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第 1 讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式
【知识梳理】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
2 2
正弦 sin α
余弦 cos α
正切 tan α
口诀
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( )
(2) α R tan α sin α若 ∈ ，则 ＝ 恒成立．( )
cos α
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
3π
－α
(4)若 sin 2 1 1＝ ，则 cos α＝－ .( )
3 3
2．若 sin α 5 π＝ ， <α<π，则 tan α等于( )
5 2
A 2 B 2 C.1 D 1．－ ． ．－
2 2
3 tan α 2 3sin α－cos α．已知 ＝ ，则 等于( )
sin α＋2cos α
A.5 B 5．－ C.5 D 5．－
4 4 3 3
α π－
cos 2
4．化简 5π ·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．
＋α
sin 2
5 ( ) A sin kπ＋α cos kπ＋α ． 多选 已知 ＝ ＋ (k∈Z)，则 A的值是( )
sin α cos α
A．2 B．1 C．－2 D．0
0 π，
6．已知 sin θ cos θ 4＋ ＝ ，θ∈ 4 ，则 sin θ－cos θ的值为 ．
3
【典型例题】
题型一 同角三角函数基本关系的应用
1．(2021· 3北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－ ，则 tan α等于( )
5
A.3 B 3 4 4．－ C. D．－
4 4 3 3
2 1．已知α是三角形的内角，且 tan α＝－ ，则 sin α＋cos α的值为 ．
3
3 cos α 2sin α．若角α的终边落在第三象限，则 ＋ 的值为 ．
1－sin2α 1－cos2α
4．已知 sin θ＋cos θ 7＝ ，θ∈(0，π)，则 tan θ＝ .
13
题型二 诱导公式的应用
α 2 021π－
例 1 (1)在平面直角坐标系 xOy中，角α的终边经过点 P(3,4)，则 sin 2 等于( )
A 4 3 3 4．－ B．－ C. D.
5 5 5 5
π α 3π＋ －α 25π
cos 2 sin 2 －(2)已知 f(α)＝ ，则 f 3 的值为 ．
cos －π－α tan π－α
α π π＋ －α
跟踪训练 1 (1)已知 sin 3 12＝ ，则 cos 6 等于( )
13
A. 5 B.12 C 5 D 12．－ ．－
13 13 13 13
π
＋α
(2)(2021· 15江西临川第一中学等九校联考)已知α∈(0，π)，且 cos α＝－ ，则 sin 2 ·tan(π
17
＋α)等于( )
A 15 B.15 C 8 8．－ ．－ D.
17 17 17 17
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
π
＋β
例 2 (1)(2021·聊城模拟)已知α为锐角，且 2tan(π－α)－3cos 2 ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π
＋β)－1＝0，则 sin α的值是( )
A.3 5 B.3 7 C.3 10 D.1
5 7 10 3
2
(2)已知－π5 1－tan x
33π α 5π α 5π＋ ＋ ＋α
跟踪训练 2 (1)(2021·潍坊调研)已知 3sin 14 ＝－5cos 14 ，则 tan 14 等于( )
A 5．－ B 3．－ C.3 D.5
3 5 5 3
(2)已知函数 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且 f(4)＝3，则 f(2 021)的值为 ．
【课后作业】
A 组
1．sin 1 050°等于( )
A.1 B 1．－ C. 3 D 3．－
2 2 2 2
2．已知α是第四象限角，tan α 8＝－ ，则 sin α等于( )
15
A.15 B 15 C. 8 D 8．－ ．－
17 17 17 17
3．(2020·杭州学军中学模拟)已知 cos 31°＝a，则 sin 239°·tan 149°的值为( )
A.1－a
2
B. 1－a2
a
C.a
2－1 D．－ 1－a2
a
4．(2020·天津西青区模拟)已知 sin α＋cos α＝－ 2，则 tan α 1＋ 等于( )
tan α
A 2 B.1 C 2 D 1． ．－ ．－
2 2
5．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C B B＋C A．sin ＝cos
2 2
C π≠
C．tan(A＋B)＝－tan C 2 D．cos(A＋B)＝cos C
6 ( ) sin α 4． 多选 若 ＝ ，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
5
A．tan α 4＝ B．cos α 3＝
3 5
C．sin α＋cos α 8＝ D．sin α－cos α 1＝－
5 5
7．(2020·河北九校联考)已知点 P(sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若 0°≤α<360°，则α
＝ .
4π
4π 5π －8．sin ·cos ·tan 3 的值是 ．
3 6
α π α 17π－ ＋
9．(2020· 1上饶模拟)sin 12 ＝ ，则 cos 12 ＝ .
3
10．若 3sin α＋cos α＝0，则 cos2α＋2sin αcos α的值为 ．
11 f(α) sin π－α cos 2π－α tan α＋π ．已知 ＝ .
tan －α－π sin －α－π
α 3π－
(1)若 cos 2 1＝ ，α是第三象限角，求 f(α)的值；
5
(2) α 31π若 ＝－ ，求 f(α)的值．
3
3π
＋α
12 π．已知－ <α<0，且函数 f(α)＝cos sin α· 1＋cos α2 － －1.
2 1－cos α
(1)化简 f(α)；
(2)若 f(α) 1＝ ，求 sin αcos α和 sin α－cos α的值．
5
B 组
13．(2020·河北六校联考)若 sin α是方程 5x2－7x－6＝0的根，则
α 3π 3π－ － －α
sin 2 sin 2 tan2 2π－α
π π 等于( )
－α ＋α
cos 2 cos 2 sin π＋α
A.3 B.5 C.4 D.5
5 3 5 4
θ π＋ θ π－
14．已知θ 3是第四象限角，且 sin 4 ＝ ，则 tan 4 ＝ .
5
C 组
15.如图是由 4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中
较小的内角为θ 1，大正方形的面积是 1，小正方形的面积是 ，则 sin2θ－cos2θ的值是 ．
25
π
＋β π－β
16．已知 sin α＝1－sin 2 ，求 sin2α＋sin 2 ＋1的取值范围．第 1 讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式
【考试要求】
1. sin α理解同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1， ＝tan α.
cos α
α±π，α±π的正弦、余弦、正切
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式 2 .
【知识梳理】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
π
(2) sin α
α≠ ＋kπ，k∈Z
商数关系： ＝tan α 2 .
cos α
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π α π角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α － ＋α
2 2
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( × )
(2)若α∈R tan α sin α，则 ＝ 恒成立．( × )
cos α
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
3π
－α
(4)若 sin 2 1 1＝ ，则 cos α＝－ .( √ )
3 3
2 5 π．若 sin α＝ ， <α<π，则 tan α等于( )
5 2
A 1 1．－2 B．2 C. D．－
2 2
答案 D
π<α<π cos α 1 sin2α 2 5解析 ∵ ，∴ ＝－ － ＝－ ，
2 5
tan α sin α 1∴ ＝ ＝－ .
cos α 2
3．已知 tan α 2 3sin α－cos α＝ ，则 等于( )
sin α＋2cos α
A.5 B 5．－ C.5 D 5．－
4 4 3 3
答案 A
3tan α－1 3×2－1 5
解析 原式＝ ＝ ＝ .
tan α＋2 2＋2 4
α π－
cos 2
4．化简 5π ·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．
＋α
sin 2
答案 －sin2α
sin α
解析 原式＝ ·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
cos α
5 ( ) A sin kπ＋α cos kπ＋α ． 多选 已知 ＝ ＋ (k∈Z)，则 A的值是( )
sin α cos α
A．2 B．1 C．－2 D．0
答案 AC
解析 当 k sin α cos α为偶数时，A＝ ＋ ＝2；
sin α cos α
k A －sin α cos α当 为奇数时， ＝ － ＝－2.
sin α cos α
0 π4 ，6．已知 sin θ＋cos θ＝ ，θ∈ 4 ，则 sin θ－cos θ的值为 ．
3
2
答案 －
3
4
解析 ∵sin θ＋cos θ＝ ，∴sin θcos θ 7＝ .
3 18
0 π，
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ 2＝ ，θ∈ 4 ，
9
∴sin θ－cos θ 2＝－ .
3
【典型例题】
题型一 同角三角函数基本关系的应用
1．(2021· 3北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－ ，则 tan α等于( )
5
A.3 B 3．－ C.4 D 4．－
4 4 3 3
答案 D
cos α 3解析 因为 ＝－ 且α∈(0，π)，
5
所以 sin α＝ 1－cos2α 4＝ ，
5
tan α sin α 4所以 ＝ ＝－ .故选 D.
cos α 3
2．已知α是三角形的内角，且 tan α 1＝－ ，则 sin α＋cos α的值为 ．
3
10
答案 －
5
1 1
解析 由 tan α＝－ ，得 sin α＝－ cos α，
3 3
10
将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得 cos2α＝1，
9
所以 cos2α 9＝ ，易知 cos α<0，
10
cos α 3 10 sin α 10所以 ＝－ ， ＝ ，
10 10
故 sin α＋cos α 10＝－ .
5
cos α 2sin α
3．若角α的终边落在第三象限，则 ＋ 的值为 ．
1－sin2α 1－cos2α
答案 －3
解析 由角α的终边落在第三象限，
得 sin α<0，cos α<0，
cos α 2sin α cos α 2sin α
故原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1－2＝－3.
|cos α| |sin α| －cos α －sin α
4．已知 sin θ＋cos θ 7＝ ，θ∈(0，π)，则 tan θ＝ .
13
12
答案 －
5
7 60
解析 方法一 由 sin θ＋cos θ＝ ，得 sin θcos θ＝－ ，
13 169
因为θ∈(0，π)，所以 sin θ>0，cos θ<0，
17
所以 sin θ－cos θ＝ 1－2sin θcos θ＝ ，
13
sin θ＋cos θ 7 12＝ ， sin θ＝ ，
13 13
联立 解得
sin θ－cos θ 17＝ ， cos θ 5＝－ ，
13 13
所以 tan θ 12＝－ .
5
7
方法二 因为 sin θ＋cos θ＝ ，
13
sin θcos θ 60所以 ＝－ ，
169
由根与系数的关系，知 sin θ，cos θ是方程 x2 7－ x 60－ ＝0 12 5的两根，所以 x1＝ ，x2＝－ .
13 169 13 13
sin θcos θ 60又 ＝－ <0，θ∈(0，π)，
169
所以 sin θ>0，cos θ<0.
所以 sin θ 12＝ ，cos θ 5＝－ .
13 13
所以 tan θ sin θ 12＝ ＝－ .
cos θ 5
sin θ cos θ 7方法三 由 ＋ ＝ ，得 sin θcos θ 60＝－ ，
13 169
sin θcos θ 60
所以 ＝－ .
sin2θ＋cos2θ 169
tan θ 60
齐次化切，得 ＝－ ，
tan2θ＋1 169
即 60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，
解得 tan θ 12＝－ 或 tan θ 5＝－ .
5 12
又θ∈(0，π)，sin θ 7＋cos θ＝ >0，sin θcos θ 60＝－ <0，
13 169
π 3π
，
所以θ∈ 2 4 ，所以 tan θ 12＝－ .
5
思维升华 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定
sin α
符号；利用 ＝tan α可以实现角α的弦切互化．
cos α
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，
利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
题型二 诱导公式的应用
α 2 021π－
例 1 (1)在平面直角坐标系 xOy中，角α的终边经过点 P(3,4)，则 sin 2 等于( )
A 4 B 3 C.3 D.4．－ ．－
5 5 5 5
答案 B
4 3
解析 由题意知 sin α＝ ，cos α＝ ，
5 5
α 2 021π α π－ －
∴sin 2 ＝sin 2 ＝－cos α 3＝－ .
5
π
＋α 3π－α 25π
(2) cos 2 sin 2
－
已知 f(α)＝ ，则 f 3 的值为 ．
cos －π－α tan π－α
1
答案
2
π α 3π＋ －α
f(α) cos 2 sin 2解析 因为 ＝
cos －π－α tan π－α
－sin α －cos α
＝ sin α ＝cos α，
－
－cos α cos α
25π 25π
－ －
所以 f 3 π 1＝cos 3 ＝cos ＝ .
3 2
思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含 2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π的整数倍的三角函数式中可直接将 2π的整数倍
去掉后再进行运算．如 cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
α π π＋ －α
跟踪训练 1 (1)已知 sin 3 12＝ ，则 cos 6 等于( )
13
A. 5 B.12 C 5 12．－ D．－
13 13 13 13
答案 B
α π＋ 12
解析 因为 sin 3 ＝ ，
13
π π－α
－α π
所以 cos 6 ＝sin
－ 6
2
α π＋
＝sin 3 12＝ .
13
π
＋α
(2)(2021·江西临川第一中学等九校联考)已知α∈(0，π)，且 cos α 15＝－ ，则 sin 2 ·tan(π
17
＋α)等于( )
A 15 B.15．－ C 8．－ D. 8
17 17 17 17
答案 D
π
＋α
解析 sin 2 ·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α α (0 π) cos α 15，因为 ∈ ， ，且 ＝－ ，所以 sin α
17
15 π
＝ 1－cos2
－ ＋α
α＝ 1－ 17 2 8＝ ，即 sin 2 ·tan(π 8＋α)＝ .故选 D.
17 17
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
π
＋β
例 2 (1)(2021·聊城模拟)已知α为锐角，且 2tan(π－α)－3cos 2 ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π
＋β)－1＝0，则 sin α的值是( )
A.3 5 B.3 7 C.3 10 D.1
5 7 10 3
答案 C
3sin β－2tan α＋5＝0，
解析 由已知得
tan α－6sin β－1＝0.
消去 sin β，得 tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入 sin2α＋cos2α＝1，
化简得 sin2α 9 3 10＝ ，则 sin α＝ (α为锐角)．
10 10
(2) π2x
已知－ ， ＋ － ＝－ 求 的值．
5 1－tan x
1
解 由已知，得 sin x＋cos x＝ ，
5
1
两边平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝ ，
25
整理得 2sin xcos x 24＝－ .
25
∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x 49＝ ，
25
由－π又 sin xcos x 12＝－ <0，
25
∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，
故 sin x－cos x 7＝－ .
5
sin 2x＋2sin2x 2sin x cos x＋sin x
∴ ＝
1－tan x 1 sin x－
cos x
2sin xcos x cos x＋sin x
＝
cos x－sin x
24 1
－ ×
24
＝ 25 5＝－ .
7 175
5
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间
的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
33π α 5π 5π＋ ＋α ＋α
跟踪训练 2 (1)(2021·潍坊调研)已知 3sin 14 ＝－5cos 14 ，则 tan 14 等于( )
A 5 B 3 C.3 D.5．－ ．－
3 5 5 3
答案 A
33π α 5π＋ ＋α
解析 由 3sin 14 ＝－5cos 14 ，
5π 5π
＋α ＋α
得 sin 14 5＝－ cos 14 ，
3
5π 5π
＋α 5 ＋α
5π sin 14 － cos 14＋α 3
tan 14 5所以 ＝ 5π ＝
＋α 5π
＝－ .
cos 14 ＋α
3
cos 14
(2)已知函数 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且 f(4)＝3，则 f(2 021)的值为 ．
答案 －3
解析 因为 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，
所以 f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
所以 f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β＝－3.
【课后作业】
A 组
1．sin 1 050°等于( )
A.1 B 1 C. 3．－ D 3．－
2 2 2 2
答案 B
1
解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30°＝－ .
2
2 8．已知α是第四象限角，tan α＝－ ，则 sin α等于( )
15
A.15 B 15 8 8．－ C. D．－
17 17 17 17
答案 D
tan α 8 sin α 8解析 因为 ＝－ ，所以 ＝－ ，
15 cos α 15
所以 cos α 15＝－ sin α，
8
代入 sin2α 64＋cos2α＝1，得 sin2α＝ ，
289
又α是第四象限角，所以 sin α 8＝－ .
17
3．(2020·杭州学军中学模拟)已知 cos 31°＝a，则 sin 239°·tan 149°的值为( )
A.1－a
2
B. 1－a2
a
C.a
2－1 D．－ 1－a2
a
答案 B
解析 sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－ tan 31°)＝sin 31°＝
1－a2.
4．(2020·天津西青区模拟)已知 sin α＋cos α＝－ 2，则 tan α 1＋ 等于( )
tan α
A．2 B.1 C 1．－2 D．－
2 2
答案 A
解析 由已知得 1＋2sin αcos α＝2，
∴sin αcos α 1＝ ，
2
∴tan α 1 sin α cos α＋ ＝ ＋
tan α cos α sin α
sin2α＋cos2α 1
＝ ＝ ＝2.
sin αcos α 1
2
5．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin B＋C＝cos A
2 2
C π≠
C．tan(A＋B)＝－tan C 2
D．cos(A＋B)＝cos C
答案 ABC
解析 在△ABC中，有 A＋B＋C＝π，
则 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．
π A
sin B＋C
－ A
＝sin 2 2 ＝cos ，B正确．
2 2
C π≠
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C 2 ，C正确．
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．故选 ABC.
6．(多选)若 sin α 4＝ ，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
5
A．tan α 4＝
3
B 3．cos α＝
5
C．sin α 8＋cos α＝
5
D．sin α 1－cos α＝－
5
答案 AB
4
解析 ∵sin α＝ ，且α为锐角，
5
4
∴cos α＝ 1－sin2α＝ 1 3－ 5 2＝ ，故 B正确，
5
4
tan α sin α 5 4∴ ＝ ＝ ＝ ，故 A正确，
cos α 3 3
5
∴sin α＋cos α 4 3 7 8＝ ＋ ＝ ≠ ，故 C错误，
5 5 5 5
∴sin α－cos α 4 3 1 1＝ － ＝ ≠－ ，故 D错误．
5 5 5 5
7．(2020·河北九校联考)已知点 P(sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若 0°≤α<360°，则α
＝ .
答案 55°
解析 由题意知 cos α＝sin 35°＝cos 55°，
sin α＝cos 35°＝sin 55°，P在第一象限，
∴α＝55°.
4π
－
8．sin4π·cos5π·tan 3 的值是 ．
3 6
3 3
答案 －
4
π π＋ π π－ －π π－
解析 原式＝sin 3 ·cos 6 ·tan 3
－sinπ －cosπ －tanπ
＝ 3 · 6 · 3
3 3
－ －
＝ 2 × 2 ×(－ 3) 3 3＝－ .
4
α π α 17π－ ＋
9．(2020·上饶模拟)sin 12 1＝ ，则 cos 12 ＝ .
3
1
答案
3
α π－ 1
解析 由 sin 12 ＝ ，
3
α 17π 3π π＋ α＋ －
得 cos 12 ＝cos 2 12
α π－
＝sin 12 1＝ .
3
10．若 3sin α＋cos α＝0，则 cos2α＋2sin αcos α的值为 ．
3
答案
10
解析 3sin α＋cos α＝0 cos α≠0 tan α 1＝－ ，
3
cos2α＋2sin αcos α cos2α＋2sin αcos α
所以 ＝
1 sin2α＋cos2α
1 2－
1＋2tan α 3 3
＝ ＝ ＝ .
1＋tan2α 1－ 10
1＋ 3 2
11 f(α) sin π－α cos 2π－α tan α＋π ．已知 ＝ .
tan －α－π sin －α－π
α 3π－
(1)若 cos 2 1＝ ，α是第三象限角，求 f(α)的值；
5
(2)若α 31π＝－ ，求 f(α)的值．
3
f(α) sin α·cos α·tan α解 ＝ ＝－cos α.
－tan α ·sin α
α 3π－
(1)cos 2 1＝－sin α＝ ，
5
1
∴sin α＝－ .
5
∵α是第三象限角，
1
－ 2 6
∴cos α＝－ 1－ 5 2＝－ .
5
f(α) cos α 2 6＝－ ＝ .
5
31π π
－ －
(2)f(α)＝－cos 3 1＝－cos 3 ＝－ .
2
3π
12 π
＋α
．已知－ <α<0，且函数 f(α)＝cos sin α· 1＋cos α2 － －1.
2 1－cos α
(1)化简 f(α)；
(2)若 f(α) 1＝ ，求 sin αcos α和 sin α－cos α的值．
5
2
解 (1)f(α)＝sin α sin α· 1＋cos α － －1
1－cos2α
＝sin α＋sin α·1＋cos α－1＝sin α＋cos α.
sin α
(2)方法一 由 f(α)＝sin α 1＋cos α＝ ，
5
平方可得 sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α 1＝ ，
25
24
即 2sin α·cos α＝－ .
25
∴sin α·cos α 12＝－ .
25
π
又－ <α<0，∴sin α<0，cos α>0，
2
∴sin α－cos α<0，
∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α 49＝ ，
25
sin α cos α 7∴ － ＝－ .
5
sin α＋cos α 1＝ ，
方法二 联立方程 5
sin2α＋cos2α＝1，
sin α 3＝－ ， sin α 4＝ ，
5 5
解得 或
cos α 4＝ cos α 3＝－ .
5 5
sin α 3＝－ ，
π 5
∵－ <α<0，∴
2 cos α 4＝ ，
5
∴sin αcos α 12 7＝－ ，sin α－cos α＝－ .
25 5
B 组
13．(2020·河北六校联考)若 sin α是方程 5x2－7x－6＝0的根，则
α 3π 3π－ － －α
sin 2 sin 2 tan2 2π－α
π π 等于( )
－α ＋α
cos 2 cos 2 sin π＋α
A.3 B.5 C.4 D.5
5 3 5 4
答案 B
解析 方程 5x2－7x－6＝0 3的两根为 x1＝－ ，x2＝2，则 sin α 3＝－ .
5 5
cos α －cos α tan2α 1 5
原式＝ ＝－ ＝ .
sin α －sin α －sin α sin α 3
θ π＋ θ π－
14 θ 3．已知 是第四象限角，且 sin 4 ＝ ，则 tan 4 ＝ .
5
4
答案 －
3
θ π＋
解析 因为θ 3是第四象限角，且 sin 4 ＝ ，
5
所以θ π＋ 为第一象限角，
4
θ π＋ 4
所以 cos 4 ＝ ，
5
π
－θ θ π＋
所以 cos 4 ＝sin 4 3＝ ，
5
π θ θ π－ ＋
sin 4 ＝cos 4 4＝ ，
5
π
－θ
θ π π sin 4
4
－ －θ
则 tan 4 4＝－tan 4 ＝－ π ＝－5＝－ .
－θ 3 3cos 4
5
C 组
15.如图是由 4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中
1
较小的内角为θ，大正方形的面积是 1，小正方形的面积是 ，则 sin2θ－cos2θ的值是 ．
25
7
答案 －
25
解析 由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为 cos θ，短直角边为 sin θ，
小正方形的边长为 cos θ－sin θ，
1
∵小正方形的面积是 ，
25
∴(cos θ－sin θ)2 1＝ ，
25
∵θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cos θ>sin θ，∴cos θ 1－sin θ＝ ，
5
又∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ 1＝ ，
25
∴2sin θcos θ 24＝ ，
25
∴1＋2sin θcos θ 49＝ ，即(cos θ sin θ)2 49＋ ＝ ，
25 25
∴cos θ＋sin θ 7＝ ，
5
∴sin2θ－cos2θ＝(cos θ＋sin θ)(sin θ－cos θ) 7＝－ .
25
π π
＋β －β
16．已知 sin α＝1－sin 2 ，求 sin2α＋sin 2 ＋1的取值范围．
π
＋β
解 因为 sin α＝1－sin 2 ＝1－cos β，
所以 cos β＝1－sin α.因为－1≤cos β≤1，
所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2，
又－1≤sin α≤1，所以 sin α∈[0,1]．
π
－β sin α 1－ 7
所以 sin2α＋sin 2 ＋1＝sin2α＋cos β＋1＝sin2α－sin α＋2＝ 2 2＋ .(*)
4
又 sin α∈[0,1]，所以当 sin α 1＝ 时，(*) 7式取得最小值 ；当 sin α＝1 或 sin α＝0 时，(*)式取
2 4
7
，2
得最大值 2，故所求取值范围为 4 .

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