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第 4 讲 简单的三角恒等变换
【知识梳理】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式 C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式 T2α：tan 2α
2tan α
＝ .
1－tan2α
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α 2sin2α,1 cos α 2cos2α＝ ＋ ＝ .(升幂公式)
2 2
sin α±cos α
(2)1±sin α＝ 2 2 2.(升幂公式)
(3)sin2α 1－cos 2α cos2α 1＋cos 2α＝ ， ＝ ，tan2α 1－cos 2α＝ .(降幂公式)
2 2 1＋cos 2α
b a
(4)asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，其中 sin φ＝ ，cos φ＝ .(辅助角公式)
a2＋b2 a2＋b2
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(2020·全国Ⅱ改编)若α为第四象限角，则 sin 2α>0.( × )
α α
(2) sin ＋cosα∈R,1＋sin α＝ 2 2 2.( √ )
(3) α∈R,2cos2α＋cos 2α－1＝0.( × )
(4) α∈R，tan 2α＝2tan α.( √ )
题组二 教材改编
2．sin 15°cos 15°等于( )
A 1 B.1 C 1．－ ．－ D.1
4 4 2 2
答案 B
解析 sin 15°cos 15° 1＝ sin 30° 1＝ .
2 4
3 sin α cos α 1．已知 － ＝ ，0≤α≤π，则 cos 2α等于( )
5
A 24 B.24．－ C 7 7．－ D.
25 25 25 25
答案 C
解析 ∵sin α－cos α 1＝ ，sin2α＋cos2α＝1,0≤α≤π，
5
4
∴sin α 4＝ ，∴cos 2α 7＝1－2sin2α＝1－2 5 2＝－ .
5 25
α π＋
4．已知 sin 2α 2＝ ，则 cos2 4 ＝ .
3
1
答案
6
α π 2α π＋ 1 ＋ 1
解析 方法一 cos2 4 ＝ 1＋cos 2 ＝ (1－sin 2α) 1＝ .
2 2 6
α π＋
方法二 cos 4 2＝ cos α 2－ sin α，
2 2
α π＋ 1
所以 cos2 4 ＝ (cos α－sin α)2
2
1
＝ (1－2sin αcos α) 1 1＝ (1－sin 2α)＝ .
2 2 6
题组三 易错自纠
4tan π
5．计算： 12 等于( )
3tan2 π－3
12
A.2 3 B 2 3 2 3 2 3．－ C. D．－
3 3 9 9
答案 D
2tan π
2 2 π 2 3 2 3
解析 原式＝－ · 12 ＝－ tan ＝－ × ＝－ .
3 3 6 3 3 9
1－tan2 π
12
6．(2020·泸州模拟)若 tan α 1＝ ，则 cos 2α等于( )
2
A 4 B 3 C.4 D.3．－ ．－
5 5 5 5
答案 D
解析 ∵tan α 1＝ ，
2
1
2
cos 2α cos α－sin
2α 1－tan2α 1－4 3∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .
cos2α＋sin2α 1＋tan2α 1 51＋
4
【典型例题】
题型一 三角函数式的化简
1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且 3cos 2α－8cos α＝5，则 sin α等于( )
A. 5 B.2 C.1 D. 5
3 3 3 9
答案 A
解析 由 3cos 2α－8cos α＝5，
得 3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即 3cos2α－4cos α－4＝0，
cos α 2解得 ＝－ 或 cos α＝2(舍去)．
3
又因为α∈(0，π)，所以 sin α>0，
2
－
所以 sin α＝ 1－cos2α＝ 1－ 3 2 5＝ .
3
π
＋α
2 2．(2020·江苏改编)已知 sin2 4 ＝ ，则 sin 2α的值是( )
3
A 1 B.1 C 2．－ ．－ D.2
3 3 3 3
答案 B
π
解析 ∵sin2
＋α
4 2＝ ，
3
π
＋2α
1－cos 2 2
∴ ＝ ，
2 3
1＋sin 2α 2
即 ＝ ，
2 3
∴sin 2α 1＝ .
3
0 π，
3．(2019·全国Ⅱ)已知α∈ 2 ，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α等于( )
A.1 B. 5 C. 3 D.2 5
5 5 3 5
答案 B
解析 由 2sin 2α＝cos 2α＋1，得 4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即 2sin αcos α＝1－sin2α.因为
0 π，
α∈ 2 ，所以 cos α＝ 1－sin2α，所以 2sin α 1－sin2α＝1－sin2α，解得 sin α 5＝ ，故选 B.
5
4．2 1＋sin 4＋ 2＋2cos 4等于( )
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
答案 B
解析 2 1＋sin 4＋ 2＋2cos 4
＝2 sin22＋2sin 2cos 2＋cos22＋ 2＋2 2cos22－1
＝2 sin 2＋cos 2 2＋ 4cos22
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
π
∵ <2<π，
2
∴cos 2<0，
2 π＋
∵sin 2＋cos 2＝ 2sin 4 ，0<2 π＋ <π，
4
∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式
子和三角函数公式之间的联系点．
题型二 三角函数的求值
命题点 1 给角求值
例 1 (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .
1
答案 －
8
解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
sin 20°
1sin 40°·cos 40°·cos 80°
＝－2
sin 20°
1sin 80°·cos 80°
＝－4
sin 20°
1sin 160°
＝－8
sin 20°
1sin 20°
＝－8 1＝－ .
sin 20° 8
cos 40°
(2) 的值为( )
cos 25° 1－sin 40°
A．1 B. 3 C. 2 D．2
答案 C
cos220°－sin220°
解析 原式＝
cos 25° cos 20°－sin 20°
cos 20°＋sin 20°
＝
cos 25°
2cos 25°
＝ ＝ 2.
cos 25°
命题点 2 给值求值
θ π 0 π 2θ π＋
2 (1) cos 4 10
， －
例 已知 ＝ ，θ∈ 2 ，则 sin 3 ＝ .
10
4－3 3
答案
10
θ π 2θ
π
＋ π
＋
cos2 4 1＋cos 2 1
2θ＋
解析 由题意可得 ＝ ＝ ，cos 2 4＝－sin 2θ＝－ ，即 sin 2θ＝
2 10 5
4.
5
θ π 0 π＋ ，
因为 cos 4 10＝ >0，θ∈ 2 ，
10
0 π，
所以 0<θ<π，2θ∈ 2 ，
4
3
根据同角三角函数基本关系式，可得 cos 2θ＝ ，
5
由两角差的正弦公式，可得
2θ π－
sin 3 ＝sin 2θcos π－cos 2θsin π
3 3
4 1 3 3 4－3 3
＝ × － × ＝ .
5 2 5 2 10
π π
1 10 ， 2α
π
＋
(2)若 tan α＋ ＝ ，α∈ 4 2 ，则 sin 4 ＋ 2cos2α的值为 ．
tan α 3
答案 0
π π
tan α 1 10
，
解析 ∵ ＋ ＝ ，α∈ 4 2 ，
tan α 3
∴tan α＝3或 tan α 1＝ (舍)，
3
2α π＋
则 sin 4 ＋ 2cos2α，
sin 2αcos π cos 2αsin π 2·1＋cos 2α＝ ＋ ＋
4 4 2
2 2
＝ sin 2α＋ 2cos 2α＋
2 2
2
＝ (2sin αcos α)＋ 2(cos2α－sin2α) 2＋
2 2
2· 2sin αcos α
2 2
＝ ＋ 2·cos α－sin α 2＋
2 sin2α＋cos2α sin2α＋cos2α 2
2· 2tan α 2·1－tan
2α 2
＝ ＋ ＋
2 tan2α＋1 tan2α＋1 2
2 6 2 1－9 2＝ × ＋ × ＋
2 9＋1 1＋9 2
＝0.
命题点 3 给值求角
3 2 7 3 3例 已知α，β均为锐角，cos α＝ ，sin β＝ ，则 cos 2α＝ ，2α－β＝ .
7 14
1 π
答案
7 3
解析 因为 cos α 2 7＝ ，所以 cos 2α＝2cos2α－1 1＝ .
7 7
又因为α，β均为锐角，sin β 3 3＝ ，
14
sin α 21 cos β 13所以 ＝ ， ＝ ，
7 14
因此 sin 2α＝2sin αcos α 4 3＝ ，
7
sin(2α β) sin 2αcos β cos 2αsin β 4 3 13 1 3 3 3所以 － ＝ － ＝ × － × ＝ .
7 14 7 14 2
因为α为锐角，所以 0<2α<π.
又 cos 2α>0，所以 0<2α<π，
2
又β π为锐角，所以－ <2α－β<π，
2 2
又 sin(2α β) 3－ ＝ ，所以 2α π－β＝ .
2 3
思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角．
跟踪训练 1 (1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )
A. 6 B.3 C.5 D 1 3． ＋
2 2 4 4
答案 C
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°
1
＝1＋ sin 30° 1 5＝1＋ ＝ .
2 4 4
0 π α
π
＋
，
(2)已知α∈ 2 ，且 2sin2α－sin α·cos α
sin 4
－3cos2α＝0，则 ＝ .
sin 2α＋cos 2α＋1
26
答案
8
0 π，
解析 ∵α∈ 2 ，且 2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，
则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，
0 π，
又∵α∈ 2 ，sin α＋cos α>0，
∴2sin α＝3cos α，又 sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α 2＝ ，sin α 3＝ ，
13 13
α π＋ 2
sin 4 sin α＋cos α
∴ ＝ 2
sin 2α＋cos 2α＋1 sin α＋cos α 2＋ cos2α－sin2α
2 26
＝ ＝ .
4cos α 8
(3)已知α，β∈(0，π)，且 tan(α－β) 1＝ ，tan β 1＝－ ，则 2α－β的值为 ．
2 7
3π
答案 －
4
解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
1 1
tan α－β ＋tan β －
＝ ＝ 2 7 1＝ >0，
1－tan α－β tan β 1 1 31＋ ×
2 7
∴0<α<π.
2
2 1×
3
又∵tan 2α 2tan α 3＝ ＝ ＝ >0，
1－tan2α 1 4
1－ 3 2
0<2α<π∴ ，
2
3 1
tan(2α β) tan 2α－tan β
＋
∴ － ＝ ＝ 4 7 ＝1.
1＋tan 2αtan β 1 3 1－ ×
4 7
tan β 1<0 π∵ ＝－ ，∴ <β<π，－π<2α－β<0，
7 2
∴2α β 3π－ ＝－ .
4
题型三 三角恒等变换的综合应用
例 4 1已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋ cos 4x.
2
(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间；
α π π
－ α＋
(2) α 2若 ∈(0，π)，且 f 4 8 ＝ ，求 tan 3 的值．
2
解 (1) 1因为 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋ cos 4x
2
1 1
＝cos 2xsin 2x＋ cos 4x＝ (sin 4x＋cos 4x)
2 2
4x π2 ＋
＝ sin 4 ，
2
所以函数 f(x) π的最小正周期 T＝ .
2
令 2kπ π π 3π＋ ≤4x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
2 4 2
kπ π
得 ＋ ≤x kπ 5π≤ ＋ ，k∈Z.
2 16 2 16
kπ π kπ 5π
＋ ， ＋
所以函数 f(x)的单调递减区间为 2 16 2 16 ，k∈Z.
α π
－
(2)因为 f 4 8 2＝ ，
2
α π－
所以 sin 4 ＝1.
又α∈(0，π)，
π π
所以－ <α－ <3π，
4 4 4
α π π所以 － ＝ ，
4 2
故α 3π＝ ，
4
α π tan
3π
＋tan π
＋
因此 tan 3 ＝ 4 3
－1＋ 3
＝ ＝2－ 3.
1 tan 3πtan π 1＋ 3－
4 3
思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把
函数化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等
特征，注意利用整体思想解决相关问题．
π π
2 －x 6 －x
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ sin 4 ＋ ·cos 4 .
4 4
π 3π
，
(1)求函数 f(x)在区间 4 2 上的最值；
3π
，2π 2θ π＋
(2)若 cos θ 4＝ ，θ∈ 2 ，求 f 3 的值．
5
π
－x π－x
解 (1) 2 6由题意得 f(x)＝ ·sin 4 ＋ cos 4
4 4
π π
1 －x －x
2 sin 4
3
＋ cos 4
＝ × 2 2
2
2 x
7π
－
＝－ ·sin 12 .
2
π 3π π 11π
，
x 4 2 x 7π
－ ，
因为 ∈ ，所以 － ∈ 3 12 ，
12
x 7π 3－ － ，1
所以 sin 12 ∈ 2 ，
x 7π 2 6 π 3π2 － － ， ，
所以－ sin 12 2 4 6∈ ，即函数 f(x)在区间 4 2 上的最大值为 ，最小值为－
2 4
2.
2
3π
4 ，2π(2)因为 cos θ＝ ，θ∈ 2 ，
5
所以 sin θ 3＝－ ，所以 sin 2θ＝2sin θcos θ 24＝－ ，
5 25
16 9 7
所以 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ － ＝ ，
25 25 25
2θ π＋ 2 2θ
π 7π
＋ －
所以 f 3 ＝－ sin 3 12
2
2 2θ
π
－
·sin 4 1＝－ ＝－ (sin 2θ－cos 2θ)
2 2
7 24
1(cos 2θ sin 2θ) 1
＋ 31
＝ － ＝ · 25 25 ＝ .
2 2 50
2tan α 1－tan2α 2tan α
求证：sin α＝ 2 ，cos α＝ 2，tan α＝ 2 .
1 tan2α 1 tan2α 1 tan2α＋ ＋ －
2 2 2
2sin αcos α 2tan α
证明：(1)sin α sin α＝ ＝ 2 2＝ 2 .
1
sin2α α α＋cos2 1＋tan2
2 2 2
cos2α sin2α 1 tan2α－ －
(2)cos α cos α＝ ＝ 2 2＝ 2.
1
sin2α α＋cos2 1＋tan2α
2 2 2
2sin αcos α 2tan α
(3)tan α sin α＝ ＝ 2 2＝ 2 .
cos α
cos2α－sin2α 1－tan2α
2 2 2
注意：(1)上述三个公式统称为万能公式．
(2)上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小了．
2sin θ＋cos θ
例 1 已知 ＝－5，求 3cos 2θ＋4sin 2θ的值．
sin θ－3cos θ
2sin θ＋cos θ
解 ∵ ＝－5，
sin θ－3cos θ
∴cos θ≠0(否则 2＝－5)
2tan θ＋1
∴ ＝－5，
tan θ－3
解得 tan θ＝2.
3 1－tan2θ 4×2tan θ 3 1－22 4×2×2 7
∴原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
1＋tan2θ 1＋tan2θ 1＋22 1＋22 5
2 sin α cos α 1例 已知 － ＝ ，π<α<2π，求 tan α和 tan α的值．
2 2
解 ∵sin α－cos α 1＝ ，
2
2tan α 1－tan2α
∴ 2 － 2 1＝ ，
2
1＋tan2α 1 α＋tan2
2 2
化简得 tan2α α＋4tan －3＝0.
2 2
tan α －4± 16＋12∴ ＝ ＝－2± 7，
2 2
∵π<α<2π，
π<α∴ <π，
2 2
α
∴tan <0，即 tan α＝－2－ 7，
2 2
2tan α
2 2 －2－ 7 －4－2 7 2＋ 7tan α 4－ 7＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
1 tan2α 1－ －2－ 7
2 －10－4 7 5＋2 7 3
－
2
【课后作业】
A 组
1．已知 sin α－cos α 4＝ ，则 sin 2α等于( )
3
A 7．－ B 2 C.2．－ D.7
9 9 9 9
答案 A
解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，
4
∴sin 2α＝1－ 3 2 7＝－ .
9
2 4．已知α，β为锐角，tan α＝ ，则 cos 2α等于( )
3
A. 7 B 7．－ C.24 D 24．－
25 25 25 25
答案 B
tan α 4解析 ∵ ＝ ，tan α sin α＝ ，
3 cos α
∴sin α 4＝ cos α，
3
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α 9＝ ，
25
∴cos 2α＝2cos2α－1 7＝－ .
25
1－cos210°
3．计算： 等于( )
cos 80° 1－cos 20°
A. 2 B.1 C. 3 D 2．－
2 2 2 2
答案 A
1－cos210° sin210°
解析 ＝
cos 80° 1－cos 20° sin 10° 1－ 1－2sin210°
sin210° 2
＝ ＝ .
2sin210° 2
π α π－ ＋2α
4．若 sin 3 1＝ ，则 cos 3 等于( )
4
A 7 B 1 1．－ ．－ C. D.7
8 4 4 8
答案 A
π
＋2α 2π－2α
解析 cos 3 ＝cos π－ 3
2π π
－2α －α
＝－cos 3 ＝－ 1－2sin2 3
1
＝－ 1 7－2× 4 2 ＝－ .
8
x π＋
5．(多选)已知函数 f(x)＝sin x·sin 3 1－ ，则 f(x)的值不可能是( )
4
A 1 1．－ B. C．－2 D．2
2 2
答案 CD
x π＋
解析 方法一 f(x)＝sin xsin 3 1－
4
1sin x 3＋ cos x
＝sin x 2 2 1－
4
1
＝ sin2x 3＋ sin xcos x 1－
2 2 4
1·1－cos 2x 3＝ ＋ sin 2x 1－
2 2 4 4
3sin 2x 1＝ － cos 2x
4 4
3 1
1 sin 2x－ cos 2x
＝ 2 2
2
2x π1 －
＝ sin 6 ，
2
1 1
－ ，
∴f(x)∈ 2 2 .
x π＋
方法二 f(x)＝sin xsin 3 1－
4
π
1 x＋x＋ x－x
π
－ 1
＝－ cos 3 －cos 3 －
2 4
π π
1 2x＋ －
＝－ cos 3 －cos 3 1－
2 4
1 2x
π
＋
cos 3 1 1＝－ ＋ －
2 4 4
1 2x
π
＋
＝－ cos 3
2
1 1
－ ，
∴f(x)∈ 2 2 .
6．(多选)下列说法不正确的是( )
A．存在 x∈R，使得 1－cos3x＝log 12
10
B．函数 y＝sin 2xcos 2x的最小正周期为π
x π π＋ － ，0
C．函数 y＝cos 2 3 的一个对称中心为 3
D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角
答案 ABC
解析 在 A中，因为 cos x∈[－1,1]，
所以 1－cos3x≥0，
log 1因为 2 10
所以不存在 x∈R，
使得 1－cos3x＝log 12 ，故 A错误；
10
在 B中，函数 y＝sin 2xcos 2x 1＝ sin 4x π的最小正周期为 ，故 B错误；
2 2
x π＋
在 C π中，令 2 3 ＝ ＋kπ，k∈Z，
2
x π kπ得 ＝－ ＋ ，k∈Z，
12 2
x π π kπ＋ － ＋ ，0
所以函数 y＝cos 2 3 的对称中心为 12 2 ，k∈Z，故 C错误；
在 D中，因为 cos(－3)＝cos 3<0，sin(－3)＝－sin 3<0，所以角α是第三象限角，故 D正确．
π
，π
7．若α∈ 2 ，sin α 3 10＝ ，则 tan 2α＝ .
10
3
答案
4
π
，π
解析 ∵α∈ 2 ，sin α 3 10＝ ，
10
∴cos α 10＝－ 1－sin2α＝－ ，
10
sin α
∴tan α＝ ＝－3，
cos α
tan 2α 2tan α －2×3 3∴ ＝ ＝ ＝ .
1－tan2α 1－ －3 2 4
π
，π
8．已知 sin α＝cos 2α，α∈ 2 ，则 tan α＝ .
3
答案 －
3
π
，π
解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin2α，α∈ 2 ，
∴sin α 1＝ 或 sin α＝－1(舍去)，
2
α 5π tan α tan 5π∴ ＝ ，则 ＝ ＝－tan π 3＝－ .
6 6 6 3
π
＋θ
9．(2021·淄博模拟)已知 tan 4 ＝3，则 sin 2θ－2cos2θ＝ .
4
答案 －
5
θ π＋
解析 ∵tan 4 ＝3，
θ ππ ＋θ＋ π tan 4 －tan
π
－ 4
∴tan θ＝tan 4 3－1 14 ＝
θ π
＝ ＝ ，
＋ π 1＋3 21＋tan 4 tan
4
2 1－2
∴sin 2θ－2cos2θ 2sin θcos θ－2cos θ 2tan θ－2 4＝ ＝ ＝ ＝－ .
sin2θ＋cos2θ tan2θ＋1 1＋1 5
4
10. 3tan 12°－3 ＝ .
4cos212°－2 sin 12°
答案 －4 3
3sin 12°
－3
解析 原式＝ cos 12°
2 2cos212°－1 sin 12°
1sin 12° 3－ cos 12°
2 3 2 2
＝ cos 12°
2cos 24°sin 12°
2 3sin －48° －2 3sin 48°
＝ ＝
2cos 24°sin 12°cos 12° sin 24°cos 24°
－2 3sin 48°
＝ 1 ＝－4 3.sin 48°
2
α π π＋ ，π
11．已知 sin 4 2＝ ，α∈ 2 .求：
10
(1)cos α的值；
2α π－
(2)sin 4 的值．
α π＋
解 (1)sin 4 2＝ ，
10
即 sin αcos π＋cos αsin π 2＝ ，
4 4 10
化简得 sin α＋cos α 1＝ ，①
5
又 sin2α＋cos2α＝1，②
由①②解得 cos α 3 4＝－ 或 cos α＝ ，
5 5
π
，π
因为α∈ 2 .所以 cos α 3＝－ .
5
π
，π
(2) α 2 cos α 3因为 ∈ ， ＝－ ，
5
所以 sin α 4＝ ，
5
则 cos 2α＝1－2sin2α 7 24＝－ ，sin 2α＝2sin αcos α＝－ ，
25 25
2α π－
所以 sin 4 ＝sin 2αcos π－cos 2αsin π 17 2＝－ .
4 4 50
12 α 1．已知α，β为锐角，tan ＝ ，cos(α＋β) 5＝－ .
2 2 5
(1)求 cos 2α的值；
(2)求 tan(α－β)的值．
解 (1) α 1∵tan ＝ ，
2 2
2tan α 2 1×
∴tan α＝ 2 ＝ 2 4＝ .
2α 1 31－tan 1－
2 4
又α为锐角，且 sin2α＋cos2α 1 sin α＝ ，tan α＝ ，
cos α
∴sin α 4＝ ，cos α 3＝ ，
5 5
∴cos 2α＝cos2α－sin2α 7＝－ .
25
(2) (1) sin 2α 2sin αcos α 24由 得， ＝ ＝ ，
25
则 tan 2α sin 2α 24＝ ＝－ .
cos 2α 7
0 π，
∵α，β∈ 2 ，∴α＋β∈(0，π)．
又 cos(α＋β) 5＝－ ，
5
∴sin(α＋β) 2 5＝ 1－cos2 α＋β ＝ ，
5
tan(α β) sin α＋β 则 ＋ ＝ ＝－2，
cos α＋β
tan(α β) tan[2α (α β)] tan 2α－tan α＋β 2∴ － ＝ － ＋ ＝ ＝－ .
1＋tan 2αtan α＋β 11
B 组
13 θ R 0<θ<π．设 ∈ ，则“ ”是“ 3sin θ＋cos 2θ>1”的( )
3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 3sin θ＋cos 2θ>1 3sin θ>1－cos 2θ＝2sin2θ (2sin θ－ 3)sin θ<0 02
0<θ<π 3 3 π时，03 2 2 3 3
π
所以 0<θ< 是 3sin θ＋cos 2θ>1的充分不必要条件．故选 A.
3
14．在平面直角坐标系 xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边
2α π＋
交单位圆 O 7于点 P(a，b)，且 a＋b＝ ，则 cos 2 的值是 ．
5
24
答案 －
25
解析 由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b，cos α＝a.
7 7
又 a＋b＝ ，∴sin α＋cos α＝ ，
5 5
两边平方可得 sin2α＋cos2α＋2sin αcos α 49＝ ，
25
即 1 49＋sin 2α＝ ，∴sin 2α 24＝ .
25 25
2α π＋
∴cos 2 ＝－sin 2α 24＝－ .
25
C 组
15．公元前 6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄
金分割约为 0.618，这一数值也可以表示为 m＝2sin 18°，若 m2＋n 4 m n＝ ，则 等于
2cos227°－1
( )
A．8 B．4 C．2 D．1
答案 C
解析 因为 m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以 n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
m n 2sin 18° 4cos218° 4sin 18°cos 18° 2sin 36° 2sin 36°
所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2.
2cos227°－1 2cos227°－1 2cos227°－1 cos 54° sin 36°
16.如图，有一块以点 O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD开
辟为绿地，使其一边 AD落在半圆的直径上，另两点 B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的
半径长为 20 m，如何选择关于点 O对称的点 A，D的位置，可以使矩形 ABCD的面积最大，
最大值是多少？
解 连接 OB(图略)，设∠AOB＝θ，
则 AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，
0 π，
且θ∈ 2 .
因为 A，D关于原点 O对称，
所以 AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形 ABCD的面积为 S，
则 S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
0 π，
因为θ∈ 2 ，
所以当 sin 2θ＝1，
即θ π＝ 时，Smax＝400(m2)．
4
此时 AO＝DO＝10 2(m)．
故当点 A，D到圆心 O的距离为 10 2 m时，矩形 ABCD的面积最大，其最大面积是 400 m2.第 3 讲 简单的三角恒等变换
【知识梳理】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式 S2α：sin 2α＝ .
(2)公式 C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式 T2α：tan 2α＝ .
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝ ,1＋cos α＝ .(升幂公式)
(2)1±sin α＝ 2.(升幂公式)
(3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式)
(4)asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，其中 sin φ＝ ，cos φ＝ .(辅助角公式)
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(2020·全国Ⅱ改编)若α为第四象限角，则 sin 2α>0.( )
sin α＋cos α
(2) α∈R,1＋sin α＝ 2 2 2.( )
(3) α∈R,2cos2α＋cos 2α－1＝0.( )
(4) α∈R，tan 2α＝2tan α.( )
2．sin 15°cos 15°等于( )
A 1．－ B.1 C 1．－ D.1
4 4 2 2
3．已知 sin α－cos α 1＝ ，0≤α≤π，则 cos 2α等于( )
5
A 24．－ B.24 C 7 7．－ D.
25 25 25 25
α π＋
4．已知 sin 2α 2＝ ，则 cos2 4 ＝ .
3
4tan π
5．计算： 12 等于( )
3tan2 π－3
12
A.2 3 B 2 3 C.2 3．－ D 2 3．－
3 3 9 9
6．(2020·泸州模拟)若 tan α 1＝ ，则 cos 2α等于( )
2
A 4 B 3．－ ．－ C.4 D.3
5 5 5 5
【典型例题】
题型一 三角函数式的化简
1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且 3cos 2α－8cos α＝5，则 sin α等于( )
A. 5 B.2 C.1 D. 5
3 3 3 9
π
2 ＋α2．(2020· 2江苏改编)已知 sin 4 ＝ ，则 sin 2α的值是( )
3
A 1．－ B.1 C 2 2．－ D.
3 3 3 3
0 π，
3．(2019·全国Ⅱ)已知α∈ 2 ，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α等于( )
A.1 B. 5 C. 3 D.2 5
5 5 3 5
4．2 1＋sin 4＋ 2＋2cos 4等于( )
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
题型二 三角函数的求值
例 1 (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .
cos 40°
(2) 的值为( )
cos 25° 1－sin 40°
A．1 B. 3 C. 2 D．2
θ π π＋ 10 0， 2θ
π
－
例 2 (1)已知 cos 4 ＝ ，θ∈ 2 ，则 sin 3 ＝ .
10
2 7 3 3
例 3 已知α，β均为锐角，cos α＝ ，sin β＝ ，则 cos 2α＝ ，2α－β＝ .
7 14
跟踪训练 1 (1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )
A. 6 B.3 C.5 D 3．1＋
2 2 4 4
0 π α
π
＋
，
(2)已知α∈ 2 ，且 2sin2α－sin α·cos α－3cos2α 0
sin 4
＝ ，则 ＝ .
sin 2α＋cos 2α＋1
(3)已知α，β∈(0 1 1，π)，且 tan(α－β)＝ ，tan β＝－ ，则 2α－β的值为 ．
2 7
题型三 三角恒等变换的综合应用
例 4 已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x 1＋ cos 4x.
2
(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间；
α π π
－ α＋
(2)若α∈(0，π)，且 f 4 8 2＝ ，求 tan 3 的值．
2
跟踪训练 2
π
－x π－x
已知函数 f(x) 2＝ sin 4 6＋ ·cos 4 .
4 4
π 3π
，
(1)求函数 f(x)在区间 4 2 上的最值；
3π π
(2) cos θ 4
，2π 2θ＋
若 ＝ ，θ∈ 2 ，求 f 3 的值．
5
【课后作业】
A 组
1．已知 sin α cos α 4－ ＝ ，则 sin 2α等于( )
3
A 7 2 2 7．－ B．－ C. D.
9 9 9 9
2．已知α，β为锐角，tan α 4＝ ，则 cos 2α等于( )
3
A. 7 B 7．－ C.24 D 24．－
25 25 25 25
1－cos210°
3．计算： 等于( )
cos 80° 1－cos 20°
A. 2 B.1 C. 3 D 2．－
2 2 2 2
π
－α π＋2α
4．若 sin 3 1＝ ，则 cos 3 等于( )
4
x π＋
5．(多选) 1已知函数 f(x)＝sin x·sin 3 － ，则 f(x)的值不可能是( )
4
A 1．－ B.1 C．－2 D．2
2 2
6．(多选)下列说法不正确的是( )
A 1．存在 x∈R，使得 1－cos3x＝log2
10
B．函数 y＝sin 2xcos 2x的最小正周期为π
x π π＋ － ，0
C．函数 y＝cos 2 3 的一个对称中心为 3
D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角
π
，π
7．若α 3 10∈ 2 ，sin α＝ ，则 tan 2α＝ .
10
π
，π
8．已知 sin α＝cos 2α，α∈ 2 ，则 tan α＝ .
π
＋θ
9．(2021·淄博模拟)已知 tan 4 ＝3，则 sin 2θ－2cos2θ＝ .
10. 3tan 12°－3 ＝ .
4cos212°－2 sin 12°
α π π＋ ，π
11．已知 sin 4 2＝ ，α∈ 2 .求：
10
(1)cos α的值；
2α π－
(2)sin 4 的值．
12 α β tan α 1 cos(α 5．已知 ， 为锐角， ＝ ， ＋β)＝－ .
2 2 5
(1)求 cos 2α的值；
(2)求 tan(α－β)的值．
B 组
13．设θ∈R π，则“0<θ< ”是“ 3sin θ＋cos 2θ>1”的( )
3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．在平面直角坐标系 xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边
7 2α
π
＋
交单位圆 O于点 P(a，b)，且 a＋b＝ ，则 cos 2 的值是 ．
5
C 组
15．公元前 6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄
m n
金分割约为 0.618，这一数值也可以表示为 m＝2sin 18°，若 m2＋n＝4，则 等于
2cos227°－1
( )
A．8 B．4 C．2 D．1
16.如图，有一块以点 O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD开
辟为绿地，使其一边 AD落在半圆的直径上，另两点 B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的
半径长为 20 m，如何选择关于点 O对称的点 A，D的位置，可以使矩形 ABCD的面积最大，
最大值是多少？

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