资源简介

第 41 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【考试要求】
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2.会用两个计数原理解决一些简单的实际问题．
【知识梳理】
基本形式 一般形式 区别
完成一件事有两类不 完成一件事有 n类不同方案，在 分类加法计数原理与分
同方案，在第 1类方案 第 1 类方案中有 m1种不同的方 步乘法计数原理，都涉
分类
中有 m种不同的方法， 法，在第 2 类方案中有 m2种不 及完成一件事情的不同
加法
在第 2类方案中有 n种 同的方法，…，在第 n类方案中 方法种数．它们的区别
计数
不同的方法，那么完成 有 mn种不同的方法，那么完成 在于：分类加法计数原
原理
这件事共有 N＝m＋n 这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋ 理与分类有关，各种方
种不同的方法 mn种不同的方法 法相互独立，用其中的
完成一件事需要两个 完成一件事需要 n个步骤，做第 任何一种方法都可以完
分步 步骤，做第 1步有 m种 1步有 m1种不同的方法，做第 2 成这件事；分步乘法计
乘法 不同的方法，做第 2步 步有 m2种不同的方法，…，做 数原理与分步有关，各
计数 有 n种不同的方法，那 第 n步有 mn种不同的方法，那 个步骤相互依存，只有
原理 么完成这件事共有 N 么 完 成 这 件 事 共 有 N ＝ 各个步骤都完成了，这
＝m×n种不同的方法 m1×m2×…×mn种不同的方法 件事才算完成
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( × )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( √ )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( √ )
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件
事．( × )
题组二 教材改编
2．已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从 M，N这两个集合中各选一个元素分别
作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点
的个数是( )
A．12 B．8 C．6 D．4
答案 C
解析 分两步：第一步先确定横坐标，有 3种情况，第二步再确定纵坐标，有 2种情况，因
此第一、第二象限内不同点的个数是 3×2＝6，故选 C.
3．已知某公园有 4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( )
A．16 B．13 C．12 D．10
答案 C
解析 将 4个门编号为 1,2,3,4，从 1号门进入后，有 3种出门的方式，共 3种走法，从 2,3,4
号门进入，同样各有 3种走法，共有不同走法 3×4＝12(种)．
4.书架的第 1层放有 4 本不同的计算机书，第 2层放有 3 本不同的文艺书，第 3层放有 2本
不同的体育书．从书架中任取 1本书，则不同的取法种数为________．
答案 9
解析 分三类：第一类，从第 1层取一本书有 4种取法，
第二类，从第 2层取一本书有 3种取法，
第三类，从第 3层取一本书有 2种取法．
共有 4＋3＋2＝9(种)取法．
题组三 易错自纠
5．从 0,2中选一个数字，从 1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个
数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
答案 B
解析 分两类情况讨论：第 1类，奇偶奇，个位有 3种选择，十位有 2种选择，百位有 2种
选择，共有 3×2×2＝12(个)奇数；第 2类，偶奇奇，个位有 3种选择，十位有 2种选择，百
位有 1 种选择，共有 3×2×1＝6(个)奇数．根据分类加法计数原理知，共有 12＋6＝18(个)
奇数．
6．某人有 3个电子邮箱，他要发 5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有_______种．
答案 243
解析 因为每个邮件选择发的方式有 3种不同的情况．
所以要发 5个电子邮件，发送的方法有 3×3×3×3×3＝35＝243(种).
【典型例题】
题型一 分类加法计数原理
1．满足 a，b∈{－1,0,1,2}，且关于 x的方程 ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个
数为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
答案 B
解析 方程 ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论．①当 a＝0时，方程为一元一次方程
2x＋b＝0，不论 b取何值，方程一定有解．此时 b的取值有 4个，故此时有 4个有序数对．
②当 a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即 ab≤1.显然有 3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，
(2,1)，(2,2)．a≠0 时，(a，b)共有 3×4＝12(个)实数对，故 a≠0 时满足条件的实数对有 12
－3＝9(个)．
所以满足题意的有序数对共有 4＋9＝13(个)．
2．集合 P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中 x，y∈{1,2,3，…，9}，且 P Q.把满足上述条件的一
对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )
A．9 B．14 C．15 D．21
答案 B
解析 当 x＝2时，x≠y，点的个数为 1×7＝7.
当 x≠2时，由 P Q，∴x＝y.
∴x可从 3,4,5,6,7,8,9中取，有 7种方法．
因此满足条件的点共有 7＋7＝14(个)．
3．如果把个位数是 1，且恰有 3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由 1,2,3,4四个数
字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
答案 12
解析 当组成的数字有三个 1，三个 2，三个 3，三个 4 时共有 4 种情况．当有三个 1 时：
2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有 9种，当有三个 2,3,4时：2221,3331,4441，
有 3种，根据分类加法计数原理可知，共有 12种结果．
思维升华 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，
关键位置．
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两
种方法是不同的方法，不能重复．
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．
题型二 分步乘法计数原理
例 1 (1)如图，小明从街道的 E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公
寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
答案 B
解析 从 E点到 F点的最短路径有 6条，从 F点到 G点的最短路径有 3 条，所以从 E点到
G点的最短路径有 6×3＝18(条)，故选 B.
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有____种
不同的报名方法．
答案 120
解析 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6种选法，
第二个项目有 5种选法，第三个项目有 4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名
方法共有 6×5×4＝120(种)．
1．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，
每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？
解 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3种不同的报名方法，根据分步乘法计
数原理，可得不同的报名方法共有 36＝729(种)．
2．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每
人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？
解 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法
计数原理，可得不同的报名方法共有 63＝216(种)．
思维升华 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先
后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成
了，才算完成这件事．
(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步
完成．
跟踪训练 1 (1)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a，b组成复数 a＋bi，其中虚数
的个数是( )
A．30 B．42 C．36 D．35
答案 C
解析 因为 a＋bi为虚数，所以 b≠0，即 b有 6 种取法，a有 6种取法，由分步乘法计数原
理知可以组成 6×6＝36个虚数．
(2)已知 a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圆的个数为( )
A．7 B．9 C．12 D．16
答案 C
解析 得到圆的方程分两步：第一步：确定 a有 3种选法；第二步：确定 b有 4种选法，由
分步乘法计数原理知，共有 3×4＝12(个)．
题型三 两个计数原理的综合应用
例 2 (1)现有 5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的
两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是( )
A．120 B．140 C．240 D．260
答案 D
解析 由题意，先涂 A处共有 5 种涂法，再涂 B处有 4 种涂法，然后涂 C处，若 C处与 A
处所涂颜色相同，则 C处共有 1种涂法，D处有 4种涂法；若 C处与 A处所涂颜色不同，到
C 处有 3 种涂法，D 处有 3 种涂法，由此可得不同的涂色方法有 5×4×(1×4＋3×3)＝
260(种)．故选 D.
(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长
方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是
( )
A．60 B．48 C．36 D．24
答案 B
解析 一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线组成6个“平行线面组”，
一共有 6个面，共有 6×6＝36(个)．
长方体的每个对角面有 2个“平行线面组”，共有 6个对角面，一共有 6×2＝12(个)．
根据分类加法计数原理知：共有 36＋12＝48(个)．
(3)用 0,1,2,3,4,5,6这 7个数字可以组成_______个无重复数字的四位偶数．(用数字作答)
答案 420
解析 要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为 0，个
位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步．
①第 1 类，当千位数字为奇数，即取 1,3,5中的任意一个时，个位数字可取 0,2,4,6中的任意
一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．
根据分步乘法计数原理，有 3×4×5×4＝240(种)取法．
②第 2类，当千位数字为偶数，即取 2,4,6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任
意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字
重复的数字．
根据分步乘法计数原理，有 3×3×5×4＝180(种)取法．
③根据分类加法计数原理，共可以组成 240＋180＝420(个)无重复数字的四位偶数．
思维升华 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么．
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．
(3)弄清分步、分类的标准是什么．
(4)利用两个计数原理求解．
跟踪训练 2 (1)(2021·郑州质检)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )
A．72 B．120 C．192 D．240
答案 D
解析 将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数．(1)若末位数字为
2 2 4 5×4×3×2×1，因为含有 个 ，所以有 ＝60(种)情况；(2)若末位数字为 6，
2
同理有 60种情况；(3)若末位数字为 4，因为有两个相同数字 4，所以共有 5×4×3×2×1＝
120(种)情况．综上，共有 60＋60＋120＝240(种)情况．
(2)《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设 AA1是正六棱
柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA1为底面矩形的一边，则这
样的阳马的个数是( )
A．8 B．12 C．16 D．18
答案 C
解析 根据正六边形的性质，则 D1－A1ABB1，D1－A1AFF1满足题意，
而 C1，E1，C，D，E和 D1一样，有 2×4＝8(个)，
当 A1ACC1为底面矩形时，有 4个满足题意，
当 A1AEE1为底面矩形时，有 4个满足题意，
故共有 8＋4＋4＝16(个)．
【课后作业】
A 组
1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数
列的个数为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 以 1为首项的等比数列为 1,2,4；1,3,9；
以 2为首项的等比数列为 2,4,8；
以 4为首项的等比数列为 4,6,9；
把这 4个数列的顺序颠倒，又得到另外的 4个数列，
∴所求的数列共有 2×(2＋1＋1)＝8(个)．
2．(2020·西安模拟)将 3名防控新冠疫情志愿者全部分配给 2个不同的社区服务，不同的分配
方案有( )
A．12种 B．9种 C．8种 D．6种
答案 C
解析 每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的
分配方案总数为 23＝8(种)．
3．(2021·保定质检)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4
次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．6种 C．10种 D．16种
答案 B
解析 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有 3种传递方式(如图)，
同理，甲先传给丙时，满足条件的也有 3种传递方式．
由分类加法计数原理可知，共有 3＋3＝6(种)传递方式．
4．(2020·凌源模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物
(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各
一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学
哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都选取到喜欢的礼物，则不同的选法有( )
A．30种 B．50种 C．60种 D．90种
答案 B
解析 ①甲同学选择牛，乙有 2种选择，丙有 10种选择，选法有 1×2×10＝20(种)；②甲同
学选择马，乙有 3种选择，丙有 10种选择，选法有 1×3×10＝30(种)，所以总共有 20＋30
＝50(种)选法．
5．(2021·安阳模拟)如图为我国数学家赵爽(约 3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定
理的示意图，现在提供 5种颜色给其中 5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻
区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A．120种 B．260种 C．340种 D．420种
答案 D
解析 由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有 5×4×3×1×3＋
5×4×3×2×2＝180＋240＝420(种)．
6．(2021·衡阳模拟)若 a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4} b，则 y＝ x表示不同直线的条数为( )
a
A．8 B．11 C．14 D．16
答案 B
b
解析 若使 表示不同的实数，则当 a＝1时，b＝1,2,3,4；当 a＝2时，b＝1,3；当 a＝3时，b
a
＝1,2,4；当 a＝4时，b＝1,3.故 y b＝ x表示的不同直线的条数共有 4＋2＋3＋2＝11.
a
7．李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、
丁四家超市分别需要每隔 2天、3天、5天、6天去配送一次．已知 5月 1日李明分别去了这
四家超市配送，那么整个 5月他不用去配送的天数是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
答案 B
解析 将 5月份的 30天依次编号为 1,2,3，…，30，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要
每隔 2天、3天、5天、6天去配送一次，且 5月 1日李明分别去了这四家超市配送，所以李
明去甲超市的天数编号为：1,4,7,10,13,16,19,22,25,28，共 10天；李明去乙超市但不去甲超市
的天数编号为：5,9,17,21,29，共 5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，
共 0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：8,15，共 2天．所以李明需要
配送的天数为 10＋5＋0＋2＝17，所以整个 5月李明不用去配送的天数是 30－17＝13.
2 2
8．(多选) x y已知集合 A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程 ＋ ＝1的说法正确的是( )
m n
A．可表示 3个不同的圆 B．可表示 6个不同的椭圆
C．可表示 3个不同的双曲线 D．表示焦点位于 x轴上的椭圆有 3个
答案 ABD
2 2
解析 当 m＝n>0 x y时，方程 ＋ ＝1 表示圆，故有 3 个，选项 A 正确；当 m≠n且 m，n>0
m n
x2 y2
时，方程 ＋ ＝1表示椭圆，焦点在 x，y轴上的椭圆分别有 3个，故有 3×2＝6(个)，选项
m n
B正确；若椭圆的焦点在 x轴上，则 m>n>0，当 m＝4时，n＝2,3；当 m＝3时，n＝2，即所
2 2
求的椭圆共有 2＋1＝3(个)，选项 D正确；当 mn<0 x y时，方程 ＋ ＝1表示双曲线，故有 3×1
m n
＋1×3＝6个，选项 C错误．
9．如图所示，使电路接通，开关不同的闭合方式共有________种．
答案 21
解析 根据题意，若电路接通，则开关 1,2与 3,4,5中都至少有 1个闭合，
对于开关 1,2，共有 2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有 1种情况，则其至少有 1个闭合的
有 4－1＝3(种)情况，
对于开关 3,4,5，共有 2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有 1种情况，则其至少有 1个闭
合的有 8－1＝7(种)情况，则电路接通的情况有 3×7＝21(种)．
10．(2020·石家庄模拟)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的 4×4小方格中，每格内只填
入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有________种．
答案 576
解析 依题意可分为以下 3步：(1)先从 16个格子中任选一格放入第一个汉字，有 16种方法；
(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有 9 个格子可以放，有 9 种方法；(3)
第三个汉字只有 4个格子可以放，有 4种方法，根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法
有 16×9×4＝576(种)．
11．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个
正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
________．
答案 36
解析 第 1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面
对”有 2×12＝24(个)；第 2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面
对”，这样的“正交线面对”有 12个．所以正方体中“正交线面对”共有 24＋12＝36(个)．
12．我市 VR大会展厅前广场改造，在人行道(斑马线)两侧划分 5块区域(如图)，现有四种不
同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的区域)所选
花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有________种．
答案 288
解析 根据题意，对于区域①②，可以在 4种颜色中任选 2种，有 4×3＝12种选法；对于区
域③④⑤，可以在 4种颜色中任选 3种，有 4×3×2＝24种选法，则不同的摆放方式有 12×24
＝288(种)．
B 组
13．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出 5个数组成该集合的子集，使得这 5个数中任意两个
数的和都不等于 11，则这样的子集有( )
A．32个 B．34个 C．36个 D．38个
答案 A
解析 先把数字分成 5 组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的 5 个数中，任
意两个数的和都不等于 11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成 2×2×2×2×2＝
32(个)这样的子集．
14.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将
每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的 2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是________．
答案 60
解析 根据题意，第一个可以从 6个螺栓里任意选一个，共有 6种选择方法，并且机会是相
等的，若第一个选 1号螺栓，第二个可以选 3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到 10种方
法，所以总共有 10×6＝60(种)方法．
C 组
15．从 2,3,4,5,6,7,8,9这 8个数中任取 2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以
组成不同对数值的个数为( )
A．56 B．54 C．53 D．52
答案 D
解析 在 8 个数中任取 2个不同的数共有 8×7＝56(个)对数值；但在这 56个数值中，log24
＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有 56－4＝52(个)．
16．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3，则称这样的三位数为凸数(如
120,343,275等)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 B．204 C．729 D．920
答案 A
解析 若 a2＝2，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，“凸数”为 120 与 121，共 2
个．若 a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有 2×3＝6(个)．若
a2＝4，满足条件的“凸数”有 3×4＝12(个)，…，若 a2＝9，满足条件的“凸数”有 8×9＝
72(个)．
所以所有凸数有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．第 41 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【知识梳理】
基本形式 一般形式 区别
完成一件事有两类不同 完成一件事有 n类不同方案，在 分类加法计数原理
方案，在第 1类方案中有 第 1类方案中有 m1种不同的方 与分步乘法计数原
分类
m种不同的方法，在第 2 法，在第 2类方案中有 m2种不同 理，都涉及完成一件
加法
类方案中有 n 种不同的 的方法，…，在第 n类方案中有 事情的不同方法种
计数
方法，那么完成这件事共 mn种不同的方法，那么完成这件 数．它们的区别在
原理
有 N＝ 种不同的 事共 N＝ 种 于：分类加法计数原
方法 不同的方法 理与分类有关，各种
方法相互独立，用其
完成一件事需要两个步 完成一件事需要 n个步骤，做第 中的任何一种方法
分步 骤，做第 1步有 m种不 1步有 m1种不同的方法，做第 2 都可以完成这件事；
乘法 同的方法，做第 2步有 n 步有 m2种不同的方法，…，做第 分步乘法计数原理
计数 种不同的方法，那么完成 n步有 mn种不同的方法，那么完 与分步有关，各个步
原理 这件事共有 N＝ 成这件事共有 N＝ 骤相互依存，只有各
种不同的方法 种不同的方法 个步骤都完成了，这
件事才算完成
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件
事．( )
2．已知集合 M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从 M，N这两个集合中各选一个元素分别
作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点
的个数是( )
A．12 B．8 C．6 D．4
3．已知某公园有 4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( )
A．16 B．13 C．12 D．10
4.书架的第 1层放有 4 本不同的计算机书，第 2层放有 3 本不同的文艺书，第 3层放有 2本
不同的体育书．从书架中任取 1本书，则不同的取法种数为________．
5．从 0,2中选一个数字，从 1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个
数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
6．某人有 3个电子邮箱，他要发 5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有_______种．
【典型例题】
题型一 分类加法计数原理
1．满足 a，b∈{－1,0,1,2}，且关于 x的方程 ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个
数为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
2．集合 P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中 x，y∈{1,2,3，…，9}，且 P Q.把满足上述条件的一
对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )
A．9 B．14 C．15 D．21
3．如果把个位数是 1，且恰有 3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由 1,2,3,4四个数
字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
题型二 分步乘法计数原理
例 1 (1)如图，小明从街道的 E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公
寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有____种
不同的报名方法．
跟踪训练 1 (1)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a，b组成复数 a＋bi，其中虚数
的个数是( )
A．30 B．42 C．36 D．35
题型三 两个计数原理的综合应用
例 2 (1)现有 5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的
两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是( )
A．120 B．140 C．240 D．260
(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长
方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是
( )
A．60 B．48 C．36 D．24
(3)用 0,1,2,3,4,5,6这 7个数字可以组成_______个无重复数字的四位偶数．(用数字作答)
跟踪训练 2 (1)(2021·郑州质检)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )
A．72 B．120 C．192 D．240
(2)《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设 AA1是正六棱
柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA1为底面矩形的一边，则这
样的阳马的个数是( )
A．8 B．12 C．16 D．18
【课后作业】
A 组
1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数
列的个数为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
2．(2020·西安模拟)将 3名防控新冠疫情志愿者全部分配给 2个不同的社区服务，不同的分配
方案有( )
A．12种 B．9种 C．8种 D．6种
3．(2021·保定质检)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4
次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．6种 C．10种 D．16种
4．(2020·凌源模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物
(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各
一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学
哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都选取到喜欢的礼物，则不同的选法有( )
A．30种 B．50种 C．60种 D．90种
5．(2021·安阳模拟)如图为我国数学家赵爽(约 3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定
理的示意图，现在提供 5种颜色给其中 5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻
区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A．120种 B．260种 C．340种 D．420种
6．(2021·衡阳模拟)若 a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4} b，则 y＝ x表示不同直线的条数为( )
a
A．8 B．11 C．14 D．16
7．李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、
丁四家超市分别需要每隔 2天、3天、5天、6天去配送一次．已知 5月 1日李明分别去了这
四家超市配送，那么整个 5月他不用去配送的天数是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
2 2
8．(多选)已知集合 A＝{－1,2,3,4}，m，n x y∈A，则对于方程 ＋ ＝1的说法正确的是( )
m n
A．可表示 3个不同的圆 B．可表示 6个不同的椭圆
C．可表示 3个不同的双曲线 D．表示焦点位于 x轴上的椭圆有 3个
9．如图所示，使电路接通，开关不同的闭合方式共有________种．
10．(2020·石家庄模拟)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的 4×4小方格中，每格内只填
入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有________种．
11．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个
正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
________．
12．我市 VR大会展厅前广场改造，在人行道(斑马线)两侧划分 5块区域(如图)，现有四种不
同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的区域)所选
花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有________种．
B 组
13．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出 5个数组成该集合的子集，使得这 5个数中任意两个
数的和都不等于 11，则这样的子集有( )
A．32个 B．34个 C．36个 D．38个
14.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将
每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的 2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是________．
C 组
15．从 2,3,4,5,6,7,8,9这 8个数中任取 2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以
组成不同对数值的个数为( )
A．56 B．54 C．53 D．52
16．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3，则称这样的三位数为凸数(如
120,343,275等)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 B．204 C．729 D．920

展开更多......

收起↑