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第 37讲 直线与椭圆位置关系
【知识梳理】
1.判断直线和椭圆位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．
若Δ>0，则直线和椭圆相交；
若Δ＝0，则直线和椭圆相切；
若Δ<0，则直线和椭圆相离．
2.根与系数的关系及弦长公式
2 2
设直线 l：y＝kx＋b(k≠0 x y，b为常数)与椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)相交，两个交点为 A(x ，y )、B(x ，
a2 b2
1 1 2
y2)，则线段 AB叫做直线 l截椭圆所得的弦，线段 AB的长度叫做弦长．
|AB|＝ 1＋k2· x1＋x2 2－4x1x2，其中 x1＋x2与 x1·x2均可由根与系数的关系得到．
【典型例题】
题型一 直线与椭圆的位置关系
2 2
1．若直线 y kx 1 x y＝ ＋ 与椭圆 ＋ ＝1总有公共点，则 m的取值范围是( )
5 m
A．m>1 B．m>0
C．0答案 D
解析 方法一 由于直线 y＝kx＋1恒过点(0,1)，
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
1
则 0< ≤1且 m≠5，故 m≥1且 m≠5.
m
y＝kx＋1，
方法二 由
mx2＋5y2－5m＝0，
消去 y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切 k∈R 恒成立，
即 5mk2＋m2－m≥0对一切 k∈R 恒成立，
由于 m>0且 m≠5，∴5k2＋m－1≥0，
∴m≥1且 m≠5.
2 2
2．已知直线 l：y＝2x＋m C x y，椭圆 ： ＋ ＝1.试问当 m取何值时，直线 l与椭圆 C：
4 2
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 将直线 l的方程与椭圆 C的方程联立，
y＝2x＋m，①
得方程组 x2 y2
＋ ＝1，②
4 2
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3 2数解．这时直线 l与椭圆 C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即 m＝±3 2时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数
解．这时直线 l与椭圆 C有两个互相重合的公共点，即直线 l与椭圆 C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即 m<－3 2或 m>3 2时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时
直线 l与椭圆 C没有公共点．
思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
题型二 弦长及中点弦问题
命题点 1 弦长问题
x2 y2
例 1 (1)已知斜率为 2的直线经过椭圆 ＋ ＝1的右焦点 F，与椭圆相交于 A，B两点，则
5 4
弦 AB的长为________．
5 5
答案
3
解析 方法一 由题意知，椭圆的右焦点 F的坐标为(1,0)，直线 AB的方程为 y＝2(x－1)，
y＝2 x－1 ，
由 x2 y2
＋ ＝1，
5 4
消去 y，得 3x2－5x＝0 5，解得 x＝0或 ，
3
5 4
，
设 A(0，－2)，B 3 3 ，则
0 5 2 4－ － －
|AB|＝ 3 2＋ 3 2 5 5＝ .
3
方法二 由题意知，椭圆的右焦点 F的坐标为(1,0)，直线 AB的方程为 y＝2(x－1)，
y＝2 x－1 ，
由 x2 y2 1 消去 y得 3x
2－5x＝0，
＋ ＝ ，
5 4
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x 51＋x2＝ ，x1x2＝0，
3
5
则|AB|＝ x 5 51－x2 2＋ y1－y2 2＝ 1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2]＝ 1＋22 3 2－4×0 ＝ .
3
2
(2)斜率为 1 l x的直线 与椭圆 ＋y2＝1相交于 A，B两点，则|AB|的最大值为( )
4
A 2 B.4 5 C.4 10． D.8 10
5 5 5
答案 C
解析 设 A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线 l的方程为 y＝x＋t，
x2＋4y2＝4，
由 消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
y＝x＋t，
又Δ＝(8t)2－16(t2－1)×5>0，得 t2<5，
x x 8t x x 4 t
2－1
则 1＋ 2＝－ ， 1 2＝ .
5 5
8 2
∴|AB|＝ 2|x1－x2|＝ 2 x1＋x2 2
－ t
4x x 2 5 2 4 4 t －1 4 2－ 1 2＝ － × ＝ · 5－t2，
5 5
当 t＝0时，|AB| 4 10max＝ .
5
命题点 2 中点弦问题
x2 y2
例 2 已知 P(1,1)为椭圆 ＋ ＝1 内一定点，经过 P引一条弦，使此弦被 P点平分，则此弦
4 2
所在的直线方程为________________．
答案 x＋2y－3＝0
解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为 y－1＝k(x－1)，弦所在的直线
与椭圆相交于 A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y－1＝k x－1 ，
由 x2 y2
＋ ＝1，
4 2
消去 y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
x x 4k k－1 ∴ 1＋ 2＝ ，
2k2＋1
又∵x1＋x2＝2，
4k k－1 1
∴ ＝2，解得 k＝－ .
2k2＋1 2
k 1经检验， ＝－ 满足题意．
2
故此弦所在的直线方程为 y 1 1－ ＝－ (x－1)，
2
即 x＋2y－3＝0.
方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为 k，弦所在的直线与椭圆相交于 A，B两
点，
x2 y2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 1＋ 1＝1，①
4 2
x22 y22＋ ＝1，②
4 2
x1＋x2 x1－x2 y1＋y2 y1－y2
①－②得 ＋ ＝0，
4 2
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
x1－x2
∴ ＋y1－y2＝0，
2
又 x2－x 0
y1－y2 1
1≠ ，∴k＝ ＝－ .
x1－x2 2
经检验，k 1＝－ 满足题意．
2
1
∴此弦所在的直线方程为 y－1＝－ (x－1)，
2
即 x＋2y－3＝0.
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方
程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往
往会更简单．记住必须检验．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2]
1 1＋
或|AB|＝ k2 [ y1＋y2 2－4y1y2](k为直线斜率)．
(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
跟踪训练 1 (1)已知椭圆两顶点 A(－1,0)，B(1,0)，过焦点 F(0,1)的直线 l与椭圆交于 C，D两
|CD| 3 2点，当 ＝ 时，则直线 l的方程为________________．
2
答案 2x－y＋1＝0或 2x＋y－1＝0
解析 由题意得 b＝1，c＝1.
∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.
y2
∴椭圆方程为 ＋x2＝1.
2
当直线 l的斜率不存在时，|CD|＝2 2，不符合题意．
当直线 l的斜率存在时，设 l的方程为 y＝kx＋1，
y＝kx＋1，
联立 得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
y2＋2x2＝2，
Δ＝8(k2＋1)>0恒成立．
设 C(x1，y1)，D(x2，y2)．
2k 1
∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ .
k2＋2 k2＋2
2
∴|CD|＝ 1 k2|x x 2 2 k ＋1 ＋ 1－ 2|＝ 1＋k2 x1＋x2 2－4x1x2＝ .
k2＋2
2 2 k2＋1 3 2
即 ＝ ，
k2＋2 2
解得 k2＝2，∴k＝± 2.
∴直线 l的方程为 2x－y＋1＝0或 2x＋y－1＝0.
2
(2) x y
2
已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是 x－y＋5＝0，弦的中点坐标是 M(－a b
4,1)，则椭圆的离心率是________．
3
答案
2
解析 设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知 yM＝－
b2 2
b
xM，代入 k＝1，M(－4，1) b 1 3，解得 ＝ ，e＝ 1－ 2＝ .
a2
a
k a2 4 2
题型三 直线与椭圆的综合问题
x2 2
例 3 (2020·天津) y已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，
a2 b2
其中 O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点 C满足 3O→C＝O→F，点 B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线 AB与以 C为圆心的圆
相切于点 P，且 P为线段 AB的中点．求直线 AB的方程．
解 (1)由已知可得 b＝3，记半焦距为 c，
由|OF|＝|OA|可得 c＝b＝3，
又由 a2＝b2＋c2，可得 a2＝18，
x2 y2
所以椭圆的方程为 ＋ ＝1.
18 9
(2)因为直线 AB与以 C为圆心的圆相切于点 P，
所以 AB⊥CP.
依题意，直线 AB和直线 CP的斜率均存在．
设直线 AB的方程为 y＝kx－3.
y＝kx－3，
联立方程组 x2 y2
＋ ＝1，
18 9
消去 y可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，
12k
解得 x＝0或 x＝ .
2k2＋1
12k 6k2－3
，
依题意，可得点 B的坐标为 2k2＋1 2k2＋1 .
因为 P为线段 AB的中点，点 A的坐标为(0，－3)，
6k －3
，
所以点 P的坐标为 2k2＋1 2k2＋1 .
3O→C →由 ＝OF，得点 C的坐标为(1,0)，
－3
－0
2
CP 2k ＋1 3故直线 的斜率为 ＝ .
6k 2k2－6k＋1
－1
2k2＋1
又因为 AB CP k· 3⊥ ，所以 ＝－1，
2k2－6k＋1
1
整理得 2k2－3k＋1＝0，解得 k＝ 或 k＝1.
2
1
所以直线 AB的方程为 y＝ x－3或 y＝x－3，
2
即 x－2y－6＝0或 x－y－3＝0.
思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭
圆的方程，消去 y(或 x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立
有关参变量的等量关系求解．
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0或不存在等特殊情形．
跟踪训练 2 已知椭圆 C的两个焦点分别为 F1(－1，0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为
B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆 C的方程；
(2) → →若椭圆 C的短轴长为 2，过点 F2的直线 l与椭圆 C相交于 P，Q两点，且F1P⊥F1Q，求直
线 l的方程．
解 (1)由题意知，△F1B1B2为等边三角形，
a2 4＝ ，
c＝ 3b， a2－b2＝3b2， 3
则 即 解得
c 1 1＝ ， a2－b2＝1， b2＝ ，
3
3x2
故椭圆 C的方程为 ＋3y2＝1.
4
2
(2) x易知椭圆 C的方程为 ＋y2＝1，
2
当直线 l的斜率不存在时，其方程为 x＝1，不符合题意；
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y＝k(x－1)，
y＝k x－1 ，
由 x2 y2 1 得(2k
2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
＋ ＝ ，
2
Δ＝8(k2＋1)>0，
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
2 2 k2－1
则 x1＋x
4k
2＝ ，x1x2＝ ，
2k2＋1 2k2＋1
F→ →1P＝(x1＋1，y1)，F1Q＝(x2＋1，y2)，
F→P F→Q F→因为 1 ⊥ 1 ，所以 1P·F→1Q＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2
2
＋1 7k －1＝ ＝0，
2k2＋1
解得 k2 1 7＝ ，即 k＝± ，
7 7
故直线 l的方程为 x＋ 7y－1＝0或 x－ 7y－1＝0.
【课后作业】
A 组
2 2
1．直线 y x y＝x＋2与椭圆 ＋ ＝1有两个公共点，则 m的取值范围是( )
m 3
A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞)
答案 B
y＝x＋2，
解析 由 x2 y2 得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
＋ ＝1，
m 3
由Δ>0且 m≠3及 m>0，得 m>1且 m≠3.故选 B.
2 2
2．直线 y＝kx－k 1 x y＋ 与椭圆 ＋ ＝1的位置关系为( )
9 4
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案 A
2 2
解析 由题意得直线 y－1＝k (x－1)恒过定点(1，1) x y，而点(1，1)在椭圆 ＋ ＝1的内部，所
9 4
以直线与椭圆相交．故选 A.
2
3．直线 y＝kx＋1 x，当 k变化时，此直线被椭圆 ＋y2＝1截得的最大弦长是( )
4
A．2 B.4 3
3
C．4 D．不能确定
答案 B
解析 直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，
则弦长为 x2＋ y－1 2＝ 4－4y2＋y2－2y＋1＝ －3y2－2y＋5，
y 1 4 3当 ＝－ 时，弦长最大为 .
3 3
x24 y
2
．已知椭圆 E： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F的直线交 E于 A，B两点，若
a2 b2
AB的中点为 M(1，－1)，则椭圆 E的方程为( )
A.x
2 y2 1 B.x
2 y2
＋ ＝ ＋ ＝1
45 36 36 27
x2 y2 x2 y2C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
27 18 18 9
答案 D
k 0＋1 1解析 AB＝ ＝ ，kOM＝－1，
3－1 2
2 2
由 kAB·k
b b 1
OM＝－ ，得 ＝ ，∴a2＝2b2.
a2 a2 2
∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，
x2E y
2
∴椭圆 的方程为 ＋ ＝1.
18 9
2
5．( x多选)设椭圆 C： ＋y2＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，P是 C上的动点，则下列结论
2
正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝2 2
B．离心率 e 6＝
2
C．△PF1F2面积的最大值为 2
D．以线段 F1F2为直径的圆与直线 x＋y－ 2＝0相切
答案 AD
解析 对于 A选项，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 2，所以 A选项正确；
B a 2 b 1 c 1 e c 1 2对于 选项，依题意 ＝ ， ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ，所以 B选项不正确；
a 2 2
对于 C选项，|F1F2|＝2c＝2
1
，当 P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值为 ·2c·b＝
2
c·b＝1，所以 C选项错误；
对于 D选项，以线段 F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为 c＝1，圆心到直线 x＋y－ 2＝
0 2的距离为 ＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段 F1F2为直径的圆与直线 x＋y
2
－ 2＝0相切，所以 D选项正确．
综上所述，正确的为 AD.
2 2
6．(多选) x y已知椭圆 C： ＋ ＝1的左、右两个焦点分别为 F1，F2，直线 y＝kx (k≠0)与 C交
4 2
于 A，B两点，AE⊥x轴，垂足为 E，直线 BE与 C的另一个交点为 P，则下列结论正确的是
( )
A．四边形 AF1BF2为平行四边形
B．∠F1PF2<90°
C．直线 BE 1的斜率为 k
2
D．∠PAB>90°
答案 ABC
解析 对于 A，根据椭圆的对称性可知，|OF1|＝|OF2|，|OA|＝|OB|.故四边形 AF1BF2为平行四
边形．故 A正确；
对于 B，根据椭圆的性质，当 P在上、下顶点时，|OP|＝b＝ 2＝c.此时∠F1PF2＝90°.由题意
可知 P不可能在上下顶点，故∠F1PF2<90°.故 B正确；
对于 C，
如图，不妨设 B |BD| |BD| 1在第一象限，则直线 BE的斜率为 ＝ ＝ k，故 C正确；
|ED| 2|OD| 2
对于 D，设 P(x1，y1)，A(x2，y2)，则 B(－x2，－y2)，
x22 1 2 x
2
－ － 2
k ·k y1－y2·y1＋y2 y1
2－y22 2 － 2 1
所以 AP BP＝ ＝ ＝ ＝－ .
x1－x2 x1＋x2 x12－x22 x12－x22 2
1
－
C 1又由 可知直线 BP的斜率为 k，故 k ＝ 2 1AP ＝－ .
1
所以 kAP·kAB＝－ ·k＝－1.
2 1 k kk
2
故∠PAB＝90°.故 D错误．
故选 ABC.
2 2
7 y x．已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为 1，则椭圆
a2 b2
方程为________．
y2
答案 ＋x2＝1
4
y2 x2
解析 因为椭圆 ＋ ＝1的右顶点为 A(1,0)，
a2 b2
所以 b＝1，焦点坐标为(0，c)，
因为过焦点且垂直于长轴的弦长为 1，
2b2
所以 ＝1，a＝2，
a
y2
所以椭圆方程为 ＋x2＝1.
4
x28．已知椭圆 ＋y2＝1与直线 y＝x＋m 4 2交于 A，B两点，且|AB|＝ ，则实数 m的值为_____．
2 3
答案 ±1
x2
＋y2＝1，
解析 由 2 消去 y并整理，得 3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
y＝x＋m，
2
设 A(x1，y1)，B(x y ) x x
4m 2m －2
2， 2 ，则 1＋ 2＝－ ，x1x2＝ .
3 3
4 2
由题意，得 2 x1＋x2 2－8x1x2＝ ，
3
解得 m＝±1.
2 2
9．已知 F x y为椭圆 C： ＋ ＝1的右焦点，过 F的直线 l交椭圆 C于 A，B两点，M为 AB的
6 2
中点，则 M到 x轴的最大距离为________．
3
答案
3
解析 因为 a2＝6，b2＝2，所以椭圆的右焦点坐标为(2，0).设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：
x＝ty＋2(显然当直线斜率为 0时，不可能最大)，与椭圆方程联立得，
(t2＋3)y2＋4ty 2 4t－ ＝0，Δ＝16t2＋8(t2＋3)>0恒成立，所以 y1＋y2＝－ ，
t2＋3
即弦 AB的中点 M y1＋y2 2t 2|t|的纵坐标为 ＝－ ，所以 M到 x轴的距离为 .
2 t2＋3 t2＋3
2
当 t≠0 2|t| 2 3时， ＝ 3≤ ＝ ，当且仅当 t
2＝3时等号成立，故 M到 x轴的最大距离为
t2＋3 |t|＋ 2 3 3
|t|
3.
3
2
10．(2021· x衡水调研)与椭圆 ＋y2＝1有相同的焦点且与直线 l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离
2
心率为________．
5
答案
5
x2 x2 y2
解析 因为所求椭圆与椭圆 ＋y2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为 ＋ ＝
2 a2 a2－1
x2 y2
＋ ＝1，
2 2
1(a>1)，联立方程组 a a －1 (2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
y＝x＋3
因为直线 l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，
化简得 a4－6a2＋5＝0，即 a2＝5或 a2＝1(舍)．
c 1 5
则 a＝ 5.又 c＝1，所以 e＝ ＝ ＝ .
a 5 5
x2 y211 (2021· 2． 武汉调研)已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 ，直线
a2 b2 2
y＝k(x－1)与椭圆 C交于不同的两点 M，N.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)当△AMN 10的面积为 时，求 k的值．
3
a＝2，
(1) c 2解 由题意得 ＝ ， 得 b＝ 2，
a 2
a2＝b2＋c2，
2 2
所以椭圆 C x y的方程为 ＋ ＝1.
4 2
y＝k x－1 ，
(2)由 x2 y2 1 得(1＋2k
2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
＋ ＝ ，
4 2
设点 M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
4k2 2
则 x1＋x2＝ ，x x
2k －4
＝ ，
1＋2k2
1 2
1＋2k2
|MN| x x 2 1＋k
2 4＋6k2
所以 ＝ 2－ 1 2＋ y2－y1 2＝ 1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2]＝ .
1＋2k2
|k|
又点 A(2,0)到直线 y＝k(x－1)的距离 d＝ ，
1＋k2
2
所以△AMN 1的面积 S＝ |MN|·d |k| 4＋6k＝ ，
2 1＋2k2
|k| 4＋6k2 10
由 ＝ ，得 k＝±1，满足Δ>0.
1＋2k2 3
AMN 10所以当△ 的面积为 时，k＝±1.
3
2 2
12．设 F1，F x y 22分别是椭圆 E： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为 ，点(0,1)是 E
a2 b2 2
上一点．
(1)求椭圆 E的方程；
(2)过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，且B→F1＝2F→1A，求直线 BF2的方程．
(1) c
2 a2－b2 1
解 由题意知，b＝1，且 e2＝ ＝ ＝ ，
a2 a2 2
2
解得 a2 2 x＝ ，所以椭圆 E的方程为 ＋y2＝1.
2
(2)由题意知，直线 AB的斜率存在且不为 0，故可设直线 AB的方程为 x＝my－1，设 A(x1，
y1)，B(x2，y2)．
x2
＋y2＝1，
由 2 得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
x＝my－1，
2m
则 y1＋y2＝ ，①
m2＋2
y y 11 2＝－ ，②
m2＋2
因为 F1(－1,0)，
→ →
所以BF1＝(－1－x2，－y2)，F1A＝(x1＋1，y1)，
→
由BF1＝2 F→1A可得，－y2＝2y1，③
1 ± 14－ ，
由①②③可得 B 2 4 ，
k 14 14则 BF ＝ 或－ ，2 6 6
所以直线 BF2的方程为 14x－6y－ 14＝0或 14x＋6y－ 14＝0.
B 组
x213 ( ) F F y
2
． 多选 设点 1， 2分别为椭圆 ＋ ＝1 的左、右焦点，点 P是椭圆 C上任意一点，若
9 5
→
使得PF1·P→F2＝m成立的点恰好是 4个，则实数 m的值可以是( )
A.1 B．2 C．3 D．4
2
答案 BCD
F F C x
2 y2
解析 因为点 1， 2分别为椭圆 ： ＋ ＝1的左、右焦点，a2＝9，b2＝5，c2＝4，c＝2，
9 5
即 F1(－2,0)，F2(2,0)．设 P(x →0，y0)，PF1＝(－2 → → →－x0，－y0)，PF2＝(2－x0，－y0)，由PF1·PF2＝
x2 2m x2 y 9m－9 → →，可得 0＋y02＝m＋4，又因为 P在椭圆上，即 0＋ 0＝1，所以 x02＝ ，要使得PF1·PF2
9 5 4
＝m成立的点恰好是 4 9m－9个，则 0< <9，解得 14
2 2
14 x y．设椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)长轴的端点分别为 A，B.点 C为椭圆上异于 A，B的一点，若将
a2 b2
△ABC的三内角记为A，B，C，且满足 3tan A＋3tan B＋tan C＝0，则 tan A·tan B的值为________，
椭圆的离心率为________．
2 3
答案
3 3
解析 方法一 ∵3tan A＋3tan B＋tan C＝0，
∴3tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝0，
∴－3tan C(1－tan Atan B)＋tan C＝0.
∵tan C≠0，∴tan Atan B 2＝ .
3
2 2
设 C(x，y)，A(－a,0) B(a,0) x y， ，则 ＋ ＝1.
a2 b2
∵tan Atan B 2＝ ，
3
y y 2
∴－ · ＝ ，
x＋a x－a 3
2
－y2 2 y 2
∴ ＝ ，∴
x2－a2 3 a
2 ＝ ，
y2 3
b2
b2 2 a2－c2 2 e 3∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ .
a2 3 a2 3 3
方法二 设点 C(0，b)，则有 tan A tan B b＝ ＝ ，由 A＋B＋C＝π得，tan C＝－tan(A＋B)＝
a
2b
－
tan A＋tan B a 2ab
－ ＝ b ＝ ，又知 3tan A＋3tan B＋tan C＝0，∴tan C＝－3·(tan A＋tan1－tan A·tan B b2－a2
1－ a 2
B) 6b 2ab 6b b
2 2
＝－ ，因此可得 ＝－ ，即 6(b2－a2)＝－2a2，∴3b2＝2a2，∴ ＝ ，
a b2－a2 a a2 3
2 b2 2 3
即 tan A·tan B＝ ，该椭圆的离心率 e＝ 1－ ＝ 1－ ＝ .
3 a2 3 3
C 组
x2 215 y．已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)
1
，F2(c,0)，斜率为－ 的直
a2 b2 2
c c
，
线 l与椭圆 C交于 A，B两点．若△ABF1的重心为 G 6 3 ，则椭圆 C的离心率为_____．
6
答案
3
解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x12 y2则 ＋ 1 1 x
2 y2
＝ ， 2＋ 2＝1，
a2 b2 a2 b2
x1－x2 x1＋x2 y1－y2 y1＋y2
两式相减得 ＋ ＝0.(*)
a2 b2
c c
，
因为△ABF1的重心为 G 6 3 ，
x1＋x2－c c
＝ ，
3 6 x x 3c1＋ 2＝ ，
所以 y1＋y2 c 故
2
＝ ，
3 3 y1＋y2＝c，
(*) 3 x1－x2 c y1－y2 c代入 式得 ＋ ＝0，
2a2 b2
y1－y2 3b2 1
所以 ＝－ ＝－ ，即 a2＝3b2，
x1－x 22 2a 2
C e 6所以椭圆 的离心率 ＝ .
3
1 3，
16．已知椭圆 C的两个焦点分别为 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，且椭圆 C过点 P 2 .
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)若与直线 OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆 C于 A，B两点，当 OA⊥OB时，求△AOB
的面积．
2 2
解 (1) x y设椭圆 C的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，
a2 b2
a2－b2＝3，
a2＝4，
由题意可得 1 3 1 解得＋ ＝ ， 2
a2 4b2 b ＝1.
x2
故椭圆 C的标准方程为 ＋y2＝1.
4
(2) 3 3直线 OP的方程为 y＝ x，设直线 AB的方程为 y＝ x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
2 2
将直线 AB的方程代入椭圆 C的方程并整理得 x2＋ 3mx＋m2－1＝0，
由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得 m2<4，
所以 x1＋x2＝－ 3m，x1x2＝m2－1.
3 3
→ → → → x1＋m x2＋m
由 OA⊥OB，得OA·OB＝0，OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋ 2 2
7
＝ x1x
3
2＋ m(x1＋x2)＋m2
4 2
7 3 5 7 7
＝ (m2－1)＋ m·(－ 3m)＋m2＝ m2－ ＝0，得 m2＝ .
4 2 4 4 5
又|AB| 1 3 7＝ ＋ x1＋x2 2－4x1x2＝ · 4－m2，
4 2
|m| |m|
O到直线 AB的距离 d＝ 3＝ 7，1＋
4 2
|m|
所以 S 1 1 7 91△AOB＝ ·|AB|·d＝ × × 4－m2× ＝ .2 2 2 7 10
2第 37讲 直线与椭圆
【知识梳理】
1.判断直线和椭圆位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．
若Δ>0，则直线和椭圆 ；
若Δ＝0，则直线和椭圆 ；
若Δ<0，则直线和椭圆 ．
2.根与系数的关系及弦长公式
2 2
设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b x y为常数)与椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)相交，两个交点为 A(x
2 2 1
，y1)、B(x2，
a b
y2)，则线段 AB叫做直线 l截椭圆所得的弦，线段 AB的长度叫做 ．
|AB|＝ ，其中 x1＋x2与 x1·x2均可由根与系数的关系得到．
【典型例题】
题型一 直线与椭圆的位置关系
x21 y kx 1 y
2
．若直线 ＝ ＋ 与椭圆 ＋ ＝1总有公共点，则 m的取值范围是( )
5 m
A．m>1 B．m>0
C．02 x
2 y2
．已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C： ＋ ＝1.试问当 m取何值时，直线 l与椭圆 C：
4 2
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
1
题型二 弦长及中点弦问题
x2 y2
例 1 (1)已知斜率为 2的直线经过椭圆 ＋ ＝1的右焦点 F，与椭圆相交于 A，B两点，则
5 4
弦 AB的长为________．
2
(2)斜率为 1的直线 l x与椭圆 ＋y2＝1相交于 A，B两点，则|AB|的最大值为( )
4
A 4 5 4 10 8 10．2 B. C. D.
5 5 5
2 x
2 y2
例 已知 P(1,1)为椭圆 ＋ ＝1 内一定点，经过 P引一条弦，使此弦被 P点平分，则此弦
4 2
所在的直线方程为________________．
跟踪训练 1 (1)已知椭圆两顶点 A(－1,0)，B(1,0)，过焦点 F(0,1)的直线 l与椭圆交于 C，D两
3 2
点，当|CD|＝ 时，则直线 l的方程为________________．
2
2 2
(2) x y已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是 x－y＋5＝0，弦的中点坐标是 M(－
a2 b2
4,1)，则椭圆的离心率是________．
2
题型三 直线与椭圆的综合问题
2
3 (2020· ) x y
2
例 天津 已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，
a2 b2
其中 O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2) →已知点 C满足 3OC＝O→F，点 B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线 AB与以 C为圆心的圆
相切于点 P，且 P为线段 AB的中点．求直线 AB的方程．
跟踪训练 2 已知椭圆 C的两个焦点分别为 F1(－1，0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为
B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆 C的方程；
(2)若椭圆 C的短轴长为 2，过点 F2的直线 l → →与椭圆 C相交于 P，Q两点，且F1P⊥F1Q，求直
线 l的方程．
3
【课后作业】
A 组
x2 y21．直线 y＝x＋2与椭圆 ＋ ＝1有两个公共点，则 m的取值范围是( )
m 3
A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞)
2
2 y kx k 1 x y
2
．直线 ＝ － ＋ 与椭圆 ＋ ＝1的位置关系为( )
9 4
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2
3．直线 y＝kx＋1，当 k x变化时，此直线被椭圆 ＋y2＝1截得的最大弦长是( )
4
A．2 B.4 3
3
C．4 D．不能确定
x24 y
2
．已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F的直线交 E于 A，B两点，若a b
AB的中点为 M(1，－1)，则椭圆 E的方程为( )
A.x
2 y2 2 2
＋ ＝1 B.x y＋ ＝1
45 36 36 27
2
C.x y
2 x21 D. y
2
＋ ＝ ＋ ＝1
27 18 18 9
2
5．( x多选)设椭圆 C： ＋y2＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，P是 C上的动点，则下列结论
2
正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝2 2
B 6．离心率 e＝
2
C．△PF1F2面积的最大值为 2
D．以线段 F1F2为直径的圆与直线 x＋y－ 2＝0相切
4
x2 26．(多选) y已知椭圆 C： ＋ ＝1的左、右两个焦点分别为 F1，F2，直线 y＝kx (k≠0)与 C交
4 2
于 A，B两点，AE⊥x轴，垂足为 E，直线 BE与 C的另一个交点为 P，则下列结论正确的是
( )
A．四边形 AF1BF2为平行四边形
B．∠F1PF2<90°
C 1．直线 BE的斜率为 k
2
D．∠PAB>90°
y2 27 x．已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为 1，则椭圆
a2 b2
方程为________．
8 x
2 4 2
．已知椭圆 ＋y2＝1与直线 y＝x＋m交于 A，B两点，且|AB|＝ ，则实数 m的值为_____．
2 3
2 2
9 x y．已知 F为椭圆 C： ＋ ＝1的右焦点，过 F的直线 l交椭圆 C于 A，B两点，M为 AB的
6 2
中点，则 M到 x轴的最大距离为________．
2
10．(2021· x衡水调研)与椭圆 ＋y2＝1有相同的焦点且与直线 l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离
2
心率为________．
2 2
11．(2021· x y 2武汉调研)已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 ，直线
a2 b2 2
y＝k(x－1)与椭圆 C交于不同的两点 M，N.
(1)求椭圆 C的方程；
(2) 10当△AMN的面积为 时，求 k的值．
3
5
2 2
12．设 F x y1，F2分别是椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)
2
的左、右焦点，E的离心率为 ，点(0,1)是 E
a b 2
上一点．
(1)求椭圆 E的方程；
(2)过点 F → →1的直线交椭圆 E于 A，B两点，且BF1＝2F1A，求直线 BF2的方程．
6
B 组
x2 y213．(多选)设点 F1，F2分别为椭圆 ＋ ＝1 的左、右焦点，点 P是椭圆 C上任意一点，若
9 5
→
使得PF1·P→F2＝m成立的点恰好是 4个，则实数 m的值可以是( )
A.1 B．2 C．3 D．4
2
x2 y214．设椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)长轴的端点分别为 A，B.点 C为椭圆上异于 A，B的一点，若将
a2 b2
△ABC的三内角记为A，B，C，且满足 3tan A＋3tan B＋tan C＝0，则 tan A·tan B的值为________，
椭圆的离心率为________．
C 组
x2 y215．已知椭圆 C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0) 1，斜率为－ 的直
a2 b2 2
c c
，
线 l与椭圆 C交于 A，B两点．若△ABF1的重心为 G 6 3 ，则椭圆 C的离心率为_____．
1 3，
16．已知椭圆 C的两个焦点分别为 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，且椭圆 C过点 P 2 .
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)若与直线 OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆 C于 A，B两点，当 OA⊥OB时，求△AOB
的面积．
7

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