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第 43 讲 二项式定理
【考试要求】
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的
简单问题．
【知识梳理】
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝C0an＋C1an－1b＋…＋Ckan－n n n kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)
－
二项展开式的通项 Tk 1＝Cknan kbk＋ ，它表示第 k＋1项
二项式系数 Ckn(k∈{0,1,2,3，…，n})
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值
n n-1 n+1
当 n 是偶数时，中间一项C2n 取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项C 2 与C 2n n 相等，且
同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n.
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Cknan－kbk是(a＋b)n的展开式的第 k 项．( × )
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关．( √ )
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )
(4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系
数不同．( √ )
题组二 教材改编
2．(x－y)n的二项展开式中，第 m 项的系数是( )
A．Cm ＋n B．Cmn 1
C．Cm－ － －n 1 D．(－1)m 1Cnm 1
答案 D
解析 (x－y)n 二项展开式第 m 项的通项为
T － － － ＋m＝Cnm 1(－y)m 1xn m 1，
所以系数为 Cm－n 1(－1)m－1.
3．(八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中 x2的系数是( )
A．60 B．80 C．84 D．120
答案 D
解析 (利用公式 Cm＋Cm＋1＝Cm＋n n n 1＋1 )
(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中 x2的系数为 C22＋C32＋…＋C92＝C33＋C32＋…＋C29＝
C310＝120.
4．C111＋C311＋C511＋…＋C1111＝________.
答案 210
题组三 易错自纠
a
x＋
5 3．已知 x n(a 为常数)的展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，则 a 的值为
( )
A．1 B．±1 C．2 D．±2
答案 C
解析 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为 32，则有 2n＝32，可得 n＝5，则
a 15-5k
二项式的展开式通项为 Tk 1＝Ck5( x)5－k·
3 k akCk x 6 15－5k＋ x ＝ 5 ，令 ＝0，得 k＝3，则其常
6
数项为 C53a3，根据题意，有 C35a3＝80，可得 a＝2.
2x2 1－
6．在 x n 的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为_____．
答案 1
解析 因为所有二项式系数的和是 32，所以 2n＝32，解得 n＝5.
2x2 1－
在 x 5中，令 x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
【典型例题】
题型一 多项展开式的特定项
命题点 1 二项展开式问题
例 1 (1)(2020·北京)在( x－2)5的展开式中，x2的系数为( )
A．－5 B．5 C．－10 D．10
答案 C
5- k
解析 Tk＋1＝Ck( x)5－5 k(－2)k＝Ck5 x 2 ·(－2)k，
5－k
令 ＝2，解得 k＝1.
2
所以 x2的系数为 C15(－2)1＝－10.
(2)(2019·浙江)在二项式( 2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数
是________．
答案 16 2 5
解析 该二项展开式的第 k＋1项为 T ＝Ck( 2)9－k＋1 9 kxk，当 k＝0时，第 1项为常数项，所以常
数项为( 2)9＝16 2；当 k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的
项的个数为 5.
命题点 2 两个多项式积的展开式问题
y2x＋
例 2 (1)(2020·全国Ⅰ) x (x＋y)5的展开式中 x3y3的系数为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
答案 C
y2 y2x＋ x＋
解析 方法一 ∵ x (x＋y)5＝ x (x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为 10＋5＝15.
2
方法二 当 x y＋ 中取 x 时，x3y3的系数为 C53，
x
y2 y2
当 x＋ 中取 时，x3y3的系数为 C15，
x x
∴x3y3的系数为 C53＋C15＝10＋5＝15.
(2)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中 x3的系数为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
答案 A
解析 展开式中含 x3的项可以由“1与 x3”和“2x2与 x”的乘积组成，则 x3的系数为C34＋2C41
＝4＋8＝12.
命题点 3 三项展开式问题
例 3 (1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
答案 C
解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解．
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含 y2的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含 x5的项为 C13x4·x＝C13x5.
所以 x5y2的系数为 C25C13＝30.故选 C.
方法二 利用排列组合知识求解．
(x2＋x＋y)5为 5个 x2＋x＋y 之积，其中有两个因式取 y，剩余的三个因式中两个取 x2，一个
取 x 即可，所以 x5y2的系数为 C25C23C11＝30.故选 C.
x 1－ ＋1
(2)(2020·合肥检测) x 5的展开式中的常数项为( )
A．1 B．11 C．－19 D．51
答案 B
x 1－ ＋1 x 1－
解析 x 5＝ x ＋1 5
x 1－
展开式的通项为 Tk 1＝Ck＋ 5 x 5－k
当 k＝5时，常数项为 C55＝1，
当 k＝3时，常数项为－C12C35＝－20，
当 k＝1时，常数项为 C45C24＝30.
综上所述，常数项为 1－20＋30＝11.
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数
项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合
思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
跟踪训练 1 (1)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为 15，则 a＝______.(用数字填写答案)
1
答案
2
解析 通项为 T ＝Ck x10－k 1 10 kak＋ ，令 10－k＝7，
∴k＝3，∴x7项的系数为 C130a3＝15，
a3 1 a 1∴ ＝ ，∴ ＝ .
8 2
(2)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为( )
A．－3 B．－2 C．1 D．4
答案 B
解析 (x－1)4的通项为 T ＝Ckx4－k 1 4 k＋ (－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为 C43(－
1)3＋C24(－1)2＋C14(－1)＝－2，故选 B.
(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中 x5的系数为________．
答案 92
解析 方法一 (1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以 x5的系数为 C05C5535＋C51(－1)C4534＋C52(－
1)2C3533＋C35(－1)3C2532＋C45(－1)4C1531＋C55(－1)5C5030＝92.
方法二 (1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝C05(1＋2x)5＋C15(1＋2x)4(－3x2)＋C25(1＋2x)3(－3x2)2
＋…＋C55(－3x2)5，
所以 x5的系数为 C50C5525＋C15C34×23×(－3)＋C25C31×2×(－3)2＝92.
题型二 二项式系数与各项的系数问题
命题点 1 二项式系数和与各项系数和
x2 2－
例 4 (1)若二项式 x n 的展开式的二项式系数之和为 8，则该展开式每一项的系数之和为
( )
A．－1 B．1 C．27 D．－27
答案 A
解析 依题意得 2n＝8，解得 n＝3.取 x＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.
(2)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则 a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为( )
A．1 B．2 C．129 D．2 188
答案 C
解析 令 x＝0，得 a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
则 a7(1＋x)7＝C77·30·[－(x＋1)]7，解得 a7＝－1.
故 a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.
命题点 2 二项式系数的最值问题
1
3x＋3
例 5 二项式 x n的展开式中只有第 11项的二项式系数最大，则展开式中 x 的指数为
整数的项的个数为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
答案 D
1 1
3x＋3 3x＋3
解析 根据 x n的展开式中只有第 11项的二项式系数最大，得 n＝20，∴ x n 的
1
20 4k3 －
展开式的通项为 Tk 1＝Ck20·( 3x)20－k· x k＋ ＝( 3)20－k·Ck · x 320 ，要使 x 的指数是整数，需 k
是 3的倍数，∴k＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有 7项．
思维升华 (1)求展开式中各项系数和可用“赋值法”．
(2)二项式系数最大项在中间一项或中间两项取得．
x 1－
跟踪训练 2 (1)(2021·随州调研)在 x n的展开式中，只有第 5项的二项式系数最大，则展
开式中系数最小的项的系数为( )
A．－126 B．－70 C．－56 D．－28
答案 C
解析 ∵只有第 5项的二项式系数最大，
x 1－
∴n＝8， x n 的展开式的通项为
8 3- k
Tk＋1＝(－1)kCk8 x 2 (k＝0,1,2，…，8)，
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数
项的系数互为相反数，而展开式中第 5项的二项式系数最大，因此展开式中第 4项和第 6项
的系数相等且最小，为(－1)3C83＝－56.
1
x＋
(2) 3 x n的展开式中各项系数之和大于 8，但小于 32，则展开式中系数最大的项是( )
3 4 6 4 6A．6 x B. C．4x x D. 或 4x x
x x
答案 A
1
x＋
x 1 3解析 令 ＝ ，可得 x n的展开式中各项系数之和为 2n，即 8<2n<32，解得 n＝4，故
1
3
第 3 3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是 C42( x)2 x 2＝6 x.
(3)已知 m 是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，
则 m＝________.
答案 3
解析 当 x＝0时，(－1)5＝－1＝a0.当 x＝1时，(m－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33－1＝
32，则 m－1＝2，m＝3.
【课后作业】
A 组
1．(2020·邯郸调研)(1－2x)6的展开式的第三项为( )
A．60 B．－120 C．60x2 D．－120x2
答案 C
解析 T3＝C26(－2x)2＝60x2.
2x 1－
2. x 5的展开式中含 x3的项的系数为( )
A．80 B．－80 C．－40 D．48
答案 B
2x 1 1－ －
解析 x 5的展开式的通项为 T －k 1＝Ck5(2x)5 k· x k＝(－1)k·25－k＋ ·C5k·x5－2k，令 5－2k＝3，
得 k＝1.于是展开式中含 x3的项的系数为(－1)·25－1·C51＝－80.
3．(2020·山西八校联考)已知(1＋x)n 的展开式中第 5 项与第 7项的二项式系数相等，则奇数
项的二项式系数和为( )
A．29 B．210 C．211 D．212
答案 A
解析 由题意得 C4n＝C6n，由组合数性质得 n＝10，则奇数项的二项式系数和为 2n－1＝29.
4．(2020·肇庆模拟)已知(1－ax)(1＋x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a 等于( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案 A
解析 (1－ax)(1＋x)5＝(1－ax)(1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5)，其展开式中 x2的系数为 10－5a
＝5，解得 a＝1.
1
－1
5．(x2＋2) x2 5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案 D
1 1
－1
解析 x2 5的展开式通项为 T － －k 1＝C5k x2 5 k＋ (－1)k＝Ck5x2k 10(－1)k，由 2k－10＝0得 k＝5，
1 1 1－ －1
所以 x2 5的展开式中常数项为 C55(－1)5＝－1.由 2k－10＝－2得 k＝4，所以 x2 5的展
1
开式中 x－2的系数为 C4
－1
5(－1)4＝5，所以(x2＋2) x2 5的展开式的常数项是 2×(－1)＋5＝3.
6．设(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a50x50，则 a3的值是
( )
A．C450 B．2C350 C．C351 D．C451
答案 D
解析 由题意可得a3的值是 x3的系数，而 x3的系数为C33＋C43＋C35＋…＋C350＝C44＋C43＋C35＋…
＋C530＝C451.
1
＋x3
7．(多选)对于二项式 x n(n∈N*)，下列判断正确的有( )
A．存在 n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意 n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意 n∈N*，展开式中没有 x 的一次项
D．存在 n∈N*，展开式中有一次项
答案 AD
1
＋x3
解析 二项式 x n的展开式的通项公式为Tk 1＝Cknx4k－n＋ ，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)
和 n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选 AD.
8．(多选)(2020·枣庄模拟)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则( )
A．a0＝－32 B．a2＝－80
C．a3＋4a4＝0 D．a0＋a1＋…＋a5＝1
答案 ABC
解析 令 x＝－1得(－1－1)5＝a0，即 a0＝－32，故 A正确．令 x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋
a5，即 a0＋a1＋…＋a5＝－1，故 D不正确．令 x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2
＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y
－2)5展开式中 y2项的系数，T －k 1＝Ck＋ 5y5 k(－2)k，故 a2＝C35·(－2)3＝－80，B正确．a4＝C15(－
2)1＝－10，a3＝C25(－2)2＝40，故 C正确，故选 ABC.
x2 2＋
9．(2020·全国Ⅲ) x 6的展开式中常数项是________．(用数字作答)
答案 240
x2 2＋
解析 x 6的展开式的通项为
2
Tk＋1＝Ck6(x2)6－k x k＝Ck62kx12－3k，
令 12－3k＝0，解得 k＝4，
所以常数项为 C4624＝240.
2x 1－
10．(2020·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知 x n 的展开式中第 2 项与第 3 项的二项
式系数之比是 2∶5，则 x3的系数为________．
答案 240
2x 1 1－ －
解析 x n 的展开式的通项为 Tk＋1＝Cnk·(2x)n－k· x k，由展开式中第 2项与第 3项的
6 3- k
二项式系数之比是 2∶5，可得 Cn1∶C2n＝2∶5，解得 n＝6.所以 Tk＋1＝(－1)kCk626－k· x 2 ，令
6 3－ k＝3，解得 k＝2，所以 x3的系数为 C2626－2(－1)2＝240.
2
ax 1＋
11．已知 x (2x＋1)5(a≠0)，若其展开式中各项的系数和为 81，则 a＝________，展开式
中常数项为________．
2
答案 － 10
3
ax 1＋
解析 在 x (2x＋1)5中，
令 x＝1，得(a＋1)·35＝81，解得 a 2＝－ ，
3
2 1
－ x＋
所以 3 x (2x＋1)5的展开式中的常数项为
1·C54·2x＝10.
x
12．(2020·浙江)二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则 a4＝________，a1
＋a3＋a5＝________.
答案 80 122
解析 由题意，得 a4＝C54×24＝5×16＝80.
当 x＝1时，
(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①
当 x＝－1时，
(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②
①－②，得 2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，
所以 a1＋a3＋a5＝122.
B 组
13．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第 10
项为( )
A．55 B．89 C．120 D．144
答案 A
解析 由题意，可知 a1＝1，a2＝1，a3＝1＋1＝2，a4＝1＋2＝3，a5＝2＋3＝5，a6＝3＋5＝8，
a7＝5＋8＝13，a8＝8＋13＝21，a9＝13＋21＝34，a10＝21＋34＝55.
14．(2021·济南模拟)设(1－ax)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020，若 a1＋2a2＋3a3＋…＋
2 020a2 020＝2 020a(a≠0)，则实数 a＝________.
答案 2
解析 已知(1－ax)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020，两边同时对 x 求导，
得 2 020(1－ax)2 019(－a)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 020a2 020x2 019，
令 x＝1得，－2 020a(1－a)2 019＝a1＋2a2＋3a3＋…＋2 020a2020＝2 020a，
又 a≠0，所以(1－a)2 019＝－1，即 1－a＝－1，故 a＝2.
C 组
2 1
15．若多项式(2x＋3y)n
x ＋ －4 －
的展开式中仅第 5项的二项式系数最大，则多项式 x2 n 4的展
开式中 x2的系数为( )
A．－304 B．304 C．－208 D．208
答案 A
解析 多项式(2x＋3y)n的展开式中仅第 5项的二项式系数最大，故展开式有 9项，所以 n＝8，
x2 1 1 1＋ －4 x2＋ 2
多项式 x2 4＝ －4＋ x2 4
x ＋
的展开式的通项为 Tr 1＝Cr4(－4)4－r· x2 r＋ (0≤r≤4，
x2 1 1＋
且 r∈N). x2 r 的展开式的通项 Tk k＋1＝Cr(x2)r－k· x2 k＝Ckrx2r－4k(0≤k≤r，且 k∈N，r∈N)．令
2r－4k＝2，即 r＝2k＋1，所以 k＝0，r＝1；k＝1，r＝3，所以展开式中 x2的系数为 C14·(－4)3
＋C34·C13·(－4)＝－256－48＝－304.
16．设 a，b，m 为整数(m>0)，若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记
为 a≡b(modm)．若 a＝C020＋C120·2＋C220·22＋…＋C2200·220，a≡b(mod10)，则 b 的值可以是( )
A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021
答案 D
解析 a＝C020＋C120·2＋C220·22＋…＋C2200·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被 10除所得余数为 1，
又 a≡b(mod10)，所以 b 的值可以是 2 021.第 43 讲 二项式定理
【知识梳理】
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*)
二项展开式的通项 Tk＋1＝ ，它表示第 项
二项式系数 (k∈{0,1,2,3，…，n})
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ．
(2)增减性与最大值
当 n 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项 与 相等，
且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 .
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Cknan－kbk是(a＋b)n的展开式的第 k 项．( )
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关．( )
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )
(4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系
数不同．( )
2．(x－y)n的二项展开式中，第 m 项的系数是( )
A．Cm B Cm＋n ． n 1
C．Cm－n 1 D ( － －． －1)m 1Cmn 1
3．(八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中 x2的系数是( )
A．60 B．80 C．84 D．120
4．C111＋C311＋C511＋…＋C1111＝________.
a
x＋
5 3．已知 x n(a 为常数)的展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，则 a 的值为
( )
A．1 B．±1 C．2 D．±2
2x2 1－
6．在 x n 的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为_____．
【典型例题】
题型一 多项展开式的特定项
例 1 (1)(2020·北京)在( x－2)5的展开式中，x2的系数为( )
A．－5 B．5 C．－10 D．10
(2)(2019·浙江)在二项式( 2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数
是________．
y2x＋
例 2 (1)(2020·全国Ⅰ) x (x＋y)5的展开式中 x3y3的系数为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
(2)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中 x3的系数为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
例 3 (1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
x 1－ ＋1
(2)(2020·合肥检测) x 5的展开式中的常数项为( )
A．1 B．11 C．－19 D．51
跟踪训练 1 (1)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为 15，则 a＝______.(用数字填写答案)
(2)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为( )
A．－3 B．－2 C．1 D．4
(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中 x5的系数为________．
题型二 二项式系数与各项的系数问题
x2 2－
例 4 (1)若二项式 x n 的展开式的二项式系数之和为 8，则该展开式每一项的系数之和为
( )
A．－1 B．1 C．27 D．－27
(2)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则 a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为( )
A．1 B．2 C．129 D．2 188
命题点 2 二项式系数的最值问题
1
3x＋
例 5 3二项式 x n的展开式中只有第 11项的二项式系数最大，则展开式中 x 的指数为
整数的项的个数为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
x 1－
跟踪训练 2 (1)(2021·随州调研)在 x n的展开式中，只有第 5项的二项式系数最大，则展
开式中系数最小的项的系数为( )
A．－126 B．－70 C．－56 D．－28
1
x＋
(2) 3 x n的展开式中各项系数之和大于 8，但小于 32，则展开式中系数最大的项是( )
3 6 6
A．6 x B. 4 C．4x x D. 4 或 4x x
x x
(3)已知 m 是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，
则 m＝________.
【课后作业】
A 组
1．(2020·邯郸调研)(1－2x)6的展开式的第三项为( )
A．60 B．－120 C．60x2 D．－120x2
2x 1－
2. x 5的展开式中含 x3的项的系数为( )
A．80 B．－80 C．－40 D．48
3．(2020·山西八校联考)已知(1＋x)n 的展开式中第 5 项与第 7项的二项式系数相等，则奇数
项的二项式系数和为( )
A．29 B．210 C．211 D．212
4．(2020·肇庆模拟)已知(1－ax)(1＋x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a 等于( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
1
5．(x2
－1
＋2) x2 5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
6．设(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a50x50，则 a3的值是
( )
A．C450 B．2C350 C．C351 D．C451
1
＋x3
7．(多选)对于二项式 x n(n∈N*)，下列判断正确的有( )
A．存在 n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意 n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意 n∈N*，展开式中没有 x 的一次项
D．存在 n∈N*，展开式中有一次项
8．(多选)(2020·枣庄模拟)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则( )
A．a0＝－32 B．a2＝－80
C．a3＋4a4＝0 D．a0＋a1＋…＋a5＝1
x2 2＋
9．(2020·全国Ⅲ) x 6的展开式中常数项是________．(用数字作答)
2x 1－
10．(2020·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知 x n 的展开式中第 2 项与第 3 项的二项
式系数之比是 2∶5，则 x3的系数为________．
ax 1＋
11．已知 x (2x＋1)5(a≠0)，若其展开式中各项的系数和为 81，则 a＝________，展开式
中常数项为________．
12．(2020·浙江)二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则 a4＝________，a1
＋a3＋a5＝________.
B 组
13．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第 10
项为( )
A．55 B．89 C．120 D．144
14．(2021·济南模拟)设(1－ax)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020，若 a1＋2a2＋3a3＋…＋
2 020a2 020＝2 020a(a≠0)，则实数 a＝________.
C 组
x2 1＋ －4
15．若多项式(2x －＋3y)n 的展开式中仅第 5项的二项式系数最大，则多项式 x2 n 4的展
开式中 x2的系数为( )
A．－304 B．304 C．－208 D．208
16．设 a，b，m 为整数(m>0)，若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记
为 a≡b(modm)．若 a＝C020＋C210·2＋C220·22＋…＋C2200·220，a≡b(mod10)，则 b 的值可以是( )
A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021

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