椭圆于点 M，N，若过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A. 3－1 B．2－ 3 C. 2 D. 3
2 2
2 2
14 x y．已知椭圆 ＋ ＝1的左焦点为 F，点 P在椭圆上且在 x轴的上方．若线段 PF的中点在
9 5
以原点 O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 PF的斜率是________．
C 组
15．(多选)(2020·德州模拟)1970年 4月 24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方
红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运
动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变
化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设
椭圆的长轴长、焦距分别为 2a,2c，下列结论正确的是( )
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
2 2
16．(2021· x y商洛模拟)如图，椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线
a2 b2
交椭圆于 P，Q两点，且 PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋ 2，|PF2|＝2－ 2，求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率 e.

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