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第 31 讲 复 数
【考试要求】
1.通过方程的解，认识复数.
2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念
的认识.
3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算．
【知识梳理】
1．复数的有关概念
(1)定义：我们把集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其
中 a叫做复数 z的实部，b叫做复数 z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
a＋bi为实数 b＝0
复数的分类 a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且 b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且 b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与 c＋di共
轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5) →模：向量OZ的模叫做复数 z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
z a bi Z(a b) O→复数 ＝ ＋ 与复平面内的点 ， 及平面向量 Z＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
→ —→
如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋
—OZ→ —2，Z→ —→ —→1Z2＝OZ2－OZ1 .
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程 x2＋x＋1＝0没有解．( × )
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.( × )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的
模．( √ )
题组二 教材改编
2．若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数 x的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－1或 1
答案 A
x2－1＝0，
解析 ∵z为纯虚数，∴ ∴x＝－1.
x－1≠0，
3 A→B 2 i C→B 1 3i C→．在复平面内，向量 对应的复数是 ＋ ，向量 对应的复数是－ － ，则向量 A对应
的复数是( )
A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i
答案 D
→ → →
解析 CA＝CB＋BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4．若复数 z满足 (3＋4i)z＝1－i(i是虚数单位)，则复数 z的共轭复数 z 等于( )
A 1 7．－ － i B 1 7．－ ＋ i
5 5 5 5
C 1 7 1 7．－ － i D．－ ＋ i
25 25 25 25
答案 D
1－i 1－i 3－4i －1－7i
解析 由题意可得 z＝ ＝ ＝ ，
3＋4i 3＋4i 3－4i 25
所以 z 1 7＝－ ＋ i，故选 D.
25 25
题组三 易错自纠
5．已知 a＋bi(a b R) 1－i， ∈ 是 的共轭复数，则 a＋b等于( )
1＋i
A 1 1．－1 B．－ C. D．1
2 2
答案 D
1－i 1－i 1－i
解析 由 ＝ ＝－i，
1＋i 1＋i 1－i
得 a＋bi＝i，由复数相等得 a＝0，b＝1，
从而 a＋b＝1.
6．i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数 m等于________．
答案 2
解析 因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以 2－m＝0，且 1＋2m≠0，解得 m
＝2.
【典型例题】
题型一 复数的概念
1．(2020·全国Ⅲ)若 z (1＋i)＝1－i，则 z等于( )
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
答案 D
2
解析 因为 z 1－i 1－i ＝ ＝ ＝－i，所以 z＝i.
1＋i 1＋i 1－i
2．(2020·全国Ⅰ)若 z＝1＋i，则|z2－2z|等于( )
A．0 B．1 C. 2 D．2
答案 D
解析 方法一 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，
|z2－2z|＝|－2|＝2.
方法二 |z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|
＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.
3．已知 i 3＋i为虚数单位，则复数 z＝ 的虚部为( )
1－i i
A．i B．2 C．－1 D．－i
答案 C
3＋i 3＋i 1＋i 1＋2i
解析 因为 ＝ ＝ ＝2－i，所以 z的虚部为－1.
1－i i 2i i
4．(2020· 1＋2ai郑州质检)若复数 (a∈R)的实部和虚部相等，则实数 a的值为( )
2－i
A．1 B 1 1．－1 C. D．－
6 6
答案 C
1＋2ai 1＋2ai 2＋i 2－2a 1＋4ai 2－2a 1＋4a解析 因为 ＝ ＝ ＋ ，所以由题意，得 ＝ ，解得 a
2－i 2－i 2＋i 5 5 5 5
1
＝ .
6
思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只
需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
题型二 复数的四则运算
例 1 (1)(2020· ) 2－i新高考全国Ⅰ 等于( )
1＋2i
A．1 B．－1 C．i D．－i
答案 D
2－i 2－i 1－2i －5i
解析 ＝ ＝ ＝－i.
1＋2i 1＋2i 1－2i 5
(2)(多选)(八省联考)设 z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是( )
A．若|z2|＝|z3|，则 z2＝±z3
B．若 z1z2＝z1z3，则 z2＝z3
C．若 z 2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若 z1z2＝|z1|2，则 z1＝z2
答案 BC
解析 由|i|＝|1|，知 A错误；
z1z2＝z1z3，则 z1(z2－z3)＝0，又 z1≠0，
所以 z2＝z3，故 B正确；
|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，
又 z 2＝z3，所以|z2|＝| z 2|＝|z3|，故 C正确，
令 z1＝i，z2＝－i，满足 z1z2＝|z1|2，不满足 z1＝z2，故选 BC.
思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练 1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
答案 D
解析 (1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
2
(2)(2020·乌鲁木齐模拟) z 1 i(i ) z ＋2已知复数 ＝ ＋ 是虚数单位 ，则 等于( )
z－1
A．2＋2i B．2－2i
C．2i D．－2i
答案 B
z2＋2 1＋i 2＋2 2＋2i 2＋2i －i
解析 ＝ ＝ ＝ ＝2－2i.
z－1 1＋i－1 i －i2
2 021
(3)(2020· )1－i武汉模拟 ＝________.
1＋i
答案 －i
1－i2021 1－i 1－i 2 －2i
解析 ＝ ＝ ＝ ＝－i.
1＋i 1＋i 1－i 1＋i 2
题型三 复数的几何意义
例 2 (1)(2019·全国Ⅱ)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 z ＝－3－2i，故 z 对应的点(－3，－2)位于第三象限．
(2)(2019·全国Ⅰ)设复数 z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
答案 C
解析 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)，
∴z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选 C.
(3)(2020·全国Ⅱ)设复数 z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝ 3＋i，则|z1－z2|＝________.
答案 2 3
解析 方法一 设 z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为 z1＋z2＝ 3＋i，
所以 2z1＝( 3＋a)＋(1＋b)i,2z2＝( 3－a)＋(1－b)i.
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以 3＋a 2＋ 1＋b 2＝4，①
3－a 2＋ 1－b 2＝4，②
①2＋②2，得 a2＋b2＝12.
所以|z1－z2|＝ a2＋b2＝2 3.
→ →
方法二 设复数 z1，z2在复平面内分别对应向量OA，OB，
z → →则 1＋z2对应向量OA＋OB.
由题意知|O→A| |O→＝ B| → →＝|OA＋OB|＝2，
如图所示，以 OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，
则 z1－z
→
2对应向量BA，且|O
→A|＝|A→C|＝|O→C|＝2，
可得|B→A| →＝2|OA|sin 60°＝2 3.
故|z1－z2|＝|B
→A|＝2 3.
思维升华 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何
联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
跟踪训练 2 (1)(2020· 1东北三省三校模拟)设 i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位
1＋i
于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
1 i 1 11 － 1 1 1 ，－
解析 ＝ ＝ － i，则复数 对应的点为 2 2 ，在第四象限，故选 D.
1＋i 1＋i 1－i 2 2 1＋i
(2) → 4如图，若向量OZ对应的复数为 z，则 z＋ 表示的复数为( )
z
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
答案 D
4 1＋i
解析 由题图可得 Z(1 4 4，－1)，即 z＝1－i，所以 z＋ ＝1－i＋ ＝1－i＋ ＝1－i
z 1－i 1－i 1＋i
4＋4i
＋ ＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选 D.
2
【课后作业】
A 组
1．(2020·山东重点中学联考)在复平面内，复数 z对应的点与 1＋i对应的点关于实轴对称，
则 z等于( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
答案 D
解析 1＋i在复平面内对应点为(1,1)，关于实轴对称的点为(1，－1)，∴z＝1－i.故选 D.
2．(2019·全国Ⅰ) z 3－i设 ＝ ，则|z|等于( )
1＋2i
A．2 B. 3 C. 2 D．1
答案 C
3－i 3－i 1－2i 1－7i
解析 方法一 ∵z＝ ＝ ＝ ，
1＋2i 1＋2i 1－2i 5
1 7
－
∴|z|＝ 5 2＋ 5 2＝ 2.
方法二 |z| |3－i| 10＝ ＝ ＝ 2.
|1＋2i| 5
3．(2021·江南十校联考)若复数 z满足 z(1－i)＝|1－i|＋i，则 z的实部为( )
A. 2－1 B. 2－1
2
C．1 D. 2＋1
2
答案 A
z(1 i) |1 i| i z 2＋i 2＋i 1＋i 2－1 2＋1i z 2－1解析 由 － ＝ － ＋ ，得 ＝ ＝ ＝ ＋ ，故 的实部为 .
1－i 1－i 1＋i 2 2 2
4．(2021· z成都诊断) 1设复数 z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若 为纯虚数，则实数 b等于( )
z2
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案 A
z1 1＋i 1＋i 2－bi 2＋b ＋ 2－b i解析 由 ＝ ＝ ＝ 为纯虚数，得 2＋b＝0，且 2－b≠0，所以
z2 2＋bi 4＋b2 4＋b2
b＝－2.
5 ( ) z 2． 多选 下面是关于复数 ＝ 的四个命题，其中真命题的是( )
－1＋i
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为 1＋i D．z的虚部为－1
答案 BD
2 2 －1－i
解析 ∵z＝ ＝ ＝－1－i，
－1＋i －1＋i －1－i
∴|z|＝ 2，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选 BD.
6．(多选)在复平面内，下列命题是真命题的是( )
A 1．若复数 z满足 ∈R，则 z∈R
z
B．若复数 z满足 z2∈R，则 z∈R
C．若复数 z1，z2满足 z1z2∈R，则 z1＝ z 2
D．若复数 z∈R，则 z ∈R
答案 AD
1 1 a－bi a b
解析 对于 A，设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝ ＝ ＝ － i，
z a＋bi a＋bi a－bi a2＋b2 a2＋b2
1
若 ∈R，则 b＝0，所以 z＝a∈R，故 A为真命题；
z
对于 B，若复数 z＝i，则 z2＝－1∈R，但 z R，故 B为假命题；
对于 C，若复数 z1＝i，z2＝2i满足 z1z2＝－2∈R，但 z1≠ z 2，故 C为假命题；
对于 D，若复数 z＝a＋bi∈R，则 b＝0， z ＝z∈R，故 D为真命题．
7．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数 a的值为________．
答案 －2
解析 (1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得 a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2.
8．(2020·阜宁调研)若复数 z＝i＋i2 020 10，则 z ＋ 的模等于________．
z
答案 6 2
解析 z＝i＋i2 020 10 10＝i＋1， z ＋ ＝1－i＋ ＝6－6i，其模为 6 2.
z 1＋i
9．设 O → → →是坐标原点，向量OA，OB对应的复数分别为 2－3i，－3＋2i.那么向量BA对应的复
数是________．
答案 5－5i
→ →
解析 ∵向量OA，OB对应的复数分别为 2－3i，－3＋2i，
∴O→A＝(2，－3)，O→B＝(－3,2)，
∴B→A →＝OA－O→B＝(5，－5)，其对应的复数是 5－5i.
10．(2020· ) a＋bi西安模拟 若 (a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则 a＝________，b＝________.
i
答案 －4 3
a＋bi a＋bi －i
解析 因为 ＝ ＝b－ai(a，b∈R)，(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i，所以由题意得 b
i －i2
＝3，a＝－4.
11 3 2．复数 z1＝ ＋(10－a2)i，z2＝ ＋(2a－5)i，若 z 1＋z2是实数，求实数 a的值．
a＋5 1－a
3
解 z 1＋z2＝ ＋(a2－10)i
2
＋ ＋(2a－5)i
a＋5 1－a
3 2
＋
＝ a＋5 1－a ＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
a－13
＝ ＋(a2＋2a－15)i.
a＋5 a－1
因为 z 1＋z2是实数，
所以 a2＋2a－15＝0，
解得 a＝－5或 a＝3.
因为 a＋5≠0，
所以 a≠－5，故 a＝3.
12．已知复数 z＝bi(b R) z－2∈ ， 是实数，i是虚数单位．
1＋i
(1)求复数 z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数 m的取值范围．
解 (1)因为 z＝bi(b∈R)，
z－2 bi－2 bi－2 1－i
所以 ＝ ＝
1＋i 1＋i 1＋i 1－i
b－2 ＋ b＋2 i b－2 b＋2
＝ ＝ ＋ i.
2 2 2
z－2 b＋2
又因为 是实数，所以 ＝0，
1＋i 2
所以 b＝－2，即 z＝－2i.
(2)因为 z＝－2i，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
m2－4>0，
所以 解得 m<－2，
－4m>0，
即实数 m的取值范围为(－∞，－2)．
B 组
1＋i 1－i
13．计算 1－i 2 021＋ 1＋i 2 021等于( )
A．－2i B．0 C．2i D．2
答案 B
1＋i 1＋i 1＋i 2i
解析 ∵ ＝ ＝ ＝i，
1－i 1－i 1＋i 2
1－i 1
∴ ＝ ＝－i，
1＋i i
1＋i 1－i
∴ 1－i 2 021＋ 1＋i 2 021
＝i2 021＋(－i)2 021
＝i－i＝0.
14．(多选)设 z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则 z 1＝ z 2
B．若 z1＝ z 2，则 z 1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则 z1· z 1＝z2· z 2
D．若|z1|＝|z2|，则 z21＝z22
答案 ABC
解析 对于 A，若|z1－z2|＝0，则 z1－z2＝0，z1＝z2，
所以 z 1＝ z 2为真；
对于 B，若 z1＝ z 2，则 z1和 z2互为共轭复数，
所以 z 1＝z2为真；
对于 C，设 z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|＝|z2|，则 a21＋b21＝ a22＋b22，
即 a21＋b21＝a22＋b22，
所以 z1· z 1＝a21＋b21＝a22＋b22＝z2· z 2，
所以 z1· z 1＝z2· z 2为真；
对于 D，若 z1＝1，z2＝i，
则|z1|＝|z2|，而 z21＝1，z22＝－1，
所以 z21＝z 22为假．故选 ABC.
C 组
15．(2020·枣庄模拟)已知复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2| y＝1，则 的取值范围是________．
x
3 3
－ ，
答案 3 3
解析 复数 z＝x＋yi，且|z－2|＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，
它表示圆心为(2,0)，半径为 1的圆，
y
则 表示圆上的点与原点连线的斜率，
x
x－2 2＋y2＝1，
由题意设过点 O且与圆相切的直线方程为 y＝kx，则
y＝kx，
消去 y，整理得(k2＋1)x2－4x＋3＝0，
由Δ＝16－12(k2＋1)＝0，
3 3
解得 k＝－ 或 k＝ ，
3 3
3 3
y － ，
由题意得 的取值范围是 3 3 .
x
16．(2020·张家口调研)已知复数 z满足 z2＝3＋4i，且 z在复平面内对应的点位于第三象限．
(1)求复数 z；
1＋z
(2)设 a |∈R，且 1＋ z 2 021＋a|＝2，求实数 a的值．
解 (1)设 z＝c＋di(c<0，d<0)，
则 z2＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi＝3＋4i，
c2－d2＝3， c＝－2， c＝2，
∴ 解得 或 (舍去)．
2cd＝4， d＝－1 d＝1
∴z＝－2－i.
1＋z
(2) z 2 i －1－i 1＋i 1＋i
2
∵ ＝－ ＋ ，∴ ＝ ＝ ＝ ＝i，
1＋ z －1＋i 1－i 2
1＋z
∴ 1＋ z 2 021＝i2 021＝i2 020＋1＝i505×4＋1＝i，
∴|a＋i|＝ a2＋1＝2，∴a＝± 3.第 31讲 复 数
【知识梳理】
1．复数的有关概念
(1)定义：我们把集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其
中 a叫做复数 z的 ，b叫做复数 z的 (i为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
a＋bi为实数 ．
复数的分类 a＋bi为虚数 ．
a＋bi为纯虚数 ．
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di (a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di
共轭 (a，b，c，d∈R)．
(5) O→模：向量 Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝
a2＋b2(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数 z＝a＋bi →与复平面内的点 及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形 OZ1ZZ → —→2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋
—OZ→ —2，Z→ —→ —→1Z2＝OZ2－OZ1 .
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程 x2＋x＋1＝0没有解．( )
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.( )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的
模．( )
2．若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数 x的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－1或 1
3 → → →．在复平面内，向量AB对应的复数是 2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应
的复数是( )
A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i
4．若复数 z满足 (3＋4i)z＝1－i(i是虚数单位)，则复数 z的共轭复数 z 等于( )
A 1 7．－ － i B 1 7．－ ＋ i
5 5 5 5
C 1 7．－ － i D 1 7．－ ＋ i
25 25 25 25
5 1－i．已知 a＋bi(a，b∈R)是 的共轭复数，则 a＋b等于( )
1＋i
A 1 B 1 C.1．－ ．－ D．1
2 2
6．i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数 m等于________．
【典型例题】
题型一 复数的概念
1．(2020·全国Ⅲ)若 z (1＋i)＝1－i，则 z等于( )
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
2．(2020·全国Ⅰ)若 z＝1＋i，则|z2－2z|等于( )
A．0 B．1 C. 2 D．2
3．已知 i 3＋i为虚数单位，则复数 z＝ 的虚部为( )
1－i i
A．i B．2 C．－1 D．－i
4．(2020·郑州质检) 1＋2ai若复数 (a∈R)的实部和虚部相等，则实数 a的值为( )
2－i
A 1 B 1 C.1 D 1． ．－ ．－
6 6
题型二 复数的四则运算
例 1 (1)(2020· ) 2－i新高考全国Ⅰ 等于( )
1＋2i
A．1 B．－1 C．i D．－i
(2)(多选)(八省联考)设 z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是( )
A．若|z2|＝|z3|，则 z2＝±z3 B．若 z1z2＝z1z3，则 z2＝z3
C．若 z 2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若 z1z2＝|z1|2，则 z1＝z2
跟踪训练 1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
2
(2)(2020·乌鲁木齐模拟) z ＋2已知复数 z＝1＋i(i是虚数单位)，则 等于( )
z－1
A．2＋2i B．2－2i
C．2i D．－2i
2 021
(3)(2020· 1－i武汉模拟) ＝________.
1＋i
题型三 复数的几何意义
例 2 (1)(2019·全国Ⅱ)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(2019·全国Ⅰ)设复数 z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
(3)(2020·全国Ⅱ)设复数 z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝ 3＋i，则|z1－z2|＝________.
跟踪训练 2 (1)(2020· 1东北三省三校模拟)设 i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位
1＋i
于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2) → 4如图，若向量OZ对应的复数为 z，则 z＋ 表示的复数为( )
z
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
【课后作业】
A 组
1．(2020·山东重点中学联考)在复平面内，复数 z对应的点与 1＋i对应的点关于实轴对称，
则 z等于( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
2 (2019· ) z 3－i． 全国Ⅰ 设 ＝ ，则|z|等于( )
1＋2i
A．2 B. 3 C. 2 D．1
3．(2021·江南十校联考)若复数 z满足 z(1－i)＝|1－i|＋i，则 z的实部为( )
A. 2－1 B. 2－1
2
C．1 D. 2＋1
2
4．(2021· z成都诊断)设复数 z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若 1为纯虚数，则实数 b等于( )
z2
A．－2 B．2 C．－1 D．1
5．(多选) 2下面是关于复数 z＝ 的四个命题，其中真命题的是( )
－1＋i
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为 1＋i D．z的虚部为－1
6．(多选)在复平面内，下列命题是真命题的是( )
A．若复数 z 1满足 ∈R，则 z∈R
z
B．若复数 z满足 z2∈R，则 z∈R
C．若复数 z1，z2满足 z1z2∈R，则 z1＝ z 2
D．若复数 z∈R，则 z ∈R
7．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数 a的值为________．
8．(2020·阜宁调研)若复数 z＝i＋i2 020，则 z 10＋ 的模等于________．
z
9．设 O → → →是坐标原点，向量OA，OB对应的复数分别为 2－3i，－3＋2i.那么向量BA对应的复
数是________．
10．(2020· ) a＋bi西安模拟 若 (a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则 a＝________，b＝________.
i
11．复数 z 31＝ ＋(10－a2)i
2
，z2＝ ＋(2a－5)i，若 z 1＋z2是实数，求实数 a的值．
a＋5 1－a
12 z bi(b R) z－2．已知复数 ＝ ∈ ， 是实数，i是虚数单位．
1＋i
(1)求复数 z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数 m的取值范围．
B 组
1＋i 1－i
13．计算 1－i 2 021＋ 1＋i 2 021等于( )
A．－2i B．0 C．2i D．2
14．(多选)设 z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则 z 1＝ z 2
B．若 z1＝ z 2，则 z 1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则 z1· z 1＝z2· z 2
D．若|z1|＝|z2|，则 z21＝z22
C 组
15．(2020·枣庄模拟)已知复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z 2| 1 y－ ＝ ，则 的取值范围是________．
x
16．(2020·张家口调研)已知复数 z满足 z2＝3＋4i，且 z在复平面内对应的点位于第三象限．
(1)求复数 z；
1＋z
(2) | |设 a∈R，且 1＋ z 2 021＋a ＝2，求实数 a的值．

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