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第 45 讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差
【考试要求】
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，
会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.
2.了解超几何分布，并能进行简单应用.
3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机变量的均值、
方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题．
【知识梳理】
1．离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离
散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值
xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则称表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为离散型随机变量 X的概率分布列，简称为 X的分布列，具有如下性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
② pi 1 .
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
如果随机变量 X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中 0其中 p＝P(X＝1)，称为成功概率．
3．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量 X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量 X的均值或数学期望．它反映了离散型随
机变量取值的平均水平．
(2)方差
称 D(X)＝错误!(xi－E(X))2pi为随机变量 X的方差，它刻画了随机变量 X与其均值 E(X)的平均
偏离程度，并称其算术平方根 D X 为随机变量 X的标准差．
4．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b为常数)
5．超几何分布
Ck Cn－M N kM
一般地，在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品，则 P(X＝k)＝ －
CnN
(k＝0,1,2，…，m)，即
X 0 1 … m
CM0 Cn－N 0 －M CM1 CnN 1 m n－mP － －M
CMCN
… －
M
CNn CNn CnN
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量 X的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X服从超几何分布．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，
则偏离均值的平均程度越小．( √ )
(3)从 4名男演员和 3名女演员中选出 4人，其中女演员的人数 X服从超几何分布．( √ )
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此对立的．( × )
2．设随机变量 X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
1 1 1 1
P p
12 6 3 6
则 p为( )
A.1 B.1 C.1 D. 1
6 3 4 12
答案 C
1 1 1 1
解析 由分布列的性质知， ＋ ＋ ＋ ＋p＝1，
12 6 3 6
∴p＝1 3 1－ ＝ .
4 4
3．已知 X的分布列为
X －1 0 1
1 1 1
P
2 3 6
设 Y＝2X＋3，则 E(Y)的值为( )
A.7 B．4 C．－1 D．1
3
答案 A
解析 E(X) 1 1 1＝－ ＋ ＝－ ，
2 6 3
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3 2 7＝－ ＋3＝ .
3 3
4．若随机变量 X满足 P(X＝c)＝1，其中 c为常数，则 D(X)的值为________．
答案 0
解析 ∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，
∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.
5．袋中有 3个白球、5个黑球，从中任取 2个，可以作为随机变量的是( )
A．至少取到 1个白球
B．至多取到 1个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
答案 C
解析 选项 A，B表述的都是随机事件；选项 D是确定的值 2，并不随机；选项 C是随机变
量，可能取值为 0,1,2.
6．若随机变量 X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当 P(XA．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
答案 C
解析 由随机变量 X的分布列知，P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，
则当 P(X【典型例题】
题型一 分布列的求法
例 1 一个盒子里装有 7张卡片，其中有红色卡片 4张，编号分别为 1,2,3,4；白色卡片 3张，
编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的 4张卡片中，含有编号为 3的卡片的概率；
(2)在取出的 4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X的分布列．
解 (1)设取出的 4张卡片中，含有编号为 3的卡片为事件 A，则
1 3
P(A) C2C5＋C
22C25 6
＝ ＝ .
C74 7
6
所以，取出的 4张卡片中，含有编号为 3的卡片的概率为 .
7
(2)随机变量 X的所有可能取值为 1,2,3,4，
3 3
P(X C 1 C 4＝1)＝ 3＝ ，P(X＝2)＝ 4＝ ，
C47 35 C47 35
3 3
P(X＝3) C5 2 C 4＝ ＝ ，P(X＝4)＝ 6＝ ，
C47 7 C74 7
X的分布列为
X 1 2 3 4
1 4 2 4
P
35 35 7 7
思维升华 离散型随机变量分布列的求解步骤
跟踪训练 1 有编号为 1,2,3，…，n的 n个学生，入座编号为 1,2,3，…，n的 n个座位，每个
学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X，已知 X＝2
时，共有 6种坐法．
(1)求 n的值；
(2)求随机变量 X的分布列．
解 (1)因为当 X＝2时，有 C 2n种方法，
n n－1
所以 C2n＝6，即 ＝6，也即 n2－n－12＝0，
2
解得 n＝4或 n＝－3(舍去)，所以 n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X，
由题意可知 X的可能取值是 0,2,3,4，
2
所以 P(X＝0) 1 1 C4×1 1＝ ＝ ，P(X＝2)＝ ＝ ，
A44 24 A44 4
3
P(X＝3) C4×2 1＝ ＝ ，P(X＝4)＝1 1 1 1 3－ － － ＝ ，
A44 3 24 4 3 8
所以 X的分布列为
X 0 2 3 4
1 1 1 3
P
24 4 3 8
题型二 均值与方差
例 2 为迎接 2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的
收费标准是：滑雪时间不超过 1小时免费，超过 1小时的部分每小时收费标准为 40元(不足
1小时的部分按 1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1
1 1 1 2
小时离开的概率分别为 ，；1小时以上且不超过 2小时离开的概率分别为 ，；两人滑雪时
4 6 2 3
间都不会超过 3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值 E(ξ)，方差 D(ξ)．
解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0,40,80元，
2 3 1 1 1 1 1 2 1甲、乙两人 小时以上且不超过 小时离开的概率分别为 － － ＝ ，1－ － ＝ .
4 2 4 6 3 6
1 1 1
两人都付 0元的概率为 P1＝ × ＝ ，
4 6 24
1 2 1
两人都付 40元的概率为 P2＝ × ＝ ，
2 3 3
1 1 1
两人都付 80元的概率为 P3＝ × ＝ ，
4 6 24
则两人所付费用相同的概率为
P 1 1 1 5＝P1＋P2＋P3＝ ＋ ＋ ＝ .
24 3 24 12
(2)ξ的所有可能取值为 0,40,80,120,160，则
P(ξ 0) 1 1 1＝ ＝ × ＝ ，
4 6 24
P(ξ 40) 1 2 1 1 1＝ ＝ × ＋ × ＝ ，
4 3 2 6 4
P(ξ 80) 1 1 1 2 1 1 5＝ ＝ × ＋ × ＋ × ＝ ，
4 6 2 3 4 6 12
P(ξ＝120) 1 1 1 2 1＝ × ＋ × ＝ ，
2 6 4 3 4
P(ξ 160) 1 1 1＝ ＝ × ＝ .
4 6 24
所以ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
1 1 5 1 1
P
24 4 12 4 24
E(ξ)＝0 1× ＋40 1 80 5 1 1× ＋ × ＋120× ＋160× ＝80.
24 4 12 4 24
D(ξ) (0 80)2 1 (40 80)2 1 (80 80)2 5 (120 80)2 1 (160 80)2 1 4 000＝ － × ＋ － × ＋ － × ＋ － × ＋ － × ＝ .
24 4 12 4 24 3
思维升华 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由均值的定义求 E(ξ)．
(5)由方差的定义求 D(ξ)．
跟踪训练 2 现有 A 2，B，C 3个项目，已知某投资公司投资 A项目的概率为 ，投资 B，C项
3
目的概率均为 p，且投资这 3个项目是相互独立的，记 X是该投资公司投资项目的个数，若
P(X 0) 1＝ ＝ ，则随机变量 X的均值 E(X)＝________.
12
5
答案
3
解析 由题意可知，X的所有可能取值为 0,1,2,3，由于 P(X＝0) 1 1(1 p)2 1＝ ，故 － ＝ ，∴p
12 3 12
1
＝ .P(X 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1＝1)＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ＝ ，
2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 12 3
P(X 2) 2 1 1 2 1 1 1 1 1 5 2 1 1 1＝ ＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ，P(X＝3)＝ × × ＝ ，∴E(X)＝0 1× ＋1 1× ＋
3 2 2 3 2 2 3 2 2 12 3 2 2 6 12 3
2 5 1 5× ＋3× ＝ .
12 6 3
题型三 超几何分布
例 3 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲
协会的运动员 3名，其中种子选手 2名；乙协会的运动员 5名，其中种子选手 3名．从这 8
名运动员中随机选择 4人参加比赛．
(1)设 A为事件“选出的 4人中恰有 2名种子选手，且这 2名种子选手来自同一个协会”，求
事件 A发生的概率；
(2)设 X为选出的 4人中种子选手的人数，求随机变量 X的分布列，并求 E(X)．
C22C32＋C32C32
解 (1) 6由已知，有 P(A)＝ ＝ .
C84 35
所以事件 A 6发生的概率为 .
35
(2)随机变量 X的所有可能取值为 1,2,3,4.
Ck5C －34 kP(X＝k)＝ (k＝1,2,3,4)．
C48
P(X 1) C
1
＝ ＝ 5
C33 1 C2C2 3＝ ，P(X＝2)＝ 5 3＝ ，
C48 14 C48 7
3
P(X 3) C5C
13 3 P(X 4) C
45C＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ 3
0 1
＝ .
C84 7 C84 14
所以随机变量 X的分布列为
X 1 2 3 4
1 3 3 1
P
14 7 7 14
所以 E(X) 1 3 3 1 5＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .
14 7 7 14 2
思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超
几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X的
概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
跟踪训练 3 某单位共有员工 45人，其中男员工 27人，女员工 18人．上级部门为了对该单
位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取 5名员工进行考核．
(1)求抽取的 5人中男、女员工的人数分别是多少；
(2)考核前，评估小组从抽取的 5名员工中，随机选出 3人进行访谈．设选出的 3人中女员工
人数为 X，求随机变量 X的分布列和均值．
解 (1) 5抽取的 5人中男员工的人数为 ×27＝3，
45
5
女员工的人数为 ×18＝2.
45
(2)由(1)可知，抽取的 5名员工中，有男员工 3人，女员工 2人．
所以，随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2.
3 0
根据题意，P(X＝0) C＝ 3C2 1＝ ，
C35 10
2 1
P(X 1) C＝ ＝ 3C2 3＝ ，
C35 5
1
P(X 2) C3·C
22 3＝ ＝ ＝ .
C53 10
随机变量 X的分布列是
X 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
均值 E(X) 3＝0＋1× ＋2 3 6× ＝ .
5 10 5
【课后作业】
A 组
1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”
表示的试验结果是( )
A．第一枚 6点，第二枚 2点
B．第一枚 5点，第二枚 1点
C．第一枚 1点，第二枚 6点
D．第一枚 6点，第二枚 1点
答案 D
解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于 5，即只能等于 5.
2 i．设随机变量 X的分布列为 P(X＝i)＝ (i＝1,2,3)，则 P(X＝2)等于( )
2a
A.1 B.1 C.1 D.1
9 6 3 4
答案 C
1＋2＋3 2 1
解析 由分布列的性质，得 ＝1，解得 a＝3，所以 P(X＝2)＝ ＝ .
2a 2×3 3
3．(2021·沈阳模拟)设离散型随机变量 X可能的取值为 1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若 X的均值
为 E(X)＝3，则 a－b等于( )
A. 1 B 1 1．0 C．－ D.
10 10 5
答案 A
解析 由题意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即 10a＋4b＝1，又 X的均值 E(X)＝
3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b) 1＝3，即 30a＋10b＝3，∴a＝ ，b＝0，∴a－b
10
1
＝ .
10
4．已知随机变量的分布列如下，且 E(ξ)＝6.3，则 a的值为( )
ξ 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 由概率分布列性质，知 0.5＋0.1＋b＝1，所以 b＝0.4，所以 E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋
9×0.4＝6.3，所以 a＝7.
5．(多选)(2021·泰安模拟)设离散型随机变量 X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量 Y满足 Y＝2X＋1，则下列结果正确的是( )
A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
答案 ACD
解析 因为 q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以 q＝0.1，故 A正确；又 E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋
2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2
＋(4－2)2×0.2＝1.8，故 C正确，B不正确；因为 Y＝2X＋1，所以 E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)
＝4D(X)＝7.2，故 D正确．
6．(多选)(2020·杭州质检)已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P b－a b a
0 1，
则当 a在 2 内增大时( )
A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小
C．D(ξ)先增大后减小 D．D(ξ)先减小后增大
答案 AC
解析 由随机变量ξ的分布列得
0≤b－a≤1，
0≤b≤1， 解得 b＝0.5,0≤a≤0.5，
0≤a≤1，
b－a＋b＋a＝1，
∴E(ξ)＝0.5＋2a,0≤a≤0.5.
0 1，
故 a在 2 内增大时，E(ξ)增大．
a 1－
D(ξ)＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a＝－4a2＋2a 1 1＋ ＝－4 4 2＋ ，
4 2
0 1 1 1， ，
所以当 a∈ 4 时，D(ξ)单调递增，当 a∈ 4 2 时，D(ξ)单调递减，故选 AC.
7．某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于 9环为优秀，其射击一次的优秀率为______．
答案 40%
解析 由分布列的性质得 a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为 40%.
8．随机变量 X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中 a，b，c成等差数列，则 P(|X|＝1)＝________，公差 d的取值范围是________．
1 1
2 － ，
答案 3 3
3
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又 a＋b 1＋c＝1，∴b＝ ，
3
∴P(|X|＝1)＝a c 2＋ ＝ .
3
a 1 d c 1又 ＝ － ， ＝ ＋d，
3 3
1 2
根据分布列的性质，得 0≤ －d≤ ，0 1 d 2≤ ＋ ≤ ，
3 3 3 3
1 1
∴－ ≤d≤ .
3 3
9．已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P 0.5 x y
若 E(ξ) 15＝ ，则 D(ξ)＝________.
8
55
答案
64
解析 由分布列性质，得 x＋y＝0.5.
x 1＝ ，
8
又 E(ξ) 15＝ ，得 2x＋3y 11＝ ，可得
8 8 y 3＝ .
8
1 15 2 15 3 15－ －
D(ξ) 8 2 1 8 2 1
－ 3 55
＝ × ＋ × ＋ 8 2× ＝ .
2 8 8 64
10．已知甲盒内有大小相同的 1个红球和 3个黑球，乙盒内有大小相同的 2个红球和 4个黑
球，现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球．设ξ为取出的 4 个球中红球的个数，则 P(ξ＝2)＝
________.
3
答案
10
1 1 1 2 2
解析 由题意可知，P(ξ 2) C3C2C4＋C3C2 3＝ ＝ ＝ .
C42C26 10
11．(2021·武威模拟)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10道试题中，甲能答
对其中的 6题，乙能答对其中的 8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出 3道题进行测试，
至少答对 2题才算合格．
(1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为 X，Y，写出随机变量 X，Y的分布列；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
解 (1)随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,3，
3 1 2
P(X 0) C4 4 1 C C 36 3＝ ＝ ＝ ＝ ，P(X＝1)＝ 6 4＝ ＝ ，
C130 120 30 C130 120 10
2 1 3
P(X 2) C6C4 60 1 C 20 1＝ ＝ ＝ ＝ ，P(X＝3)＝ 6＝ ＝ ，
C310 120 2 C130 120 6
所以随机变量 X的分布列为
X 0 1 2 3
1 3 1 1
P
30 10 2 6
随机变量 Y的所有可能取值为 1,2,3，
1 2
P(Y＝1) C8C2 8 1＝ ＝ ＝ ，
C310 120 15
2 1
P(Y＝2) C C＝ 8 2 56 7＝ ＝ ，
C130 120 15
P(Y 3) C
38 56 7＝ ＝ ＝ ＝ ，
C310 120 15
所以随机变量 Y的分布列为
Y 1 2 3
1 7 7
P
15 15 15
(2)由(1)知甲合格的概率为 P(A) 1 1 2＝ ＋ ＝ ，
2 6 3
乙合格的概率为 P(B) 7 7 14＝ ＋ ＝ ，
15 15 15
因为事件 A，B相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为
A B A B 1
2
－ 1 14－
P( · )＝P( )·P( )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝ 3 × 15 1 1 1＝ × ＝ ，
3 15 45
1 44
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 1－ ＝ .
45 45
12．某投资公司在 2021年年初准备将 1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选
择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，
7 2
且这两种情况发生的概率分别为 和 ；
9 9
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，
3 1 1
也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和 .
5 3 15
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解 若按“项目一”投资，设获利为 X1万元，X1的所有可能取值为 300，－150.则 X1的分布
列为
X1 300 －150
7 2
P
9 9
7 2
∴E(X1)＝300× ＋(－150)× ＝200(万元)．
9 9
若按“项目二”投资，设获利为 X2万元，X2的所有可能取值为 500，－300,0.则 X2的分布列
为
X2 500 －300 0
3 1 1
P
5 3 15
∴E(X2)＝500
3 1 1
× ＋(－300)× ＋0× ＝200(万元)．
5 3 15
D(X1)＝(300－200)2
7
× ＋(－150－200)2 2× ＝35 000，
9 9
D(X2)＝(500－200)2
3
× ＋(－300－200)2 1× ＋(0 200)2 1－ × ＝140 000.
5 3 15
∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
B 组
13．已知在 10 16件产品中可能存在次品，从中抽取 2件检查，其次品数为ξ，已知 P(ξ＝1)＝ ，
45
且该产品的次品率不超过 40%，则这 10件产品的次品率为( )
A．10% B．20% C．30% D．40%
答案 B
1
10 x P(ξ 1) Cx·C
110 x x 10－x 16
解析 设 件产品中有 件次品，则 ＝ ＝ － ＝ ＝ ，所以 x＝2或 x＝8.
C120 45 45
2
因为次品率不超过 40%，所以 x＝2，所以次品率为 ＝20%.
10
14.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，
从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为 X，则 X的均值 E(X)＝________.
6
答案
5
解析 由题意知 X＝0,1,2,3，P(X＝0) 27＝ ，P(X＝1) 54＝ ，P(X 36 8＝2)＝ ，P(X＝3)＝ ，
125 125 125 125
∴E(X)＝0 27× ＋1 54 2 36 3 8 150 6× ＋ × ＋ × ＝ ＝ .
125 125 125 125 125 5
C 组
15．(2020·烟台质检)某学校共有 6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一
家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论不正确的是( )
A 5．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
18
B 1．四人去了同一餐厅就餐的概率为
1 296
C 25．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为
216
D 2．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为
3
答案 B
解析 四人去餐厅就餐的情况共有 64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有 A 46种，
A64 5则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 ＝ ，故 A正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的
64 18
6 1 C2B 4×5
2 25
概率为 ＝ ，故 错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为 ＝ ，故 C
64 216 64 216
4 1 3
正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3,4. P(ξ 0) 5 P(ξ 1) C45则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
64 64
2 2 3
P(ξ 2) C45＝ ＝ ，P(ξ＝3) C4×5 1＝ ，P(ξ＝4)＝ ，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为
64 64 64
ξ 0 1 2 3 4
54 C153 C252 C3×5 1
P 4 4 4
64 64 64 64 64
54 C153 C252 C43×5 1
则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值 E(ξ)＝0× ＋1 4 4× ＋2× ＋3× ＋4×
64 64 64 64 64
2
＝ ，故 D正确．
3
16．(2021·唐山模拟)某城市美团外卖配送员底薪是每月 1 800元，设每月配送单数为 X，若
X∈[1,300]，每单提成 3元，若 X∈(300,600]，每单提成 4元，若 X∈(600，＋∞)，每单提成
4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月 2 100元，设每月配送单数为 Y，若 Y∈[1,400]，每单
提成 3元，若 Y∈(400，＋∞)，每单提成 4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一
份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在 2020年 4月份(30
天)的送餐量数据，如下表：
表 1：美团外卖配送员甲送餐量统计
日送餐量 x(单) 13 14 16 17 18 20
天数 2 6 12 6 2 2
表 2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计
日送餐量 y(单) 11 13 14 15 16 18
天数 4 5 12 3 5 1
(1)设美团外卖配送员月工资为 f(X)，饿了么外卖配送员月工资为 g(Y)，当 X＝Y∈(300,600]
时，比较 f(X)与 g(Y)的大小关系；
(2)将 4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率．
①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值 E(x)和 E(y)；
②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
解 (1)因为 X＝Y∈(300,600]，
所以 g(X)＝g(Y)，
当 X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0，
当 X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300<0，
故当 X∈(300,400]时，f(X)>g(Y)，
故 X∈(400,600]时，f(X)(2)①甲日送餐量 x的分布列为
x 13 14 16 17 18 20
1 1 2 1 1 1
P
15 5 5 5 15 15
乙日送餐量 y的分布列为
y 11 13 14 15 16 18
2 1 2 1 1 1
P
15 6 5 10 6 30
则 E(x)＝13 1 14 1 2 1× ＋ × ＋16× ＋17× ＋18 1× ＋20 1× ＝16，
15 5 5 5 15 15
E(y) 11 2 13 1 2 1 1 1＝ × ＋ × ＋14× ＋15× ＋16× ＋18× ＝14.
15 6 5 10 6 30
②E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)，
美团外卖配送员，估计月薪平均为 1 800＋4E(X)＝3 720(元)，饿了么外卖配送员，估计月薪
平均为 2 100＋4E(Y)＝3 780(元)，由于 3 780元>3 720元，
故小王应选择做饿了么外卖配送员．第 45 讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差
【知识梳理】
1．离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以 的随机变量称为离
散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值
xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则称表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为离散型随机变量 X的概率分布列，简称为 X的分布列，具有如下性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
② pi 1 .
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
如果随机变量 X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中 0其中 p＝P(X＝1)，称为成功概率．
3．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量 X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)均值
称 E(X)＝ 为随机变量 X的均值或数学期望．它反映了离散型
随机变量取值的 ．
(2)方差
称 D(X)＝ ( xi－E(X))2pi为随机变量 X的方差，它刻画了随机变量 X与其均值 E(X)的平均
偏离程度，并称其算术平方根 D X 为随机变量 X的标准差．
4．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ .
(2)D(aX＋b)＝ .(a，b为常数)
5．超几何分布
k n－k
一般地，在含有 M CMCN M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品，则 P(X＝k)＝ －
CnN
(k＝0,1,2，…，m)，即
X 0 1 … m
C0 Cn－0 C1 Cn－1 CmCn－m
P M N－M M N－M M N－M…
CNn CnN CNn
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量 X的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X服从超几何分布．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，
则偏离均值的平均程度越小．( )
(3)从 4名男演员和 3名女演员中选出 4人，其中女演员的人数 X服从超几何分布．( )
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此对立的．( )
2．设随机变量 X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
1 1 1 1
P p
12 6 3 6
则 p为( )
A.1 B.1 C.1 D. 1
6 3 4 12
3．已知 X的分布列为
X －1 0 1
1 1 1
P
2 3 6
设 Y＝2X＋3，则 E(Y)的值为( )
A.7 B．4 C．－1 D．1
3
4．若随机变量 X满足 P(X＝c)＝1，其中 c为常数，则 D(X)的值为________．
5．袋中有 3个白球、5个黑球，从中任取 2个，可以作为随机变量的是( )
A．至少取到 1个白球
B．至多取到 1个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
6．若随机变量 X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当 P(XA．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
【典型例题】
题型一 分布列的求法
例 1 一个盒子里装有 7张卡片，其中有红色卡片 4张，编号分别为 1,2,3,4；白色卡片 3张，
编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的 4张卡片中，含有编号为 3的卡片的概率；
(2)在取出的 4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X的分布列．
跟踪训练 1 有编号为 1,2,3，…，n的 n个学生，入座编号为 1,2,3，…，n的 n个座位，每个
学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X，已知 X＝2
时，共有 6种坐法．
(1)求 n的值；
(2)求随机变量 X的分布列．
题型二 均值与方差
例 2 为迎接 2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的
收费标准是：滑雪时间不超过 1小时免费，超过 1小时的部分每小时收费标准为 40元(不足
1小时的部分按 1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1
1 1 1 2
小时离开的概率分别为 ，；1小时以上且不超过 2小时离开的概率分别为 ，；两人滑雪时
4 6 2 3
间都不会超过 3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值 E(ξ)，方差 D(ξ)．
2
跟踪训练 2 现有 A，B，C 3个项目，已知某投资公司投资 A项目的概率为 ，投资 B，C项
3
目的概率均为 p，且投资这 3个项目是相互独立的，记 X是该投资公司投资项目的个数，若
P(X＝0) 1＝ ，则随机变量 X的均值 E(X)＝________.
12
题型三 超几何分布
例 3 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲
协会的运动员 3名，其中种子选手 2名；乙协会的运动员 5名，其中种子选手 3名．从这 8
名运动员中随机选择 4人参加比赛．
(1)设 A为事件“选出的 4人中恰有 2名种子选手，且这 2名种子选手来自同一个协会”，求
事件 A发生的概率；
(2)设 X为选出的 4人中种子选手的人数，求随机变量 X的分布列，并求 E(X)．
跟踪训练 3 某单位共有员工 45人，其中男员工 27人，女员工 18人．上级部门为了对该单
位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取 5名员工进行考核．
(1)求抽取的 5人中男、女员工的人数分别是多少；
(2)考核前，评估小组从抽取的 5名员工中，随机选出 3人进行访谈．设选出的 3人中女员工
人数为 X，求随机变量 X的分布列和均值．
【课后作业】
A 组
1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”
表示的试验结果是( )
A．第一枚 6点，第二枚 2点
B．第一枚 5点，第二枚 1点
C．第一枚 1点，第二枚 6点
D．第一枚 6点，第二枚 1点
2 i．设随机变量 X的分布列为 P(X＝i)＝ (i＝1,2,3)，则 P(X＝2)等于( )
2a
A.1 B.1 C.1 D.1
9 6 3 4
3．(2021·沈阳模拟)设离散型随机变量 X可能的取值为 1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若 X的均值
为 E(X)＝3，则 a－b等于( )
A. 1 B 0 C 1． ．－ D.1
10 10 5
4．已知随机变量的分布列如下，且 E(ξ)＝6.3，则 a的值为( )
ξ 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.5 B．6 C．7 D．8
5．(多选)(2021·泰安模拟)设离散型随机变量 X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量 Y满足 Y＝2X＋1，则下列结果正确的是( )
A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
6．(多选)(2020·杭州质检)已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P b－a b a
0 1，
则当 a在 2 内增大时( )
A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小
C．D(ξ)先增大后减小 D．D(ξ)先减小后增大
7．某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于 9环为优秀，其射击一次的优秀率为______．
8．随机变量 X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中 a，b，c成等差数列，则 P(|X|＝1)＝________，公差 d的取值范围是________．
9．已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P 0.5 x y
15
若 E(ξ)＝ ，则 D(ξ)＝________.
8
10．已知甲盒内有大小相同的 1个红球和 3个黑球，乙盒内有大小相同的 2个红球和 4个黑
球，现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球．设ξ为取出的 4 个球中红球的个数，则 P(ξ＝2)＝
________.
11．(2021·武威模拟)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10道试题中，甲能答
对其中的 6题，乙能答对其中的 8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出 3道题进行测试，
至少答对 2题才算合格．
(1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为 X，Y，写出随机变量 X，Y的分布列；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
12．某投资公司在 2021年年初准备将 1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选
择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，
7 2
且这两种情况发生的概率分别为 和 ；
9 9
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，
3 1 1
也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和 .
5 3 15
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
B 组
13 16．已知在 10件产品中可能存在次品，从中抽取 2件检查，其次品数为ξ，已知 P(ξ＝1)＝ ，
45
且该产品的次品率不超过 40%，则这 10件产品的次品率为( )
A．10% B．20% C．30% D．40%
14.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，
从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为 X，则 X的均值 E(X)＝________.
C 组
15．(2020·烟台质检)某学校共有 6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一
家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论不正确的是( )
A 5．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
18
B 1．四人去了同一餐厅就餐的概率为
1 296
C 25．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为
216
D 2．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为
3
16．(2021·唐山模拟)某城市美团外卖配送员底薪是每月 1 800元，设每月配送单数为 X，若
X∈[1,300]，每单提成 3元，若 X∈(300,600]，每单提成 4元，若 X∈(600，＋∞)，每单提成
4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月 2 100元，设每月配送单数为 Y，若 Y∈[1,400]，每单
提成 3元，若 Y∈(400，＋∞)，每单提成 4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一
份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在 2020年 4月份(30
天)的送餐量数据，如下表：
表 1：美团外卖配送员甲送餐量统计
日送餐量 x(单) 13 14 16 17 18 20
天数 2 6 12 6 2 2
表 2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计
日送餐量 y(单) 11 13 14 15 16 18
天数 4 5 12 3 5 1
(1)设美团外卖配送员月工资为 f(X)，饿了么外卖配送员月工资为 g(Y)，当 X＝Y∈(300,600]
时，比较 f(X)与 g(Y)的大小关系；
(2)将 4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率．
①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值 E(x)和 E(y)；
②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．

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