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第 39 讲 抛物线
【考试要求】
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
【知识梳理】
1．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l不经过点 F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点 F叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线 l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
p p p p
焦点 ，0 － ，0 0， 0，－
2 2 2 2
x p x p y p p准线方程 ＝－ ＝ ＝－ y＝
2 2 2 2
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
微思考
1．抛物线定义中，若 l经过点 F，则点的轨迹会怎样？
提示 若 l经过点 F，则到 F与到 l距离相等的点的轨迹是过点 F且与 l垂直的直线．
2．怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点弦的最小值是多
少？
提示 抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0) p到焦点的距离(焦半径)为 x0＋ ；抛物线的焦点弦
2
的最小值是 2p(通径的长度)．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
a
，0
(2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x轴上的抛物线，且其焦点坐标是 4 ，准线方
a
程是 x＝－ .( × )
4
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × )
题组二 教材改编
2．过抛物线 y2＝4x的焦点的直线 l交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，
则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线 y2＝4x的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|
＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3．抛物线 y2＝8x上到其焦点 F距离为 5的点的个数为______．
答案 2
解析 设 P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得 x1＝3，y1＝±2 6.故满足条件的点的个数为 2.
4．已知 A(2,0)，B为抛物线 y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
7
答案
2
解析 设点 B(x，y)，则 x＝y2≥0，
x 3－
所以|AB|＝ x－2 2＋y2＝ x－2 2＋x＝ x2－3x＋4＝ 2 2 7＋ .
4
3 7
所以当 x＝ 时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝ .
2 2
题组三 易错自纠
5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点 P(－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A．y2 9＝ x B x2 4． ＝ y
2 3
C．y2 9＝－ x D．x2 4＝－ y
2 3
答案 BC
解析 设抛物线的标准方程是 y2＝kx或 x2 9 4＝my，代入点 P(－2，3)，解得 k＝－ ，m＝ ，
2 3
9 4
所以 y2＝－ x或 x2＝ y.
2 3
6．设抛物线 y2＝8x的准线与 x轴交于点 Q，若过点 Q的直线 l与抛物线有公共点，则直线 l
的斜率的取值范围是______．
答案 [－1,1]
解析 Q(－2,0)，当直线 l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l的方程为 y＝k(x＋2)，
代入抛物线方程，消去 y整理得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
【典型例题】
题型一 抛物线的定义和标准方程
1．(2020·全国Ⅰ)已知 A为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，点 A到 C的焦点的距离为 12，到
y轴的距离为 9，则 p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
答案 C
p
解析 设 A(x，y)，由抛物线的定义知，点 A到准线的距离为 12，即 x＋ ＝12.
2
又因为点 A到 y轴的距离为 9，即 x＝9，
p
所以 9＋ ＝12，
2
解得 p＝6.
2．设抛物线 y2＝2px的焦点在直线 2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－4 B．x＝－3
C．x＝－2 D．x＝－1
答案 A
解析 直线 2x＋3y－8＝0与 x轴的交点为(4,0)，∴抛物线 y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方
程为 x＝－4.
3．动圆过点(1,0)，且与直线 x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
答案 y2＝4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x＝－1的距离相等，根
据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2＝4x.
4．(2020·佛山模拟)已知抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，准线为 l，点 P(4，y0)在抛物线上，
K为 l与 y轴的交点，且|PK|＝ 2|PF|，则 y0＝________，p＝________.
答案 2 4
解析 作 PM⊥l，垂足为 M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝ 2|PF|，
∴在 Rt△PKM中，sin∠PKM |PM| |PF| 2＝ ＝ ＝ ，
|PK| |PK| 2
∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点 P在抛物线 x2＝
2py(p>0)上，
py0＝8，
p＝4，
∴ y p 解得0＋ ＝4，
2 y0＝2.
思维升华 (1)应用抛物线定义的两个关键点
①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．②抛物线焦点到准线的
距离为 p.
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程
的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线
的标准方程．
题型二 抛物线的几何性质及应用
命题点 1 焦半径和焦点弦
例 1 (1)已知抛物线 y2＝2px(p>0)上横坐标为 4的点到此抛物线焦点的距离为 9，则该抛物线
的焦点到准线的距离为( )
A．4 B．9
C．10 D．18
答案 C
p
，0
解析 抛物线 y2 2px 2 x p＝ 的焦点为 ，准线方程为 ＝－ .
2
p
由题意可得 4＋ ＝9，解得 p＝10，
2
所以该抛物线的焦点到准线的距离为 10.
(2)设 F为抛物线 C：y2＝3x的焦点，过 F且倾斜角为 30°的直线交 C于 A，B两点，O为坐
标原点，则△OAB的面积为( )
A.3 3 B.9 3 C.63 D.9
4 8 32 4
答案 D
3
，0
解析 由已知得焦点坐标为 F 4 ，
3 x
3
－
因此直线 AB的方程为 y＝ 4 ，即 4x－4 3y－3＝0.
3
方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得 4y2－12 3y－9＝0，Δ>0显然成立，
9
则 yA＋yB＝3 3，yAyB＝－ ，
4
故|yA－yB|＝ yA＋yB 2－4yAyB＝6.
因此 S 1 1 3 9△OAB＝ |OF||yA－yB|＝ × ×6＝ .2 2 4 4
方法二 联立直线方程与抛物线方程得 x2 21－ x 9＋ ＝0，
2 16
Δ>0 21显然成立，故 xA＋xB＝ .
2
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p
21 3
＝ ＋ ＝12，
2 2
|－3| 3
同时原点到直线 AB的距离为 d＝ ＝ ，
42＋ －4 3 2 8
因此 S 1△OAB＝ |AB|·d
9
＝ .
2 4
命题点 2 与抛物线有关的最值问题
例 2 (1)已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F的直线与抛物线交于 A，B两点，过 A，B分别作 y轴
的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
答案 2
解析 由题意知 F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且
仅当|AB|取得最小值．依据抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|
＋|BD|的最小值为 2.
(2)设 P是抛物线 y2＝4x上的一个动点，则点 P到点 A(－1，1)的距离与点 P到直线 x＝－1
的距离之和的最小值为________．
答案 5
解析 如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x＝－1，
由抛物线的定义知点 P到直线 x＝－1的距离等于点 P到 F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P到点 A(－1,1)的距离与点 P到 F(1,0)的距离
之和最小，
显然，连接 AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为 [1－ －1 ]2＋ 0－1 2＝ 5.
思维升华 (1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，
从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．
(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线
段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的
连线中垂线段最短”原理解决．
跟踪训练 1 (1)已知抛物线 x2＝4y上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB的中点到 x轴的最短距
离为( )
A.3 B.3 C．1 D．2
4 2
答案 D
解析 由题意知，抛物线的准线 l：y＝－1，过点 A作 AA1⊥l交 l于点 A1，过点 B作 BB1⊥l
交 l于点 B1，设弦 AB的中点为 M，过点 M作 MM1⊥l交 l于点 M |MM |
|AA1|＋|BB1|
1，则 1＝ .
2
因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，
|MM1|≥3，故点 M到 x轴的距离 d≥2，故选 D.
(2)若抛物线 y2＝4x的准线为 l，P是抛物线上任意一点，则 P到准线 l的距离与 P到直线 3x
＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A．2 B.13 C.14 D．3
5 5
答案 A
解析 由抛物线定义可知点 P到准线 l的距离等于点 P到焦点 F的距离，由抛物线 y2＝4x及
直线方程 3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点 P到准线 l的距离与点 P到直线 3x＋4y
|3＋7|
＋7＝0的距离之和的最小值为点 F(1,0)到直线 3x＋4y＋7＝0的距离，即 ＝2.故选 A.
32＋42
题型三 直线与抛物线
1 1 3 9
－ ， ，
例 3 (2021·湖州模拟)如图，已知抛物线 x2＝y，点 A 2 4 ，B 2 4 ，抛物线上的点 P(x，
1y) 2 2 .过点 B作直线 AP的垂线，垂足为 Q.
(1)求直线 AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
解 (1)设直线 AP的斜率为 k，
x2 1－
k＝ 4 1＝x－ ，
1 2x＋
2
1
因为－ 2 2
所以直线 AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)联立直线 AP与 BQ的方程
kx y 1－ ＋ k 1＋ ＝0，
2 4
x＋ky 9k 3－ － ＝0，
4 2
2
解得点 Q的横坐标是 x －k ＋4k＋3Q＝ .
2 k2＋1
x 1＋
因为|PA|＝ 1＋k2 2 ＝ 1＋k2(k＋1)，
k－1 k＋1 2
|PQ|＝ 1＋k2(xQ－x)＝－ ，
k2＋1
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令 f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为 f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
1 1 1－ ， ，1
所以 f(k)在区间 2 上单调递增， 2 上单调递减，
1 27
因此当 k＝ 时，|PA|·|PQ|取得最大值 .
2 16
思维升华 (1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离
等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦
点在 x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．
跟踪训练 2 (1)(2020· 1济南期末)直线 y＝x＋b交抛物线 y＝ x2于 A，B两点，O为抛物线顶点，
2
OA⊥OB，则 b的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 D
解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)
1
，将 y＝x＋b代入 y＝ x2，化简可得 x2－2x－2b＝0，故 x1＋x2
2
＝2，x1x2＝－2b，所以 y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又 OA⊥OB，所以 x1x2＋y1y2＝0，即－
2b＋b2＝0，则 b＝2或 b＝0，经检验 b＝0时，不符合题意，故 b＝2.
(2)已知 F为抛物线 C：y2＝4x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C交于
A，B两点，直线 l2与 C交于 D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
答案 A
解析 抛物线 C：y2＝4x的焦点为 F(1,0)，由题意可知 l1，l2的斜率存在且不为 0.不妨设直线
l1的斜率为 k，则直线 l 12的斜率为－ ，故 l1：y＝k(x－1)，
k
l 12：y＝－ (x－1)．
k
y2＝4x，
由 消去 y得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
y＝k x－1 ，
2
设 A(x 2k ＋4 41，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝ ＝2＋ ，
k2 k2
由抛物线定义可知，|AB| 4＝x1＋x2＋2＝4＋ 2.k
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝8 4＋4k2＋ ≥8＋2 16＝16.
k2
1
当且仅当 ＝k2，即 k＝±1时取等号．
k2
故|AB|＋|DE|的最小值为 16.
【课后作业】
A 组
2 2
1．(2019·全国Ⅱ)若抛物线 y2＝2px(p>0) x y的焦点是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点，则 p等于( )
3p p
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
p
，0 p
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为 2 ，椭圆的焦点坐标为(± 2p，0)，所以 ＝ 2p，
2
解得 p＝8，故选 D.
2．(2020·全国Ⅲ)设 O为坐标原点，直线 x＝2与抛物线 C：y2＝2px(p>0)交于 D，E两点，若
OD⊥OE，则 C的焦点坐标为( )
1 1
，0 ，0
A. 4 B. 2 C．(1,0) D．(2,0)
答案 B
解析 方法一 ∵抛物线 C关于 x轴对称，
∴D，E两点关于 x轴对称．
可得出直线 x＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2 p)，(2，－2 p)．
不妨设 D(2,2 p)，E(2，－2 p)，
则O→D＝(2,2 p) O→， E＝(2，－2 p)．
又∵OD⊥OE，
O→∴ D·O→E＝4－4p＝0，解得 p＝1，
1
，0
∴C的焦点坐标为 2 .
方法二 ∵抛物线 C关于 x轴对称，
∴D，E两点关于 x轴对称．
∵OD⊥OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值均相等．
不妨设点 D(2,2)，将点 D的坐标代入 C：y2＝2px，
1
，0
得 4＝4p，解得 p＝1，故 C的焦点坐标为 2 .
3.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非
凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶 2 m 时，水面宽 8 m．若水面下降 1 m，则水面
宽度为( )
A．2 6 m B．4 6 m C．4 2 m D．12 m
答案 B
解析 由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，
由题意知，抛物线经过点 A(－4，－2)和点 B(4，－2)，
代入抛物线方程解得 p＝4，
所以抛物线方程为 x2＝－8y，
水面下降 1米，即 y＝－3，解得 x1＝2 6，x2＝－2 6，
所以此时水面宽度 d＝2x1＝4 6.
4．(2020·北京)设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l.P是抛物线上异于 O的一点，过 P
作 PQ⊥l于 Q，则线段 FQ的垂直平分线( )
A．经过点 O B．经过点 P
C．平行于直线 OP D．垂直于直线 OP
答案 B
解析 如图所示，P为抛物线上异于 O的一点，
则|PF|＝|PQ|，
∴QF的垂直平分线经过点 P.
5．(多选)设抛物线 y＝ax2(a>0)的准线与对称轴交于点 P，过点 P作抛物线的两条切线，切点
分别为 A和 B，则( )
0 1，－
A．点 P的坐标为 4a
B 1．直线 AB的方程为 y＝
4a
C．PA⊥PB
D．|AB| 1＝
2a
答案 ABC
1
解析 由 y＝ax2 2 1
0，
得，x ＝ y，则焦点 F 4a .
a
a>0 1 1∵ ，∴2p＝ ，∴p＝ ，
a 2a
0 1，－
其准线方程为 y 1＝－ ，∴P 4a ，A正确；
4a
y＝ax2，
1
设切线方程为 y＝kx－ (k≠0)，由 1
4a y＝kx－ ，4a
得 ax2－kx 1＋ ＝0，
4a
令Δ＝k2 4 a 1－ × × ＝0，解得 k＝±1.
4a
1 1 1 1
， － ，
∴设切点 A 2a 4a ，B 2a 4a ，
因此直线 AB的方程为 y 1＝ ，B正确；
4a
1 1 1 1
→ ，PA 2a 2a P→
－ ，
又 ＝ ， B＝ 2a 2a ，
→ → 1 1
∴PA·PB＝－ ＋ ＝0.
4a2 4a2
P→ →从而 A⊥PB，即 PA⊥PB，C正确；
| 11 －－|AB| 2a | 1＝ 2a ＝ ，D错误．
a
6．(多选)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，斜率为 3且经过点 F的直线 l与抛物线 C
交于 A，B两点(点 A在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D，若|AF|＝4，则以下结论正确
的是( )
A．p＝2 B．F为 AD的中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
答案 ABC
解析 如图．
p
，0
F 2 ，直线 l的斜率为 3，
x p－
则直线 l的方程为 y＝ 3 2 ，
y2＝2px，
联立 x p－
y＝ 3 2 ，
得 12x2－20px＋3p2＝0.
x 3p x 1解得 A＝ ， B＝ p，
2 6
|AF| 3p p由 ＝ ＋ ＝2p＝4，得 p＝2.
2 2
∴抛物线方程为 y2＝4x.
x 1B＝ p
1
＝ ，
6 3
则|BF| 1 4＝ ＋1＝ ；
3 3
4
|BD| |BF|＝ ＝3 8＝ ，
cos 60° 1 3
2
∴|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF| 8 4＝ ＋ ＝4，则 F为 AD的中点．
3 3
故选 ABC.
7．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为 3的直线过抛物线 C：y2＝4x的焦点，且与 C交于 A，B两点，
则|AB|＝________.
16
答案
3
解析 如图，由题意得，抛物线焦点为 F(1,0)，
设直线 AB的方程为 y＝ 3(x－1)．
y＝ 3 x－1 ，
由
y2＝4x，
得 3x2－10x＋3＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
10
则 x1＋x2＝ ，所以|AB|＝x 161＋x2＋2＝ .
3 3
8．已知直线 l是抛物线 y2＝2px(p>0)的准线，半径为 3的圆过抛物线顶点 O和焦点 F与 l相
切，则抛物线的方程为________．
答案 y2＝8x
解析 ∵半径为 3的圆与抛物线的准线 l相切，
∴圆心到准线的距离等于 3，
p
又∵圆心在 OF的垂直平分线上，|OF|＝ ，
2
p p
∴ ＋ ＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为 y2＝8x.
2 4
9．直线 l过抛物线 C：y2＝2px (p > 0)的焦点 F(1,0) 1，且与 C交于 A，B两点，则 p＝____，
|AF|
1
＋ ＝________.
|BF|
答案 2 1
p
解析 由题意知 ＝1，从而 p＝2，
2
所以抛物线方程为 y2＝4x.
当直线 AB的斜率不存在时，将 x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，
1 1
从而 ＋ ＝1.
|AF| |BF|
当直线 AB的斜率存在时，设 AB的方程为 y＝k(x－1)，
y＝k x－1 ，
联立
y2＝4x，
整理，得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
x x 2k ＋41＋ 2＝ ，
则 k
2
x1x2＝1，
1 1 1 1 x1＋x2＋2 x1＋x2＋2
从而 ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝1.
|AF| |BF| x1＋1 x2＋1 x1＋x2＋x1x2＋1 x1＋x2＋2
1 1
综上， ＋ ＝1.
|AF| |BF|
10．点 P为抛物线 y2＝4x上的动点，点 A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：
(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________．
答案 (1)3 (2)－ 2 2
解析 (1)如图 1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为 A
到准线的距离为 3.
(2)如图 2，当 P，A，F三点共线，且 P在 FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.
当 P，A，F三点共线，且 P在 AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|PA|－|PF|
的最小值为－ 2，最大值为 2.
11．定长为 3的线段 AB的端点 A，B在抛物线 y2＝x上移动，求 AB的中点到 y轴距离的最
小值，并求出此时 AB中点的坐标．
解 如图所示，F是抛物线 y2＝x的焦点，
过 A，B两点作准线的垂线，垂足分别为 C，D，
过 AB的中点 M作准线的垂线 MN，垂足为 N，
则|MN| 1＝ (|AC|＋|BD|)．
2
连接 AF，BF，由抛物线的定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，
所以|MN| 1＝ (|AF|＋|BF|) 1≥ |AB| 3＝ .
2 2 2
设点 M的横坐标为 x，则|MN|＝x 1＋ ，
4
3 1 5
所以 x≥ － ＝ .
2 4 4
当弦 AB过点 F时等号成立，
此时，点 M到 y 5轴的距离最短，最短距离为 .
4
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝2x.
当 x 5 1＝ 时，易知 y1y2＝－p2＝－ ，
4 4
所以(y1＋y2)2＝y2
1
1＋y22＋2y1y2＝2x－ ＝2.
2
5 ± 2，
所以 y1＋y2＝± 2，得 y 2＝± ，即 M 4 2 .
2
12．(2021·沈阳模拟)已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为 2，直线 l与抛物
线 C交于 A，B两点，过 A，B分别作抛物线 C的切线 l1，l2，且 l1与 l2交于点 M.
(1)求 p的值；
(2)若 l1⊥l2，求△MAB面积的最小值．
0 p，
解 (1)由题意知，抛物线焦点为 2 ，
p
准线方程为 y＝－ ，
2
焦点到准线的距离为 2，即 p＝2.
(2)由(1)知抛物线的方程为 x2＝4y，
1 1
即 y＝ x2，所以 y′＝ x，
4 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x2l ：y－ 1 x1 ＝ 1(x－x1)，
4 2
2
l2：y x－ 2 x＝ 2(x－x2)，
4 2
由于 l1⊥l
x
2，所以
1·x2＝－1，
2 2
即 x1x2＝－4.
设直线 l的方程为 y＝kx＋m，与抛物线方程联立，
y＝kx＋m，
得
x2＝4y，
所以 x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m＝－4，所以 m＝1，即 l：y＝kx＋1.
2
y x x＝ 1x－ 1，
2 4 x＝2k，
联立方程 x2 x22 得 即 M(2k，－1)．y＝ x－ ， y＝－1，
2 4
|k·2k＋1＋1| 2|k2＋1|
M点到直线 l的距离 d＝ ＝ ，
1＋k2 1＋k2
|AB|＝ 1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2]＝4(1＋k2)，
3
S 1
2
所以 ＝ ×4(1＋k2
2|k ＋1|
)× ＝ 4(1 + k 2) 2 ≥4，
2 1＋k2
当 k＝0时，△MAB的面积取得最小值 4.
B 组
13．抛物线 x2＝4y的焦点为 F 3，过点 F作斜率为 的直线 l与抛物线在 y轴右侧的部分相交
3
于点 A，过点 A作抛物线准线的垂线，垂足为 H，则△AHF的面积是( )
A．4 B．3 3 C．4 3 D．8
答案 C
解析 由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，
AF 3∵ 的斜率为 ，∴直线 AF的倾斜角为 30°，
3
∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，
故△AHF为等边三角形．
2
m m，
设 A 4 ，m>0，
过 F作 FM⊥AH于 M，则在 Rt△FAM中，
m2
|AM| 1
2
|AF| m 1 1
＋1
＝ ，∴ － ＝ 4 ，
2 4 2
解得 m＝2 3，故等边三角形 AHF的边长|AH|＝4，
∴△AHF 1的面积是 ×4×4sin 60°＝4 3.故选 C.
2
14．过抛物线 C：x2 4y → → →＝ 的焦点 F作直线 l交 C于 A，B两点，设 D(0,3)．若(DA＋DB)·AB＝
0，则弦 AB的长为________．
答案 4
解析 若(D→A →＋DB)·A→B＝0，
则线段 AB的垂直平分线过点 D.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x21＝4y1，x22＝4y2，
x x 4 y1－y2 两式相减得 1＋ 2＝ ＝4kAB，
x1－x2
k x1＋x2即 AB＝ ，
4
y1＋y2
－3
则弦 AB的中点与点 D(0,3) k 2 4的连线的斜率 ＝ ＝－ ，
x1＋x2 x1＋x2
2
所以 y1＋y2＝2，
所以|AB|＝y1＋y2＋2＝4.
C 组
15．(2020·湖南名校大联考)已知 P为抛物线 C：y＝x2上一动点，直线 l：y＝2x－4与 x轴、
y → → →轴交于 M，N两点，点 A(2，－4)且AP＝λAM＋μAN，则λ＋μ的最小值为________．
7
答案
4
解析 由题意得 M(2,0)，N(0，－4)，
P(x y) A→P λA→ →设 ， ，由 ＝ M＋μAN得(x－2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)，
∴x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.
x 1
λ μ y＋4 x－2 x
2 x －
因此 ＋ ＝ － ＝ － ＋2＝ 2 2 2 7 7 7＋ ≥ ，故λ＋μ的最小值为 .
4 2 4 2 4 4 4
16．过抛物线 y2＝2px(p>0) π的焦点 F作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交于 A，B两点．
4
(1)用 p表示 A，B之间的距离；
(2)证明：∠AOB的大小是与 p无关的定值，并求出这个值．
p
，0 π p
解 (1)焦点 F 2 ，过点 F且倾斜角为 的直线方程是 y＝x－ .
4 2
y2＝2px，
p x2 3px p
2
由 y 得 － ＋ ＝0.＝x－ ，
2 4
2
设 A(xA，yA)，B(xB，yB) p，则 xA＋xB＝3p，xAxB＝ ，
4
2p
或|AB|＝ π＝4p2
故|AB|＝xA＋xB＋p＝4p
sin
4 .
(2)在△AOB中，由余弦定理可知，
cos AOB |AO|
2＋|BO|2－|AB|2 xA2＋yA2＋x2B＋yB2－ xA－xB 2－ yA－yB 2
∠ ＝ ＝
2|AO|·|BO| 2 x2A＋yA2 xB2＋y2B
p p2
x x ＋y y 2x x － x ＋x ＋A B A B A B A B 3 41
＝ ＝ 2 4 ＝－ .
xA2＋yA2 xB2＋y2B x x [x x ＋2p x ＋x ＋4p2] 41A B A B A B
即∠AOB的大小是与 p无关的定值，
且 cos∠AOB 3 41＝－ .
41第 39 讲 抛物线
【知识梳理】
1．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l不经过点 F)的距离 的点的轨迹．
(2)焦点： 叫做抛物线的焦点．
(3)准线： 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围
焦点
准线方程
对称轴
顶点
离心率
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
a
，0
(2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x轴上的抛物线，且其焦点坐标是 4 ，准线方
a
程是 x＝－ .( )
4
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )
2．过抛物线 y2＝4x的焦点的直线 l交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，
则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
1
3．抛物线 y2＝8x上到其焦点 F距离为 5的点的个数为______．
4．已知 A(2,0)，B为抛物线 y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点 P(－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A．y2 9＝ x B．x2 4＝ y
2 3
C 9 4．y2＝－ x D．x2＝－ y
2 3
6．设抛物线 y2＝8x的准线与 x轴交于点 Q，若过点 Q的直线 l与抛物线有公共点，则直线 l
的斜率的取值范围是______．
【典型例题】
题型一 抛物线的定义和标准方程
1．(2020·全国Ⅰ)已知 A为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，点 A到 C的焦点的距离为 12，到
y轴的距离为 9，则 p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
2．设抛物线 y2＝2px的焦点在直线 2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－4 B．x＝－3
C．x＝－2 D．x＝－1
2
3．动圆过点(1,0)，且与直线 x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
4．(2020·佛山模拟)已知抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，准线为 l，点 P(4，y0)在抛物线上，
K为 l与 y轴的交点，且|PK|＝ 2|PF|，则 y0＝________，p＝________.
题型二 抛物线的几何性质及应用
例 1 (1)已知抛物线 y2＝2px(p>0)上横坐标为 4的点到此抛物线焦点的距离为 9，则该抛物线
的焦点到准线的距离为( )
A．4 B．9
C．10 D．18
(2)设 F为抛物线 C：y2＝3x的焦点，过 F且倾斜角为 30°的直线交 C于 A，B两点，O为坐
标原点，则△OAB的面积为( )
A.3 3 B.9 3 C.63 D.9
4 8 32 4
例 2 (1)已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F的直线与抛物线交于 A，B两点，过 A，B分别作 y轴
的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
(2)设 P是抛物线 y2＝4x上的一个动点，则点 P到点 A(－1，1)的距离与点 P到直线 x＝－1
的距离之和的最小值为________．
3
跟踪训练 1
(1)已知抛物线 x2＝4y上有一条长为 6的动弦 AB，则 AB的中点到 x轴的最短距离为( )
A.3 B.3 C．1 D．2
4 2
(2)若抛物线 y2＝4x的准线为 l，P是抛物线上任意一点，则 P到准线 l的距离与 P到直线 3x
＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A 2 B.13． C.14 D．3
5 5
题型三 直线与抛物线
1 1 3 9
－ ， ，
例 3 (2021·湖州模拟)如图，已知抛物线 x2＝y，点 A 2 4 ，B 2 4 ，抛物线上的点 P(x，
1 3
－ y) 2 2 .过点 B作直线 AP的垂线，垂足为 Q.
(1)求直线 AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
4
2 (1)(2020· ) y x b y 1跟踪训练 济南期末 直线 ＝ ＋ 交抛物线 ＝ x2于 A，B两点，O为抛物线顶点，
2
OA⊥OB，则 b的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
(2)已知 F为抛物线 C：y2＝4x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C交于
A，B两点，直线 l2与 C交于 D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
【课后作业】
A 组
2 2
1．(2019· x y全国Ⅱ)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点，则 p等于( )
3p p
A．2 B．3 C．4 D．8
2．(2020·全国Ⅲ)设 O为坐标原点，直线 x＝2与抛物线 C：y2＝2px(p>0)交于 D，E两点，若
OD⊥OE，则 C的焦点坐标为( )
1 1
，0 ，0
A. 4 B. 2 C．(1,0) D．(2,0)
3.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非
凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶 2 m 时，水面宽 8 m．若水面下降 1 m，则水面
宽度为( )
A．2 6 m B．4 6 m C．4 2 m D．12 m
4．(2020·北京)设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l.P是抛物线上异于 O的一点，过 P
作 PQ⊥l于 Q，则线段 FQ的垂直平分线( )
A．经过点 O B．经过点 P
C．平行于直线 OP D．垂直于直线 OP
5
5．(多选)设抛物线 y＝ax2(a>0)的准线与对称轴交于点 P，过点 P作抛物线的两条切线，切点
分别为 A和 B，则( )
0 1，－
A．点 P 1的坐标为 4a B．直线 AB的方程为 y＝
4a
C．PA⊥PB D |AB| 1． ＝
2a
6．(多选)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，斜率为 3且经过点 F的直线 l与抛物线 C
交于 A，B两点(点 A在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D，若|AF|＝4，则以下结论正确
的是( )
A．p＝2 B．F为 AD的中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
7．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为 3的直线过抛物线 C：y2＝4x的焦点，且与 C交于 A，B两点，
则|AB|＝________.
8．已知直线 l是抛物线 y2＝2px(p>0)的准线，半径为 3的圆过抛物线顶点 O和焦点 F与 l相
切，则抛物线的方程为________．
9．直线 l过抛物线 C：y2＝2px (p > 0)的焦点 F(1,0)，且与 C交于 A，B两点，则 p＝____ 1，
|AF|
1
＋ ＝________.
|BF|
10．点 P为抛物线 y2＝4x上的动点，点 A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：
(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________．
11．定长为 3的线段 AB的端点 A，B在抛物线 y2＝x上移动，求 AB的中点到 y轴距离的最
小值，并求出此时 AB中点的坐标．
6
12．(2021·沈阳模拟)已知抛物线 C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为 2，直线 l与抛物
线 C交于 A，B两点，过 A，B分别作抛物线 C的切线 l1，l2，且 l1与 l2交于点 M.
(1)求 p的值；
(2)若 l1⊥l2，求△MAB面积的最小值．
B 组
13 x2 4y F F 3．抛物线 ＝ 的焦点为 ，过点 作斜率为 的直线 l与抛物线在 y轴右侧的部分相交
3
于点 A，过点 A作抛物线准线的垂线，垂足为 H，则△AHF的面积是( )
A．4 B．3 3 C．4 3 D．8
14．过抛物线 C：x2＝4y的焦点 F作直线 l交 C于 A，B两点，设 D(0,3) → → →．若(DA＋DB)·AB＝
0，则弦 AB的长为________．
C 组
15．(2020·湖南名校大联考)已知 P为抛物线 C：y＝x2上一动点，直线 l：y＝2x－4与 x轴、
y轴交于 M，N → → →两点，点 A(2，－4)且AP＝λAM＋μAN，则λ＋μ的最小值为________．
16．过抛物线 y2＝2px(p>0) π的焦点 F作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交于 A，B两点．
4
(1)用 p表示 A，B之间的距离；
(2)证明：∠AOB的大小是与 p无关的定值，并求出这个值．
7

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