【高考一轮复习】高三数学 第38讲 双曲线 学案(pdf版,学生版+教师版)

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第 38 讲 双曲线
【知识梳理】
1.双曲线的定义
(1)定义:平面内与两个定点 F1,F2的距离的差的 等于常数( |F1F2|)的点的轨迹.
(2)符号表示:||MF1|-|MF2||=2a(常数)(0<2a<|F1F2|).
(3)焦点:两个定点 F1,F2.
(4)焦距: 的距离,表示为|F1F2|.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
焦点
焦距
范围
对称性
性质
顶点

离心率
渐近线
a,b,c的关系
【基础自测】
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
2 2
(1) x y方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x轴上的双曲线.( )
m n
2 2
(2) x y x y双曲线 - =λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是 ± =0.( )
m2 n2 m n
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( )
2 2 2 2
(4) x y若双曲线 - =1(a>0,b>0) x y与 - =1(a>0,b>0) 1 1的离心率分别是 e1,e2,则 + =
a2 b2 b2 a2 e12 e22
1.( )
1
2
2 x y
2
.若双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率
a2 b2
为( )
A. 5 B.5 C. 2 D.2
x2 y23.(2021·阜阳模拟)已知双曲线 - =1 (a>0,b>0)的一条渐近线经过点( 2, 6),则该双
a2 b2
曲线的离心率为( )
A.2 B. 2 C.3 D. 3
4.经过点 A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
x2 25.(多选) y若方程 + =1所表示的曲线为 C,则下面四个命题中错误的是( )
3-t t-1
A.若 C为椭圆,则 1B.若 C为双曲线,则 t>3或 t<1
C.曲线 C可能是圆
D.若 C为椭圆,且长轴在 y轴上,则 1x2 y26.双曲线 - =1 上一点 P到焦点 F1(-5,0)的距离为 7,则点 P到焦点 F2(5,0)的距离为
9 16
________.
2
【典型例题】
题型一 双曲线的定义及应用
例 1 (1)(2021·滨州质检) x2+ y-3 2- x2+ y+3 2=4表示的曲线方程为( )
A.x
2 y2 2 2
- =1(x≤-2) B.x y- =1(x≥2)
4 5 4 5
y2C. x
2
1(y 2) D.y
2 x2
- = ≤- - =1(y≥2)
4 5 4 5
(2)已知 F1,F2为双曲线 C:x2-y2=2的左、右焦点,点 P在 C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2
的面积为______.
跟踪训练 1
2
(1)(2020·广东普宁华侨中学模拟) x2 y过双曲线 - =1的左焦点 F1作一条直线 l交双曲线左支
4
于 P,Q两点,若|PQ|=10,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是_____.
(2)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M同时与圆 C1及圆 C2相外切,
则动圆圆心 M的轨迹方程为________________.
题型二 双曲线的标准方程
1.( 2多选)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,实轴长为 4,则该双曲线的标准方程为( )
2
2 2
A.x y 1 B.y
2 x2
- = - =1
4 2 4 8
C.x
2 y2 y2 x2
- =1 D. - =1
4 8 4 2
3
x2 22 y.过双曲线 C: - =1(a>b>0)的右顶点作 x轴的垂线,与 C的一条渐近线相交于点 A.若
a2 b2
以 C的右焦点 F为圆心、半径为 4的圆经过 A,O两点(O为坐标原点),则双曲线 C的标准
方程为( )
x2 y2 x2 2A. y- =1 B. - =1
4 12 7 9
x2 y2 2 2C. - =1 D.x y- =1
8 8 12 4
x2 y23.已知双曲线 E与双曲线 - =1共渐近线且经过点 P(2,3 5),则双曲线 E的标准方程为
4 9
________,顶点坐标为________.
4 x
2 y2
.已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P(2, 3)在双曲线上,
a2 b2
且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则该双曲线的标准方程为________.
题型三 双曲线的几何性质
2 2
例 2 (1)(2020· x y广州模拟)设 F1,F2是双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲
a2 b2
线 C右支上一点,若|PF1|+|PF2|=4a,且∠F1PF2=60°,则双曲线 C的渐近线方程是( )
A. 3x±y=0 B.2x± 7y=0
C. 3x±2y=0 D.2x± 3y=0
4
2
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系 xOy x2 y中,若双曲线 - =1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线
b2
的渐近线方程是____________.
(3) C x
2 y2 1
设双曲线 : - =1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α,且 cos α= ,则 C的离心率为
a2 b2 3
________.
x2 y2
例 3 (1)(2020·长沙雅礼中学模拟)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,
a2 b2
→ → —→
在双曲线上存在点 P满足 2|PF1+PF2|≤|F1F2|,则此双曲线的离心率 e的取值范围是( )
A.(1,2] B.[2,+∞)
C.(1, 2] D.[ 2,+∞)
x2 y2(2)(2020·潍坊模拟)已知 F1,F2是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F2 2 1的直线 la b
2π S△AF F
与双曲线的左支交于点 A,与右支交于点 B,若|AF1|=2a,∠F1AF2= ,则 1 2 等于( )
3 S△ABF2
A 1 B.1 C.1. D.2
2 3 3
5
跟踪训练 2 (1)
2 2
已知抛物线 y2=4x的焦点为 F,准线为 l. l x y若 与双曲线 - =1(a>0,b>0)的两条渐近线分
a2 b2
别交于点 A和点 B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 3 C.2 D. 5
x2 y2(2)设双曲线 - =1的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F且平行于双曲线的一条渐近线的直
9 16
线与双曲线交于点 B,则△AFB的面积为________.
【课后作业】
A 组
2
1 x y
2
.已知双曲线 - =1(m>0)的虚轴长是实轴长的 2倍,则双曲线的标准方程为( )
m m+6
A.x
2 y2 x2 y2
- =1 B. - =1
2 4 4 8
2 2 2
C.x2 y x y- =1 D. - =1
8 2 8
x2 y22.已知方程 - =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n的取值
m2+n 3m2-n
范围是( )
A.(-1,3) B.(-1, 3)
C.(0,3) D.(0, 3)
3 x
2 y2
.(2020·天津)设双曲线 C的方程为 - =1(a>0,b>0),过抛物线 y2=4x的焦点和点(0,b)
a2 b2
的直线为 l.若 C的一条渐近线与 l平行,另一条渐近线与 l垂直,则双曲线 C的方程为( )
2 2 2 2
A.x y- =1 B.x2 y- =1 C.x -y2=1 D.x2-y2=1
4 4 4 4
4.已知 F1,F2为双曲线 C:x2-y2=2的左、右焦点,点 P在 C上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2
等于( )
A.1 B.3 C.3 D.4
4 5 4 5
6
2 2
5.(2019· x y全国Ⅲ)已知 F是双曲线 C: - =1的一个焦点,点 P在 C上,O为坐标原点.若
4 5
|OP|=|OF|,则△OPF的面积为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
2 2 2 2
2 2
6.(2021·山南模拟)已知 A,B C x y, 是双曲线 - =1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点 O,
a2 b2
AC经过右焦点 F,若 BF⊥AC且 2|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是( )
A.5 B. 17 C. 17 D.9
3 3 2 4
7.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线 C:mx2+ny2=1.( )
A.若 m>n>0,则 C是椭圆,其焦点在 y轴上
B.若 m=n>0,则 C是圆,其半径为 n
C m.若 mn<0,则 C是双曲线,其渐近线方程为 y=± - x
n
D.若 m=0,n>0,则 C是两条直线
8.(多选)已知 F1,F2分别是双曲线 C:y2-x2=1的上、下焦点,点 P是其一条渐近线上一
点,且以线段 F1F2为直径的圆经过点 P,则( )
A.双曲线 C的渐近线方程为 y=±x
B.以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1
C.点 P的横坐标为±1
D.△PF1F2的面积为 2
2 2
9.(2020·北京) x y已知双曲线 C: - =1,则 C的右焦点的坐标为________;C的焦点到其
6 3
渐近线的距离是________.
x2 210.(2021· y焦作模拟)已知左、右焦点分别为 F1,F2的双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的一条
a2 b2
渐近线与直线 l:x-2y=0 互相垂直,点 P在双曲线 C上,且|PF1|-|PF2|=3,则双曲线 C
的焦距为________.
7
2 2
11.如图,F F x y1和 2分别是双曲线 - =1(a>0,b>0)的两个焦点,A和 B是以 O为圆心,以|OF1|
a2 b2
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为
________.
12 (2021· ) C x
2 y2
. 广安邻水实验中学模拟 已知双曲线 : - =1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
F1,F2,O为原点,若以 F1F2为直径的圆与 C的渐近线的一个交点为 P,且|F1P|= 3|OP|,
则 C的渐近线方程为________.
B 组
2 2
13.(多选)(2021· x y百师联盟模拟)双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的焦点在圆 O:x2+y2=13上,
a2 b2
→ → →
圆 O与双曲线 C的渐近线在第一、二象限分别交于点 M,N,点 E(0,a)满足EO+EM+EN=
0(其中 O为坐标原点),则( )
A.双曲线 C的一条渐近线方程为 3x-2y=0
B.双曲线 C 13的离心率为
2
C.|O→E|=1
D.△OMN的面积为 6
2 2
14.(2020· x y临川一中模拟)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)中,A1,A2是左、右顶点,F是右焦
a2 b2
—→ —→
点,B是虚轴的上顶点.若在线段 BF上(不含端点)存在不同的两点 Pi(i=1,2),使得PiA1·PiA2
=0,则双曲线离心率的取值范围是________.
8
C 组
15.将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a和虚半轴长 b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,
得到离心率为 e2的双曲线 C2,则( )
A.对任意的 a,b,e1>e2
B.当 a>b时,e1>e2;当 aC.对任意的 a,b,e1D.当 a>b时,e1e2
2
16.(2020·长沙雅礼中学模拟)已知 F是双曲线 C x2 y: - =1的右焦点,P是 C左支上一点,
8
A(0,6 6),当△APF的周长最小时,点 P的坐标为________.
9第 38 讲 双曲线
【考试要求】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
【知识梳理】
1.双曲线的定义
(1)定义:平面内与两个定点 F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
(2)符号表示:||MF1|-|MF2||=2a(常数)(0<2a<|F1F2|).
(3)焦点:两个定点 F1,F2.
(4)焦距:两焦点间的距离,表示为|F1F2|.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
x2 y2 2 2
标准方程 - =1(a>0,b>0)
y x
- =1(a>0,b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范围 x≤-a或 x≥a,y∈R y≤-a或 y≥a,x∈R
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
性质
实轴:线段 A1A2,长:2a;虚轴:线段 B1B2,长:2b,

实半轴长:a,虚半轴长:b
离心率 e
c
= ∈(1,+∞)
a
b a
渐近线 y=± x y=± x
a b
a,b,c的关系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)
微思考
1.平面内与两定点 F1,F2的距离之差的绝对值等于常数 2a的动点的轨迹一定为双曲线吗?
为什么?
提示 不一定.当 2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;
当 2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
当 2a=0时,动点的轨迹是线段 F1F2的中垂线.
x2 22 y.已知双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程?
a2 b2
x2 y2
提示 可设方程为 - =λ(λ≠0).
a2 b2
【基础自测】
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
x2 2(1) y方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x轴上的双曲线.( × )
m n
2 2
(2) x y双曲线 - =λ(m>0,n>0,λ 0) x y≠ 的渐近线方程是 ± =0.( √ )
m2 n2 m n
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √ )
x2 y2 2 2(4)若双曲线 - =1(a>0,b>0) x y与 - =1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1,e
1 1
2,则 + =
a2 b2 b2 a2 e12 e22
1.( √ )
题组二 教材改编
x2 22 y.若双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率
a2 b2
为( )
A. 5 B.5 C. 2 D.2
答案 A
x y
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为 ± =0,即 bx±ay
a b
=0,
bc
∴2a= =b.又 a2+b2=c2,∴5a2=c2.
a2+b2
2
∴e2 c= 2=5,∴e= 5.a
3 (2021· ) x
2 y2
. 阜阳模拟 已知双曲线 - =1 (a>0,b>0)的一条渐近线经过点( 2, 6),则该双
a2 b2
曲线的离心率为( )
A.2 B. 2 C.3 D. 3
答案 A
x2 y2
解析 双曲线 - =1 (a>0,b>0)的一条渐近线为 y b= x过第一象限,所以点( 2, 6)在渐
a2 b2 a
y bx b b近线 = 上,可得 6= 2× ,所以 = 3,
a a a
b
e c a
2+b2
所以 = = = 1+ a 2= 1+3=2.
a a2
4.经过点 A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
x2 y2
答案 - =1
15 15
x2 y2
解析 设双曲线的方程为 - =±1(a>0),
a2 a2
把点 A(4,1)代入,得 a2=15(舍负),
x2 y2
故所求方程为 - =1.
15 15
题组三 易错自纠
2 2
5.( x y多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程 + =1所表示的曲线为 C,则下面四个命
3-t t-1
题中错误的是( )
A.若 C为椭圆,则 1B.若 C为双曲线,则 t>3或 t<1
C.曲线 C可能是圆
D.若 C为椭圆,且长轴在 y轴上,则 1答案 AD
2 2
解析 若 t>3 y x,则方程可变形为 - =1,它表示焦点在 y轴上的双曲线;若 t<1,则方
t-1 t-3
x2 y2
程可变形为 - =1,它表示焦点在 x轴上的双曲线;
3-t 1-t
x2 2
若 23-t t-1
2 2
-1<3 x y-t,故方程 + =1表示焦点在 x轴上的椭圆;
3-t t-1
x2 y2
若 t=2,则方程 + =1即为 x2+y2=1,它表示圆,综上,选 AD.
3-t t-1
2 2
6.(2020· x y哈尔滨师范大学青冈实验中学模拟)双曲线 - =1上一点 P到焦点 F1(-5,0)的距
9 16
离为 7,则点 P到焦点 F2(5,0)的距离为________.
答案 13
x2 y2
解析 在双曲线 - =1中,a=3,由题意得|PF1|=7,
9 16
由双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a=6,
即|7-|PF2||=6,
解得|PF2|=13或|PF2|=1,
又|PF2|≥c-a=2,
所以|PF2|=13.
【典型例题】
题型一 双曲线的定义及应用
例 1 (1)(2021·滨州质检) x2+ y-3 2- x2+ y+3 2=4表示的曲线方程为( )
x2 y2 x2A. y
2
- =1(x≤-2) B. - =1(x≥2)
4 5 4 5
y2C. x
2 2 2
- =1(y≤-2) D.y x- =1(y≥2)
4 5 4 5
答案 C
解析 x2+ y-3 2的几何意义为点 M(x,y)到点 F1(0,3)的距离, x2+ y+3 2的几何意义为
点 M(x,y)到点 F2(0,-3)的距离,则 x2+ y-3 2- x2+ y+3 2=4表示点 M(x,y)到点 F1(0,3)
的距离与到点 F2(0,-3)的距离的差为 4,且 4<|F1F2|,所以点 M的轨迹是以 F1,F2为焦点
的双曲线的下支,且该双曲线的实半轴长 a=2,半焦距 c=3,所以 b2=c2-a2=5,则
y2 2x2+ y-3 2- x2+ y+3 2=4 x表示的曲线方程为 - =1(y≤-2),故选 C.
4 5
(2)已知 F1,F2为双曲线 C:x2-y2=2的左、右焦点,点 P在 C上,∠F1PF2=60°,则△F1PF2
的面积为______.
答案 2 3
解析 不妨设点 P在双曲线的右支上,
则|PF1|-|PF2|=2a=2 2,
在△F1PF2中,由余弦定理,得
2 2 2
cos F PF |PF1| +|PF2| -|F1F2| 1∠ 1 2= = ,
2|PF1|·|PF2| 2
∴|PF1|·|PF2|=8,
1
∴ S△F PF = |PF1|·|PF2|·sin 60°=2 3.1 2 2
在本例(2) → →中,若将“∠F1PF2=60°”改为“PF1·PF2=0”,则△F1PF2的面积为
________.
答案 2
解析 不妨设点 P在双曲线的右支上,
则|PF1|-|PF2|=2a=2 2,
P→∵ F1·P→F2=0 → →,∴PF1⊥PF2,
∴在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2=16,∴|PF1|·|PF2|=4,
1
∴ S△F1PF = |PF1|·|PF2|=2.2 2
思维升华 在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用
平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
2
跟踪训练 1 (1)(2020·广东普宁华侨中学模拟)过双曲线 x2 y- =1的左焦点 F1作一条直线 l交
4
双曲线左支于 P,Q两点,若|PQ|=10,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是_____.
答案 24
解析 由题意,得|PF2|-|PF1|=2,|QF2|-|QF1|=2.
∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=10,
∴|PF2|+|QF2|-10=4,∴|PF2|+|QF2|=14.
∴△PF2Q的周长是|PF2|+|QF2|+|PQ|=14+10=24.
(2)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M同时与圆 C1及圆 C2相外切,
则动圆圆心 M的轨迹方程为________________.
y2
答案 x2- =1(x≤-1)
8
解析 如图所示,设动圆 M与圆 C1及圆 C2分别外切于 A和 B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
所以点 M到两定点 C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与 C2的距离大,与 C1的距离小),
其中 a=1,c=3,则 b2=8.
y2
故点 M的轨迹方程为 x2- =1(x≤-1).
8
题型二 双曲线的标准方程
1.(多选) 2已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,实轴长为 4,则该双曲线的标准方程为( )
2
2
A.x y
2 2 2
- =1 B.y x- =1
4 2 4 8
x2 y2 y2 2C. - =1 D. x- =1
4 8 4 2
答案 AB
x2 y2
解析 设双曲线方程为 - =1(m≠0),
2m m
又 2a=4,∴a2=4,
当 m>0时,2m=4,m=2;
当 m<0时,-m=4,m=-4.
x2 y2 y2 x2
故所求双曲线的标准方程为 - =1或 - =1.
4 2 4 8
2 2
2 x y.过双曲线 C: - =1(a>b>0)的右顶点作 x轴的垂线,与 C的一条渐近线相交于点 A.若
a2 b2
以 C的右焦点 F为圆心、半径为 4的圆经过 A,O两点(O为坐标原点),则双曲线 C的标准
方程为( )
A.x
2 y2 2 2
- =1 B.x y- =1
4 12 7 9
x2 y2 2 2C. - =1 D.x y- =1
8 8 12 4
答案 A
b
解析 因为渐近线 y= x与直线 x=a交于点 A(a,b),c=4且 4-a 2+b2=4,解得 a2=4,
a
b2 x
2 y2
=12,因此双曲线的标准方程为 - =1.
4 12
3 E x
2 y2
.已知双曲线 与双曲线 - =1共渐近线且经过点 P(2,3 5),则双曲线 E的标准方程为
4 9
________,顶点坐标为________.
y2 x2
答案 - =1 (0,6),(0,-6)
36 16
x2 y2 4
解析 根据题意,设所求双曲线的方程为 - =λ(λ≠0),又由双曲线经过点 P(2,3 5),得 -
4 9 4
45 x2 y2 y2 2
=λ x,即λ=-4,所以双曲线的方程为 - =-4,其标准方程为 - =1,顶点坐标为(0,6),
9 4 9 36 16
(0,-6).
4 x
2 y2
.已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P(2, 3)在双曲线上,
a2 b2
且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则该双曲线的标准方程为________.
答案 x2-y2=1
解析 ∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,
∴|PF1|+|PF2|=4c.
∵点 P位于第一象限,∴|PF1|-|PF2|=2a,
∴|PF1|=2c+a,|PF2|=2c-a,
cos PF F 4c
2+ 2c-a 2- 2c+a 2 c-2a
∴ ∠ 2 1= = ,又点 P(2, 3)在双曲线上,
4c 2c-a 2c-a
c-2a
∴sin∠PF2F
3 3
1= ,∴ 2c-a 2+ =1,化简得(c-2a)2+3=(2c-a)2,即 c2-a2=
2c-a 2c-a 2
b2 1 4 3= ,又 - =1,∴a2=1,∴双曲线的标准方程为 x2-y2=1.
a2 b2
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定 2a,2b或 2c,从而求
出 a2,b2,写出双曲线方程.
(2)待定系数法:先确定焦点在 x轴上还是 y轴上,设出标准方程,再由条件确定 a2,b2的值,
x2 y2
即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为 - =λ(λ≠0),再
m2 n2
根据条件求λ的值.
题型三 双曲线的几何性质
命题点 1 渐近线和离心率
2 2
例 2 (1)(2020·广州模拟)设 F F x y1, 2是双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲
a2 b2
线 C右支上一点,若|PF1|+|PF2|=4a,且∠F1PF2=60°,则双曲线 C的渐近线方程是( )
A. 3x±y=0 B.2x± 7y=0
C. 3x±2y=0 D.2x± 3y=0
答案 C
解析 ∵F1,F2是双曲线的左、右焦点,点 P在双曲线右支上,∴由双曲线的定义可得|PF1|
-|PF2|=2a,又知|PF1|+|PF2|=4a,∴|PF1|=3a,|PF2|=a.在△PF1F2中,由余弦定理的推论
2
cos 60° |PF1| +|PF2|
2-|F1F2|2 1 3a 2+a2-4c2
可得 = ,即 = ,∴3a2=10a2-4c2,即 4c2=7a2,
2|PF1|·|PF2| 2 2×3a×a
2
又知 b2+a2 b 3 3=c2,∴ = ,∴双曲线 C的渐近线方程为 y=± x,即 3x±2y=0,故选 C.
a2 4 2
2
(2)(2019· y江苏)在平面直角坐标系 xOy中,若双曲线 x2- =1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线
b2
的渐近线方程是____________.
答案 y=± 2x
y2
解析 因为双曲线 x2- =1(b>0)经过点(3,4),
b2
16
所以 9- =1,得 b= 2,
b2
所以该双曲线的渐近线方程是 y=± 2x.
2 2
(3)设双曲线 C x y: - =1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α,且 cos α 1= ,则 C的离心率为
a2 b2 3
________.
6
答案
2
解析 ∵a>b>0 b,∴渐近线 y= x的斜率小于 1,
a
1
∵两条渐近线的夹角为α,cos α= .
3
cos2α 2∴ = ,sin2α 1 α 1= ,tan2 = ,
2 3 2 3 2 2
b2 1 c2-a2 1 3 6
∴ = ,∴ = ,∴e2= ,∴e= .
a2 2 a2 2 2 2
命题点 2 双曲线的几何性质的综合应用
2 2
例 3 (1)(2020· ) x y长沙雅礼中学模拟 已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2 2 2,a b
P 2|P→ →在双曲线上存在点 满足 F1+PF2|≤|F—→1F2|,则此双曲线的离心率 e的取值范围是( )
A.(1,2] B.[2,+∞)
C.(1, 2] D.[ 2,+∞)
答案 B
解析 当 P不是双曲线与 x轴的交点时,连接 OP,因为 OP为△PF1F2的边 F1F2上的中线,
P→O 1(P→所以 = F1+P→F2);当 P是双曲线与 x轴的交点时,同样满足上述等式.因为双曲线上
2
→ → —→ → →
存在点 P满足 2|PF1+PF2|≤|F1F2|,所以 4|PO|≤2c,由|PO|≥a,可知 4a≤2c,则 e≥2,选 B.
2 2
(2)(2020· x y潍坊模拟)已知 F1,F2是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1的直线 l
a2 b2
S
与双曲线的左支交于点 A 2π △AF F,与右支交于点 B,若|AF 1 21|=2a,∠F1AF2= ,则 等于( )
3 S△ABF2
A 1 B.1. C.1 D.2
2 3 3
答案 B
解析 如图所示,由双曲线定义可知|AF2|-|AF1|=2a.
又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a,因为∠F1AF 22= π,
3
所以 S 1△AF F = |AF1|·|AF2|·sin∠F
1
1AF2= ×2a×4a
3
× =2 3a2.
1 2 2 2 2
由双曲线定义可知|BF1|-|BF2|=2a,
所以|BF1|=2a+|BF2|,又知|BF1|=2a+|BA|,
所以|BA| 2=|BF2|,又∠F1AF2= π,
3
所以△BAF2为等边三角形,边长为 4a,
3 3
所以 S 2 2 2△ABF = |AB| = ×(4a) =4 3a ,2 4 4
S△AF1F2 2 3a2 1所以 = = .故选 B.
S 2△ABF 4 3a 22
思维升华 (1)求双曲线的渐近线或离心率的方法
①求出 a,b,c直接求离心率,写渐近线方程.
②列出 a,b,c的各次方程(或不等式),然后解方程或不等式.
(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系,善于发现条件中的相等或不等
关系.
2 2
跟踪训练 2 (1)已知抛物线 y2=4x x y的焦点为 F,准线为 l.若 l与双曲线 - =1(a>0,b>0)的
a2 b2
两条渐近线分别交于点 A和点 B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 3 C.2 D. 5
答案 D
b
解析 由题意,可得 F(1,0),直线 l的方程为 x=-1,双曲线的渐近线方程为 y=± x.
a
x 1 y ±bx y ±b将 =- 代入 = ,得 = ,
a a
b
所以点 A,B的纵坐标的绝对值均为 .
a
由|AB|=4|OF| 2b可得 =4,即 b=2a,b2=4a2,
a
c a2+b2
故双曲线的离心率 e= = = 5.
a a2
(2) x
2 y2
设双曲线 - =1的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F且平行于双曲线的一条渐近线的直
9 16
线与双曲线交于点 B,则△AFB的面积为________.
32
答案
15
解析 a2=9,b2=16,故 c=5.
∴A(3,0),F(5,0) 4,不妨设直线 BF的方程为 y= (x-5),
3
17 32
,-
代入双曲线方程解得 B 5 15 .
S 1∴ △AFB= |AF|·|y |
1 32 32
B= ×2× = .
2 2 15 15
【课后作业】
A 组
2 2
1 x y.已知双曲线 - =1(m>0)的虚轴长是实轴长的 2倍,则双曲线的标准方程为( )
m m+6
x2 y2 2 2A. - =1 B.x y- =1
2 4 4 8
2 2
C x2 y 1 D.x y
2
. - = - =1
8 2 8
答案 D
x2 y2
解析 由题意,得 2 m= m+6,解得 m=2,所以双曲线的标准方程为 - =1.
2 8
2 2
2 x y.已知方程 - =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n的取值
m2+n 3m2-n
范围是( )
A.(-1,3) B.(-1, 3)
C.(0,3) D.(0, 3)
答案 A
x2 y2
解析 ∵方程 - =1表示双曲线,
m2+n 3m2-n
∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2中 c是半焦距),
∴焦距 2c=2×2|m|=4,解得|m|=1,
∴-13 (2020· ) C x
2 y2
. 天津 设双曲线 的方程为 - =1(a>0,b>0),过抛物线 y2=4x的焦点和点(0,b)
a2 b2
的直线为 l.若 C的一条渐近线与 l平行,另一条渐近线与 l垂直,则双曲线 C的方程为( )
x2 y2 y2 2A. - =1 B.x2- =1 C.x -y2=1 D.x2-y2=1
4 4 4 4
答案 D
解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为(1,0),
l k b-0 b∴直线 的斜率 l= =-b=- ,解得 a=1.
0-1 a
b
又∵ ·(-b)=-1,∴b=a=1,
a
∴双曲线 C的方程为 x2-y2=1.
4.已知 F1,F2为双曲线 C:x2-y2=2的左、右焦点,点 P在 C上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2
等于( )
A.1 B.3 C.3 D.4
4 5 4 5
答案 C
解析 由 x2-y2=2,知 a=b= 2,c=2.由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a=2 2,又|PF1|
=2|PF2|,
∴|PF1|=4 2,|PF2|=2 2,
在△PF1F2中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得
|PF1|2cos F PF +|PF2|
2-|F1F2|2 3
∠ 1 2= = .
2|PF1|·|PF2| 4
2 2
5.(2019·全国Ⅲ) x y已知 F是双曲线 C: - =1的一个焦点,点 P在 C上,O为坐标原点.若
4 5
|OP|=|OF|,则△OPF的面积为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
2 2 2 2
答案 B
x2 y2
解析 由 F是双曲线 - =1的一个焦点,
4 5
知|OF|=3,所以|OP|=|OF|=3.
不妨设点 P在第一象限,P(x0,y0),x0>0,y0>0,
56
x02 2
2
+y =3, x0= ,0 9 2 14 5
2 2 ,则 x0 y0 1 解得 25 所以 P 3 3 ,- = , 2
4 5 y0= ,9
1
所以 S△OPF= |OF|·y
1 3 5 50= × × = .
2 2 3 2
2 2
6.(2021· x y山南模拟)已知 A,B,C是双曲线 - =1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点 O,
a2 b2
AC经过右焦点 F,若 BF⊥AC且 2|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是( )
A.5 B. 17 C. 17 D.9
3 3 2 4
答案 B
解析 设左焦点为 F′,|AF|=m,连接 AF′,CF′,BF′,
则|FC|=2m,|AF′|=2a+m,|CF′|=2a+2m,|FF′|=2c.
因为 BF⊥AC,且 AB经过原点 O,
所以四边形 FAF′B为矩形.
在 Rt△AF′C中,|AF′|2+|AC|2=|F′C|2,
代入得(2a+m)2+(3m)2=(2a+2m)2,
2a
化简得 m= ,
3
所以在 Rt△AF′F中,|AF′|2+|AF|2=|F′F|2,
2a 2a 2a+
代入得 3 2+ 3 2=(2c)2,
c2 17
化简得 = ,即 e 17= .
a2 9 3
7.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线 C:mx2+ny2=1.( )
A.若 m>n>0,则 C是椭圆,其焦点在 y轴上
B.若 m=n>0,则 C是圆,其半径为 n
C.若 mn<0,则 C是双曲线,其渐近线方程为 y=± m- x
n
D.若 m=0,n>0,则 C是两条直线
答案 ACD
x2 y2
解析 对于 A,当 m>n>0 1 1时,有 > >0,方程化为1+1=1,表示焦点在 y轴上的椭圆,故n m
m n
A正确.
对于 B,当 m 1 1=n>0时,方程化为 x2+y2= ,表示半径为 的圆,故 B错误.
n n
x2 y2
对于 C,当 m>0,n<0 1时,方程化为1- 1=1,表示焦点在 x轴上的双曲线,其中 a= ,
- m
m n
b 1 m
y2 x2
= - ,渐近线方程为 y=± - x;当 m<0,n>0时,方程化为1- 1=1,表示焦点n n -
n m
在 y 1 1 m轴上的双曲线,其中 a= ,b= - ,渐近线方程为 y=± - x,故 C正确.
n m n
1
对于 D,当 m=0,n>0时,方程化为 y=± ,表示两条平行于 x轴的直线,故 D正确.
n
8.(多选)已知 F1,F2分别是双曲线 C:y2-x2=1的上、下焦点,点 P是其一条渐近线上一
点,且以线段 F1F2为直径的圆经过点 P,则( )
A.双曲线 C的渐近线方程为 y=±x
B.以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1
C.点 P的横坐标为±1
D.△PF1F2的面积为 2
答案 ACD
解析 等轴双曲线 C:y2-x2=1的渐近线方程为 y=±x,故 A正确;
由双曲线的方程可知|F1F2|=2 2,
所以以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=2,故 B错误;
点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=2上,
不妨设点 P(x0,y0)在直线 y=x上,
x02+y02=2,
所以由 解得|x0|=1,
y0=x0,
则点 P的横坐标为±1,故 C正确;
由上述分析可得△PF1F 12的面积为 ×2 2×1= 2,故 D正确.
2
故选 ACD.
2 2
9.(2020·北京) x y已知双曲线 C: - =1,则 C的右焦点的坐标为________;C的焦点到其
6 3
渐近线的距离是________.
答案 (3,0) 3
x2 y2
解析 由 - =1,得 c2=a2+b2=9,
6 3
解得 c=3,焦点在 x轴上,
所以双曲线 C的右焦点坐标为(3,0).
3
双曲线的一条渐近线方程为 y= x,
6
即 x- 2y=0,
3
所以焦点(3,0)到渐近线的距离为 d= = 3.
1+ - 2 2
2 2
10.(2021· x y焦作模拟)已知左、右焦点分别为 F1,F2的双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的一条
a2 b2
渐近线与直线 l:x-2y=0 互相垂直,点 P在双曲线 C上,且|PF1|-|PF2|=3,则双曲线 C
的焦距为________.
答案 3 5
x2 y2 b
解析 双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的渐近线为 y=± x,
a2 b2 a
一条渐近线与直线 l:x-2y=0 b相互垂直,可得 =2,
a
即 b=2a,由双曲线的定义可得 2a=|PF1|-|PF2|=3,
a 3可得 = ,b=3,即有 c= a2 b2 9 9 3 5+ = + = ,
2 4 2
即焦距为 2c=3 5.
2 2
11. x y如图,F1和 F2分别是双曲线 - =1(a>0,b>0)的两个焦点,A和 B是以 O为圆心,以|OF2 2 1|a b
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为
________.
答案 3+1
解析 设|F1F2|=2c,连接 AF1(图略),
∵△F2AB是等边三角形,且 F1F2是⊙O的直径,
∴∠AF2F1=30°,∠F1AF2=90°,
∴|AF1|=c,|AF2|= 3c,2a= 3c-c,
e c 2∴ = = = 3+1.
a 3-1
2 2
12.(2021· x y广安邻水实验中学模拟)已知双曲线 C: - =1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
F1,F2,O为原点,若以 F1F2为直径的圆与 C的渐近线的一个交点为 P,且|F1P|= 3|OP|,
则 C的渐近线方程为________.
答案 y=± 3x
x2 y2
解析 根据双曲线 C: - =1 (a>0,b>0)的左、右焦点为 F1,F2,O为原点,以 F1F2为直
a2 b2
径的圆与 C的渐近线的一个交点为 P,如图所示,
则|F1O|=|OP|=c,|F1P|= 3|OP|= 3c,
|OP|2+|OF |2-|PF |2 c2+c2-( 3c)21 1 1
所以在△POF1中,由余弦定理可得 cos∠POF1= = =- .
2|OP|·|OF1| 2×c×c 2
POF 2π π所以∠ 1= ,则∠POF2= ,
3 3
所以 tan∠POF2=tan π= 3,
3
则渐近线方程为 y=± 3x.
B 组
2 2
13.(多选)(2021·百师联盟模拟) x y双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的焦点在圆 O:x2+y2=13上,
a2 b2
圆 O与双曲线 C的渐近线在第一、二象限分别交于点 M,N,点 E(0,a)满足E→O → →+EM+EN=
0(其中 O为坐标原点),则( )
A.双曲线 C的一条渐近线方程为 3x-2y=0
B.双曲线 C 13的离心率为
2
C →.|OE|=1
D.△OMN的面积为 6
答案 ABD
解析 如图,设双曲线 C的焦距为 2c=2 13,MN与 y轴交于点 P,由题意可知|OM|=c= 13,
2
则 P(0,b),由E→O → →+EM+EN=0 得点 E为△OMN的重心,可得|OE| 2|OP| a 2b b= ,即 = , =
3 3 a2
c2-a2 9
= ,
a2 4
所以 a=2,b=3 e 13, = .
2
双曲线 C的渐近线方程为 3x±2y=0,|O→E|=2,M的坐标为(2,3),S△OMN=6,
故选 ABD.
2 2
14.(2020· x y临川一中模拟)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)中,A1,A2是左、右顶点,F是右焦
a2 b2
—→ —→
点,B是虚轴的上顶点.若在线段 BF上(不含端点)存在不同的两点 Pi(i=1,2),使得PiA1·PiA2
=0,则双曲线离心率的取值范围是________.
2 5+1,
答案 2
解析 设 c为半焦距,则 F(c,0),又 B(0,b),
所以 BF:bx+cy-bc=0,
以 A1A2为直径的圆的方程为⊙O:x2+y2=a2,

因为PiA→1·—P→iA2=0,i=1,2,
所以⊙O与线段 BF有两个交点(不含端点),
bc 2c2+a4<0,
所以 即
c2b>a, >2a
2,
e4-3e2+1<0,
故 解得 2e2>2, 2
C 组
15.将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a和虚半轴长 b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,
得到离心率为 e2的双曲线 C2,则( )
A.对任意的 a,b,e1>e2
B.当 a>b时,e1>e2;当 aC.对任意的 a,b,e1D.当 a>b时,e1e2
答案 D
2 2 b
e a +b解析 依题意, 1= = 1+ a 2,
a
b+m
a+m 2e + b+m
2
2= = 1+ a+m 2.
a+m
b b+m ab+bm-ab-am m b-a
因为 - = = ,
a a+m a a+m a a+m
由于 m>0,a>0,b>0,
b b+m
所以当 a>b b时,0< <1,0a a+m a a+m
a1 b+m>1 b>b+m当 时, , , ,
a a+m a a+m
b b+m
所以 a 2> a+m 2,所以 e1>e2.
所以当 a>b时,e1e2.
2
16 y.(2020·长沙雅礼中学模拟)已知 F是双曲线 C:x2- =1的右焦点,P是 C左支上一点,
8
A(0,6 6),当△APF的周长最小时,点 P的坐标为________.
答案 (-2,2 6)
解析 如图,令 E为双曲线的左焦点,
由双曲线 C的方程可知 a2=1,b2=8,
∴c2=a2+b2=1+8=9,
∴c=3,
∴左焦点 E(-3,0),
右焦点 F(3,0),
∵|AF|= 32+ 6 6 2=15,
∴当△APF的周长最小时,|PA|+|PF|最小.
由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2,
∴|PF|=|PE|+2,
又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15,当且仅当 A,P,E三点共线且点 P在线段 AE上时,等号成
立,
∴△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32.
直线 AE的方程为 y=2 6x+6 6,将其代入到双曲线方程得 x2+9x+14=0,解得 x=-7(舍)
或 x=-2,
由 x=-2,得 y=2 6(负值已舍),
∴点 P的坐标为(-2,2 6).

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