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第 7 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
【知识梳理】
1．四个公理
公理 1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理 2：过 的三点，有且只有一个平面．
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线．
公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相 ．
2．空间中直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
平行直线
共面直线
相交直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义：设 a，b是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′
所成的 叫做异面直线 a与 b所成的角(或夹角)．
②范围： .
3．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有： 、 、 三种情况．
4．空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有 、 两种情况．
5．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有三个公共点的两个平面必重合．( )
(2)三条两两相交的直线确定一个平面．( )
(3)若 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α，则 l α.( )
(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线 a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.( )
2.如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是 AB，AD的中点，则异面直线 B1C
与 EF所成角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．如果直线 a 平面α，直线 b 平面β.且α∥β，则 a与 b( )
A．共面 B．平行
C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线
4．两两平行的三条直线可确定________个平面．
5．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面α，则直线 b与平面α的位置关系是( )
A．b α B．b∥α
C．b α或 b∥α D．b与α相交或 b α或 b∥α
6．下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若 a α，b β，则 a与 b是异面
直线；
②若 a与 b异面，b与 c异面，则 a与 c异面；
③若 a，b不同在平面α内，则 a与 b异面；
④若 a，b不同在任何一个平面内，则 a与 b异面．
【典型例题】
题型一 平面基本性质的应用
例 1 如图所示，已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为 D1C1，C1B1的中点，AC∩BD
＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若 A1C交平面 DBFE于 R点，则 P，Q，R三点共线．
跟踪训练 1 如图，在空间四边形 ABCD中，E，F分别是 AB和 BC上的点，G，H分别是 CD
和 AD上的点．若 EH与 FG相交于点 K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点．
题型二 判断空间两直线的位置关系
例 2 (1)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若 m α，n α，且 A∈m，A∈α，则
m，n的位置关系不可能是( )
A．垂直 B．相交
C．异面 D．平行
(2)已知在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形 A1B1C1D1与长方形 BCC1B1的中
心，则下列说法正确的是( )
A．直线 MN与直线 A1B是异面直线
B．直线 MN与直线 DD1相交
C．直线 MN与直线 AC1是异面直线
D．直线 MN与直线 A1C平行
跟踪训练 2
(1)空间中有三条线段 AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线 AB与 CD的位置关系是
( )
A．平行
B．异面
C．相交或平行
D．平行或异面或相交均有可能
(2)如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱 C1D1，C1C的中点，有以下四个
结论：
①直线 AM与 CC1是相交直线；
②直线 AM与 BN是平行直线；
③直线 BN与 MB1是异面直线；
④直线 AM与 DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)
题型三 求两条异面直线所成的角
例 3 (2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD—A1B1C1D1中，
AA1＝2AB＝2，则异面直线 A1B与 AD1所成角的余弦值为( )
A.1 B.2
5 5
C.3 D.4
5 5
跟踪训练 3 (2018·全国Ⅱ)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ 3，则异面直线
AD1与 DB1所成角的余弦值为( )
A.1 B. 5 C. 5 D. 2
5 6 5 2
【课后作业】
A 组
1．(2020·上海市松江区模拟)给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知平面α，β，γ两两垂直，直线 a，b，c满足：a α，b β，c γ，则直线 a，b，c不
可能满足以下哪种关系( )
A．两两垂直 B．两两平行
C．两两相交 D．两两异面
3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面 ABC与平面β
的交线是( )
A．直线 AC B．直线 AB
C．直线 CD D．直线 BC
4.在如图所示的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱 B1B，AD的中点，则直线 BF与
平面 AD1E的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．异面
5．(多选)(2020·全国Ⅱ改编)下列四个命题中是真命题的为( )
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线 l 平面α，直线 m⊥平面α，则 m⊥l
6．(多选)如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，O是 B1D1的中点，直线 A1C交平面 AB1D1
于点 M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1共面
C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面
7．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线 GH，MN是异面直
线的图形有________．(填序号)
8.如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧 AB的中点，C1是圆柱上底
面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC所成角的正切值为________．
9.(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为 DE，BE，EF，EC
的中点，在这个正四面体中，①GH与 EF平行；②BD与 MN为异面直线；③GH与 MN成
60°角；④DE与 MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
10．已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a α，b β，则 a∥b；
②若两个平面α∥β，a α，b β，则 a与 b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a α，b β，则 a与 b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a α，b β，则 a与 b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a α，则 a与β一定相交．
其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)．
11.如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF与四边形 ABCD都是直角梯形，∠BAD＝
FAB 90° BC AD BC 1∠ ＝ ， ∥ 且 ＝ AD，BE∥AF且 BE 1＝ AF，G，H分别为 FA，FD的中点．
2 2
(1)证明：四边形 BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
12.已知空间四边形 ABCD的对角线 AC＝20，BD＝19，异面直线 AC与 BD所成角的余弦值
18
为 ，点 P，Q，M，N分别是 AB，BC，CD，DA的中点．
19
(1)求证：四边形 PQMN是平行四边形；
(2)求四边形 PQMN的面积．
B 组
13．(2019·全国Ⅲ)如图，点 N为正方形 ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面 ECD⊥平
面 ABCD，M是线段 ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线 BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线 BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线 BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线 BM，EN是异面直线
14．已知球 O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接
球，BC＝3，AB＝2 3，点 E在线段 BD上，且 BD＝3BE，过点 E作球 O的截面，则所得的
截面中面积最小的截面圆的面积是________．
C 组
15．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 3 2，E，F分别为 BC，CD的中点，P是线段
A1B上的动点，C1P与平面 D1EF的交点 Q的轨迹长为( )
A．3 B. 13 C．4 D．3 2
16．如图 1，在边长为 4的正三角形 ABC中，D，F分别为 AB，AC的中点，E为 AD的中点．将
△BCD与△AEF分别沿 CD，EF同侧折起，使得二面角 A－EF－D与二面角 B－CD－E的
大小都等于 90°，得到如图 2所示的多面体．
(1)在多面体中，求证： A，B，D，E四点共面；
(2)求多面体的体积．第 7 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
【考试要求】
1.理解空间直线、平面位置关系的定义.
2.了解可以作为推理依据的公理和定理.
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
【知识梳理】
1．四个公理
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．空间中直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
平行直线
共面直线
相交直线
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义：设 a，b是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′
所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a与 b所成的角(或夹角)．
0 π，
②范围： 2 .
3．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有三个公共点的两个平面必重合．( × )
(2)三条两两相交的直线确定一个平面．( × )
(3)若 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α，则 l α.( √ )
(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线 a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.( √ )
题组二 教材改编
2.如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是 AB，AD的中点，则异面直线 B1C
与 EF所成角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 连接 B1D1，D1C(图略)，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又 B1D1＝B1C＝D1C，
∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.
3．如果直线 a 平面α，直线 b 平面β.且α∥β，则 a与 b( )
A．共面 B．平行
C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线
答案 D
解析 α∥β，说明 a与 b无公共点，
∴a与 b可能平行也可能是异面直线．
4．两两平行的三条直线可确定________个平面．
答案 1或 3
解析 若三条直线在同一平面内，则确定 1个平面．若三条直线不共面，则确定 3个平面．
题组三 易错自纠
5．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面α，则直线 b与平面α的位置关系是( )
A．b α B．b∥α
C．b α或 b∥α D．b与α相交或 b α或 b∥α
答案 D
解析 由题意知，b与α的位置关系可能是 b∥α，b与α相交或 b α.
6．下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若 a α，b β，则 a与 b是异面
直线；
②若 a与 b异面，b与 c异面，则 a与 c异面；
③若 a，b不同在平面α内，则 a与 b异面；
④若 a，b不同在任何一个平面内，则 a与 b异面．
答案 ④
解析 ①a α，b β，则 a与 b可能平行，异面或相交．
②a与 b异面，b与 c异面，则 a与 c平行、相交或异面．
③a，b不同在α内，则 a与 b异面或平行．
④由异面直线的定义可知正确.
【典型例题】
题型一 平面基本性质的应用
例 1 如图所示，已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为 D1C1，C1B1的中点，AC∩BD
＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若 A1C交平面 DBFE于 R点，则 P，Q，R三点共线．
证明 (1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.
在正方体 AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.
∴EF，BD确定一个平面，即 D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体 AC1中，设平面 A1ACC1为α，
平面 BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α.
又 Q∈EF，∴Q∈β，
则 Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又 A1C∩β＝R，∴R∈A1C.
∴R∈α，且 R∈β，
则 R∈PQ，故 P，Q，R三点共线．
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
跟踪训练 1 如图，在空间四边形 ABCD中，E，F分别是 AB和 BC上的点，G，H分别是 CD
和 AD上的点．若 EH与 FG相交于点 K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点．
证明 因为 K∈EH，EH 平面 ABD，所以 K∈平面 ABD，同理 K∈平面 CBD，而平面 ABD∩
平面 CBD＝BD，因此 K∈BD，所以 EH，BD，FG三条直线相交于同一点．
题型二 判断空间两直线的位置关系
例 2 (1)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若 m α，n α，且 A∈m，A∈α，则
m，n的位置关系不可能是( )
A．垂直 B．相交
C．异面 D．平行
答案 D
解析 依题意，m∩α＝A，n α，
∴m与 n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．
(2)已知在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形 A1B1C1D1与长方形 BCC1B1的中
心，则下列说法正确的是( )
A．直线 MN与直线 A1B是异面直线
B．直线 MN与直线 DD1相交
C．直线 MN与直线 AC1是异面直线
D．直线 MN与直线 A1C平行
答案 C
解析 如图，
因为 M，N分别是长方形 A1B1C1D1与长方形 BCC1B1的中心，所以 M，N分别是 A1C1，BC1
的中点，所以直线 MN与直线 A1B平行，所以 A错误；
因为直线 MN经过平面 BB1D1D内一点 M，且点 M不在直线 DD1上，
所以直线 MN与直线 DD1是异面直线，所以 B错误；
因为直线 MN经过平面 ABC1内一点 N，且点 N不在直线 AC1上，
所以直线 MN与直线 AC1是异面直线，所以 C正确；
因为直线 MN经过平面 A1CC1内一点 M，且点 M不在直线 A1C上，所以直线 MN与直线 A1C
是异面直线，所以 D错误．
思维升华 (1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常
借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．
(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点 A与平面内一点 B的连线和平面内不经过
点 B的直线是异面直线．
跟踪训练 2 (1)空间中有三条线段 AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线 AB与 CD的
位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交或平行
D．平行或异面或相交均有可能
答案 D
解析 根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，
如图可知 AB，CD有相交，平行，异面三种情况．
(2)如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱 C1D1，C1C的中点，有以下四个
结论：
①直线 AM与 CC1是相交直线；
②直线 AM与 BN是平行直线；
③直线 BN与 MB1是异面直线；
④直线 AM与 DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)
答案 ③④
解析 因为点 A在平面 CDD1C1外，点 M在平面 CDD1C1内，直线 CC1在平面 CDD1C1内，
CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，
但 AE与 AM相交，故②错；因为 B1与 BN都在平面 BCC1B1内，M在平面 BCC1B1外，BN
不过点 B1，所以 BN与 MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.
题型三 求两条异面直线所成的角
例 3 (2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD—A1B1C1D1中，
AA1＝2AB＝2，则异面直线 A1B与 AD1所成角的余弦值为( )
A.1 B.2
5 5
C.3 D.4
5 5
答案 D
解析 连接 BC1，易证 BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线 A1B与 AD1所成的角．连接 A1C1，
2 2 2
由 AB＝1，AA1＝2，易得 A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，故 cos
A1B ＋BC1－A1C1 4
∠A1BC1＝ ＝ ，
2×A1B×BC1 5
4
即异面直线 A1B与 AD1所成角的余弦值为 .
5
思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
(3)三求：解三角形，求出所作的角．
跟踪训练 3 (2018·全国Ⅱ)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ 3，则异面直线
AD1与 DB1所成角的余弦值为( )
A.1 B. 5 C. 5 D. 2
5 6 5 2
答案 C
解析 如图，连接 BD1，交 DB1于 O，取 AB的中点 M，连接 DM，OM.易知 O为 BD1的中
点，所以 AD1∥OM，则∠MOD 为异面直线 AD1 与 DB1 所成角或其补角．因为在长方体
ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ 3，
AD1＝ AD2＋DD12＝2，
1AB
DM AD2 2 2 5＝ ＋ ＝ ，
2
DB1＝ AB2＋AD2＋BB21＝ 5.
OM 1所以 ＝ AD 1 51＝1，OD＝ DB1＝ ，
2 2 2
于是在△DMO中，由余弦定理，
5 5
12＋ 2 2－ 2 2
得 cos 5∠MOD＝ 5 ＝ ，2×1× 5
2
5
即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 .
5
【课后作业】
A 组
1．(2020·上海市松江区模拟)给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．
②中，由公理 2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．
③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么
这两个角相等或互补，故③错误．
④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误．
2．已知平面α，β，γ两两垂直，直线 a，b，c满足：a α，b β，c γ，则直线 a，b，c不
可能满足以下哪种关系( )
A．两两垂直 B．两两平行
C．两两相交 D．两两异面
答案 B
解析 设α∩β＝l，且 l与 a，b均不重合，
假设 a∥b∥c，由 a∥b可得 a∥β，b∥α，
又α∩β＝l，可知 a∥l，b∥l，
又 a∥b∥c，可得 c∥l，
因为α，β，γ两两互相垂直，可知 l与γ相交，
即 l与 c相交或异面．
若 l与 a或 b重合，同理可得 l与 c相交或异面，
可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行．
3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面 ABC与平面β
的交线是( )
A．直线 AC
B．直线 AB
C．直线 CD
D．直线 BC
答案 C
解析 由题意知，D∈l，l β，所以 D∈β，
又因为 D∈AB，所以 D∈平面 ABC，
所以点 D在平面 ABC与平面β的交线上．
又因为 C∈平面 ABC，C∈β，
所以点 C在平面β与平面 ABC的交线上，
所以平面 ABC∩平面β＝CD.
4.在如图所示的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱 B1B，AD的中点，则直线 BF与
平面 AD1E的位置关系是( )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．异面
答案 A
解析 如图，取 AD1的中点 O，连接 OE，OF，则 OF∥BE，OF＝BE，
∴四边形 BFOE是平行四边形，
∴BF∥OE，
∵BF 平面 AD1E，OE 平面 AD1E，
∴BF∥平面 AD1E.
5．(多选)(2020·全国Ⅱ改编)下列四个命题中是真命题的为( )
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线 l 平面α，直线 m⊥平面α，则 m⊥l
答案 AD
解析 对于 A，可设 l1与 l2相交，这两条直线确定的平面为α；
若 l3与 l1相交，则交点 A在平面α内，
同理，l3与 l2的交点 B也在平面α内，
所以，AB α，即 l3 α，A为真命题；
对于 B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
故 B为假命题；
对于 C，两条直线有可能平行也有可能异面，
故 C为假命题；
对于 D，若直线 m⊥平面α，
则 m垂直于平面α内所有直线，
因为直线 l 平面α，
所以直线 m⊥直线 l，
D为真命题．
6．(多选)如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，O是 B1D1的中点，直线 A1C交平面 AB1D1
于点 M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1共面
C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面
答案 ABC
解析 ∵M∈A1C，A1C 平面 A1ACC1，
∴M∈平面 A1ACC1，
又∵M∈平面 AB1D1，
∴M在平面 AB1D1与平面 A1ACC1的交线 AO上，
即 A，M，O三点共线，
∴A，M，O，A1共面且 A，M，C，O共面，
∵平面 BB1D1D∩平面 AB1D1＝B1D1，
∴M在平面 BB1D1D外，
即 B，B1，O，M不共面，故选 A，B，C.
7．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线 GH，MN是异面直
线的图形有________．(填序号)
答案 ②④
解析 ①中 GH∥MN；
②中，G，H，N三点共面，但 M 平面 GHN，因此 GH，MN是异面直线；
③中连接 GM，GM∥HN且 GM≠HN，所以直线 GH与 MN必相交；
④中，G，M，N三点共面，但 H 平面 GMN，因此 GH，MN是异面直线．
8.如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧 AB的中点，C1是圆柱上底
面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC所成角的正切值为________．
答案 2
解析 取圆柱下底面弧 AB的另一中点 D，连接 C1D，AD，
因为 C是圆柱下底面弧 AB的中点，
所以 AD∥BC，所以直线 AC1与 AD所成的角即为异面直线 AC1与 BC所成的角，因为 C1是
圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D垂直于圆柱下底面，所以 C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，
所以 C1D＝ 2AD，
所以直线 AC1与 AD所成角的正切值为 2，
所以异面直线 AC1与 BC所成角的正切值为 2.
9.(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为 DE，BE，EF，EC
的中点，在这个正四面体中，①GH与 EF平行；②BD与 MN为异面直线；③GH与 MN成
60°角；④DE与 MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案 ②③④
解析 还原成正四面体 ADEF，其中 H与 N重合，A，B，C三点重合．
易知 GH与 EF异面，BD与 MN异面．
又△GMH为等边三角形，
∴GH与 MN成 60°角，
易证 DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.
因此正确的序号是②③④.
10．已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a α，b β，则 a∥b；
②若两个平面α∥β，a α，b β，则 a与 b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a α，b β，则 a与 b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a α，b β，则 a与 b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a α，则 a与β一定相交．
其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)．
答案 ③④
解析 ①错．a与 b也可能异面．
②错．a与 b也可能平行．
③对．∵α∥β，∴α与β无公共点，
又∵a α，b β，∴a与 b无公共点．
④对．由已知及③知，a与 b无公共点，
那么 a∥b或 a与 b异面．
⑤错．a与β也可能平行．
11.如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF与四边形 ABCD都是直角梯形，∠BAD＝
∠FAB＝90°，BC∥AD且 BC 1AD 1＝ ，BE∥AF且 BE＝ AF，G，H分别为 FA，FD的中点．
2 2
(1)证明：四边形 BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知 FG＝GA，FH＝HD，
可得 GH 綊 1AD.又 BC 綊 1AD，∴GH 綊 BC.
2 2
∴四边形 BCHG为平行四边形．
(2) BE 綊 1解 ∵ AF，G是 FA的中点，
2
∴BE 綊 FG，∴四边形 BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知 BG 綊 CH，∴EF∥CH，
∴EF与 CH共面．
又 D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
12.已知空间四边形 ABCD的对角线 AC＝20，BD＝19，异面直线 AC与 BD所成角的余弦值
18
为 ，点 P，Q，M，N分别是 AB，BC，CD，DA的中点．
19
(1)求证：四边形 PQMN是平行四边形；
(2)求四边形 PQMN的面积．
(1)证明 因为 P，Q分别是 AB，BC的中点，
所以 PQ∥AC，且 PQ 1＝ AC，
2
同理 MN∥AC，且 MN 1＝ AC，
2
所以 PQ∥MN，PQ＝MN，
所以四边形 PQMN是平行四边形．
(2)解 因为 P，N分别是 AB，AD的中点，
所以 PN∥BD，PN 1＝ BD 19＝ ，
2 2
又因为 PQ∥AC，
所以 PQ与 PN所成的角就是异面直线 AC，BD所成的角，
18
所以 sin∠QPN＝ 1－cos2∠QPN 1 19 2 37＝ － ＝ ，
19
所以四边形 PQMN的面积为 S＝PQ·PN·sin∠QPN＝10 19 37× × ＝5 37.
2 19
B 组
13．(2019·全国Ⅲ)如图，点 N为正方形 ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面 ECD⊥平
面 ABCD，M是线段 ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线 BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线 BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线 BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线 BM，EN是异面直线
答案 B
解析 如图，取 CD的中点 O，连接 ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以 EO⊥CD，又
平面 ECD⊥平面 ABCD，平面 ECD∩平面 ABCD＝CD，所以 EO⊥平面 ABCD.设正方形 ABCD
的边长为 2，则 EO＝ 3，ON＝1，所以 EN2＝EO2＋ON2＝4，得 EN＝2.过 M作 CD的垂线，
3 3
垂足为 P 3 3，连接 BP，则 MP＝ ，CP＝ ，所以 BM2＝MP2＋BP2＝ 2 2＋ 2 2＋22＝7，得
2 2
BM＝ 7，所以 BM≠EN.连接 BD，BE，因为四边形 ABCD为正方形，所以 N为 BD的中点，
即 EN，MB均在平面 BDE内，所以直线 BM，EN是相交直线．
14．已知球 O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接
球，BC＝3，AB＝2 3，点 E在线段 BD上，且 BD＝3BE，过点 E作球 O的截面，则所得的
截面中面积最小的截面圆的面积是________．
答案 2π
解析 如图，设△BDC的中心为 O1，球 O的半径为 R，
连接 AO1，O1D，OD，O1E，OE，
则 O1D＝3sin 60°
2
× ＝ 3，
3
AO1＝ AD2－DO21＝3，
在 Rt△OO1D中，
R2＝3＋(3－R)2，解得 R＝2，
∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO1中，O1E＝ 3＋4－2× 3×2cos 30°＝1，
∴OE＝ O1E2＋OO21＝ 2，
过点 E作球 O的截面，当截面与 OE垂直时，截面圆的面积最小，
此时截面圆的半径为 22－ 2 2＝ 2，
面积为 2π.
C 组
15．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 3 2，E，F分别为 BC，CD的中点，P是线段
A1B上的动点，C1P与平面 D1EF的交点 Q的轨迹长为( )
A．3 B. 13 C．4 D．3 2
答案 B
解析 如图所示，连接 EF，A1B，连接 A1C1，B1D1交于点 M，连接 B1E，BC1交于点 N，
由 EF∥B1D1，即 E，F，B1，D1共面，
由 P是线段 A1B上的动点，当 P重合于 A1或 B时，
C1A1，C1B与平面 D1EF的交点分别为 M，N，
即 Q的轨迹为 MN，
由棱长为 3 2，
得 C1M
1
＝ A1C1＝3, 则 BC1＝6，
2
BE BN 1
又 ＝ ＝ ，
B1C1 NC1 2
则 NC 21＝ BC1＝4，
3
由 A1B＝BC1＝A1C1，得∠A1C1B＝60°，
则 MN＝ MC21＋NC12－2MC1·NC1·cos∠A1C1B＝ 9＋16－2×3×4
1
× ＝ 13.
2
16．如图 1，在边长为 4的正三角形 ABC中，D，F分别为 AB，AC的中点，E为 AD的中点．将
△BCD与△AEF分别沿 CD，EF同侧折起，使得二面角 A－EF－D与二面角 B－CD－E的
大小都等于 90°，得到如图 2所示的多面体．
(1)在多面体中，求证： A，B，D，E四点共面；
(2)求多面体的体积．
(1)证明 因为二面角 A－EF－D的大小等于 90°，
所以平面 AEF⊥平面 DEFC，
又 AE⊥EF，AE 平面 AEF，平面 AEF∩平面 DEFC＝EF，
所以 AE⊥平面 DEFC，
同理，可得 BD⊥平面 DEFC，
所以 AE∥BD，故 A，B，D，E四点共面．
(2)解 因为 AE⊥平面 DEFC，BD⊥平面 DEFC,EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，
所以 AE是四棱锥 A－CDEF的高，点 A到平面 BCD的距离等于点 E到平面 BCD的距离，
又 AE＝DE＝1，CD＝2 3，EF＝ 3，BD＝2，
1 1 7 3
所以 V＝VA－CDEF＋VA－BCD＝ S 梯形CDEF·AE＋ S BCD·DE＝ .3 3 △ 6

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