资源简介

第 29讲 平面向量基本定理及坐标表示
【知识梳理】
1．平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量 a， 一
对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个 ．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ ，
a－b＝ ，λa＝ ，
|a|＝ x12＋y21.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x → →2，y2)，则AB＝ ，|AB|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
4．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b .
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)若 a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x
x y
2，y2)，则 a∥b的充要条件可表示成 1＝ 1.( )
x2 y2
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( )
2．(多选)如图所示，C，D是线段 AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是( )
A.A→B 3A→＝ C B.D→A＝－2C→D
C.A→C B→＋ D＝0 D.B→C →＝AD
3．已知 ABCD的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D的坐标为________．
4.如图，O→A → → →，OB不共线，且AP＝tAB(t∈R)，用O→A，O→B →表示OP＝__________________.
5．(多选)设 O是平行四边形 ABCD的两条对角线 AC，BD的交点，其中可作为这一个平行
四边形所在平面的一个基底的是( )
A.A→D → → →，AB B.DA，BC
C.C→A D→， C D.O→D，O→B
6．(多选)已知向量 a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则 b可能是( )
A．(4,8) B．(4，－8)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
【典型例题】
题型一 平面向量基本定理的应用
例 1 (1) →在△ABC中，点 D，E分别在边 BC，AC上，且BD＝2D→C，C→E＝3E→A →，若AB＝a，A→C
→
＝b，则DE等于( )
A.1a 5＋ b B.1a 13－ b
3 12 3 12
C 1a 5．－ － b D 1．－ a 13＋ b
3 12 3 12
(2)(2021·郑州质检)如图，在平行四边形 ABCD中，E，F分别为边 AB，BC的中点，连接 CE，
DF，交于点 G.若C→G＝λC→D μC→＋ B(λ λ，μ∈R)，则 ＝________.
μ
跟踪训练 1 如图，已知在△OCB中，A是 CB的中点，D是将O→B分成 2∶1的一个内分点，
DC和 OA →交于点 E，设OA＝a，O→B＝b.
(1)用 a和 b表示向量O→C →，DC；
(2)若O→E →＝λOA，求实数λ的值．
题型二 平面向量的坐标运算
例 2 已知 A(－2,4)，B(3 → →，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC b C→A c C→M 3c C→＝ ， ＝ ，且 ＝ ， N＝
－2b.
(1)求 3a＋b－3c；
(2)求满足 a＝mb＋nc的实数 m，n；
(3)求 M，N →的坐标及向量MN的坐标．
跟踪训练 2 (1)已知 O为坐标原点，点 C是线段 AB上一点，且 A(1,1)，C(2,3) →，|BC|＝2|A→C|，
→
则向量OB的坐标是________．
(2)如图所示，以 e1，e2为基底，则 a＝________.
题型三 向量共线的坐标表示
命题点 1 利用向量共线求参数
例3 (1)(2020·惠州调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则 x的值为________．
(2)(2018·全国Ⅲ)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则λ＝________.
命题点 2 利用向量共线求向量或点的坐标
例 4 在△ABC中，已知点 O(0,0)，A(0,5) B(4,3) O→C 1→， ， ＝ OA →，OD 1→＝ OB，AD与 BC交于点
4 2
M，则点 M的坐标为________．
跟踪训练 3 (2020·山东省文登二中模拟)平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k；
(2)若 d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d的坐标．
【课后作业】
A 组
1 →．在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是( )
A．(2,2) B．(－2，－2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
2．在下列向量组中，可以把向量 a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
3．(2020·太原模拟)设向量 a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，且 a与 b的方向相反，则实数 m的值为
( )
A．－2 B．1
C．－2或 1 D．m的值不存在
4．在平面直角坐标系 xOy中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，∠AOC π＝ ，且|OC|
4
→ →
＝2，若OC＝λOA＋μO→B，则λ＋μ等于( )
A．2 2 B. 2 C．2 D．4 2
5 ( ) O→A (1 3) O→． 多选 已知向量 ＝ ，－ ， B＝(2，－1) O→， C＝(m＋1，m－2)，若点 A，B，C能构
成三角形，则实数 m可以是( )
A．－2 B.1 C．1 D．－1
2
6．(多选)设 a是已知的平面向量且 a≠0，关于向量 a的分解，有如下四个命题(向量 b，c和
a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( )
A．给定向量 b，总存在向量 c，使 a＝b＋c
B．给定向量 b和 c，总存在实数λ和μ，使 a＝λb＋μc
C．给定单位向量 b和正数μ，总存在单位向量 c和实数λ，使 a＝λb＋μc
D．给定正数λ和μ，总存在单位向量 b和单位向量 c，使 a＝λb＋μc
7．(2021·合肥质检)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数 k＝________.
8．设向量 a＝(－3,4)，向量 b与向量 a方向相反，且|b|＝10，则向量 b的坐标为________．
9．已知 O → → → → →为坐标原点，向量OA＝(1,2)，OB＝(－2，－1)，若 2AP＝AB，则|OP|＝________.
10 (2021· ) AOB A→C 1A→B D OB D→C λO→ →． 荆门检测 在△ 中， ＝ ， 为 的中点，若 ＝ A＋μOB，则λμ的
5
值为________．
11．已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当 k为何值时，ka－b与 a＋2b共线；
(2)若A→B →＝2a＋3b，BC＝a＋mb且 A，B，C三点共线，求 m的值．
12. →如图，已知平面内有三个向量OA，O→B，O→C，其中O→A O→B → →与 的夹角为 120°，OA与OC的夹角
30° |O→A| |O→B| 1 |O→C| 2 3. O→C λO→为 ，且 ＝ ＝ ， ＝ 若 ＝ A＋μO→B(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
B 组
13．(2020·河北衡水中学质检)已知在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC
内一点，且∠DAB＝60°，设A→D＝λA→B＋μA→C(λ，μ∈R) λ，则 等于( )
μ
A.2 3 B. 3 C．3 D．2 3
3 3
14.(2020· π山东省实验中学等四校联考)如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝ ，AC＝2AB，∠BAC
2
→ → →
的平分线交△ABC的外接圆于点 D，设AB＝a，AC＝b，则向量AD等于( )
A 1．a＋b B. a＋b
2
C．a 1b D 2＋ ．a＋ b
2 3
C 组
15．若α，β是平面内一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下
的坐标，现已知向量 a 在基底 p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则 a 在基底 m＝
(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为______．
16．如图，已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求 AD的长度；
(2)过点 D作直线分别交 AB AC → → → → 1 2， 所在直线于点 E，F，且满足AE＝xAB，AF＝yAC，求 ＋ 的
x y
值，并说明理由．第 29 讲 平面向量基本定理及坐标表示
【考试要求】
1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
【知识梳理】
1．平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有
一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
|a|＝ x12＋y21.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)，|A→B|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
4．平面向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b x1y2－x2y1＝0.
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( × )
(2)若 a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x x y2，y2)，则 a∥b的充要条件可表示成 1＝ 1.( × )
x2 y2
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )
题组二 教材改编
2．(多选)如图所示，C，D是线段 AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是( )
A.A→B →＝3AC B.D→A →＝－2CD
C.A→C B→＋ D＝0 D.B→C A→＝ D
答案 ABC
3．已知 ABCD的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D的坐标为________．
答案 (1,5)
解析 设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
4＝5－x， x＝1，
即 解得
1＝6－y， y＝5.
4. O→ → →如图， A，OB不共线，且AP＝tA→B(t → →∈R)，用OA，OB表示O→P＝__________________.
答案 (1－t)O→A tO→＋ B
→
解析 ∵AP＝tA→B，
O→P →∴ ＝OA＋A→P
＝O→A →＋tAB
O→＝ A＋t(O→B →－OA)
O→＝ A＋tO→B－tO→A
→
＝(1－t)OA＋tO→B.
题组三 易错自纠
5．(多选)设 O是平行四边形 ABCD的两条对角线 AC，BD的交点，其中可作为这一个平行
四边形所在平面的一个基底的是( )
A.A→D，A→B B.D→A，B→C
C.C→A D→C D.O→D O→， ， B
答案 AC
解析 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，
对于 A →，AD与A→B不共线，可作为基底；
B D→A B→对于 ， 与 C为共线向量，不可作为基底；
对于 C C→A →， 与DC是两个不共线的向量，可作为基底；
D O→D O→对于 ， 与 B在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．
6．(多选)已知向量 a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则 b可能是( )
A．(4,8) B．(4，－8)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案 BD
解析 设 b＝(x，y)，依题意有
x2＋y2＝4 12＋(－2)2，
y＋2x＝0，
x＝4， x＝－4，
解得 或
y＝－8 y＝8.
【典型例题】
题型一 平面向量基本定理的应用
例 1 (1)在△ABC中，点 D，E BC AC B→分别在边 ， 上，且 D＝2D→C C→， E＝3E→A，若A→B＝a，A→C
＝b，则D→E等于( )
A.1a 5 b B.1a 13＋ － b
3 12 3 12
C 1a 5 b D 1a 13．－ － ．－ ＋ b
3 12 3 12
答案 C
D→E D→C C→解析 ＝ ＋ E
1
＝ B→C 3C→＋ A
3 4
1(A→C A→B) 3→＝ － － AC
3 4
1A→B 5 A→C 1 5＝－ － ＝－ a－ b.
3 12 3 12
(2)(2021·郑州质检)如图，在平行四边形 ABCD中，E，F分别为边 AB，BC的中点，连接 CE，
DF，交于点 G. C→G λC→若 ＝ D＋μC→B(λ λ，μ∈R)，则 ＝________.
μ
1
答案
2
解析 由题图可设C→G＝xC→E(0C→B 1C→→ → ＋ DCG x(CB B→E) x 2 xC→D xC→则 ＝ ＋ ＝ ＝ ＋ B.
2
C→G λC→因为 ＝ D＋μC→B →，CD与C→B不共线，
λ x所以 ＝ ，μ＝x λ 1，所以 ＝ .
2 μ 2
思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进
行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向
量间的关系．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结
论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不
同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
跟踪训练 1 如图，已知在△OCB中，A是 CB的中点，D是将O→B分成 2∶1的一个内分点，
DC和 OA →交于点 E，设OA＝a，O→B＝b.
(1)用 a和 b表示向量O→C →，DC；
(2)若O→E →＝λOA，求实数λ的值．
解 (1)由题意知，A是 BC的中点，
O→D 2O→ → → →且 ＝ B，由平行四边形法则，得OB＋OC＝2OA，
3
O→C 2O→A O→所以 ＝ － B＝2a－b，
D→C O→C O→＝ － D＝(2a－b) 2 5－ b＝2a－ b.
3 3
(2) →由题意知，EC∥D→C →，故设EC＝xD→C.
E→C O→C O→因为 ＝ － E＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
D→C＝2a 5－ b.
3
2a 5－ b
所以(2－λ)a－b＝x 3 .
因为 a与 b不共线，
所以由平面向量基本定理，
3
2－λ＝2x， x＝ ，5
得 5 4解得 故λ＝ .
－1＝－ x，
3 λ
4
＝ . 5
5
题型二 平面向量的坐标运算
例 2 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4) →．设AB＝a →，BC＝b →，CA＝c，且C→M 3c C→＝ ， N＝
－2b.
(1)求 3a＋b－3c；
(2)求满足 a＝mb＋nc的实数 m，n；
(3)求 M，N →的坐标及向量MN的坐标．
解 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)方法一 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
－6m＋n＝5， m＝－1，
∴ 解得
－3m＋8n＝－5， n＝－1.
方法二 ∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，
又∵a＝mb＋nc，
∴mb＋nc＝－b－c，
m＝－1，
∴
n＝－1.
(3) → → →设 O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，
∴O→M →＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
C→N O→N O→又∵ ＝ － C＝－2b，
∴O→N →＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴M→N＝(9，－18)．
1．本例中条件不变，如何利用向量求线段 AB中点的坐标？
解 设 O为坐标原点，P(x，y)是线段 AB的中点，
则O→P 1(O→＝ A＋O→B)，
2
1 3
，
即(x，y) 1＝ [(－2,4)＋(3，－1)]＝ 2 2 ，
2
1 3
，
∴线段 AB中点的坐标为 2 2 .
2．本例中条件不变，如何利用向量求△ABC的重心 G的坐标？
解 设 AB的中点为 P，O为坐标原点，
∵C→G 2C→＝ P，
3
O→G 1O→C 2O→P 1→ 1 →∴ ＝ ＋ ＝ OC＋ (OA＋O→B)，
3 3 3 3
2 1
－ ，－
∴O→G 1 →＝ (OA＋O→B → 1＋OC)＝ [(－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－4)]＝ 3 3 ，
3 3
2 1
－ ，－
∴重心 G的坐标为 3 3 .
思维升华 向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线
段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
跟踪训练 2 (1)已知 O为坐标原点，点 C是线段 AB → →上一点，且 A(1,1)，C(2,3)，|BC|＝2|AC|，
→
则向量OB的坐标是________．
答案 (4,7)
解析 由点 C是线段 AB上一点，|B→C| →＝2|AC|，
得B→C＝－2A→C.设点 B为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)，
2－x＝－2， x＝4，
O→即 解得 所以向量 B的坐标是(4,7)．
3－y＝－4， y＝7.
(2)如图所示，以 e1，e2为基底，则 a＝________.
答案 －2e1＋e2
解析 以 e1的起点为坐标原点，e1所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，则 e1＝(1,0)，e2
＝(－1,1)，a＝(－3,1)，令 a＝xe1＋ye2，即(－3,1)＝x(1,0)＋y(－1,1)，
x－y＝－3， x＝－2，
则 所以 即 a＝－2e1＋e2.
y＝1， y＝1，
题型三 向量共线的坐标表示
命题点 1 利用向量共线求参数
例3 (1)(2020·惠州调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b与b共线，则 x的值为________．
答案 －2
解析 ∵a＝(2,1)，b＝(x，－1)，
∴a－b＝(2－x,2)，
又∵a－b与 b共线，
∴(2－x)×(－1)－2x＝0，
∴x＝－2.
(2)(2018·全国Ⅲ)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则λ＝________.
1
答案
2
解析 由题意得 2a＋b＝(4,2)，
因为 c＝(1，λ)，且 c∥(2a＋b)，
所以 4λ－2＝0，即λ 1＝ .
2
命题点 2 利用向量共线求向量或点的坐标
例 4 在△ABC中，已知点 O(0,0)，A(0,5) → 1→ → 1→，B(4,3)，OC＝ OA，OD＝ OB，AD与 BC交于点
4 2
M，则点 M的坐标为________．
12
，2
答案 7
解析 因为点 O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，
0 5 2 3， ，
所以点 C 4 ，同理点 D 2 .
设 M的坐标为(x，y)，
2 7，－
则A→M＝(x，y－5)，而A→D＝ 2 ，
→ →
因为 A，M，D三点共线，所以AM与AD共线，
7
所以－ x－2(y－5)＝0，即 7x＋4y＝20，
2
x y 5→ ， － → 4－0 3
5 4 7， － ，
而CM＝ 4 ，CB＝ 4 ＝ 4 ，
因为 C，M，B → →三点共线，所以CM与CB共线，
5
7 y－
所以 x－4 4 ＝0，即 7x－16y＝－20，
4
12
7x＋4y＝20， x＝ ，
由 得 7
7x－16y＝－20， y＝2，
12
，2
所以点 M的坐标为 7 .
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b
的充要条件是 x1y2＝x2y1”．
(2)在求与一个已知向量 a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练 3 (2020·山东省文登二中模拟)平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k；
(2)若 d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d的坐标．
解 (1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得 k 16＝－ .
13
(2)设 d＝(x，y)，
则 d－c＝(x－4，y－1)，
又 a＋b＝(2,4)，|d－c|＝ 5，
4 x－4 －2 y－1 ＝0，
∴
x－4 2＋ y－1 2＝5，
x＝3， x＝5，
解得 或
y＝－1 y＝3.
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
【课后作业】
A 组
1 →．在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是( )
A．(2,2) B．(－2，－2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
答案 D
解析 因为 A(2,2)，B(1,1) →，所以AB＝(－1，－1)．故选 D.
2．在下列向量组中，可以把向量 a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
答案 B
解析 对于 A，C，D都有 e1∥e2，所以只有 B成立．
3．(2020·太原模拟)设向量 a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，且 a与 b的方向相反，则实数 m的值为
( )
A．－2 B．1
C．－2或 1 D．m的值不存在
答案 A
解析 向量 a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，因为 a∥b，所以 m(m＋1)＝2×1，解得 m＝－2 或 m
＝1.当 m＝1时，a＝(1,2)，b＝(1,2)，a与 b的方向相同，舍去；当 m＝－2时，a＝(－2,2)，
b＝(1，－1)，a与 b的方向相反，符合题意，故选 A.
4．在平面直角坐标系 xOy中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C π为第一象限内一点，∠AOC＝ ，且|OC|
4
＝2 → → →，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ等于( )
A．2 2 B. 2 C．2 D．4 2
答案 A
解析 因为|OC| 2 AOC π＝ ，∠ ＝ ，C为第一象限内一点，
4
所以 C( 2， 2)，
O→C λO→A μO→又 ＝ ＋ B，
所以( 2， 2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，
所以λ＝μ＝ 2，λ＋μ＝2 2.
5．(多选)已知向量O→A＝(1 → →，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点 A，B，C能构
成三角形，则实数 m可以是( )
A．－2 B.1 C．1 D．－1
2
答案 ABD
→ → →
解析 各选项代入验证，若 A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为AB＝OB－OA＝(2，
－1)－(1，－3)＝(1,2) → → →，AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设 A，B，
C三点共线，则 1×(m＋1)－2m＝0，即 m＝1.所以只要 m≠1，A，B，C三点就可构成三角
形，故选 ABD.
6．(多选)设 a是已知的平面向量且 a≠0，关于向量 a的分解，有如下四个命题(向量 b，c和
a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( )
A．给定向量 b，总存在向量 c，使 a＝b＋c
B．给定向量 b和 c，总存在实数λ和μ，使 a＝λb＋μc
C．给定单位向量 b和正数μ，总存在单位向量 c和实数λ，使 a＝λb＋μc
D．给定正数λ和μ，总存在单位向量 b和单位向量 c，使 a＝λb＋μc
答案 AB
解析 ∵向量 b，c和 a在同一平面内且两两不共线，
∴b≠0，c≠0，
给定向量 a和 b，只需求得其向量差 a－b，
即为所求的向量 c，
故总存在向量 c，使 a＝b＋c，故 A正确；
当向量 b，c和 a在同一平面内且两两不共线时，向量 b，c可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故 B正确；
取 a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，
无论λ取何值，向量λb都平行于 x轴，而向量μc的模恒等于 2，
要使 a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为 4，
故找不到这样的单位向量 c使等式成立，故 C错误；
因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量 a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使 a＝λb＋μc成立，故 D错误．
故选 AB.
7．(2021·合肥质检)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数 k＝________.
答案 －6
解析 a＋2b＝(－3,3＋2k)，
3a－b＝(5,9－k)，
由题意可得，－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得 k＝－6.
8．设向量 a＝(－3,4)，向量 b与向量 a方向相反，且|b|＝10，则向量 b的坐标为________．
答案 (6，－8)
解析 不妨设向量 b的坐标为 b＝(－3m,4m)(m<0)，
则|b|＝ －3m 2＋ 4m 2＝10，
解得 m＝－2(m＝2舍去)，
故 b＝(6，－8)．
9．已知 O为坐标原点，向量O→A＝(1,2)，O→B＝(－2，－1)，若 2A→P＝A→B，则|O→P|＝________.
2
答案
2
→ → → →
解析 设 P点坐标为(x，y)，AB＝OB－OA＝(－2，－1)－(1,2)＝(－3，－3)，AP＝(x－1，y
－2)，
则由 2A→P＝A→B得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，
x 1＝－ ，
2x－2＝－3， 2
所以 解得
2y 4 3 y 1－ ＝－ ， ＝ ，
2
故|O→P| 1 1 2＝ ＋ ＝ .
4 4 2
10．(2021· ) AOB A→C 1A→B D OB D→ →荆门检测 在△ 中， ＝ ， 为 的中点，若 C＝λOA＋μO→B，则λμ的
5
值为________．
6
答案 －
25
A→ 1→解析 因为 C＝ AB，所以A→C 1＝ (O→B O→－ A)，
5 5
→ 1→
因为 D为 OB的中点，所以OD＝ OB.
2
→
所以DC＝D→O O→C 1＋ ＝－ O→B＋(O→A＋A→C)
2
1O→B O→A 1(O→B O→＝－ ＋ ＋ － A)
2 5
4O→A 3 O→B 4 3＝ － ，所以λ＝ ，μ＝－ ，
5 10 5 10
λμ 6则 的值为－ .
25
11．已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)当 k为何值时，ka－b与 a＋2b共线；
(2) A→若 B＝2a＋3b B→， C＝a＋mb且 A，B，C三点共线，求 m的值．
解 (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
∵ka－b与 a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即 2k－4＋5＝0，得 k 1＝－ .
2
(2) → →方法一 ∵A，B，C三点共线，∴AB＝λBC，
即 2a＋3b＝λ(a＋mb)，
2＝λ，
∴ 解得 m 3＝ .
3＝mλ， 2
→
方法二 AB＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
B→C＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，
A B C A→B B→∵ ， ， 三点共线，∴ ∥ C，
∴8m－3(2m＋1)＝0 2m 3 0 m 3，即 － ＝ ，∴ ＝ .
2
12. → → → → → → →如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为 120°，OA与OC的夹角
为 30°，且|O→A|＝|O→B| → → →＝1，|OC|＝2 3.若OC＝λOA μO→＋ B(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 方法一 如图，作平行四边形 OB1CA1，
则O→C —→ —＝OB1＋OA→1，
O→A →因为 与OB → →的夹角为 120°，OA与OC的夹角为 30°，
所以∠B1OC＝90°.
→
在 Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2 3，
|—OB→所以 1 | —→＝2，|B1C |＝4，
—→ —→
所以|OA1 |＝|B1C |＝4，
→
所以OC＝4O→A＋2O→B，
所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
方法二 以 O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
1 3
－ ，
则 A(1,0)，B 2 2 ，
C(3， 3)．
由O→C＝λO→A＋μO→B，
3 λ 1＝ － μ，
2 λ＝4，
得
3 3
解得
＝ μ， μ＝2.
2
所以λ＋μ＝6.
B 组
13．(2020·河北衡水中学质检)已知在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC
内一点，且∠DAB＝60° A→，设 D＝λA→B＋μA→C(λ，μ∈R) λ，则 等于( )
μ
A.2 3 B. 3 C．3 D．2 3
3 3
答案 A
解析 如图，以 A为原点，AB所在直线为 x轴，AC所在直线为 y轴建立平面直角坐标系，
则 B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，
因为∠DAB＝60°，所以设 D点的坐标为(m， 3m)(m≠0)．
A→D＝(m， 3m)＝λA→B μA→＋ C＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ 3＝ m，
2
λ 2 3
所以 ＝ .
μ 3
14.(2020·山东省实验中学等四校联考)如图，在 Rt△ABC中，∠ABC π＝ ，AC＝2AB，∠BAC
2
的平分线交△ABC → → →的外接圆于点 D，设AB＝a，AC＝b，则向量AD等于( )
A．a＋b B.1a＋b
2
C．a 1 2＋ b D．a＋ b
2 3
答案 C
解析 设圆的半径为 r，
在 Rt△ABC ABC π中，∠ ＝ ，AC＝2AB，
2
所以∠BAC π＝ ，∠ACB π＝ ，
3 6
又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点 D，
所以∠ACB＝∠BAD π＝∠CAD＝ ，
6
则根据圆的性质得 BD＝CD＝AB，
又因为在 Rt△ABC 1中，AB＝ AC＝r＝OD，
2
所以四边形 ABDO为菱形，
A→所以 D＝A→B＋A→O 1＝a＋ b.
2
故选 C.
C 组
15．若α，β是平面内一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下
的坐标，现已知向量 a 在基底 p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则 a 在基底 m＝
(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为______．
答案 (0,2)
解析 因为 a在基底 p，q下的坐标为(－2,2)，
所以 a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令 a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
－x＋y＝2， x＝0，
所以 即
x＋2y＝4， y＝2，
所以 a在基底 m，n下的坐标为(0,2)．
16．如图，已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求 AD的长度；
(2)过点 D →作直线分别交 AB，AC所在直线于点 E，F，且满足AE＝xA→B →，AF＝yA→C 1 2，求 ＋ 的
x y
值，并说明理由．
解 (1) DB AB根据角平分线定理可得 ＝ ＝2，
DC AC
BD 2
所以 ＝ ，
BC 3
A→D A→B B→D A→B 2B→C A→B 2(A→C → 1→ 2→所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ －AB)＝ AB＋ AC，
3 3 3 3
A→D2 1A→B2 4→ → 4→所以 ＝ ＋ AB·AC＋ AC2
9 9 9
4 4 4 4
＝ － ＋ ＝ ，
9 9 9 9
所以 AD 2＝ .
3
(2) → → →因为AE＝xAB，AF＝yA→C，
A→D 1A→ 2→所以 ＝ B＋ AC 1 A→E 2 A→＝ ＋ F，
3 3 3x 3y
因为 E，D，F三点共线，
1 2 1 2
所以 ＋ ＝1，所以 ＋ ＝3.
3x 3y x y

展开更多......

收起↑