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第 4 讲 三角函数的图象与性质
【知识梳理】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点
是： 、 、 、 、 。
(2)在余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点
是： 、 、 、 、 。
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
递增区间
递减区间
对称中心
对称轴方程
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( )
(2)已知 y＝ksin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( )
(3)y＝sin|x|是偶函数．( )
π 2π
＋
(4)由 sin 6 3 sin π 2π＝ 知， 是正弦函数 y＝sin x(x∈R)的一个周期．( )
6 3
2x π＋
2．函数 f(x)＝－2tan 6 的定义域是( )
A. x∈R|x
π
≠
6
x π≠－
B. x∈R| 12
x π≠kπ＋ k∈Z
C. x∈R| 6
|x kπ π≠ ＋ k∈Z D. x∈R 2 6
3．下列函数中，是奇函数的是( )
A．y＝|cos x＋1| B．y＝1－sin x
C．y＝－3sin(2x＋π) D．y＝1－tan x
2x π＋
4．函数 f(x)＝cos 4 的最小正周期是________．
x π－
5．(多选)已知函数 f(x)＝sin 2 (x∈R)，下列结论正确的是( )
A．函数 f(x)的最小正周期为 2π
0 π，
B．函数 f(x)在区间 2 上单调递增
C．函数 f(x)的图象关于直线 x＝0对称
D．函数 f(x)是奇函数
x π＋
6．函数 y＝tan 4 的图象的对称中心是________．
【典型例题】
题型一 三角函数的定义域和值域
例 1 (1)函数 y＝ sin x－cos x的定义域为________．
π 7π
，
(2)当 x∈ 6 6 时，函数 y＝3－sin x－2cos2x 的值域为________．
跟踪训练 1 (1)函数 f(x)＝ln(cos x)的定义域为( )
kπ π π－ ，kπ＋
A. 2 2 ，k∈Z B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
2kπ π π－ ，2kπ＋
C. 2 2 ，k∈Z D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
(2)函数 y＝sin x－cos x＋sin xcos x 的值域为________．
题型二 三角函数的周期性与对称性
1．下列函数中，是周期函数的为( )
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
x π－
2．函数 y＝sin 4 的对称轴为__________________，对称中心为__________________．
kx π＋
3．若函数 f(x)＝2tan 3 的最小正周期 T 满足 14．若函数 f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的 x∈R，
π π
－x ＋x
都有 f 3 ＝f 3 .则其解析式可以是 f(x)＝________.(写出一个满足条件的解析式即可)
题型三 三角函数的单调性
π π
，
例 2 (1)(2019·全国Ⅱ) π下列函数中，以 为周期且在区间 4 2 上单调递增的是( )
2
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
－2x π＋
(2)函数 f(x)＝sin 3 的单调递减区间为________．
例 3 (2021·湖南师大附中月考)若函数 f(x)＝2 3·sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx 在区间
3π 3π
－ ，
2 2 上单调递增，则正数ω的最大值为( )
A.1 B.1 C.1 D.1
8 6 4 3
x π
－
跟踪训练 2 (1)(2020·广东省七校联考)函数 f(x)＝tan 2 6 的单调递增区间是( )
2kπ 2π 2kπ 4π 2kπ 2π－ ， ＋ － ，2kπ 4π＋
A. 3 3 ，k∈Z B. 3 3 ，k∈Z
4kπ 2π 4π 2π 4π－ ，4kπ＋ 4kπ－ ，4kπ＋
C. 3 3 ，k∈Z D. 3 3 ，k∈Z
x π π＋ ，a
(2)(2021·河北省中原名校联盟联考)若函数 f(x)＝3sin 10 －2在区间 2 上单调，则实数
a 的最大值是________．
【课后作业】
A 组
1．函数 y＝ 3sin 2x＋cos 2x 的最小正周期为( )
A.π B.2π C．π D．2π
2 3
π
－x
2．函数 y＝tan 4 的定义域是( )
|x π |x π≠ ≠－A. x 4 B. x 4
|x kπ π≠ ＋ k∈Z x 3π≠kπ＋ k∈Z C. x 4 D. x| 4
2x π 0 π－ ，
3．函数 f(x)＝sin 4 在区间 2 上的最小值为( )
4．函数 f(x)＝sin xcos x 的单调递减区间是( )
kπ 3π kπ kπ π kπ 3π－ ， ＋ ， ＋
A. 4 (k∈Z) B. 4 4 (k∈Z)
2kπ π 2kπ π π＋ ， ＋ kπ＋ ，kπ π＋
C. 4 2 (k∈Z) D. 4 2 (k∈Z)
5．(多选)已知函数 f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则 m 的可能值是( )
A.π B.π C.3π D．π
4 2 8
6．(多选)已知函数 f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最大值为 2
π π
，
C．f(x)的图象关于 y 轴对称 D．f(x)在区间 4 2 上单调递增
π π
－ －
7．比较大小：sin 18 ________sin 10 .
2x 3π＋
8．(2019·全国Ⅰ)函数 f(x)＝sin 2 －3cos x 的最小值为________．
ωx π π－
9．(2018·北京)设函数 f(x)＝cos 6 (ω>0)．若 f(x)≤f 4 对任意的实数 x 都成立，则ω的最
小值为________．
1x π－
10．(2020·合肥调研)已知函数 f(x)＝|tan 2 6 |，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x) π的周期是 ；
2
②f(x)的值域是{y|y∈R，且 y≠0}；
5π
③直线 x＝ 是函数 f(x)图象的一条对称轴；
3
2kπ 2π－ ，2kπ π＋
④f(x)的单调递减区间是 3 3 ，k∈Z.
3π
－x
11．已知函数 f(x)＝sin(2π－x)sin 2 － 3cos2x＋ 3.
(1)求 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
0 7π，
(2)当 x∈ 12 时，求 f(x)的最小值和最大值．
π x x π－ －
12．已知函数 f(x)＝4tan xsin 2 cos 3 － 3.
(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；
π π
－ ，
(2)讨论 f(x)在区间 4 4 上的单调性．
B 组
13．(2019·全国Ⅰ)关于函数 f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
π
，π
②f(x)在区间 2 上单调递增；
③f(x)在[－π，π]上有 4个零点；
④f(x)的最大值为 2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
5π
－2x x π－ x 3π＋
14．(多选)已知函数 f(x)＝sin 6 －2sin 4 ·cos 4 ，则下列关于函数 f(x)的描述正
确的是( )
0 π，
A．f(x)在区间 3 上单调递增
π
，0
B．f(x)图象的一个对称中心是 3
C．f(x) π图象的一条对称轴是 x＝－
6
D f(x) π．将 的图象向右平移 个单位长度后，所得函数图象关于 y 轴对称
3
C 组
πx 5π＋
15．(2020·江赣十四校联考)如果圆 x2＋(y－1)2＝m2 至少覆盖函数 f(x)＝2sin2 m 12 －
2πx π＋
3cos m 3 (m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则 m 的取值范围是________．
16．(2018·北京)已知函数 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期；
π
－ ，m
(2)若 f(x) 3在区间 3 上的最大值为 ，求 m 的最小值．
2第 4 讲 三角函数的图象与性质
【考试要求】
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
π π
－ ，
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在 2 2 上的性质．
【知识梳理】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
π 1 3π， ，－1
(1)在正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，2 ，(π，0)， 2 ，
(2π，0)．
π 3π
(2)在余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2 ] ，0 ，0π 的图象中，五个关键点是：(0,1)，2 ，(π，－1)， 2 ，
(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
π
定义域 R R |x≠kπ＋x 2
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
2kπ π 2kπ π [2kπ π π π递增区间 － ， ＋ － ，2kπ] kπ－ ，kπ＋
2 2 2 2
递减区间 2kπ π＋ ，2kπ 3π＋ [2kπ，2kπ＋π]
2 2
对称中心 (kπ，0) kπ π 0 kπ＋ ， ，0
2 2
π
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
2
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数 y＝tan x在定义域内是增函数．( × )
(2)已知 y＝ksin x＋1，x∈R，则 y的最大值为 k＋1.( × )
(3)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
π 2π
＋
(4)由 sin 6 3 ＝sin π 2π知， 是正弦函数 y＝sin x(x∈R)的一个周期．( × )
6 3
题组二 教材改编
2x π＋
2．函数 f(x)＝－2tan 6 的定义域是( )
x π≠
A. x∈R| 6
|x π≠－B. x∈R 12
|x≠kπ π＋ k∈Z C. x∈R 6
|x kπ π≠ ＋ k∈Z D. x∈R 2 6
答案 D
π π
解析 由 2x＋ ≠kπ＋ ，k∈Z，
6 2
得 x kπ π≠ ＋ ，k∈Z.
2 6
3．下列函数中，是奇函数的是( )
A．y＝|cos x＋1| B．y＝1－sin x
C．y＝－3sin(2x＋π) D．y＝1－tan x
答案 C
解析 选项 A中的函数是偶函数，选项 B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为
y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选 C.
2x π＋
4．函数 f(x)＝cos 4 的最小正周期是________．
答案 π
题组三 易错自纠
x π－
5．(多选)已知函数 f(x)＝sin 2 (x∈R)，下列结论正确的是( )
A．函数 f(x)的最小正周期为 2π
0 π，
B．函数 f(x)在区间 2 上单调递增
C．函数 f(x)的图象关于直线 x＝0对称
D．函数 f(x)是奇函数
答案 ABC
解析 由题意，可得 f(x)＝－cos x，
2π
对于选项 A，T＝ ＝2π，所以选项 A正确；
1
0 π 0 π， ，
对于选项 B，y＝cos x在 2 上单调递减，所以函数 f(x)在区间 2 上单调递增，所以选
项 B正确；
对于选项 C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线 x
＝0对称，所以选项 C正确；选项 D错误．故选 ABC.
x π＋
6．函数 y＝tan 4 的图象的对称中心是________．
kπ π
－ ，0
答案 2 4 ，k∈Z
x π kπ解析 由 ＋ ＝ ，k∈Z，
4 2
x kπ π得 ＝ － ，k∈Z，
2 4
kπ π
－ ，0
∴对称中心是 2 4 ，k∈Z.
【典型例题】
题型一 三角函数的定义域和值域
例 1 (1)函数 y＝ sin x－cos x的定义域为________．
2kπ π 2kπ 5π＋ ， ＋
答案 4 4 (k∈Z)
解析 要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上 y＝
sin x和 y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x π 5π的 x为 ， ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π，所以原函数
4 4
|2kπ π＋ ≤x≤2kπ 5π＋ ，k∈Z的定义域为 x 4 4 .
π 7π
，
(2)当 x∈ 6 6 时，函数 y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
7
，2
答案 8
π 7π 1
， － ，1
解析 因为 x∈ 6 6 ，所以 sin x∈ 2 .
又 y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
sin x 1－
＝2 4 2 7＋ ，
8
1 7
－ ，2
所以当 sin x 1 7＝ 时，ymin＝ ，当 sin x＝ 2 或 sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为 8 .
4 8
思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如 y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如 y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关于 t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如 y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设 t＝sin x±cos x，化为关于 t的二
次函数求值域(最值)．
跟踪训练 1 (1)函数 f(x)＝ln(cos x)的定义域为( )
kπ π－ ，kπ π＋
A. 2 2 ，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
2kπ π－ ，2kπ π＋
C. 2 2 ，k∈Z
D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
答案 C
解析 由题意知，cos x>0，
π π
∴2kπ－ 2 2
2kπ π－ ，2kπ π＋
∴函数 f(x)的定义域为 2 2 ，k∈Z.
(2)函数 y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
1＋2 2
－ ，1
答案 2
2
解析 设 t＝sin x－cos x，则 t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x sin xcos x 1－t， ＝ ，且－ 2≤t≤ 2.
2
2
∴y t 1 1＝－ ＋t＋ ＝－ (t－1)2＋1，t∈[－ 2， 2]．
2 2 2
当 t 1＋2 2＝1时，ymax＝1；当 t＝－ 2时，ymin＝－ .
2
1＋2 2
－ ，1
∴函数的值域为 2 .
题型二 三角函数的周期性与对称性
1．下列函数中，是周期函数的为( )
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
答案 B
解析 ∵cos|x|＝cos x，∴y＝cos|x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．
x π－
2．函数 y＝sin 4 的对称轴为__________________，对称中心为__________________．
π
x 3π
＋kπ，0
答案 ＝ ＋kπ，k∈Z 4 ，k∈Z
4
x π π解析 由 － ＝ ＋kπ，k∈Z，得 x 3π＝ ＋kπ，k∈Z π π，由 x－ ＝kπ，k∈Z，得 x＝ ＋kπ，k∈Z.
4 2 4 4 4
x π π－ ＋kπ，0
故函数 y＝sin 4 的对称轴为 x 3π＝ ＋kπ，k∈Z；对称中心为 4 ，k∈Z.
4
kx π＋
3．若函数 f(x)＝2tan 3 的最小正周期 T满足 1答案 2或 3
π
解析 由题意得 1< <2，k∈N，
k
π
∴ 2
4．若函数 f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的 x∈R，
π
－x π＋x
都有 f 3 ＝f 3 .则其解析式可以是 f(x)＝________.(写出一个满足条件的解析式即可)
答案 cos 3x(答案不唯一)
π π
－x ＋x
解析 因为对于任意的 x∈R，都有 f 3 ＝f 3 ，
所以函数的图象关于直线 x π＝ 对称．
3
又由于函数为偶函数，
所以函数的解析式可以为 f(x)＝cos 3x.
因为 f(－x)＝cos(－3x)＝cos 3x＝f(x)，
所以函数 f(x)是偶函数．
令 3x＝kπ，k∈Z，∴x kπ＝ ，k∈Z，
3
π
所以函数 f(x)的图象关于直线 x＝ 对称．
3
思维升华 (1)三角函数周期的一般求法
①公式法；
②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期．
(2)对于可化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或 f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求 f(x)的对称轴，只
需令ωx＋φ π＝ ＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求 x即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐
2
标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ π＝ ＋kπ(k∈Z))，求 x即可．
2
(3)对于可化为 f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ
kπ
＝ (k∈Z)，求 x即可．
2
题型三 三角函数的单调性
命题点 1 求三角函数的单调区间
π π
π ，
例 2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以 为周期且在区间 4 2 上单调递增的是( )
2
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
答案 A
π π π
， ，π
解析 A中，函数 f(x)＝|cos 2x| π的周期为 ，当 x∈ 4 2 时，2x∈ 2 ，函数 f(x)单调递增，
2
π π π
， ，π
故 A正确；B中，函数 f(x)＝|sin 2x| π的周期为 ，当 x∈ 4 2 时，2x∈ 2 ，函数 f(x)单调
2
递减，故 B不正确；C中，函数 f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为 2π，故 C不正确；D中，f(x)＝
sin x，x≥0，
sin|x|＝ 由正弦函数图象知，在 x≥0和 x<0时，f(x)均以 2π为周期，但在整
－sin x，x<0，
个定义域上 f(x)不是周期函数，故 D不正确．故选 A.
－2x π＋
(2)函数 f(x)＝sin 3 的单调递减区间为________．
kπ π－ ，kπ 5π＋
答案 12 12 (k∈Z)
－2x π π＋ 2x－
解析 f(x)＝sin 3 ＝sin － 3
2x π－
＝－sin 3 ，
2kπ π π π由 － ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
2 3 2
得 kπ π－ ≤x kπ 5π≤ ＋ ，k∈Z.
12 12
kπ π－ ，kπ 5π＋
故所求函数的单调递减区间为 12 12 (k∈Z)．
命题点 2 根据单调性求参数
例 3 (2021·湖南师大附中月考)若函数 f(x)＝2 3·sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx 在区间
3π 3π
－ ，
2 2 上单调递增，则正数ω的最大值为( )
A.1 B.1 C.1 D.1
8 6 4 3
答案 B
解析 方法一 因为 f(x)＝2 3sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝ 3sin 2ωx＋1 在区间
3π 3π
－ ，
2 2 上单调递增，
3ωπ π－ ≥－ ，
2 1
所以
3ωπ π
解得ω≤ ，
≤ ， 6
2
ω 1所以正数 的最大值是 .故选 B.
6
π 3π
－ ≤－ ，
4ω 2
方法二 易知 f(x)＝ 3sin 2ωx＋1，可得 f(x) T π的最小正周期 ＝ ，所以
ω π 3π≥ ，
4ω 2
ω 1. ω 1解得 ≤ 所以正数 的最大值是 .故选 B.
6 6
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整
体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
x π
－
跟踪训练 2 (1)(2020·广东省七校联考)函数 f(x)＝tan 2 6 的单调递增区间是( )
2kπ 2π－ ，2kπ 4π＋
A. 3 3 ，k∈Z
2kπ 2π－ ，2kπ 4π＋
B. 3 3 ，k∈Z
4kπ 2π 4π－ ，4kπ＋
C. 3 3 ，k∈Z
4kπ 2π 4π－ ，4kπ＋
D. 3 3 ，k∈Z
答案 B
π x π π
解析 由－ ＋kπ< － < ＋kπ，k∈Z，
2 2 6 2
得 2kπ 2π 4π－ 3 3
x π 2π 4π
－ 2kπ－ ，2kπ＋
所以函数 f(x)＝tan 2 6 的单调递增区间是 3 3 ，k∈Z，故选 B.
x π π＋ ，a
(2)(2021·河北省中原名校联盟联考)若函数 f(x)＝3sin 10 －2在区间 2 上单调，则实数
a的最大值是________．
7π
答案
5
π π 3π 2π 7π
解析 方法一 令 2kπ＋ ≤x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，即 2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z，所以
2 10 2 5 5
2π 7π
， 7π
函数 f(x)在区间 5 5 上单调递减，所以 a的最大值为 .
5
π π π π π
方法二 因为 ≤x≤a，所以 ＋ ≤x＋ ≤a＋ ，
2 2 10 10 10
π
，a
又 f(x)在 2 上单调，
π π π 3π π
＋ 2 10 10 2 2 5 5
【课后作业】
A 组
1．函数 y＝ 3sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A.π B.2π C．π D．2π
2 3
答案 C
3sin 2x 1＋ cos 2x 2x π＋
解析 ∵y＝2 2 2 ＝2sin 6 2π，∴T＝ ＝π.
2
π
－x
2．函数 y＝tan 4 的定义域是( )
x π≠
A. x| 4
B. x|x
π
≠－
4
|x π≠kπ＋ k∈Z C. x 4
|x≠kπ 3π＋ k∈Z D. x 4
答案 D
π
－x x π－
解析 y＝tan 4 ＝－tan 4 x π π 3π，由 － ≠ ＋kπ(k∈Z)，得 x≠kπ＋ (k∈Z)．故选 D.
4 2 4
2x π－ 0 π，
3．函数 f(x)＝sin 4 在区间 2 上的最小值为( )
A 1 B 2．－ ．－ C. 2 D．0
2 2
答案 B
0 π π 3π， π － ，
解析 由已知 x∈ 2 ，得 2x－ ∈ 4 4 ，
4
2x π 2－ － ，1
所以 sin 4 ∈ 2 ，
2x π π－ 0， 2
故函数 f(x)＝sin 4 在区间 2 上的最小值为－ .故选 B.
2
4．函数 f(x)＝sin xcos x的单调递减区间是( )
kπ 3π－ ，kπ
A. 4 (k∈Z)
kπ π 3π＋ ，kπ＋
B. 4 4 (k∈Z)
2kπ π π＋ ，2kπ＋
C. 4 2 (k∈Z)
kπ π＋ ，kπ π＋
D. 4 2 (k∈Z)
答案 B
解析 f(x)＝sin xcos x 1＝ sin 2x，
2
π
由 ＋2kπ 2x 2kπ 3π≤ ≤ ＋ ，k∈Z，
2 2
π 3π
得 ＋kπ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
4 4
kπ π 3π＋ ，kπ＋
∴函数 f(x)＝sin xcos x的单调递减区间是 4 4 (k∈Z)．
5．(多选)已知函数 f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则 m的可能值是( )
A.π B.π C.3π D．π
4 2 8
答案 AC
2x π－
解析 由题意，得 f(x)＝sin 2x－cos 2x 2sin 4 π π π＝ ，由－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ(k∈Z)，
2 4 2
π 3π
π 3π π 3π － ，
解得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)，当 k＝0时，－ ≤x≤ ，即函数 f(x)在 8 8 上单调递
8 8 8 8
增．因为函数 f(x)在[0，m] 3π上单调递增，所以 08
6．(多选)已知函数 f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为 2
C．f(x)的图象关于 y轴对称
π π
，
D．f(x)在区间 4 2 上单调递增
答案 ACD
解析 ∵f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，
∴函数 f(x)的最小正周期 T＝π，f(x)的最大值为 1.
∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，其图象关于 y轴对称．
π π
，
∵y＝cos 2x在 4 2 上单调递减，
π π
，
∴f(x)＝－cos 2x在 4 2 上单调递增，故选 ACD.
π π
－ －
7．比较大小：sin 18 ________sin 10 .
答案 >
π π π
－ ，0
y sin x 2 π > π π
－ －
解析 因为 ＝ 在 上单调递增且－ － >－ ，故 sin 18 >sin 10 .
18 10 2
2x 3π＋
8．(2019·全国Ⅰ)函数 f(x)＝sin 2 －3cos x的最小值为________．
答案 －4
2x 3π＋
解析 ∵f(x)＝sin 2 －3cos x
＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令 t＝cos x，则 t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数 f(t) 3图象的对称轴 t＝－ ∈[－1,1]，且开口向下，
4
∴当 t＝1时，f(t)有最小值－4.
综上，f(x)的最小值为－4.
ωx π π－
9．(2018·北京)设函数 f(x)＝cos 6 (ω>0)．若 f(x)≤f 4 对任意的实数 x都成立，则ω的最
小值为________．
2
答案
3
π
解析 ∵f(x)≤f 4 对任意的实数 x都成立，
∴当 x π＝ 时，f(x)取得最大值，
4
π πω π－
即 f 4 ＝cos 4 6 ＝1，
πω π∴ － ＝2kπ，k∈Z，
4 6
2
∴ω＝8k＋ ，k∈Z.
3
∵ω>0 2，∴当 k＝0时，ω取得最小值 .
3
| 1x π－10．(2020·合肥调研)已知函数 f(x)＝ tan 2 6 |，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x) π的周期是 ；
2
②f(x)的值域是{y|y∈R，且 y≠0}；
5π
③直线 x＝ 是函数 f(x)图象的一条对称轴；
3
2kπ 2π 2kπ π－ ， ＋
④f(x)的单调递减区间是 3 3 ，k∈Z.
答案 ④
解析 函数 f(x) 5π 1 π 2π kπ的周期为 2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当 x＝ 时， x－ ＝ ≠ ，
3 2 6 3 2
k∈Z，
x 5π π 1 π 2π π∴ ＝ 不是 f(x)的对称轴，③错；令 kπ－ < x－ 3 2 2 6 3 3
2kπ 2π π－ ，2kπ＋
∴f(x)的单调递减区间是 3 3 ，k∈Z，④正确．
3π
－x
11．已知函数 f(x)＝sin(2π－x)sin 2 － 3cos2x＋ 3.
(1)求 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
0 7π，
(2)当 x∈ 12 时，求 f(x)的最小值和最大值．
解 (1)由题意，
得 f(x)＝(－sin x)(－cos x)－ 3cos2x＋ 3
＝sin xcos x－ 3cos2x＋ 3
1
＝ sin 2x 3－ (cos 2x＋1)＋ 3
2 2
1
＝ sin 2x 3－ cos 2x 3＋
2 2 2
2x π－
＝sin 3 3＋ ，
2
所以 f(x) 2π的最小正周期 T＝ ＝π；
2
令 2x π－ ＝kπ π＋ (k∈Z)，
3 2
x kπ 5π得 ＝ ＋ (k∈Z)，
2 12
kπ 5π
故所求图象的对称轴方程为 x＝ ＋ (k∈Z)．
2 12
(2)当 0≤x 7π π π 5π≤ 时，－ ≤2x－ ≤ ，
12 3 3 6
2x π－
由函数图象(图略) 3可知，－ ≤sin 3 ≤1.
2
2x π－
即 0≤sin 2＋3 3 3＋ ≤ .
2 2
故 f(x) 0 2＋ 3的最小值为 ，最大值为 .
2
π
－x x π－
12．已知函数 f(x)＝4tan xsin 2 cos 3 － 3.
(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；
π π
－ ，
(2)讨论 f(x)在区间 4 4 上的单调性．
|x π≠ ＋kπ，k∈Z解 (1)f(x)的定义域为 x 2 .
x π－
f(x)＝4tan xcos xcos 3 － 3
x π－
＝4sin xcos 3 － 3
1cos x 3＋ sin x
＝4sin x 2 2 － 3
＝2sin xcos x＋2 3sin2x－ 3
＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3
2x π－
＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin 3 .
所以 f(x) 2π的最小正周期 T＝ ＝π.
2
(2) π令 z＝2x－ ，
3
π
－ ＋2kπ
2 π， ＋2kπ
函数 y＝2sin z在 z∈ 2 ，k∈Z 上单调递增．
π
－ ＋2kπ 2x π π－ ＋2kπ
由 2 ≤ 3 ≤ 2 ，k∈Z，
π
－ ＋kπ 5π＋kπ
得 12 ≤x≤ 12 ，k∈Z.
π π
－ ，
设 A＝ 4 4 ，
| π－ ＋kπ 5π＋kπ，k∈ZB＝ x 12 ≤x≤ 12 ，
π π
－ ，
易知 A∩B＝ 12 4 .
π π π π π π
－ ， － ， － ，－
所以当 x∈ 4 4 时，f(x)在区间 12 4 上单调递增，在区间 4 12 上单调递减．
B 组
13．(2019·全国Ⅰ)关于函数 f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
π
，π
②f(x)在区间 2 上单调递增；
③f(x)在[－π，π]上有 4个零点；
④f(x)的最大值为 2.
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
答案 C
π
解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当 2
π
，π
f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在 2 上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象
如图所示，
由图可知函数 f(x)在[－π，π]上只有 3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与 y＝|sin x|的最大值
都为 1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值 2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.
故选 C.
5π 2x x π－ － x 3π＋
14．(多选)已知函数 f(x)＝sin 6 －2sin 4 ·cos 4 ，则下列关于函数 f(x)的描述正
确的是( )
0 π，
A．f(x)在区间 3 上单调递增
π
，0
B．f(x)图象的一个对称中心是 3
C．f(x) π图象的一条对称轴是 x＝－
6
D π．将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后，所得函数图象关于 y轴对称
3
答案 AC
5π 2x x π x 3π－ － ＋
解析 f(x)＝sin 6 －2sin 4 cos 4
1 3
＝ cos 2x＋ sin 2x＋sin2x－cos2x
2 2
π
1 2x－
＝ cos 2x 3＋ sin 2x－cos 2x＝sin 6 ，
2 2
由 2kπ π 2x π 2kπ π－ ≤ － ≤ ＋ (k∈Z)，
2 6 2
得 kπ π x π－ ≤ ≤kx＋ (k∈Z)，
6 3
0 π π π， － ，
当 k＝0时， 3 6 3 ，故 A正确；
π
f 3 sin π＝ ＝1≠0，故 B不正确；
2
π
－
f 6 sin π＝－ ＝－1，故 C正确；
2
5π
f(x) π
2x－
将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 y＝sin 6 的图象，显然不关于 y轴对称，
3
故 D不正确．
C 组
πx 5π＋
15．(2020·江赣十四校联考)如果圆 x2＋(y－1)2＝m2 至少覆盖函数 f(x)＝2sin2 m 12 －
2πx π＋
3cos m 3 (m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则 m的取值范围是________．
8 15
，＋∞
答案 15
πx 5π 2π π＋ x＋
解析 化简 f(x)＝2sin2 m 12 3cos m 3 f(x) 2sin 2πx－ 得 ＝ ＋1，所以，函数 f(x)的图象
m
m
，3 m－ ，－1
靠近圆心(0,1)的最大值点为 4 ，最小值点为 4 .
m
4 2＋ 3－1 2≤m2，
8 15
所以只需 m 解得 m≥ .
－ 15
4 2＋ －1－1 2≤m2，
16．(2018·北京)已知函数 f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期；
π
－ ，m
(2) 3若 f(x)在区间 3 上的最大值为 ，求 m的最小值．
2
解 (1)f(x)＝sin2x＋ 3sin xcos x
1 1
＝ － cos 2x 3＋ sin 2x
2 2 2
2x π－
sin 6 1＝ ＋ ，
2
2π
所以 f(x)的最小正周期为 T＝ ＝π.
2
2x π－
(2)由(1)知，f(x)＝sin 6 1＋ .
2
π 5π π π
由题意知－ ≤x≤m，所以－ ≤2x－ ≤2m－ .
3 6 6 6
π
－ ，m 3
要使得 f(x)在区间 3 上的最大值为 ，
2
2x π π－ － ，m
即 sin 6 在区间 3 上的最大值为 1，
2m π π π所以 － ≥ ，即 m≥ .
6 2 3
所以 m π的最小值为 .
3

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