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第 44 讲 随机事件的概率与古典概型
【考试要求】
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.
2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
3.理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概
率．
【知识梳理】
1．概率和频率
(1)在相同的条件 S下重复 n次试验，观察某一事件 A是否出现，称 n次试验中事件 A出现的
n
次数 nA为事件 A出现的频数，称事件 A出现的比例 fn(A)＝ A为事件 A出现的频率．
n
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，
因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A)．
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
若事件 A发生，事件 B一定发生，则称事件 B
包含关系 B A(或 A B)
包含事件 A(或称事件 A包含于事件 B)
相等关系 若 B A且 A B，则称事件 A与事件 B相等 A＝B
若某事件发生当且仅当事件 A发生或事件 B发
并事件(和事件) 生，则称此事件为事件 A与事件 B的并事件(或 A∪B(或 A＋B)
和事件)
若某事件发生当且仅当事件 A发生且事件 B发
交事件(积事件) 生，则称此事件为事件 A与事件 B的交事件(或 A∩B(或 AB)
积事件)
互斥事件 A∩B为不可能事件，则称事件 A与事件 B互斥 A∩B＝
若 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则 A∩B＝ 且 P(A∪B)
对立事件
称事件 A与事件 B互为对立事件 ＝P(A)＋P(B)＝1
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率 P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率 P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件 A与事件 B互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件 A与事件 B互为对立事件，则 P(A)＝1－P(B)．
4．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
5．古典概型的概率公式
P(A) A包含的基本事件的个数＝ .
基本事件的总数
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ )
(2)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )
(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事
件．( × )
(4)试验“口袋中有 2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红
球”是古典概型．( × )
题组二 教材改编
2．下列事件中，不是随机事件的是( )
A．长度为 3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形
B．经过有信号灯的路口，遇上红灯
C．下周六是晴天
D．一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上
答案 A
3．某射手在一次射击中，射中 10环，9环，8环的概率分别是 0.2,0.3,0.1，则该射手在一次
射击中不够 8环的概率为( )
A．0.9 B．0.3 C．0.6 D．0.4
答案 D
解析 设“该射手在一次射击中不够 8环”为事件 A，则事件 A的对立事件 A 是“该射手在
一次射击中不小于 8环”．
∵事件 A 包括射中 10环，9环，8环，这三个事件是互斥的，
∴P( A )＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，
∴P(A)＝1－P( A )＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够 8环的概率为 0.4.
4．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则甲赢的概率为________．
1
答案
3
解析 设平局(用△表示)为事件 A，甲赢(用⊙表示)为事件 B，乙赢(用※表示)为事件 C.容易
得到如图．
3 1
甲赢含 3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝ ＝ .
9 3
题组三 易错自纠
5．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三
天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )
A. 1 B.1 C.1 D.1
15 5 4 2
答案 B
解析 由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第 1～3 天，第 2～4 天，第 3～5
4·A3 1
天，第 4～6天，共四种情况，∴所求概率 P＝ 3 ＝ .故选 B.
C36·A33 5
6．抛掷一枚骰子，记 A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是 3的倍数”，则
P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.
2 1
答案
3 6
解析 由题意知，事件 A表示“出现的是 1点，3点或 5点”；事件 B表示“出现的是 3点
或 6点”．
所以事件 A∪B表示“出现的是 1 点，3点，5点或 6点”，包含 4个基本事件；事件 A∩B
表示“出现的是 3点”，包含 1个基本事件．
又抛掷一枚骰子的结果有 6种，
所以 P(A∪B) 4 2＝ ＝ ，P(A∩B) 1＝ .
6 3 6
【典型例题】
题型一 随机事件
命题点 1 随机事件的关系
例 1 (1)从一堆产品(其中正品与次品都多于 2件)中任取 2 件，下列事件是互斥事件但不是对
立事件的是( )
A．恰好有 1件次品和恰好有 2件次品
B．至少有 1件次品和全是次品
C．至少有 1件正品和至少有 1件次品
D．至少有 1件次品和全是正品
答案 A
解析 依据互斥和对立事件的定义知，B，C 都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是对
立事件；只有 A是互斥事件但不是对立事件．
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是( )
A．恰有一次击中 B．三次都没击中 C．三次都击中 D．至多击中一次
答案 D
解析 根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中
三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”．
命题点 2 随机事件的频率与概率
例 2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶 6元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求
量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；如果最高气
温位于区间[20,25)，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶．为了确定六
月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450
瓶时，写出 Y的所有可能值，并估计 Y大于零的概率．
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表中数据可知，
2＋16＋36
最高气温低于 25的频率为 ＝0.6.
90
所以这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率的估计值为 0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450瓶时，
若最高气温低于 20，则 Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则 Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于 25，则 Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润 Y的所有可能值为－100,300,900.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为
36＋25＋7＋4
＝0.8.
90
因此 Y大于零的概率的估计值为 0.8.
命题点 3 互斥事件与对立事件的概率
例 3 某商场有奖销售中，购满 100元商品得 1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖
单位，设特等奖 1个，一等奖 10个，二等奖 50个．记 1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖
的事件分别为 A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)设“1张奖券中奖”为事件 M，则 M＝A∪B∪C，
1
依题意，P(A)＝ ，P(B) 10＝ ，P(C) 50＝ ，
1 000 1 000 1 000
因为 A，B，C两两互斥，
所以 P(M)＝P(A 1＋10＋50 61∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝ ＝ .
1 000 1 000
故 1 61张奖券的中奖概率为 .
1 000
(2)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N与“1 张奖券中特等奖或中
一等奖”为对立事件，
1 10
＋
所以 P(N)＝1－P(A∪B)＝1－ 1 000 1 000 989＝ .
1 000
1 989故 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 .
1 000
思维升华 (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；
若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件．对立事件一定是互斥事件．
(2)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率随着试验次数的增加
越来越接近概率，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，
有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
(3)求复杂互斥事件的概率的两种方法：①将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利
用互斥事件概率的加法公式求解概率．②若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的
和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难
则反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
跟踪训练 1 (1)袋中装有 3个白球和 4个黑球，从中任取 3个球，给出下列四组事件：①“恰
有 1个白球”和“全是白球”；②“至少有 1个白球”和“全是黑球”；③“至少有 1个白
球”和“至少有 2个白球”；④“至少有 1个白球”和“至少有 1个黑球”．在上述每组事
件中，互为对立事件的是( )
A．① B．② C．②③ D．①④
答案 B
解析 ①互斥但不对立；②互为对立事件，③不是互斥事件，④不是互斥事件．
(2)某学校共有教职工 120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
本科 研究生 合计
35岁以下 40 30 70
35～50岁 27 13 40
50岁以上 8 2 10
现从该校教职工中任取 1人，则下列结论正确的是( )
A．该教职工具有本科学历的概率低于 60%
B．该教职工具有研究生学历的概率超过 50%
C．该教职工的年龄在 50岁以上的概率超过 10%
D．该教职工的年龄在 35岁及以上且具有研究生学历的概率超过 10%
答案 D
75 5
解析 A中，该教职工具有本科学历的概率 P＝ ＝ ＝62.5%>60%，故错误；B中，该教
120 8
P 45 3职工具有研究生学历的概率 ＝ ＝ ＝37.5%<50%，故错误；C中，该教职工的年龄在 50
120 8
10 1
岁以上的概率 P＝ ＝ ≈8.3%<10%，故错误；D中，该教职工的年龄在 35岁及以上且具
120 12
15 1
有研究生学历的概率 P＝ ＝ ＝12.5%>10%，故正确．
120 8
(3) 1掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为 ，事件 A表示“出现小于 5的偶数点”，事
6
件 B表示“出现小于 5的点数”，则一次试验中，事件 A∪ B ( B 表示事件 B的对立事件)
发生的概率为( )
A.1 B.1 C.2 D.5
3 2 3 6
答案 C
解析 ∵事件 B表示“小于 5的点数出现”，
∴B的对立事件 B 是“大于或等于 5的点数出现”，
∴ B 表示的事件是出现的点数为 5或 6.
∵事件 A表示“小于 5的偶数点出现”，它包含的事件是出现的点数为 2或 4，
∴P(A) 2 1＝ ＝ ，P( B ) 2 1＝ ＝ ，∴P(A∪ B )＝P(A) 1 1 2＋P( B )＝ ＋ ＝ .
6 3 6 3 3 3 3
题型二 古典概型
1．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项
伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最
早见于东汉徐岳所撰写的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾
为此作注，大意是：把木板刻为 3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位
用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠(简
称上珠)代表 5，下面一粒珠(简称下珠)是 1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现
在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨 2粒下珠，算盘表示的数为质数
(除了 1和本身没有其它的约数)的概率是( )
A.1 B.1 C.2 D.1
3 2 3 6
答案 A
解析 由题意可知，算盘所表示的数可能有：7,16,25,52,61,70，
2 1
其中是质数的有：7,61，故所求事件的概率为 P＝ ＝ .
6 3
2．(2020·江苏)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2次，观察向上的点数，则点数和为 5
的概率是________．
1
答案
9
解析 列表如下：
第一次
和 1 2 3 4 5 6
第二次
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
点数的和共有 36种等可能情形，其中和为 5的共有 4种情形，由古典概型的概率公式可得点
数和为 5的概率 P 4 1＝ ＝ .
36 9
3．(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学联考)从左至右依次站着甲、乙、丙
3个人，从中随机抽取 2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率
是________．
2
答案
3
解析 从左至右依次站着甲、乙、丙 3个人，从中随机抽取 2个人进行位置调换，则经过两
次这样的调换，基本事件总数为 n＝C23·C32＝9，从左至右依次站着甲、乙、丙 3 个人，从中
随机抽取 2个人进行位置调换，第一次调换后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，
第二次调换后甲在乙左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲乙丙、丙甲
乙，∴经过两次这样的调换后，甲在乙左边包含的基本事件个数 m＝6，∴经过这样的调换后，
m 6 2
甲在乙左边的概率 P＝ ＝ ＝ .
n 9 3
思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A包含的基本事件的
个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法以及
排列、组合法．
题型三 古典概型与统计的综合应用
例 4 某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本
课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班 50名学生一周用在兴
趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得
到了如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；
(2)从[4,6)，[6,8)两组中按分层抽样的方法抽取 6人，再从这 6人中随机抽取 2 人，求恰有 1
人在[6,8)组中的概率．
解 (1)由频率分布直方图可得 0.06×2＋0.08×2＋0.2×2＋2m＋0.06×2＝1，所以 m＝0.1，
学生的平均学习时间为 1×0.12＋3×0.16＋5×0.4＋7×0.2＋9×0.12＝5.08.
(2)由频率分布直方图可得，[4,6)中有 20人，[6,8)中有 10人，根据分层抽样，需要从[4,6)中
抽取 4人，分别记为 A1，A2，A3，A4，从[6,8)中抽取 2人，分别记为 B1，B2，再从这 6人中
随机抽取 2人，所有的抽取方法有 A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，
A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2共 15种，其中恰有一人在[6,8)组中的抽取方法有 A1B1，
A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2共 8种，所以，从这 6人中随机抽取 2人，恰有
1人在[6,8) 8组中的概率为 .
15
思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查
的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频数分布表、频率分布直方图、茎
叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．
跟踪训练 2 空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空
气质量按照 AQI大小分为六级：0～50 为优；51～100为良；101～150 为轻度污染；151～
200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染．一环保人士记录了某地 2020年
某月 10天的 AQI的茎叶图如图所示．
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有 30天计算)
(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指
标，求这两天的空气质量等级恰好不同的概率．
解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为 1，空气质量良的天数为 3，故该样本
4 2 2
中空气质量优良的频率为 ＝ ，估计该月空气质量优良的概率为 ，从而估计该月空气质量
10 5 5
2
优良的天数为 30× ＝12.
5
(2)该样本中为轻度污染的共 4天，分别记为 a1，a2，a3，a4；
为中度污染的共 1天，记为 b；为重度污染的共 1天，记为 c.
从中随机抽取两天的所有可能结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，
(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共 15个．
其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，
(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共 9个．
9 3
所以这两天的空气质量等级恰好不同的概率为 ＝ .
15 5
【课后作业】
A 组
1．从 6个篮球，2个排球中任选 3个球，则下列事件中是必然事件的是( )
A．3个都是篮球 B．至少有 1个排球
C．3个都是排球 D．至少有 1个篮球
答案 D
解析 根据题意分析可得 A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件．
2．(2020·全国Ⅰ)设 O为正方形 ABCD的中心，在 O，A，B，C，D中任取 3点，则取到的 3
点共线的概率为( )
A.1 B.2 C.1 D.4
5 5 2 5
答案 A
解析 从 O，A，B，C，D这 5 个点中任取 3点，取法有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，
D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，
D)，共 10 2种，其中取到的 3点共线的有(O，A，C)，(O，B，D)，共 2种，所以所求概率为
10
1
＝ .
5
3．(2020·重庆模拟)第六届世界互联网大会发布了 15项世界互联网领先科技成果，其中有 5
项成果均属于芯片领域，分别为华为的鲲鹏 920、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端 AI
芯片、思元 270、赛灵思的 Versa自适应计算加速平台．现有 3名学生从这 15项世界互联网
领先科技成果中分别任选 1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有 1名学生选
择芯片领域的概率为( )
A.89 B. 2 C. 98 D.19
91 91 125 27
答案 D
解析 现有 3名学生从这 15项世界互联网领先科技成果中分别任选 1项进行了解，且学生之
间的选择互不影响，则基本事件总数 n＝15×15×15＝3 375，至少有 1名学生选择芯片领域的
103 19
对立事件是没有学生选择芯片领域，则至少有 1名学生选择芯片领域的概率 P＝1－ ＝ .
3 375 27
4．(2021·西安模拟)现有甲、乙、丙、丁 4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活
动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )
A.1 B.1 C.1 D. 1
2 3 6 12
答案 B
C2C2
解析 基本事件总数 n＝ 4 2·A22＝6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数 m
A22
＝C22C22·A22＝2 m 2 1，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率 P＝ ＝ ＝ .
n 6 3
5 1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2粒都是黑子的概率为 ，都是白子的概率
7
12
是 ，则从中任意取出 2粒恰好是同一色的概率是( )
35
A.1 B.12 C.17 D．1
7 35 35
答案 C
解析 设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A，“从中取出 2粒都是白子”为事件 B，“任
意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 C＝A∪B，且事件 A与 B互斥．所以 P(C)＝P(A)
P(B) 1 12 17＋ ＝ ＋ ＝ . 17即任意取出 2粒恰好是同一色的概率为 .
7 35 35 35
6．(多选)下列说法正确的是( )
A．若事件 A与 B互斥，则 A∪B是必然事件
B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、
乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件 E＝“甲取到《红楼梦》”，事件 F＝“乙取到
《红楼梦》”，则 E与 F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件 A＝“向上的点数不大于 5”，事件 B＝“向上
的点数为质数”，则 B A
D．10个产品中有 2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有 2个基本事件
答案 BCD
解析 对于 A，事件 A与 B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故 A不正确；对于 B，事件
E与 F不会同时发生，所以 E与 F是互斥事件，但除了事件 E与 F之外还有“丙取到红楼
梦”“丁取到红楼梦”，所以 E与 F不是对立事件，故 E与 F是互斥但不对立事件，B正确；
对于 C，事件 A＝{1,2,3,4,5}，事件 B＝{2,3,5}，所以 B包含于 A，C正确；对于 D，基本事
件为{正品，次品}，有 2个，故 D正确．
7．(2019·江苏)从 3名男同学和 2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 2名同
学中至少有 1名女同学的概率是________．
7
答案
10
解析 记 3名男同学为 A，B，C,2名女同学为 a，b，则从中任选 2名同学的情况有(A，B)，
(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共 10种，其
中至少有 1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共
7 7种，故所求概率为 .
10
8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为 0,1,2的概率分别为 0.4,0.5,0.1.则该
企业在一个月内被消费者投诉不超过 1次的概率为________．
答案 0.9
解析 方法一 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为 0”为事件 A，“该食品
企业在一个月内被消费者投诉的次数为 1”为事件 B，“该食品企业在一个月内被消费者投
诉的次数为 2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过 1”为事件D，
而事件 D包含事件 A与 B，所以 P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.
方法二 记“该食品企业在一个月内被消费者投拆的次数为 2”为事件 C，“该食品企业在
一个月内被消费者投诉不超过 1次”为事件 D，由题意知 C与 D是对立事件，所以 P(D)＝1
－P(C)＝1－0.1＝0.9.
9．将 A，B，C，D这 4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与 B相邻且 A与 C之间恰
好有 1名同学”的概率是________．
1
答案
4
解析 A，B，C，D 4名同学排成一排有 A44＝24(种)排法．当 A，C之间是 B时，有 2×2＝
4(种)排法，当 A C 4＋2 1， 之间是 D时，有 2种排法，所以所求概率为 ＝ .
24 4
10．已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、
丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为________．
1
答案
2
解析 甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、
丙每人一张，基本事件总数 n＝A33＝6，恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数 m＝
C13C11C11＝3 m 3 1，所以恰有一人取到自己身份证的概率为 P＝ ＝ ＝ .
n 6 2
11．海关对同时从 A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种
商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样
品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这 6件样品中来自 A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这 6件样品中随机抽取 2件送往甲机构进行进一步检测，求这 2件商品来自相同地区
的概率．
解 (1)A，B，C三个地区商品的总数量为 50＋150＋100 300 6 1＝ ，抽样比为 ＝ ，
300 50
1 1 1
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50× ＝1,150× ＝3,100× ＝2.
50 50 50
所以 A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2.
(2)方法一 设 6件来自 A，B，C三个地区的样品分别为
A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从 6件样品中抽取的这 2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，
C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，
{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共 15个．
每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件 D为“抽取的这 2件商品来自相同地区”，则事件 D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，
B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共 4个．
所以 P(D) 4＝ ，
15
4
即这 2件商品来自相同地区的概率为 .
15
C32＋C22 3＋1 4
方法二 这 2件商品来自相同地区的概率为 ＝ ＝ .
C62 15 15
12．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10名队员，某些队员不止参加一支球队，具
体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件 A，B，C.由图知 3
支球队共有球员 20名．
则 P(A) 5 3 4＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ .
20 20 20
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件 D.
则 D＝A＋B＋C，因为事件 A，B，C两两互斥，
所以 P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) 5 3 4 3＝ ＋ ＋ ＝ .
20 20 20 5
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件 E，则 E 为“抽取一名队员，该队
2 9
员属于 3支球队”，所以 P(E)＝1－P( E )＝1－ ＝ .
20 10
B 组
13．已知 A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则 A∩B＝B的概率是( )
A.2 B.1 C.8 D．1
9 3 9
答案 C
解析 因为 a∈A，b∈A，所以可用列表法得到基本事件的个数为 9(如下表所示)．
a
1 2 3
b
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,2) (3,3)
因为 A∩B＝B，所以 B可能是 ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．
当 B＝ 时，a2－4b<0，满足条件的 a，b为 a＝1，b＝1,2,3；a＝2，b＝2,3；a＝3，b＝3.
当 B＝{1}时，满足条件的 a，b为 a＝2，b＝1.
当 B＝{2}，{3}时，没有满足条件的 a，b.
当 B＝{1,2}时，满足条件的 a，b为 a＝3，b＝2.
当 B＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的 a，b.
综上，符合条件的结果有 8种．
8
故所求概率为 .
9
14．(2020·衡水联考)某省高考数学多选题有 A，B，C，D四个选项，在给出选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 3分，有选错的不得分．已知某道数学多
选题正确答案为 B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能
得分的概率为________．
1
答案
5
解析 随机地填涂了至少一个选项共有 C14＋C42＋C34＋C44＝15(种)涂法，
得分的涂法为 3种，
1
故他能得分的概率为 .
5
C 组
15.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲
从 A处沿脚手架攀登至 B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7 7 7 7
答案 B
解析 根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走 3次向上，2
次向右，2次向前，共 7次，所以最近的行走路线共有 A77＝5 040(种)．因为不能连续向上，
所以先把不向上的次数排列起来，也就是 2次向右和 2次向前全排列为 A44.接下来，就是把 3
次向上插到 4次不向上之间的空当中，5个位置排 3个元素，也就是 A35，则最近的行走路线
中不连续向上攀登的路线共有 A44A35＝1 440(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的
P 1 440 2概率 ＝ ＝ .
5 040 7
16．(2020·绵阳模拟)在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有 4个
小球，小球上分别写
有 0,1,2,3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，
记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．
抽奖活动的奖励规则是：
①若取出的两个小球上数字之积大于 4，则奖励飞机玩具一个；
②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]内，则奖励汽车玩具一个；
③若取出的两个小球上数字之积小于 1，则奖励饮料一瓶．
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由．
解 (1)基本事件总数有 16种，分别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，
(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)；
记“获得飞机玩具”为事件 A，则事件 A包含的基本事件有 3种，分别为(2,3)，(3,2)，(3,3)．
3
∴每对亲子获得飞机玩具的概率 P(A)＝ .
16
(2)记“获得汽车玩具”为事件 B，“获得饮料”为事件 C，
事件 B包含的基本事件有 6个，分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，
6 3
∴每对亲子获得汽车玩具的概率 P(B)＝ ＝ ，
16 8
每对亲子获得饮料的概率 P(C)＝1－P(A)－P(B) 7＝ .
16
3
∵ < 7，∴每对亲子获得汽车玩具的概率小于获得饮料的概率．
8 16第 44 讲 随机事件的概率与古典概型
【知识梳理】
1．概率和频率
(1)在相同的条件 S下重复 n次试验，观察某一事件 A是否出现，称 n次试验中事件 A出现的
次数 nA为事件 A出现的 ，称事件 A出现的比例 fn(A)＝ 为事件 A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，
因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A)．
2．事件的关系与运算
定义 符号表示
若事件 A ，事件 B ，则称事件 B
包含关系 (或 A B)
包含事件 A(或称事件 A包含于事件 B)
相等关系 若 且 ，则称事件 A与事件 B相等 A＝B
若某事件发生当且仅当事件 A发生 事件 B
并事件(和事件) 发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或 (或 A＋B)
和事件)
若某事件发生当且仅当事件 A发生 事件 B
交事件(积事件) 发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或 (或 AB)
积事件)
互斥事件 A∩B为 事件，则称事件 A与事件 B互斥 A∩B＝
若 A∩B为 事件，A∪B为 事件，则称 A∩B＝ 且 P(A∪B)
对立事件
事件 A与事件 B互为对立事件 ＝ ＋ ＝
3．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： .
(2)必然事件的概率 P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率 P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件 A与事件 B互斥，则 P(A∪B)＝ ．
(5)对立事件的概率
若事件 A与事件 B互为对立事件，则 P(A)＝ ．
4．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：
(1)试验中所有可能出现的基本事件 ；
(2)每个基本事件出现的可能性 ．
5．古典概型的概率公式
P(A)＝ .
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(2)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )
(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事
件．( )
(4)试验“口袋中有 2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红
球”是古典概型．( )
2．下列事件中，不是随机事件的是( )
A．长度为 3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形
B．经过有信号灯的路口，遇上红灯
C．下周六是晴天
D．一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上
3．某射手在一次射击中，射中 10环，9环，8环的概率分别是 0.2,0.3,0.1，则该射手在一次
射击中不够 8环的概率为( )
A．0.9 B．0.3 C．0.6 D．0.4
4．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则甲赢的概率为________．
5．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三
天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )
A. 1 B.1 C.1 D.1
15 5 4 2
6．抛掷一枚骰子，记 A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是 3的倍数”，则
P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.
【典型例题】
题型一 随机事件
例 1 (1)从一堆产品(其中正品与次品都多于 2件)中任取 2 件，下列事件是互斥事件但不是对
立事件的是( )
A．恰好有 1件次品和恰好有 2件次品
B．至少有 1件次品和全是次品
C．至少有 1件正品和至少有 1件次品
D．至少有 1件次品和全是正品
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是( )
A．恰有一次击中 B．三次都没击中 C．三次都击中 D．至多击中一次
例 2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶 6元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求
量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；如果最高气
温位于区间[20,25)，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶．为了确定六
月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450
瓶时，写出 Y的所有可能值，并估计 Y大于零的概率．
例 3 某商场有奖销售中，购满 100元商品得 1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖
单位，设特等奖 1个，一等奖 10个，二等奖 50个．记 1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖
的事件分别为 A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
跟踪训练 1 (1)袋中装有 3个白球和 4个黑球，从中任取 3个球，给出下列四组事件：①“恰
有 1个白球”和“全是白球”；②“至少有 1个白球”和“全是黑球”；③“至少有 1个白
球”和“至少有 2个白球”；④“至少有 1个白球”和“至少有 1个黑球”．在上述每组事
件中，互为对立事件的是( )
A．① B．② C．②③ D．①④
(2)某学校共有教职工 120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
本科 研究生 合计
35岁以下 40 30 70
35～50岁 27 13 40
50岁以上 8 2 10
现从该校教职工中任取 1人，则下列结论正确的是( )
A．该教职工具有本科学历的概率低于 60%
B．该教职工具有研究生学历的概率超过 50%
C．该教职工的年龄在 50岁以上的概率超过 10%
D．该教职工的年龄在 35岁及以上且具有研究生学历的概率超过 10%
(3) 1掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为 ，事件 A表示“出现小于 5的偶数点”，事
6
件 B表示“出现小于 5的点数”，则一次试验中，事件 A∪ B ( B 表示事件 B的对立事件)
发生的概率为( )
A.1 B.1 C.2 D.5
3 2 3 6
题型二 古典概型
1．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项
伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最
早见于东汉徐岳所撰写的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾
为此作注，大意是：把木板刻为 3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位
用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠(简
称上珠)代表 5，下面一粒珠(简称下珠)是 1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现
在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨 2粒下珠，算盘表示的数为质数
(除了 1和本身没有其它的约数)的概率是( )
A.1 B.1 C.2 D.1
3 2 3 6
2．(2020·江苏)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2次，观察向上的点数，则点数和为 5
的概率是________．
3．(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学联考)从左至右依次站着甲、乙、丙
3个人，从中随机抽取 2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率
是________．
题型三 古典概型与统计的综合应用
例 4 某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本
课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班 50名学生一周用在兴
趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得
到了如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；
(2)从[4,6)，[6,8)两组中按分层抽样的方法抽取 6人，再从这 6人中随机抽取 2 人，求恰有 1
人在[6,8)组中的概率．
跟踪训练 2 空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空
气质量按照 AQI大小分为六级：0～50 为优；51～100为良；101～150 为轻度污染；151～
200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染．一环保人士记录了某地 2020年
某月 10天的 AQI的茎叶图如图所示．
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有 30天计算)
(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指
标，求这两天的空气质量等级恰好不同的概率．
【课后作业】
A 组
1．从 6个篮球，2个排球中任选 3个球，则下列事件中是必然事件的是( )
A．3个都是篮球 B．至少有 1个排球
C．3个都是排球 D．至少有 1个篮球
2．(2020·全国Ⅰ)设 O为正方形 ABCD的中心，在 O，A，B，C，D中任取 3点，则取到的 3
点共线的概率为( )
A.1 B.2 C.1 D.4
5 5 2 5
3．(2020·重庆模拟)第六届世界互联网大会发布了 15项世界互联网领先科技成果，其中有 5
项成果均属于芯片领域，分别为华为的鲲鹏 920、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端 AI
芯片、思元 270、赛灵思的 Versa自适应计算加速平台．现有 3名学生从这 15项世界互联网
领先科技成果中分别任选 1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有 1名学生选
择芯片领域的概率为( )
A.89 B. 2 C. 98 D.19
91 91 125 27
4．(2021·西安模拟)现有甲、乙、丙、丁 4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活
动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )
A.1 B.1 C.1 D. 1
2 3 6 12
5 1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2粒都是黑子的概率为 ，都是白子的概率
7
12
是 ，则从中任意取出 2粒恰好是同一色的概率是( )
35
A.1 B.12 C.17 D．1
7 35 35
6．(多选)下列说法正确的是( )
A．若事件 A与 B互斥，则 A∪B是必然事件
B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、
乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件 E＝“甲取到《红楼梦》”，事件 F＝“乙取到
《红楼梦》”，则 E与 F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件 A＝“向上的点数不大于 5”，事件 B＝“向上
的点数为质数”，则 B A
D．10个产品中有 2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有 2个基本事件
7．(2019·江苏)从 3名男同学和 2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 2名同
学中至少有 1名女同学的概率是________．
8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为 0,1,2的概率分别为 0.4,0.5,0.1.则该
企业在一个月内被消费者投诉不超过 1次的概率为________．
9．将 A，B，C，D这 4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与 B相邻且 A与 C之间恰
好有 1名同学”的概率是________．
10．已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、
丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为________．
11．海关对同时从 A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种
商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样
品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这 6件样品中来自 A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这 6件样品中随机抽取 2件送往甲机构进行进一步检测，求这 2件商品来自相同地区
的概率．
12．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10名队员，某些队员不止参加一支球队，具
体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
B 组
13．已知 A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则 A∩B＝B的概率是( )
A.2 B.1 C.8 D．1
9 3 9
14．(2020·衡水联考)某省高考数学多选题有 A，B，C，D四个选项，在给出选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 3分，有选错的不得分．已知某道数学多
选题正确答案为 B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能
得分的概率为________．
C 组
15.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲
从 A处沿脚手架攀登至 B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7 7 7 7
16．(2020·绵阳模拟)在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有 4个
小球，小球上分别写
有 0,1,2,3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，
记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．
抽奖活动的奖励规则是：
①若取出的两个小球上数字之积大于 4，则奖励飞机玩具一个；
②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]内，则奖励汽车玩具一个；
③若取出的两个小球上数字之积小于 1，则奖励饮料一瓶．
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由．

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