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第 42 讲 排列、组合
【考试要求】
1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
【知识梳理】
1．排列与组合的概念
名称 定义 区别
排列 从 n 个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列
排列有序，组合无序
组合 m(m≤n)个元素 合成一组
2.排列数与组合数
定义 计算公式 性质 联系
从 n 个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有
排 Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
不同排列的个数，叫做 (1)Ann＝n！；
列 n！
从 n 个不同元素中取出 ＝ (n，m∈N*，且 m≤n) (2)0！＝1
数 n－m ！
m 个元素的排列数．用符
号“Amn”表示
Cm An
m
n＝
从 n 个不同元素中取出 m！
m(m n) C m n n－1 n－2 … n－m＋1 ≤ 个元素的所有 n ＝ (1)Cnn＝C0n＝1；
组 m！
不同组合的个数，叫做 (2)Cm Cn－n＝ n m；
合 n！
从 n 个不同元素中取出 ＝ (n，m∈N*，且 m m
数 m！ n－m ！
(3)Cn＋1＝Cn ＋
m 个元素的组合数．用符 m－1m≤n) Cn
号“Cmn”表示
微思考
1．排列问题和组合问题的区别是什么？
提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．
2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？
提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 CmnAmm＝Anm.
(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．
前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ )
(3)若组合式 Cnx＝Cmn，则 x＝m 成立．( × )
(4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也
就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( √ )
题组二 教材改编
2．从 4本不同的课外读物中，买 3本送给 3名同学，每人各 1本，则不同的送法种数是( )
A．12 B．24 C．64 D．81
答案 B
解析 4本不同的课外读物选 3本分给 3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为 A43＝
24.
3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
答案 D
解析 “插空法”，先排 3个空位，形成 4个空隙供 3人选择就座，因此任何两人不相邻的
坐法种数为 A34＝4×3×2＝24.
4．C73＋C47＋C58＋C 96的值为________．(用数字作答)
答案 210
解析 原式＝C48＋C58＋C96＝C59＋C69＝C160＝C140＝210.
题组三 易错自纠
5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
( )
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
答案 B
解析 第一类：甲在最左端，有 A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，
甲不在最右端，
有 4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．
所以共有 120＋96＝216(种)排法．
6．某校开设 A 类选修课 3门，B 类选修课 4门，一位同学从中共选 3门．若要求两类课程中
各至少选一门，则不同的选法种数为________．
答案 30
解析 分两种情况：(1)A 类选修课选 1门，B 类选修课选 2门，有 C13C 24种不同的选法；(2)A
类选修课选 2门，B 类选修课选 1门，有 C23C 14种不同的选法．
所以不同的选法共有 C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种).
【典型例题】
题型一 排列问题
1．用 1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比 20 000大，并且百位数不是数字 3的没有重复数字
的五位数，共有( )
A．96个 B．78个 C．72个 D．64个
答案 B
解析 根据题意知，要求这个五位数比 20 000大，则万位数必须是 2,3,4,5这 4个数字中的一
个，当万位数是 3时，百位数不是数字 3，符合要求的五位数有 A44＝24(个)；当万位数是 2,4,5
时，由于百位数不能是数字 3，则符合要求的五位数有 3×(A44－A33)＝54(个)，因此共有 54＋
24＝78(个)这样的五位数符合要求．
2．(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是
( )
A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 800
答案 A
解析 除甲、乙外，其余 5个人排列为 A 55种排法，再用甲乙去插 6个空位有 A 26种，不同的
排法种数是 A55A26＝3 600(种)．
3．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级
一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃
饭的不同安排方案共有( )
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
答案 B
解析 根据题意，按甲班位置分 3种情况讨论：
(1)甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有 4A22＝8(种)，将剩余的三个班全排列，安
排到剩下的 3个位置，有 A33＝6(种)情况，此时有 8×6＝48(种)安排方案；
(2)甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有 3A22＝6(种)，将剩下的三个班全排列，安排
到剩下的三个位置，有 A33＝6(种)情况，此时有 6×6＝36(种)安排方案；
(3)甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有 3A22＝6(种)，将剩下的三个班全排列，安
排到剩下的三个位置，有 A33＝6(种)情况，此时有 6×6＝36(种)安排方案．
由分类加法计数原理可知共有 48＋36＋36＝120(种)方案．
思维升华 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际
进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，
对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”．②不相邻问题采用“插空法”．③有
限制元素采用“优先法”．④特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的
全排列数．
题型二 组合问题
1．(2020·新高考全国Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1个场馆，
甲场馆安排 1名，乙场馆安排 2名，丙场馆安排 3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
答案 C
解析 先从 6名同学中选 1名安排到甲场馆，有 C 16种选法，再从剩余的 5名同学中选 2名安
排到乙场馆，有 C 25种选法，最后将剩下的 3名同学安排到丙场馆，有 C 33种选法，由分步乘
法计数原理知，共有 C16·C25·C33＝60(种)不同的安排方法．
2．为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从 10名办公室工作人员中裁去 4
人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
答案 182
解析 甲、乙中裁一人的方案有 C12C 38种，甲、乙都不裁的方案有 C 48种，故不同的裁员方案
共有 C12C38＋C48＝182(种)．
3．从 2位女生，4位男生中选 3人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则不同的选法共
有______种．(用数字填写答案)
答案 16
解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有 1位女生参加有 C12C 24种，有 2位女生参加
有 C22C 14种．故所求选法共有 C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．
方法二 间接法：从 2位女生，4位男生中选 3人，共有 C 63种情况，没有女生参加的情况有
C 34种，故所求选法共有 C36－C34＝20－4＝16(种)．
思维升华 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则
①按元素(位置)的性质进行分类．
②按事情发生的过程进行分步．
具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他
元素(位置)．
(2)两类含有附加条件的组合问题的方法
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外
元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
②“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最
多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类
复杂时，可用间接法求解．
题型三 排列与组合的综合问题
命题点 1 相邻问题
例 1 北京 APEC峰会期间，有 2位女性和 3位男性共 5位领导人站成一排照相，则女性领导
人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有 2位相邻的站法有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
答案 C
解析 从 3位男性领导人中任取 2人“捆”在一起记作 A，A 共有 C23A22＝6(种)不同排法，剩
下 1 位男性领导人记作 B,2 位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在 A，B 之间，此时
共有 6×2＝12(种)排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插
入乙，∴共有 12×4＝48(种)不同排法．
命题点 2 相间问题
例 2 某次联欢会要安排 3个歌舞类节目，2个小品类节目和 1个相声类节目的演出顺序，则
同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
答案 B
解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品 1，小品 2，相声”“小品 1，相声，
小品 2”和“相声，小品 1，小品 2”．对于第一种情况，形式为“□小品 1歌舞 1小品 2□
相声□”，有 A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有 36种安排方法，对于第二种
情况，三个节目形成 4个空，其形式为“□小品 1□相声□小品 2□”，有 A22A34＝48(种)安
排方法，故共有 36＋36＋48＝120(种)安排方法．
命题点 3 特殊元素(位置)问题
例 3 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存
在．某城市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个孩子共 8人，他们准备使用滴滴打车
软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4名(乘同一辆车的 4个孩子不考虑位置)，
其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4个孩子恰有 2个来自于同一个家庭的
乘坐方式共有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
答案 B
解析 根据题意，分两种情况讨论：
①A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三
个家庭中任选 2个，再从每个家庭的 2个孩子中任选一个来乘坐甲车，
有 C23×C12×C12＝12(种)乘坐方式；
②A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选 1个，让其 2个孩子都在甲
车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的 2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有 C13×C12×C12
＝12(种)乘坐方式．
故共有 12＋12＝24(种)乘坐方式，故选 B.
思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类．
(2)按事情发生的过程进行分步．
具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他
元素(位置)．
跟踪训练 (1)把 5件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相
邻，则不同的摆法有________种．
答案 36
解析 将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A22A 44种方法，将
产品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A22A 33种方
法．于是符合题意的摆法共有 A22A44－A22A33＝36(种)．
(2)数学活动小组由 12名同学组成，现将这 12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，
且每组只研究一个课题，并要求每组选出 1名组长，则不同的分配方案有( )
A.C1
32C39C36A 443 种 B．C
312C93C6334种
A3
C312C39C3C. 643种 D．C312C93C6343种
A44
答案 B
C132C3C3解析 方法一 首先将 12名同学平均分成四组，有 9 6种分法，然后将这四组同学分配
A44
到四个不同的课题组，有 A 44种分法，并在各组中选出 1名组长，有 34种选法，根据分步乘
C132C39C3法计数原理，满足条件的不同分配方案有 6·A44·34＝C132C39C3634(种)，故选 B.
A44
方法二 根据题意可知，第一组分 3名同学有 C 312种分法，第二组分 3名同学有 C 39种分法，
第三组分 3名同学有 C 36种分法，第四组分 3名同学有 C 33种分法．第一组选 1名组长有 3种选
法，第二组选 1名组长有 3种选法，第三组选 1名组长有 3种选法，第四组选 1名组长有 3种
选法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有 C312C39C36C3334种，故选 B.
【课后作业】
A 组
1．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”
中取 6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )
A．360种 B．480种 C．600种 D．720种
答案 C
解析 从其他 5个字母中任取 4个，然后与“ea”进行全排列，共有 C45A55＝600(种)，故选 C.
2．用数字 1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A．8 B．24 C．48 D．120
答案 C
解析 末位数字排法有 A 12种，其他位置排法有 A 43种，共有 A12A34＝48(种)．
3．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在
一起，则不同的站法有( )
A．240种 B．192种 C．96种 D．48种
答案 B
解析 当丙和乙在甲的左侧时，共有 A22C41A22A33＝96(种)排列方法，同理，当丙和乙在甲的右
侧时也有 96种排列方法，所以共有 192种排列方法．
4 －．不等式 Ax8<6×A x8 2的解集为( )
A．{2,8} B．{2,6} C．{7,12} D．{8}
答案 D
8！
解析 <6 8！× ，
8－x ！ 10－x ！
∴x2－19x＋84<0，解得 7又 x≤8，x－2≥0，
∴75．(2020·昆明质检)互不相同的 5盆菊花，其中 2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要
摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方
法( )
A．A 55种 B．A 22种
C．A24A 22种 D．C12C12A22A 22种
答案 D
解析 红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一
盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有 C21C21A22A 22种摆放方法．
6．(2021·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯
不相邻，则不同的开灯方案共有( )
A．60种 B．20种 C．10种 D．8种
答案 C
解析 根据题意，可分为两步：
第一步，先安排四盏不亮的路灯，有 1种情况；
第二步，四盏不亮的路灯排好后，有 5个空位，在 5个空位中任意选 3个，插入三盏亮的路
灯，有 C35＝10(种)情况．
故不同的开灯方案共有 10×1＝10(种)．
7．有 5列火车分别准备停在某车站并行的 5条轨道上，若快车 A 不能停在第 3道上，货车 B
不能停在第 1道上， 则 5列火车不同的停靠方法数为( )
A．56 B．63 C．72 D．78
答案 D
解析 若没有限制，5列火车可以随便停，则有 A 55种不同的停靠方法；快车 A 停在第 3道上，
则 5 列火车不同的停靠方法为 A 44种；货车 B 停在第 1 道上，则 5 列火车不同的停靠方法为
A 44种；快车 A 停在第 3道上，且货车 B 停在第 1道上，则 5列火车不同的停靠方法为 A 33种，
故符合要求的 5列火车不同的停靠方法数为 A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.
8．(多选)(2021·苏州质检)现有 4个小球和 4个小盒子，下面的结论正确的是( )
A．若 4个不同的小球放入编号为 1,2,3,4的盒子，则共有 24种放法
B．若 4个相同的小球放入编号为 1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有 18种
C．若 4个不同的小球放入编号为 1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有 144种
D．若编号为 1,2,3,4的小球放入编号为 1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的
编号全不相同的放法共有 9种
答案 BCD
解析 若 4 个不同的小球放入编号为 1,2,3,4的盒子中，共有 44＝256(种)放法，故 A错误；
若 4个相同的小球放入编号为 1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放 3个小球，另
一个盒子放 1个小球或两个盒子均放 2个小球，共有 C24(A22＋1)＝18(种)放法，故 B正确；若
4个不同的小球放入编号为 1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放 1个小球，
C1·C1·C
另一个盒子中放 2个小球，共有 C1· 4 3 2
2·A33
4 ＝144(种)放法，故 C正确；若编号为 1,2,3,4
A22
的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若
(2,1,4,3)代表编号为 1,2,3,4的盒子放入的小球编号分别为 2,1,4,3，列出所有符合要求的情况：
(2,1,4,3)，(4,1,2,3)，(3,1,4,2)，(2,4,1,3)，(3,4,1,2)，(4,3,1,2)，(2,3,4,1)，(3,4,2,1)，(4,3,2,1)共 9
种放法，故 D正确．故选 BCD.
9．若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有________种(用数字
作答)．
答案 11
解析 把 g，o，o，d,4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排 g和 d，共有 A 24种排法；
第二步：排两个 o，共 1种排法，所以总的排法种数为 A24＝12.其中正确的有一种，所以错误
的共有 A24－1＝12－1＝11(种)．
10．某运输公司有 7个车队，每个车队的车辆均多于 4辆．现从这个公司中抽调 10辆车，并
且每个车队至少抽调 1辆，那么共有________种不同的抽调方法．
答案 84
解析 方法一 在每个车队抽调 1辆车的基础上，还需抽调 3辆车．可分为三类：一类是从
某 1个车队抽调 3辆，有 C 17种方法；一类是从 2个车队中抽调，其中 1个车队抽调 1辆，另
1个车队抽调 2辆，有 A 27种方法；一类是从 3个车队中各抽调 1辆，有 C 37种方法．故共有
C17＋A27＋C37＝84(种)抽调方法．
方法二 由于每个车队的车辆均多于 4辆，只需将 10个份额分成 7份．可看作将 10个小球
排成一排，在相互之间的 9个空当中插入 6个隔板，即可将小球分成 7份，故共有 C69＝84(种)
抽调方法．
11．(2020·梅州质检)某省高考实行 3＋3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、
历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则
他们至少有两科相同的选法有________种．
答案 200
解析 根据题意，分 2种情况讨论：
①两人选择的科目全部相同，有 C36＝20(种)选法，
②两人选择的科目有且只有 2科相同，有 C26C14C13＝180(种)选法，
则两人至少有两科相同的选法有 20＋180＝200(种)．
12．(2020·全国Ⅱ)4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1个小区，每
个小区至少安排 1名同学，则不同的安排方法共有________种．
答案 36
解析 将 4名同学分成人数为 2,1,1的 3组，有 C24＝6(种)分法，再将 3组同学分到 3个小区，
共有 A33＝6(种)分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有 6×6＝36(种)．
B 组
13．某宾馆安排 A，B，C，D，E 五人入住 3个房间，每个房间至少住 1人，且 A，B 不能住
同一房间，则不同的安排方法有( )
A．114 B．90 C．108 D．60
答案 A
解析 5个人住 3个房间，每个房间至少住 1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，
有 C35·A33＝60(种)，A，B 住同一房间有 C13·A33＝18(种)，故有 60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，
C2
有 5
·C23·A33＝90(种)，A，B 住同一房间有 C32·A33＝18(种)，故有 90－18＝72(种)，根据分类加
A22
法计数原理可知，共有 42＋72＝114(种)．
14．(2021·湖北八市重点高中联考)从 4名男生和 3名女生中选出 4名去参加一项活动，要求
男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为
________．(用数字作答)
答案 23
解析 ①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为
C35－C33＝9；
②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为 C35－C33
＝9；
③设甲、乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为 C45＝5.
综合①②③得，不同的选法种数为 9＋9＋5＝23.
C 组
15．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，
主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，
数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座
排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”
课程讲座不同排课顺序共有( )
A．120种 B．156种 C．188种 D．240种
答案 A
解析 当“数”排在第一节时有 A22·A44＝48(种)排法；
当“数”排在第二节时有 A13·A22·A33＝36(种)排法；
当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有 A22·A33＝12(种)排法，
当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有 A12·A22·A33＝24(种)排法，
所以满足条件的共有 48＋36＋12＋24＝120(种)排法，故选 A.
16．用数字 0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为
偶数的四位数共有________个．(用数字作答)
答案 324
解析 当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有 0，则千位上把
剩余数字中任意一个放上即可，方法数是 C23A33C14＝72；若选出的三个偶数不含 0，则千位上
只能从剩余的非 0数字中选一个放上，方法数是 A33C13＝18，故这种情况下符合要求的四位数
共有 72＋18＝90(个)．
当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是 0，则再选出两个
奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为 C23A33C14＝72；若选出的偶数不是
0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非 0数字中选一个放上，方法数是 C13C23A33C13＝
162，故这种情况下符合要求的四位数共有 72＋162＝234(个)．
根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有 90＋234＝324(个)．第 42 讲 排列、组合
【考试要求】
1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
【知识梳理】
1．排列与组合的概念
名称 定义 区别
排列 从 n 个不同元素中取出 按照 排成一列
排列有序，组合无序
组合 m(m≤n)个元素 合成一组
2.排列数与组合数
定义 计算公式 性质 联系
从 n 个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有
排 Amn＝
的个数，叫 (1)Ann＝ ；
列
做从 n 个不同元素中取 (2)0！＝
数 ＝ (n，m∈N*，且 m≤n)
出m个元素的排列数．用
符号“Anm”表示 m
Cm Ann＝
从 n 个不同元素中取出 m！
m(m≤n)个元素的所有 Cmn＝ (1)Cnn＝Cn0＝ ；
组
的个数，叫 (2)Cmn＝ ；
合
做从 n 个不同元素中取 ＝ (n，m∈N*， (3)Cnm＋1＝ +
数
出m个元素的组合数．用 且 m≤n)
符号“Cnm”表示
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )
(3)若组合式 Cnx＝Cnm，则 x＝m 成立．( )
(4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也
就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( )
1
2．从 4本不同的课外读物中，买 3本送给 3名同学，每人各 1本，则不同的送法种数是( )
A．12 B．24 C．64 D．81
3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
4．C73＋C74＋C58＋C 96的值为________．(用数字作答)
5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
( )
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
6．某校开设 A 类选修课 3门，B 类选修课 4门，一位同学从中共选 3门．若要求两类课程中
各至少选一门，则不同的选法种数为________．
【典型例题】
题型一 排列问题
1．用 1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比 20 000大，并且百位数不是数字 3的没有重复数字
的五位数，共有( )
A．96个 B．78个 C．72个 D．64个
2
2．(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是
( )
A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 800
3．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级
一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃
饭的不同安排方案共有( )
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
题型二 组合问题
1．(2020·新高考全国Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1个场馆，
甲场馆安排 1名，乙场馆安排 2名，丙场馆安排 3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
2．为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从 10名办公室工作人员中裁去 4
人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
3．从 2位女生，4位男生中选 3人参加科技比赛，且至少有 1位女生入选，则不同的选法共
有______种．(用数字填写答案)
3
题型三 排列与组合的综合问题
例 1 北京 APEC峰会期间，有 2位女性和 3位男性共 5位领导人站成一排照相，则女性领导
人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有 2位相邻的站法有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
例 2 某次联欢会要安排 3个歌舞类节目，2个小品类节目和 1个相声类节目的演出顺序，则
同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
例 3 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存
在．某城市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个孩子共 8人，他们准备使用滴滴打车
软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4名(乘同一辆车的 4个孩子不考虑位置)，
其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4个孩子恰有 2个来自于同一个家庭的
乘坐方式共有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
跟踪训练 (1)把 5件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相
邻，则不同的摆法有________种．
(2)数学活动小组由 12名同学组成，现将这 12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，
且每组只研究一个课题，并要求每组选出 1名组长，则不同的分配方案有( )
A.C
312C39C63A 44种 B．C312C93C3634种
A33
C132C39C3C. 643种 D．C3 C3C343种
A44
12 9 6
4
【课后作业】
A 组
1．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”
中取 6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )
A．360种 B．480种 C．600种 D．720种
2．用数字 1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A．8 B．24 C．48 D．120
3．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在
一起，则不同的站法有( )
A．240种 B．192种 C．96种 D．48种
4．不等式 Ax8<6×A x－8 2的解集为( )
A．{2,8} B．{2,6} C．{7,12} D．{8}
5．(2020·昆明质检)互不相同的 5盆菊花，其中 2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要
摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方
法( )
A．A 55种 B．A 22种
C．A24A 22种 D．C12C12A22A 22种
6．(2021·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯
不相邻，则不同的开灯方案共有( )
A．60种 B．20种 C．10种 D．8种
7．有 5列火车分别准备停在某车站并行的 5条轨道上，若快车 A 不能停在第 3道上，货车 B
不能停在第 1道上， 则 5列火车不同的停靠方法数为( )
A．56 B．63 C．72 D．78
8．(多选)(2021·苏州质检)现有 4个小球和 4个小盒子，下面的结论正确的是( )
A．若 4个不同的小球放入编号为 1,2,3,4的盒子，则共有 24种放法
B．若 4个相同的小球放入编号为 1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有 18种
C．若 4个不同的小球放入编号为 1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有 144种
D．若编号为 1,2,3,4的小球放入编号为 1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的
编号全不相同的放法共有 9种
9．若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有________种(用数字
作答)．
10．某运输公司有 7个车队，每个车队的车辆均多于 4辆．现从这个公司中抽调 10辆车，并
且每个车队至少抽调 1辆，那么共有________种不同的抽调方法．
5
11．(2020·梅州质检)某省高考实行 3＋3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、
历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则
他们至少有两科相同的选法有________种．
12．(2020·全国Ⅱ)4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1个小区，每
个小区至少安排 1名同学，则不同的安排方法共有________种．
B 组
13．某宾馆安排 A，B，C，D，E 五人入住 3个房间，每个房间至少住 1人，且 A，B 不能住
同一房间，则不同的安排方法有( )
A．114 B．90 C．108 D．60
14．(2021·湖北八市重点高中联考)从 4名男生和 3名女生中选出 4名去参加一项活动，要求
男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为
________．(用数字作答)
C 组
15．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，
主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，
数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座
排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”
课程讲座不同排课顺序共有( )
A．120种 B．156种 C．188种 D．240种
16．用数字 0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为
偶数的四位数共有________个．(用数字作答)
6

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