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第 38 讲 双曲线
【知识梳理】
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的 等于常数( |F1F2|)的点的轨迹．
(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．
(3)焦点：两个定点 F1，F2.
(4)焦距： 的距离，表示为|F1F2|.
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
焦点
焦距
范围
对称性
性质
顶点
轴
离心率
渐近线
a，b，c的关系
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
2 2
(1) x y方程 － ＝1(mn>0)表示焦点在 x轴上的双曲线．( )
m n
2 2
(2) x y x y双曲线 － ＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 ± ＝0.( )
m2 n2 m n
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )
2 2 2 2
(4) x y若双曲线 － ＝1(a>0，b>0) x y与 － ＝1(a>0，b>0) 1 1的离心率分别是 e1，e2，则 ＋ ＝
a2 b2 b2 a2 e12 e22
1.( )
1
2
2 x y
2
．若双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率
a2 b2
为( )
A. 5 B．5 C. 2 D．2
x2 y23．(2021·阜阳模拟)已知双曲线 － ＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线经过点( 2， 6)，则该双
a2 b2
曲线的离心率为( )
A．2 B. 2 C．3 D. 3
4．经过点 A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
x2 25．(多选) y若方程 ＋ ＝1所表示的曲线为 C，则下面四个命题中错误的是( )
3－t t－1
A．若 C为椭圆，则 1B．若 C为双曲线，则 t>3或 t<1
C．曲线 C可能是圆
D．若 C为椭圆，且长轴在 y轴上，则 1x2 y26．双曲线 － ＝1 上一点 P到焦点 F1(－5,0)的距离为 7，则点 P到焦点 F2(5,0)的距离为
9 16
________．
2
【典型例题】
题型一 双曲线的定义及应用
例 1 (1)(2021·滨州质检) x2＋ y－3 2－ x2＋ y＋3 2＝4表示的曲线方程为( )
A.x
2 y2 2 2
－ ＝1(x≤－2) B.x y－ ＝1(x≥2)
4 5 4 5
y2C. x
2
1(y 2) D.y
2 x2
－ ＝ ≤－ － ＝1(y≥2)
4 5 4 5
(2)已知 F1，F2为双曲线 C：x2－y2＝2的左、右焦点，点 P在 C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2
的面积为______．
跟踪训练 1
2
(1)(2020·广东普宁华侨中学模拟) x2 y过双曲线 － ＝1的左焦点 F1作一条直线 l交双曲线左支
4
于 P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是_____．
(2)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M同时与圆 C1及圆 C2相外切，
则动圆圆心 M的轨迹方程为________________．
题型二 双曲线的标准方程
1．( 2多选)已知双曲线的渐近线方程为 y＝± x，实轴长为 4，则该双曲线的标准方程为( )
2
2 2
A.x y 1 B.y
2 x2
－ ＝ － ＝1
4 2 4 8
C.x
2 y2 y2 x2
－ ＝1 D. － ＝1
4 8 4 2
3
x2 22 y．过双曲线 C： － ＝1(a>b>0)的右顶点作 x轴的垂线，与 C的一条渐近线相交于点 A.若
a2 b2
以 C的右焦点 F为圆心、半径为 4的圆经过 A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线 C的标准
方程为( )
x2 y2 x2 2A. y－ ＝1 B. － ＝1
4 12 7 9
x2 y2 2 2C. － ＝1 D.x y－ ＝1
8 8 12 4
x2 y23．已知双曲线 E与双曲线 － ＝1共渐近线且经过点 P(2,3 5)，则双曲线 E的标准方程为
4 9
________，顶点坐标为________．
4 x
2 y2
．已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P(2， 3)在双曲线上，
a2 b2
且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的标准方程为________．
题型三 双曲线的几何性质
2 2
例 2 (1)(2020· x y广州模拟)设 F1，F2是双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲
a2 b2
线 C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线 C的渐近线方程是( )
A. 3x±y＝0 B．2x± 7y＝0
C. 3x±2y＝0 D．2x± 3y＝0
4
2
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系 xOy x2 y中，若双曲线 － ＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线
b2
的渐近线方程是____________．
(3) C x
2 y2 1
设双曲线 ： － ＝1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α，且 cos α＝ ，则 C的离心率为
a2 b2 3
________．
x2 y2
例 3 (1)(2020·长沙雅礼中学模拟)已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，
a2 b2
→ → —→
在双曲线上存在点 P满足 2|PF1＋PF2|≤|F1F2|，则此双曲线的离心率 e的取值范围是( )
A．(1,2] B．[2，＋∞)
C．(1， 2] D．[ 2，＋∞)
x2 y2(2)(2020·潍坊模拟)已知 F1，F2是双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F2 2 1的直线 la b
2π S△AF F
与双曲线的左支交于点 A，与右支交于点 B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝ ，则 1 2 等于( )
3 S△ABF2
A 1 B.1 C.1． D.2
2 3 3
5
跟踪训练 2 (1)
2 2
已知抛物线 y2＝4x的焦点为 F，准线为 l. l x y若 与双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分
a2 b2
别交于点 A和点 B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 3 C．2 D. 5
x2 y2(2)设双曲线 － ＝1的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 F且平行于双曲线的一条渐近线的直
9 16
线与双曲线交于点 B，则△AFB的面积为________．
【课后作业】
A 组
2
1 x y
2
．已知双曲线 － ＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的 2倍，则双曲线的标准方程为( )
m m＋6
A.x
2 y2 x2 y2
－ ＝1 B. － ＝1
2 4 4 8
2 2 2
C．x2 y x y－ ＝1 D. － ＝1
8 2 8
x2 y22．已知方程 － ＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n的取值
m2＋n 3m2－n
范围是( )
A．(－1,3) B．(－1， 3)
C．(0,3) D．(0， 3)
3 x
2 y2
．(2020·天津)设双曲线 C的方程为 － ＝1(a>0，b>0)，过抛物线 y2＝4x的焦点和点(0，b)
a2 b2
的直线为 l.若 C的一条渐近线与 l平行，另一条渐近线与 l垂直，则双曲线 C的方程为( )
2 2 2 2
A.x y－ ＝1 B．x2 y－ ＝1 C.x －y2＝1 D．x2－y2＝1
4 4 4 4
4．已知 F1，F2为双曲线 C：x2－y2＝2的左、右焦点，点 P在 C上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2
等于( )
A.1 B.3 C.3 D.4
4 5 4 5
6
2 2
5．(2019· x y全国Ⅲ)已知 F是双曲线 C： － ＝1的一个焦点，点 P在 C上，O为坐标原点．若
4 5
|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
2 2 2 2
2 2
6．(2021·山南模拟)已知 A，B C x y， 是双曲线 － ＝1(a>0，b>0)上的三个点，AB经过原点 O，
a2 b2
AC经过右焦点 F，若 BF⊥AC且 2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是( )
A.5 B. 17 C. 17 D.9
3 3 2 4
7．(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线 C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若 m>n>0，则 C是椭圆，其焦点在 y轴上
B．若 m＝n>0，则 C是圆，其半径为 n
C m．若 mn<0，则 C是双曲线，其渐近线方程为 y＝± － x
n
D．若 m＝0，n>0，则 C是两条直线
8．(多选)已知 F1，F2分别是双曲线 C：y2－x2＝1的上、下焦点，点 P是其一条渐近线上一
点，且以线段 F1F2为直径的圆经过点 P，则( )
A．双曲线 C的渐近线方程为 y＝±x
B．以 F1F2为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1
C．点 P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为 2
2 2
9．(2020·北京) x y已知双曲线 C： － ＝1，则 C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其
6 3
渐近线的距离是________．
x2 210．(2021· y焦作模拟)已知左、右焦点分别为 F1，F2的双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的一条
a2 b2
渐近线与直线 l：x－2y＝0 互相垂直，点 P在双曲线 C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线 C
的焦距为________．
7
2 2
11.如图，F F x y1和 2分别是双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和 B是以 O为圆心，以|OF1|
a2 b2
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为
________．
12 (2021· ) C x
2 y2
． 广安邻水实验中学模拟 已知双曲线 ： － ＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
F1，F2，O为原点，若以 F1F2为直径的圆与 C的渐近线的一个交点为 P，且|F1P|＝ 3|OP|，
则 C的渐近线方程为________．
B 组
2 2
13．(多选)(2021· x y百师联盟模拟)双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的焦点在圆 O：x2＋y2＝13上，
a2 b2
→ → →
圆 O与双曲线 C的渐近线在第一、二象限分别交于点 M，N，点 E(0，a)满足EO＋EM＋EN＝
0(其中 O为坐标原点)，则( )
A．双曲线 C的一条渐近线方程为 3x－2y＝0
B．双曲线 C 13的离心率为
2
C．|O→E|＝1
D．△OMN的面积为 6
2 2
14.(2020· x y临川一中模拟)已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦
a2 b2
—→ —→
点，B是虚轴的上顶点．若在线段 BF上(不含端点)存在不同的两点 Pi(i＝1,2)，使得PiA1·PiA2
＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．
8
C 组
15．将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a和虚半轴长 b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，
得到离心率为 e2的双曲线 C2，则( )
A．对任意的 a，b，e1>e2
B．当 a>b时，e1>e2；当 aC．对任意的 a，b，e1D．当 a>b时，e1e2
2
16．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知 F是双曲线 C x2 y： － ＝1的右焦点，P是 C左支上一点，
8
A(0,6 6)，当△APF的周长最小时，点 P的坐标为________．
9第 38 讲 双曲线
【考试要求】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
【知识梳理】
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．
(3)焦点：两个定点 F1，F2.
(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
x2 y2 2 2
标准方程 － ＝1(a>0，b>0)
y x
－ ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或 x≥a，y∈R y≤－a或 y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
性质
实轴：线段 A1A2，长：2a；虚轴：线段 B1B2，长：2b，
轴
实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e
c
＝ ∈(1，＋∞)
a
b a
渐近线 y＝± x y＝± x
a b
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
微思考
1．平面内与两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数 2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？
为什么？
提示 不一定．当 2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当 2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；
当 2a＝0时，动点的轨迹是线段 F1F2的中垂线．
x2 22 y．已知双曲线方程为 － ＝1(a>0，b>0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？
a2 b2
x2 y2
提示 可设方程为 － ＝λ(λ≠0)．
a2 b2
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
x2 2(1) y方程 － ＝1(mn>0)表示焦点在 x轴上的双曲线．( × )
m n
2 2
(2) x y双曲线 － ＝λ(m>0，n>0，λ 0) x y≠ 的渐近线方程是 ± ＝0.( √ )
m2 n2 m n
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
x2 y2 2 2(4)若双曲线 － ＝1(a>0，b>0) x y与 － ＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1，e
1 1
2，则 ＋ ＝
a2 b2 b2 a2 e12 e22
1.( √ )
题组二 教材改编
x2 22 y．若双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率
a2 b2
为( )
A. 5 B．5 C. 2 D．2
答案 A
x y
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为 ± ＝0，即 bx±ay
a b
＝0，
bc
∴2a＝ ＝b.又 a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
a2＋b2
2
∴e2 c＝ 2＝5，∴e＝ 5.a
3 (2021· ) x
2 y2
． 阜阳模拟 已知双曲线 － ＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线经过点( 2， 6)，则该双
a2 b2
曲线的离心率为( )
A．2 B. 2 C．3 D. 3
答案 A
x2 y2
解析 双曲线 － ＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线为 y b＝ x过第一象限，所以点( 2， 6)在渐
a2 b2 a
y bx b b近线 ＝ 上，可得 6＝ 2× ，所以 ＝ 3，
a a a
b
e c a
2＋b2
所以 ＝ ＝ ＝ 1＋ a 2＝ 1＋3＝2.
a a2
4．经过点 A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
x2 y2
答案 － ＝1
15 15
x2 y2
解析 设双曲线的方程为 － ＝±1(a>0)，
a2 a2
把点 A(4,1)代入，得 a2＝15(舍负)，
x2 y2
故所求方程为 － ＝1.
15 15
题组三 易错自纠
2 2
5．( x y多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程 ＋ ＝1所表示的曲线为 C，则下面四个命
3－t t－1
题中错误的是( )
A．若 C为椭圆，则 1B．若 C为双曲线，则 t>3或 t<1
C．曲线 C可能是圆
D．若 C为椭圆，且长轴在 y轴上，则 1答案 AD
2 2
解析 若 t>3 y x，则方程可变形为 － ＝1，它表示焦点在 y轴上的双曲线；若 t<1，则方
t－1 t－3
x2 y2
程可变形为 － ＝1，它表示焦点在 x轴上的双曲线；
3－t 1－t
x2 2
若 23－t t－1
2 2
－1<3 x y－t，故方程 ＋ ＝1表示焦点在 x轴上的椭圆；
3－t t－1
x2 y2
若 t＝2，则方程 ＋ ＝1即为 x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选 AD.
3－t t－1
2 2
6．(2020· x y哈尔滨师范大学青冈实验中学模拟)双曲线 － ＝1上一点 P到焦点 F1(－5,0)的距
9 16
离为 7，则点 P到焦点 F2(5,0)的距离为________．
答案 13
x2 y2
解析 在双曲线 － ＝1中，a＝3，由题意得|PF1|＝7，
9 16
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|7－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，
又|PF2|≥c－a＝2，
所以|PF2|＝13.
【典型例题】
题型一 双曲线的定义及应用
例 1 (1)(2021·滨州质检) x2＋ y－3 2－ x2＋ y＋3 2＝4表示的曲线方程为( )
x2 y2 x2A. y
2
－ ＝1(x≤－2) B. － ＝1(x≥2)
4 5 4 5
y2C. x
2 2 2
－ ＝1(y≤－2) D.y x－ ＝1(y≥2)
4 5 4 5
答案 C
解析 x2＋ y－3 2的几何意义为点 M(x，y)到点 F1(0,3)的距离， x2＋ y＋3 2的几何意义为
点 M(x，y)到点 F2(0，－3)的距离，则 x2＋ y－3 2－ x2＋ y＋3 2＝4表示点 M(x，y)到点 F1(0,3)
的距离与到点 F2(0，－3)的距离的差为 4，且 4<|F1F2|，所以点 M的轨迹是以 F1，F2为焦点
的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长 a＝2，半焦距 c＝3，所以 b2＝c2－a2＝5，则
y2 2x2＋ y－3 2－ x2＋ y＋3 2＝4 x表示的曲线方程为 － ＝1(y≤－2)，故选 C.
4 5
(2)已知 F1，F2为双曲线 C：x2－y2＝2的左、右焦点，点 P在 C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2
的面积为______．
答案 2 3
解析 不妨设点 P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
2 2 2
cos F PF |PF1| ＋|PF2| －|F1F2| 1∠ 1 2＝ ＝ ，
2|PF1|·|PF2| 2
∴|PF1|·|PF2|＝8，
1
∴ S△F PF ＝ |PF1|·|PF2|·sin 60°＝2 3.1 2 2
在本例(2) → →中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“PF1·PF2＝0”，则△F1PF2的面积为
________．
答案 2
解析 不妨设点 P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，
P→∵ F1·P→F2＝0 → →，∴PF1⊥PF2，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，
1
∴ S△F1PF ＝ |PF1|·|PF2|＝2.2 2
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用
平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
2
跟踪训练 1 (1)(2020·广东普宁华侨中学模拟)过双曲线 x2 y－ ＝1的左焦点 F1作一条直线 l交
4
双曲线左支于 P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是_____．
答案 24
解析 由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.
∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，
∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.
∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.
(2)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M同时与圆 C1及圆 C2相外切，
则动圆圆心 M的轨迹方程为________________．
y2
答案 x2－ ＝1(x≤－1)
8
解析 如图所示，设动圆 M与圆 C1及圆 C2分别外切于 A和 B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点 M到两定点 C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与 C2的距离大，与 C1的距离小)，
其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.
y2
故点 M的轨迹方程为 x2－ ＝1(x≤－1)．
8
题型二 双曲线的标准方程
1．(多选) 2已知双曲线的渐近线方程为 y＝± x，实轴长为 4，则该双曲线的标准方程为( )
2
2
A.x y
2 2 2
－ ＝1 B.y x－ ＝1
4 2 4 8
x2 y2 y2 2C. － ＝1 D. x－ ＝1
4 8 4 2
答案 AB
x2 y2
解析 设双曲线方程为 － ＝1(m≠0)，
2m m
又 2a＝4，∴a2＝4，
当 m>0时，2m＝4，m＝2；
当 m<0时，－m＝4，m＝－4.
x2 y2 y2 x2
故所求双曲线的标准方程为 － ＝1或 － ＝1.
4 2 4 8
2 2
2 x y．过双曲线 C： － ＝1(a>b>0)的右顶点作 x轴的垂线，与 C的一条渐近线相交于点 A.若
a2 b2
以 C的右焦点 F为圆心、半径为 4的圆经过 A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线 C的标准
方程为( )
A.x
2 y2 2 2
－ ＝1 B.x y－ ＝1
4 12 7 9
x2 y2 2 2C. － ＝1 D.x y－ ＝1
8 8 12 4
答案 A
b
解析 因为渐近线 y＝ x与直线 x＝a交于点 A(a，b)，c＝4且 4－a 2＋b2＝4，解得 a2＝4，
a
b2 x
2 y2
＝12，因此双曲线的标准方程为 － ＝1.
4 12
3 E x
2 y2
．已知双曲线 与双曲线 － ＝1共渐近线且经过点 P(2,3 5)，则双曲线 E的标准方程为
4 9
________，顶点坐标为________．
y2 x2
答案 － ＝1 (0,6)，(0，－6)
36 16
x2 y2 4
解析 根据题意，设所求双曲线的方程为 － ＝λ(λ≠0)，又由双曲线经过点 P(2,3 5)，得 －
4 9 4
45 x2 y2 y2 2
＝λ x，即λ＝－4，所以双曲线的方程为 － ＝－4，其标准方程为 － ＝1，顶点坐标为(0,6)，
9 4 9 36 16
(0，－6)．
4 x
2 y2
．已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P(2， 3)在双曲线上，
a2 b2
且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的标准方程为________．
答案 x2－y2＝1
解析 ∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
∴|PF1|＋|PF2|＝4c.
∵点 P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，
cos PF F 4c
2＋ 2c－a 2－ 2c＋a 2 c－2a
∴ ∠ 2 1＝ ＝ ，又点 P(2， 3)在双曲线上，
4c 2c－a 2c－a
c－2a
∴sin∠PF2F
3 3
1＝ ，∴ 2c－a 2＋ ＝1，化简得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，即 c2－a2＝
2c－a 2c－a 2
b2 1 4 3＝ ，又 － ＝1，∴a2＝1，∴双曲线的标准方程为 x2－y2＝1.
a2 b2
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a,2b或 2c，从而求
出 a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在 x轴上还是 y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，
x2 y2
即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 － ＝λ(λ≠0)，再
m2 n2
根据条件求λ的值．
题型三 双曲线的几何性质
命题点 1 渐近线和离心率
2 2
例 2 (1)(2020·广州模拟)设 F F x y1， 2是双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲
a2 b2
线 C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线 C的渐近线方程是( )
A. 3x±y＝0 B．2x± 7y＝0
C. 3x±2y＝0 D．2x± 3y＝0
答案 C
解析 ∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点 P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|
－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论
2
cos 60° |PF1| ＋|PF2|
2－|F1F2|2 1 3a 2＋a2－4c2
可得 ＝ ，即 ＝ ，∴3a2＝10a2－4c2，即 4c2＝7a2，
2|PF1|·|PF2| 2 2×3a×a
2
又知 b2＋a2 b 3 3＝c2，∴ ＝ ，∴双曲线 C的渐近线方程为 y＝± x，即 3x±2y＝0，故选 C.
a2 4 2
2
(2)(2019· y江苏)在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 x2－ ＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线
b2
的渐近线方程是____________．
答案 y＝± 2x
y2
解析 因为双曲线 x2－ ＝1(b>0)经过点(3,4)，
b2
16
所以 9－ ＝1，得 b＝ 2，
b2
所以该双曲线的渐近线方程是 y＝± 2x.
2 2
(3)设双曲线 C x y： － ＝1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α，且 cos α 1＝ ，则 C的离心率为
a2 b2 3
________．
6
答案
2
解析 ∵a>b>0 b，∴渐近线 y＝ x的斜率小于 1，
a
1
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝ .
3
cos2α 2∴ ＝ ，sin2α 1 α 1＝ ，tan2 ＝ ，
2 3 2 3 2 2
b2 1 c2－a2 1 3 6
∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴e2＝ ，∴e＝ .
a2 2 a2 2 2 2
命题点 2 双曲线的几何性质的综合应用
2 2
例 3 (1)(2020· ) x y长沙雅礼中学模拟 已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2 2 2，a b
P 2|P→ →在双曲线上存在点 满足 F1＋PF2|≤|F—→1F2|，则此双曲线的离心率 e的取值范围是( )
A．(1,2] B．[2，＋∞)
C．(1， 2] D．[ 2，＋∞)
答案 B
解析 当 P不是双曲线与 x轴的交点时，连接 OP，因为 OP为△PF1F2的边 F1F2上的中线，
P→O 1(P→所以 ＝ F1＋P→F2)；当 P是双曲线与 x轴的交点时，同样满足上述等式．因为双曲线上
2
→ → —→ → →
存在点 P满足 2|PF1＋PF2|≤|F1F2|，所以 4|PO|≤2c，由|PO|≥a，可知 4a≤2c，则 e≥2，选 B.
2 2
(2)(2020· x y潍坊模拟)已知 F1，F2是双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F1的直线 l
a2 b2
S
与双曲线的左支交于点 A 2π △AF F，与右支交于点 B，若|AF 1 21|＝2a，∠F1AF2＝ ，则 等于( )
3 S△ABF2
A 1 B.1． C.1 D.2
2 3 3
答案 B
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF 22＝ π，
3
所以 S 1△AF F ＝ |AF1|·|AF2|·sin∠F
1
1AF2＝ ×2a×4a
3
× ＝2 3a2.
1 2 2 2 2
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以|BA| 2＝|BF2|，又∠F1AF2＝ π，
3
所以△BAF2为等边三角形，边长为 4a，
3 3
所以 S 2 2 2△ABF ＝ |AB| ＝ ×(4a) ＝4 3a ，2 4 4
S△AF1F2 2 3a2 1所以 ＝ ＝ .故选 B.
S 2△ABF 4 3a 22
思维升华 (1)求双曲线的渐近线或离心率的方法
①求出 a，b，c直接求离心率，写渐近线方程．
②列出 a，b，c的各次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．
(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等
关系．
2 2
跟踪训练 2 (1)已知抛物线 y2＝4x x y的焦点为 F，准线为 l.若 l与双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的
a2 b2
两条渐近线分别交于点 A和点 B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 3 C．2 D. 5
答案 D
b
解析 由题意，可得 F(1,0)，直线 l的方程为 x＝－1，双曲线的渐近线方程为 y＝± x.
a
x 1 y ±bx y ±b将 ＝－ 代入 ＝ ，得 ＝ ，
a a
b
所以点 A，B的纵坐标的绝对值均为 .
a
由|AB|＝4|OF| 2b可得 ＝4，即 b＝2a，b2＝4a2，
a
c a2＋b2
故双曲线的离心率 e＝ ＝ ＝ 5.
a a2
(2) x
2 y2
设双曲线 － ＝1的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 F且平行于双曲线的一条渐近线的直
9 16
线与双曲线交于点 B，则△AFB的面积为________．
32
答案
15
解析 a2＝9，b2＝16，故 c＝5.
∴A(3,0)，F(5,0) 4，不妨设直线 BF的方程为 y＝ (x－5)，
3
17 32
，－
代入双曲线方程解得 B 5 15 .
S 1∴ △AFB＝ |AF|·|y |
1 32 32
B＝ ×2× ＝ .
2 2 15 15
【课后作业】
A 组
2 2
1 x y．已知双曲线 － ＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的 2倍，则双曲线的标准方程为( )
m m＋6
x2 y2 2 2A. － ＝1 B.x y－ ＝1
2 4 4 8
2 2
C x2 y 1 D.x y
2
． － ＝ － ＝1
8 2 8
答案 D
x2 y2
解析 由题意，得 2 m＝ m＋6，解得 m＝2，所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
2 8
2 2
2 x y．已知方程 － ＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n的取值
m2＋n 3m2－n
范围是( )
A．(－1,3) B．(－1， 3)
C．(0,3) D．(0， 3)
答案 A
x2 y2
解析 ∵方程 － ＝1表示双曲线，
m2＋n 3m2－n
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2中 c是半焦距)，
∴焦距 2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，
∴－13 (2020· ) C x
2 y2
． 天津 设双曲线 的方程为 － ＝1(a>0，b>0)，过抛物线 y2＝4x的焦点和点(0，b)
a2 b2
的直线为 l.若 C的一条渐近线与 l平行，另一条渐近线与 l垂直，则双曲线 C的方程为( )
x2 y2 y2 2A. － ＝1 B．x2－ ＝1 C.x －y2＝1 D．x2－y2＝1
4 4 4 4
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，
l k b－0 b∴直线 的斜率 l＝ ＝－b＝－ ，解得 a＝1.
0－1 a
b
又∵ ·(－b)＝－1，∴b＝a＝1，
a
∴双曲线 C的方程为 x2－y2＝1.
4．已知 F1，F2为双曲线 C：x2－y2＝2的左、右焦点，点 P在 C上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2
等于( )
A.1 B.3 C.3 D.4
4 5 4 5
答案 C
解析 由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，又|PF1|
＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
|PF1|2cos F PF ＋|PF2|
2－|F1F2|2 3
∠ 1 2＝ ＝ .
2|PF1|·|PF2| 4
2 2
5．(2019·全国Ⅲ) x y已知 F是双曲线 C： － ＝1的一个焦点，点 P在 C上，O为坐标原点．若
4 5
|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
2 2 2 2
答案 B
x2 y2
解析 由 F是双曲线 － ＝1的一个焦点，
4 5
知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.
不妨设点 P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
56
x02 2
2
＋y ＝3， x0＝ ，0 9 2 14 5
2 2 ，则 x0 y0 1 解得 25 所以 P 3 3 ，－ ＝ ， 2
4 5 y0＝ ，9
1
所以 S△OPF＝ |OF|·y
1 3 5 50＝ × × ＝ .
2 2 3 2
2 2
6．(2021· x y山南模拟)已知 A，B，C是双曲线 － ＝1(a>0，b>0)上的三个点，AB经过原点 O，
a2 b2
AC经过右焦点 F，若 BF⊥AC且 2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是( )
A.5 B. 17 C. 17 D.9
3 3 2 4
答案 B
解析 设左焦点为 F′，|AF|＝m，连接 AF′，CF′，BF′，
则|FC|＝2m，|AF′|＝2a＋m，|CF′|＝2a＋2m，|FF′|＝2c.
因为 BF⊥AC，且 AB经过原点 O，
所以四边形 FAF′B为矩形．
在 Rt△AF′C中，|AF′|2＋|AC|2＝|F′C|2，
代入得(2a＋m)2＋(3m)2＝(2a＋2m)2，
2a
化简得 m＝ ，
3
所以在 Rt△AF′F中，|AF′|2＋|AF|2＝|F′F|2，
2a 2a 2a＋
代入得 3 2＋ 3 2＝(2c)2，
c2 17
化简得 ＝ ，即 e 17＝ .
a2 9 3
7．(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线 C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若 m>n>0，则 C是椭圆，其焦点在 y轴上
B．若 m＝n>0，则 C是圆，其半径为 n
C．若 mn<0，则 C是双曲线，其渐近线方程为 y＝± m－ x
n
D．若 m＝0，n>0，则 C是两条直线
答案 ACD
x2 y2
解析 对于 A，当 m>n>0 1 1时，有 > >0，方程化为1＋1＝1，表示焦点在 y轴上的椭圆，故n m
m n
A正确．
对于 B，当 m 1 1＝n>0时，方程化为 x2＋y2＝ ，表示半径为 的圆，故 B错误．
n n
x2 y2
对于 C，当 m>0，n<0 1时，方程化为1－ 1＝1，表示焦点在 x轴上的双曲线，其中 a＝ ，
－ m
m n
b 1 m
y2 x2
＝ － ，渐近线方程为 y＝± － x；当 m<0，n>0时，方程化为1－ 1＝1，表示焦点n n －
n m
在 y 1 1 m轴上的双曲线，其中 a＝ ，b＝ － ，渐近线方程为 y＝± － x，故 C正确．
n m n
1
对于 D，当 m＝0，n>0时，方程化为 y＝± ，表示两条平行于 x轴的直线，故 D正确．
n
8．(多选)已知 F1，F2分别是双曲线 C：y2－x2＝1的上、下焦点，点 P是其一条渐近线上一
点，且以线段 F1F2为直径的圆经过点 P，则( )
A．双曲线 C的渐近线方程为 y＝±x
B．以 F1F2为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1
C．点 P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为 2
答案 ACD
解析 等轴双曲线 C：y2－x2＝1的渐近线方程为 y＝±x，故 A正确；
由双曲线的方程可知|F1F2|＝2 2，
所以以 F1F2为直径的圆的方程为 x2＋y2＝2，故 B错误；
点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝2上，
不妨设点 P(x0，y0)在直线 y＝x上，
x02＋y02＝2，
所以由 解得|x0|＝1，
y0＝x0，
则点 P的横坐标为±1，故 C正确；
由上述分析可得△PF1F 12的面积为 ×2 2×1＝ 2，故 D正确．
2
故选 ACD.
2 2
9．(2020·北京) x y已知双曲线 C： － ＝1，则 C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其
6 3
渐近线的距离是________．
答案 (3,0) 3
x2 y2
解析 由 － ＝1，得 c2＝a2＋b2＝9，
6 3
解得 c＝3，焦点在 x轴上，
所以双曲线 C的右焦点坐标为(3,0)．
3
双曲线的一条渐近线方程为 y＝ x，
6
即 x－ 2y＝0，
3
所以焦点(3,0)到渐近线的距离为 d＝ ＝ 3.
1＋ － 2 2
2 2
10．(2021· x y焦作模拟)已知左、右焦点分别为 F1，F2的双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的一条
a2 b2
渐近线与直线 l：x－2y＝0 互相垂直，点 P在双曲线 C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线 C
的焦距为________．
答案 3 5
x2 y2 b
解析 双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的渐近线为 y＝± x，
a2 b2 a
一条渐近线与直线 l：x－2y＝0 b相互垂直，可得 ＝2，
a
即 b＝2a，由双曲线的定义可得 2a＝|PF1|－|PF2|＝3，
a 3可得 ＝ ，b＝3，即有 c＝ a2 b2 9 9 3 5＋ ＝ ＋ ＝ ，
2 4 2
即焦距为 2c＝3 5.
2 2
11. x y如图，F1和 F2分别是双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和 B是以 O为圆心，以|OF2 2 1|a b
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为
________．
答案 3＋1
解析 设|F1F2|＝2c，连接 AF1(图略)，
∵△F2AB是等边三角形，且 F1F2是⊙O的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝ 3c,2a＝ 3c－c，
e c 2∴ ＝ ＝ ＝ 3＋1.
a 3－1
2 2
12．(2021· x y广安邻水实验中学模拟)已知双曲线 C： － ＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
F1，F2，O为原点，若以 F1F2为直径的圆与 C的渐近线的一个交点为 P，且|F1P|＝ 3|OP|，
则 C的渐近线方程为________．
答案 y＝± 3x
x2 y2
解析 根据双曲线 C： － ＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点为 F1，F2，O为原点，以 F1F2为直
a2 b2
径的圆与 C的渐近线的一个交点为 P，如图所示，
则|F1O|＝|OP|＝c，|F1P|＝ 3|OP|＝ 3c，
|OP|2＋|OF |2－|PF |2 c2＋c2－( 3c)21 1 1
所以在△POF1中，由余弦定理可得 cos∠POF1＝ ＝ ＝－ .
2|OP|·|OF1| 2×c×c 2
POF 2π π所以∠ 1＝ ，则∠POF2＝ ，
3 3
所以 tan∠POF2＝tan π＝ 3，
3
则渐近线方程为 y＝± 3x.
B 组
2 2
13．(多选)(2021·百师联盟模拟) x y双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的焦点在圆 O：x2＋y2＝13上，
a2 b2
圆 O与双曲线 C的渐近线在第一、二象限分别交于点 M，N，点 E(0，a)满足E→O → →＋EM＋EN＝
0(其中 O为坐标原点)，则( )
A．双曲线 C的一条渐近线方程为 3x－2y＝0
B．双曲线 C 13的离心率为
2
C →．|OE|＝1
D．△OMN的面积为 6
答案 ABD
解析 如图，设双曲线 C的焦距为 2c＝2 13，MN与 y轴交于点 P，由题意可知|OM|＝c＝ 13，
2
则 P(0，b)，由E→O → →＋EM＋EN＝0 得点 E为△OMN的重心，可得|OE| 2|OP| a 2b b＝ ，即 ＝ ， ＝
3 3 a2
c2－a2 9
＝ ，
a2 4
所以 a＝2，b＝3 e 13， ＝ .
2
双曲线 C的渐近线方程为 3x±2y＝0，|O→E|＝2，M的坐标为(2,3)，S△OMN＝6，
故选 ABD.
2 2
14.(2020· x y临川一中模拟)已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦
a2 b2
—→ —→
点，B是虚轴的上顶点．若在线段 BF上(不含端点)存在不同的两点 Pi(i＝1,2)，使得PiA1·PiA2
＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．
2 5＋1，
答案 2
解析 设 c为半焦距，则 F(c,0)，又 B(0，b)，
所以 BF：bx＋cy－bc＝0，
以 A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
—
因为PiA→1·—P→iA2＝0，i＝1,2，
所以⊙O与线段 BF有两个交点(不含端点)，
bc 2c2＋a4<0，
所以 即
c2b>a， >2a
2，
e4－3e2＋1<0，
故 解得 2e2>2， 2
C 组
15．将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a和虚半轴长 b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，
得到离心率为 e2的双曲线 C2，则( )
A．对任意的 a，b，e1>e2
B．当 a>b时，e1>e2；当 aC．对任意的 a，b，e1D．当 a>b时，e1e2
答案 D
2 2 b
e a ＋b解析 依题意， 1＝ ＝ 1＋ a 2，
a
b＋m
a＋m 2e ＋ b＋m
2
2＝ ＝ 1＋ a＋m 2.
a＋m
b b＋m ab＋bm－ab－am m b－a
因为 － ＝ ＝ ，
a a＋m a a＋m a a＋m
由于 m>0，a>0，b>0，
b b＋m
所以当 a>b b时，0< <1,0a a＋m a a＋m
a1 b＋m>1 b>b＋m当 时， ， ， ，
a a＋m a a＋m
b b＋m
所以 a 2> a＋m 2，所以 e1>e2.
所以当 a>b时，e1e2.
2
16 y．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知 F是双曲线 C：x2－ ＝1的右焦点，P是 C左支上一点，
8
A(0,6 6)，当△APF的周长最小时，点 P的坐标为________．
答案 (－2,2 6)
解析 如图，令 E为双曲线的左焦点，
由双曲线 C的方程可知 a2＝1，b2＝8，
∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，
∴c＝3，
∴左焦点 E(－3,0)，
右焦点 F(3,0)，
∵|AF|＝ 32＋ 6 6 2＝15，
∴当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小．
由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，
∴|PF|＝|PE|＋2，
又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当 A，P，E三点共线且点 P在线段 AE上时，等号成
立，
∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.
直线 AE的方程为 y＝2 6x＋6 6，将其代入到双曲线方程得 x2＋9x＋14＝0，解得 x＝－7(舍)
或 x＝－2，
由 x＝－2，得 y＝2 6(负值已舍)，
∴点 P的坐标为(－2,2 6)．

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