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第 30 讲 平面向量的数量积
【考试要求】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
【知识梳理】
1．向量的夹角
a b O→已知两个非零向量 和 ，作 A＝a O→， B＝b，则∠AOB就是向量 a与 b的夹角，向量夹角
的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
设两个非零向量 a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做 a与 b的数
定义
量积，记作 a·b
|a|cos θ叫做向量 a在 b方向上的投影
投影
|b|cos θ叫做向量 b在 a方向上的投影
几何意义 数量积 a·b等于 a的长度|a|与 b在 a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与 b的夹角为θ.
结论 符号表示 坐标表示
模 |a|＝ a·a |a|＝ x21＋y21
x x ＋y y
夹角 cos θ
a·b cos θ 1 2 1 2＝ ＝
|a||b| x21＋y21 x22＋y22
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21 x22＋y22
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
0 π，
(1)两个向量的夹角的范围是 2 .( × )
(2)向量在另一个向量上的投影为数量，而不是向量．( √ )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ )
(4)若 a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( × )
题组二 教材改编
2．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6 3，则 a与 b的夹角θ等于( )
A.π B.5π C.π D.2π
6 6 3 3
答案 B
解析 cos θ a·b －6 3 3＝ ＝ ＝－ ，
|a||b| 2×6 2
5π
又因为 0≤θ≤π，所以θ＝ .
6
3．已知向量 a，b满足|a|＝1，|b|＝2 3，a与 b的夹角的余弦值为 sin 17π，则 b·(2a－b)等于
3
( )
A．2 B．－1 C．－6 D．－18
答案 D
6π π－
解析 由题意知 cos〈a，b〉＝sin 17π＝sin 3
3
＝－sin π 3＝－ ，
3 2
3
－
所以 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2 3× 2 ＝－3，
所以 b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
4．已知|a|＝5，|b|＝4，a与 b的夹角θ＝120°，则向量 b在向量 a方向上的投影为________．
答案 －2
解析 由数量积的定义知，b在 a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
题组三 易错自纠
5．已知 a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与 b的夹角为锐角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 根据向量数量积的定义可知，若 a·b>0，则 a 与 b的夹角为锐角或零角，若 a与 b的
夹角为锐角，则一定有 a·b>0，所以“a·b>0”是“a与 b的夹角为锐角”的必要不充分条件．
6．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝ 10 → →，则BA·AC的值为________．
3
答案 －
2
解析 在△ABC中，由余弦定理得
cos A AC
2＋AB2－BC2 22＋32－ 10 2 1
＝ ＝ ＝ .
2×AC×AB 2×2×3 4
所以B→A·A→C →＝|BA||A→C|cos(π－A) |B→＝－ A||A→C|·cos A 1 3＝－3×2× ＝－ .
4 2
【典型例题】
题型一 平面向量数量积的简单应用
命题点 1 平面向量的模
例 1 (2020·全国Ⅰ)设 a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
答案 3
解析 将|a＋b|＝1两边平方，得 a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，
∴1＋2a·b＋1＝1，即 2a·b＝－1.
∴|a－b|＝ a－b 2＝ a2－2a·b＋b2
＝ 1－ －1 ＋1＝ 3.
命题点 2 平面向量的夹角
例 2 (2020·全国Ⅲ)已知向量 a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则 cos〈a，a＋b〉等于( )
A 31．－ B 19 17 19．－ C. D.
35 35 35 35
答案 D
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝25－12＋36＝49，
∴|a＋b|＝7，
cos a a b a· a＋b a
2＋a·b
∴ 〈 ， ＋ 〉＝ ＝
|a||a＋b| |a||a＋b|
25－6 19
＝ ＝ .
5×7 35
命题点 3 平面向量的垂直
例 3 (2020·全国Ⅱ)已知单位向量 a，b的夹角为 45°，ka－b与 a垂直，则 k＝________.
2
答案
2
解析 由题意知(ka－b)·a＝0，即 ka2－b·a＝0.
因为 a，b为单位向量，且夹角为 45°，
所以 k×12－1×1 2 2× ＝0，解得 k＝ .
2 2
思维升华 (1)求解平面向量模的方法
①若 a＝(x，y)，利用公式|a|＝ x2＋y2.
②利用|a|＝ a2.
(2)求平面向量的夹角的方法
a·b
①定义法：cos θ＝ ，θ的取值范围为[0，π]．
|a||b|
x x ＋y y
②坐标法：若 a＝(x 1 2 1 21，y1)，b＝(x2，y2)，则 cos θ＝ .
x21＋y12· x22＋y22
③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．
跟踪训练 1 (1)(2020·唐山模拟)已知 e1，e2 是两个单位向量，且|e1＋e2|＝ 3，则 |e1－e2|＝
________.
答案 1
解析 方法一 由|e1＋e2|＝ 3，两边平方，得 e21＋2e1·e2＋e22＝3.又 e1，e2是单位向量，所以
2e1·e2＝1，
所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.
→ → → →
方法二 如图，设AB＝e1，AD＝e2，又 e1，e2是单位向量，所以|AB|＝|AD|＝1，以 AB，AD
→ →
为邻边作平行四边形 ABCD，连接 AC，BD，所以AC＝e1＋e2，DB＝e1－e2，因为| e1＋e2|＝ 3，
|A→即 C|＝ 3，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|D→B|＝1，即| e1－e2|＝1.
(2)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量 a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则 a与 b的夹角为( )
A.π B.π C.2π D.5π
6 3 3 6
答案 B
解析 设 a与 b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又
|a|＝2|b|，∴cos α 1＝ ，∵α∈[0，π] π，∴α＝ ，故选 B.
2 3
(3)已知△ABC中，∠A＝120°，且 AB＝3，AC＝4 → → → → →，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ
的值为( )
A.22 B.10 C 6 D.12．
15 3 7
答案 A
A→P λA→ →解析 因为 ＝ B＋AC，且A→P⊥B→C，
→
所以有AP·B→C (λA→B → → → → → → → → → → → →＝ ＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AB·AC＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋
A→C2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，
解得λ 22＝ .
15
题型二 平面向量数量积的综合运算
例 4 (1)(2020· → →新高考全国Ⅰ)已知 P是边长为 2的正六边形 ABCDEF内的一点，则AP·AB 的
取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6)
答案 A
解析 如图，取 A为坐标原点，AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，
则 A(0,0)，B(2,0)，C(3， 3)，F(－1， 3)．
设 P(x → →，y)，则AP＝(x，y)，AB＝(2,0)，且－1→ →
所以AP·AB＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．
[高考改编题] 已知 P是边长为 2的正方形 ABCD内的一点，则A→P·A→B 的取值范围是______．
答案 (0,4)
解析 如图，取 A为坐标原点，AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，
则 A(0,0)，B(2,0)，
设 P(x，y) A→，则 P＝(x，y) A→， B＝(2,0)，且 0A→所以 P·A→B＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(0,4)．
(2)(2019·天津)在四边形 ABCD中，AD∥BC，AB＝2 3，AD＝5，∠A＝30°，点 E在线段 CB
→ →
的延长线上，且 AE＝BE，则BD·AE＝________.
答案 －1
→ → →
解析 方法一 在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故 BE＝2，则BD·AE＝(AD－
A→B)·(A→B B→E) A→D·A→B A→D·B→E A→ →＋ ＝ ＋ － B2－AB·B→E＝5×2 3×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－
2 3×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.
方法二 在△ABD中，由余弦定理可得 BD＝ AD2＋AB2－2×AD×AB×cos∠BAD＝ 7，所
2 2 2
以 cos ABD AB ＋BD －AD 21 5 7 → →∠ ＝ ＝－ ，则 sin∠ABD＝ .设BD与AE的夹角为θ，则 cos θ
2×AB×BD 14 14
＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝
7
7 ABE AE BE 2 B→D·A→
－
－ ，在△ 中，易得 ＝ ＝ ，故 E＝ 7×2× 14 ＝－1.
14
思维升华 向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法．
把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的
代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法．
适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行
求解．
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和
方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用．
→ → → → →
跟踪训练 2 (1)(2019·全国Ⅱ)已知AB＝(2,3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案 C
B→解析 因为 C → →＝AC－AB＝(1，t－3) |B→C| →，所以 ＝ 1＋ t－3 2＝1，解得 t＝3，所以BC＝(1,0)，
A→所以 B·B→C＝2×1＋3×0＝2，故选 C.
(2)(2020· π → 3→ → →湖南省五市十校联考)在 Rt△ABC中，∠C＝ ，AB＝4，AC＝2，若AD＝ AB，则CD·CB
2 2
等于( )
A．－18 B．－6 3
C．18 D．6 3
答案 C
C π AB 4 AC 2 CB 2 3 C→A·C→B 0.C→D·C→B (C→解析 方法一 由∠ ＝ ， ＝ ， ＝ ，得 ＝ ， ＝ ＝ A＋A→D)·C→B
2
C→A·C→B 3A→B·C→B 3(C→B C→A)·C→B 3→＝ ＋ ＝ － ＝ CB2＝18，故选 C.
2 2 2
方法二 如图，以 C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为 x轴，y轴，建立平面直角坐
标系，则 C(0,0)，A(2,0)，B(0,2 3) π → 3→．由题意得∠CBA＝ ，又AD＝ AB，所以 D＝(－1,3 3)，
6 2
→
则CD·C→B＝(－1,3 3)·(0,2 3)＝18，故选 C.
C π方法三 因为∠ ＝ ，AB＝4，AC＝2，所以 CB → → →＝2 3，所以AB在CB上的投影为 2 3，又AD
2
3A→＝ B，所以A→D →在CB 3上的投影为 ×2 3＝3 3，则C→D → →在CB上的投影为 3 3，所以CD·C→B＝
2 2
|C→B|·|C→D|cos〈C→D →，CB〉＝2 3×3 3＝18，故选 C.
题型三 平面向量的实际应用
命题点 1 平面几何中的向量方法
例 5 已知平行四边形 ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
A→B A→证明 取 ， D → →为基底，设AB＝a，AD＝b，
A→C a b D→则 ＝ ＋ ， B＝a－b，
→
∴AC2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
D→B2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
→ →
上面两式相加，得 AC2＋DB2＝2(a2＋b2)，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
命题点 2 向量在物理中的应用
例 6 6＋ 2若平面上的三个力 F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝
2
N，F1与 F2的夹角为 45°，求：
(1)F3的大小；
(2)F3与 F1夹角的大小．
解 (1)∵三个力平衡，
∴F1＋F2＋F3＝0，
∴|F3|＝|F1＋F2|＝ |F1|2＋2F1·F2＋|F2|2
6＋ 2
12 2 1 6＋ 2＝ ＋ × × cos 45°＋ 2 2
2
＝ 4＋2 3＝1＋ 3.
(2)方法一 设 F3与 F1的夹角为θ，
则|F2|＝ F12＋F32＋2|F1||F3|cos θ，
6＋ 2
即 ＝ 12＋ 1＋ 3 2＋2×1× 1＋ 3 cos θ，
2
解得 cos θ 3＝－ ，
2
∵θ∈(0，π) 5π，∴θ＝ .
6
方法二 设 F3与 F1的夹角为θ，
由余弦定理得
6＋ 2
12＋ 1＋ 3 2－ 2
cos(π－θ) 2 3＝ ＝ ，
2×1× 1＋ 3 2
θ (0 π) θ 5π∵ ∈ ， ，∴ ＝ .
6
思维升华 用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤
→ → → → → →
跟踪训练 3 (1)点 P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点 P是△ABC
的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
答案 D
→ → →
解析 由PA·PB＝PB·P→C P→A·P→B P→，得 － B·P→C →＝0，即PB·(P→A →－PC) →＝0，即PB·C→A＝0，则 PB⊥CA.
同理 PA⊥BC，PC⊥AB，所以 P为△ABC的垂心．
(2)一物体在力 F 的作用下，由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)．已知 F＝(4，－5)，则 F对该物
体做的功为_______．
答案 23
解析 ∵A(20,15)，B(7,0)，
∴A→B＝(－13，－15)，
∴W＝A→B·F＝－13×4＋(－15)×(－5)＝23.
【课后作业】
A 组
1．(2021· → →河南非凡联盟联考)在等腰三角形 ABC中，点 D是底边 AB的中点，若AB＝(1,2)，CD
＝(2，t)，则|C→D|等于( )
A. 5 B．5 C．2 5 D．20
答案 A
→
解析 由题意知AB C→⊥ D，∴1×2＋2t＝0，
∴t →＝－1，∴|CD|＝ 22＋ －1 2＝ 5.
2．设 a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由数量积定义得 a·b＝|a|·|b|·cos θ＝|a|·|b|，(θ为 a，b 夹角)，∴cos θ＝1，θ∈[0，π]，
∴θ＝0，∴a∥b；
反之，当 a∥b时，a，b的夹角θ＝0或π，
a·b＝±|a|·|b|.
3．设向量 a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2,1)，且(a－λb)⊥c，则λ等于( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
答案 A
解析 由题意得
a－λb＝(1＋λ，1－3λ)，
又∵(a－λb)⊥c，c＝(2,1)，
∴(a－λb)·c＝0，
即 2(1＋λ)＋1－3λ＝0，
∴λ＝3.
4．(2020·广州检测)a，b为平面向量，已知 a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则 a，b夹角的余弦值等
于( )
A 4 B 3 C.3 D.4．－ ．－
5 5 5 5
答案 B
2－2x＝0，
解析 设 b＝(x，y)，则有 a－2b＝(2,4)－(2x,2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0,8)，所以
4－2y＝8，
x＝1，
解得
y＝－2，
2－8
b (1 a·b 3故 ＝ ，－2)，|b|＝ 5，|a|＝2 5，cos〈a，b〉＝ ＝ ＝－ ，故选 B.
|a||b| 5×2 5 5
5．(多选)设 a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与 c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
答案 BD
解析 由于 b，c是不共线的向量，因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量，故 A错误；
由于 a，b不共线，故 a，b，a－b构成三角形，因此 B正确；
由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，故 C中两向量垂直，故 C错误；
根据向量数量积的运算可以得出 D是正确的．
故选 BD.
6．(多选)已知 e1，e2是两个单位向量，λ∈R 时，|e1＋λe2|
3
的最小值为 ，则|e1＋e2|等于( )
2
A．1 B. 3 C．3 D．2
答案 AB
解析 设向量 e1， e2 的夹角为 θ，则 e1·e2＝ cos θ，因为 |e1＋ λe2|＝ 1＋λ2＋2λcos θ＝
λ＋cos θ 2＋1－cos2θ，且当λ＝－cos θ时，|e1＋λe2|min＝ 1－cos2θ 3 1＝ ，得 cos θ＝± ，故|e1
2 2
＋e2|＝ 2＋2cos θ＝1或 3.
7．(2021·武昌调研)已知向量 a，b的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·b＝________.
答案 －15
解析 (2a－b)·b
＝2a·b－b2
＝2|a||b|cos〈a，b〉－|b|2
＝2×2×5cos 60°－52＝－15.
8．(2020·山东师大附中模拟)已知向量 a，b，其中|a|＝ 3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量 a和
b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.
π
答案 6
6
解析 由题意，设向量 a，b的夹角为θ，
因为|a|＝ 3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，
所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ
＝3 2 3·cos θ 0 cos θ 3－ ＝ ，解得 ＝ .
2
又因为 0≤θ≤π π，所以θ＝ ，
6
则 a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ 3＝3＋2 3× ＝6.
2
9．(2020·景德镇模拟)已知两个单位向量 a，b的夹角为 30°，c＝ma＋(1－m)b，b·c＝0，则 m
＝________.
答案 4＋2 3
解析 b·c＝b·[ma＋(1－m)b]＝ma·b＋(1－m)b2
＝m|a||b|cos 30°＋(1－m)|b|2 3＝ m＋1－m＝0，
2
所以 m＝4＋2 3.
10．(2021· →四川双流中学诊断)如图，在△ABC中，M为 BC的中点，若 AB＝1，AC＝3，AB与
A→C →的夹角为 60°，则|MA|＝________.
13
答案
2
解析 ∵M为 BC的中点，
A→M 1(A→B A→∴ ＝ ＋ C)，
2
|M→∴ A|2 1 → →＝ (AB＋AC)2
4
1
＝ (|A→B|2＋|A→C|2＋2A→B·A→C)
4
1
＝ (1＋9＋2×1×3cos 60°) 13＝ ，
4 4
∴|M→A| 13＝ .
2
11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求 a与 b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3) A→B →若 ＝a，BC＝b，求△ABC的面积．
解 (1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以 64－4a·b－27＝61，
a·b 6 cos θ a·b －6 1所以 ＝－ ，所以 ＝ ＝ ＝－ .
|a||b| 4×3 2
0 2π又 ≤θ≤π，所以θ＝ .
3
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝ 13.
(3)因为A→B →与BC 2π的夹角θ＝ ，
3
所以∠ABC＝π 2π π－ ＝ .
3 3
→
又|AB|＝|a| →＝4，|BC|＝|b|＝3，
S 1|A→所以 △ABC＝ B||B
→C|·sin∠ABC
2
1
＝ ×4×3 3× ＝3 3.
2 2
12．已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]．
(1)若 a∥b，求 x的值；
(2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x的值．
解 (1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b，
所以－ 3cos x＝3sin x.
若 cos x＝0，则 sin x＝0，与 sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故 cos x≠0，于是 tan x 3＝－ .
3
又 x∈[0，π] 5π，所以 x＝ .
6
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－ 3)
x π＋
＝3cos x－ 3sin x＝2 3cos 6 .
π 7π
，
因为 x∈[0 π，π]，所以 x＋ ∈ 6 6 ，
6
x π＋
1 cos 6 3从而－ ≤ ≤ .
2
于是，当 x π π＋ ＝ ，即 x＝0时，f(x)取得最大值 3；
6 6
π
当 x＋ ＝π，即 x 5π＝ 时，f(x)取得最小值－2 3.
6 6
B 组
13．(2020· → → → → →安徽五校联盟质检)已知点O是△ABC内部一点，且满足OA＋OB＋OC＝0，又AB·AC
＝2 3，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )
A. 3 B．3 C．1 D．2
2
答案 C
→
解析 由AB·A→C＝2 3，∠BAC＝60°，
可得A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos∠BAC
1
＝ |A→B||A→C|＝2 3，
2
→
所以|AB||A→C|＝4 3，
所以 S 1 → →△ABC＝ |AB||AC|sin∠BAC＝3，2
→
又OA＋O→B →＋OC＝0，
所以 O为△ABC的重心，
1
所以 S△OBC＝ S△ABC＝1.3
14．(2020·郑州质检)在 Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边 AC的中线 BD上，
则C→P·B→P的最小值为( )
A 1．－ B．0 C．4 D．－1
2
答案 A
解析 依题意，以 C为坐标原点，分别以 AC，BC所在的直线为 x轴，y轴，建立如图所示
的平面直角坐标系，则 B(0,2)，D(2,0)，所以直线 BD的方程为 y＝－x＋2，因为 P点在边 AC
的中线 BD上，所以可设 P(t,2－t)(0≤t≤2) C→P (t,2 t) B→，所以 ＝ － ， P＝(t，－t) C→，所以 P·B→P＝
t 1－
t2－t·(2－t)＝2t2－2t 2 2 2 1 1 → → 1＝ － ，当 t＝ 时，CP·BP取得最小值－ .
2 2 2
C 组
15 3．(2020·潍坊模拟)已知 f(x)＝ |sin πx|，A1，A2，A3为图象的顶点，O，B，C，D为 f(x)与
2
x轴的交点，线段 A D —→ —→3 上有五个不同的点 Q1，Q2，…，Q5.记 ni＝OA2 ·OQi (i＝1,2，…，5)，
则 n1＋…＋n5的值为( )
A.15 3 B 45 C.45． D.15 3
2 2 4
答案 C
3 3
解析 由图中几何关系可知，OE＝ ，A2E＝ ，
2 2
OA2＝ 3，A2C＝1，
∴∠A2OC＝30°，∠A2CO＝60°，
∵A3D∥A2C，∴OA2⊥DA3，
—→ —→
即OA2⊥DA3 .
n —OA→·—OQ→ —OA→·(O→D —DQ→) —→则 i＝ 2 i＝ 2 ＋ i ＝OA2 ·O→D
|—OA→＝ 2 ||O→D|cos π，
6
n 3 45∴ 1＋…＋n5＝3× 3× ×5＝ .
2 2
16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)和点 B(－1,0) |O→， C|＝1，且∠AOC＝θ，
其中 O为坐标原点．
(1) 3π若θ＝ ，设点 D → →为线段 OA上的动点，求|OC＋OD|的最小值；
4
0 π，
(2)若θ∈ 2 ，向量 m＝B→C，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求 m·n的最小值及对应的θ值．
解 (1)设 D(t,0)(0≤t≤1)，
2 2 2 2
－ ， － ＋t，
由题意知 C 2 2 →，所以OC＋O→D＝ 2 2 ，
→ → 2 t
2
－
所以|OC＋OD| ＝ 2 2 1＋ ，
2
2 → → 2
所以当 t＝ 时，|OC＋OD|最小，最小值为 .
2 2
(2)由题意得 C(cos θ，sin θ) m B→， ＝ C＝(cos θ＋1，sin θ)，
则 m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
2θ π＋
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－ 2sin 4 ，
0 π，
因为θ∈ 2 ，
π
所以 ≤2θ π 5π＋ ≤ ，
4 4 4
π π π 2θ
π
＋
所以当 2θ＋ ＝ ，即θ＝ 时，sin 4 取得最大值 1，即 m·n取得最小值 1－ 2.
4 2 8
所以 m·n的最小值为 1－ 2，此时θ π＝ .
8第 30 讲 平面向量的数量积
【知识梳理】
1．向量的夹角
→ →
已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的
范围是 ．
2．平面向量的数量积
设两个非零向量 a，b 的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做 a 与 b 的数
定义
量积，记作 a·b
|a|cos θ叫做向量 a 在 b 方向上的投影
投影
|b|cos θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影
几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为θ.
结论 符号表示 坐标表示
模
夹角
a⊥b 的充要条件
|a·b|与|a||b|的关系
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
0 π，
(1)两个向量的夹角的范围是 2 .( )
(2)向量在另一个向量上的投影为数量，而不是向量．( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(4)若 a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( )
2．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6 3，则 a 与 b 的夹角θ等于( )
A.π B.5π C.π D.2π
6 6 3 3
3．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2 3，a 与 b 17π的夹角的余弦值为 sin ，则 b·(2a－b)等于
3
( )
A．2 B．－1 C．－6 D．－18
4．已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为________．
5．已知 a，b 为非零向量，则“a·b>0”是“a 与 b 的夹角为锐角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6 ABC AB 3 AC 2 BC 10 B→ →．在△ 中， ＝ ， ＝ ， ＝ ，则 A·AC的值为________．
【典型例题】
题型一 平面向量数量积的简单应用
例 1 (2020·全国Ⅰ)设 a，b 为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
例 2 (2020·全国Ⅲ)已知向量 a，b 满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则 cos〈a，a＋b〉等于( )
A 31．－ B 19 C.17 D.19．－
35 35 35 35
例 3 (2020·全国Ⅱ)已知单位向量 a，b 的夹角为 45°，ka－b 与 a 垂直，则 k＝________.
跟踪训练 1 (1)(2020·唐山模拟)已知 e1，e2 是两个单位向量，且|e1＋e2|＝ 3，则 |e1－e2|＝
________.
(2)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量 a，b 满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则 a 与 b 的夹角为( )
A.π B.π C.2π D.5π
6 3 3 6
(3)已知△ABC中，∠A＝120°，且 AB＝3，AC＝4 A→P λA→B A→C A→P B→，若 ＝ ＋ ，且 ⊥ C，则实数λ
的值为( )
A.22 B.10 C．6 D.12
15 3 7
题型二 平面向量数量积的综合运算
例 4 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)已知 P → →是边长为 2的正六边形 ABCDEF内的一点，则AP·AB 的
取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6)
[ → →高考改编题] 已知 P是边长为 2的正方形 ABCD内的一点，则AP·AB 的取值范围是______．
(2)(2019·天津)在四边形 ABCD中，AD∥BC，AB＝2 3，AD＝5，∠A＝30°，点 E在线段 CB
的延长线上，且 AE＝BE，则B→D·A→E＝________.
跟踪训练 2 (1)(2019· →全国Ⅱ)已知AB＝(2,3) A→C (3 t) |B→， ＝ ， ， C| 1 → →＝ ，则AB·BC等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
(2)(2020· π → 3→ → →湖南省五市十校联考)在 Rt△ABC中，∠C＝ ，AB＝4，AC＝2，若AD＝ AB，则CD·CB
2 2
等于( )
A．－18 B．－6 3
C．18 D．6 3
题型三 平面向量的实际应用
例 5 已知平行四边形 ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
例 6 6＋ 2若平面上的三个力 F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝
2
N，F1与 F2的夹角为 45°，求：
(1)F3的大小；
(2)F3与 F1夹角的大小．
跟踪训练 3 (1)点 P是△ABC → → → → → →所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点 P是△ABC
的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
(2)一物体在力 F 的作用下，由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)．已知 F＝(4，－5)，则 F 对该物
体做的功为_______．
【课后作业】
A 组
1．(2021·河南非凡联盟联考)在等腰三角形 ABC中，点 D是底边 AB的中点，若A→B＝(1,2)，C→D
(2 t) |C→＝ ， ，则 D|等于( )
A. 5 B．5 C．2 5 D．20
2．设 a，b 是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设向量 a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2,1)，且(a－λb)⊥c，则λ等于( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
4．(2020·广州检测)a，b 为平面向量，已知 a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则 a，b 夹角的余弦值等
于( )
A 4．－ B 3．－ C.3 D.4
5 5 5 5
5．(多选)设 a，b，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b 不与 c 垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
6．(多选)已知 e1，e
3
2是两个单位向量，λ∈R 时，|e1＋λe2|的最小值为 ，则|e1＋e2|等于( )
2
A．1 B. 3 C．3 D．2
7．(2021·武昌调研)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·b＝________.
8．(2020·山东师大附中模拟)已知向量 a，b，其中|a|＝ 3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量 a 和
b 的夹角是________，a·(a＋b)＝________.
9．(2020·景德镇模拟)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 30°，c＝ma＋(1－m)b，b·c＝0，则 m
＝________.
10．(2021·四川双流中学诊断)如图，在△ABC中，M为 BC的中点，若 AB＝1，AC 3 A→＝ ， B与
A→C →的夹角为 60°，则|MA|＝________.
11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求 a 与 b 的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3) →若AB＝a，B→C＝b，求△ABC的面积．
12．已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]．
(1)若 a∥b，求 x的值；
(2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x的值．
B 组
13．(2020·安徽五校联盟质检)已知点O是△ABC O→ → → → →内部一点，且满足 A＋OB＋OC＝0，又AB·AC
＝2 3，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )
A. 3 B．3 C．1 D．2
2
14．(2020·郑州质检)在 Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边 AC的中线 BD上，
则C→P·B→P的最小值为( )
A 1．－ B．0 C．4 D．－1
2
C 组
15．(2020·潍坊模拟)已知 f(x) 3＝ |sin πx|，A1，A2，A3为图象的顶点，O，B，C，D为 f(x)与
2
x —→ —→轴的交点，线段 A3D上有五个不同的点 Q1，Q2，…，Q5.记 ni＝OA2 ·OQi (i＝1,2，…，5)，
则 n1＋…＋n5的值为( )
A.15 3 B 45 C.45． D.15 3
2 2 4
16. A(1,0) B( 1,0) |O→在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 和点 － ， C|＝1，且∠AOC＝θ，
其中 O为坐标原点．
(1)若θ 3π＝ ，设点 D为线段 OA上的动点，求|O→C →＋OD|的最小值；
4
0 π，
(2) θ 2 m B→若 ∈ ，向量 ＝ C，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求 m·n 的最小值及对应的θ值．

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