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第 2讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【知识梳理】
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ ；
(2)公式 C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ；
(3)公式 S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(4)公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(5)公式 T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式 T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和 cos Acos B大小不确定．( )
(3)公式 tan(α β) tan α＋tan β＋ ＝ 可以变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意
1－tan αtan β
角α，β都成立．( )
α π＋
(4) 3sin α＋cos α＝2sin 3 .( )
α π＋
2．若 cos α 4＝－ ，α是第三象限角，则 sin 4 等于( )
5
A 2 B. 2 C 7 2 D.7 2．－ ．－
10 10 10 10
3．cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝ .
4．tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10°tan 50°＝ .
5 1＋tan 15°．计算： ＝ .
1－tan 15°
6．(多选)下面各式中，正确的是( )
π π
＋
A．sin 4 3 ＝sin πcos π 3＋ cos π B cos 5π 2． ＝ sin π cos π－ cos π
4 3 2 4 12 2 3 4 3
π
－
C π π 6 π π π．cos 12 ＝cos cos ＋ D．cos ＝cos －cos
4 3 4 12 3 4
【典型例题】
题型一 两角和与差的三角函数公式
θ π＋ θ π＋
例 1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知 sin θ＋sin 3 ＝1，则 sin 6 等于( )
A.1 B. 3 C.2 D. 2
2 3 3 2
π
，π
(2) 3 1已知 sin α＝ ，α∈ 2 ，tan(π－β)＝ ，则 tan(α－β)的值为( )
5 2
A 2．－ B. 2 C.11 D 11．－
11 11 2 2
跟踪训练 1 (1)若 sin(2α β) 1－ ＝ ，sin(2α β) 1＋ ＝ ，则 sin 2αcos β等于( )
6 2
A.2 B.1 C.1 D. 1
3 3 6 12
α π＋
(2)已知 cos 6 ＝ 3cos α，tan β 3＝ ，则 tan(α＋β)＝ .
3
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
例 2 (1) 3π若α＋β＝－ ，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
4
(2)(2018·全国Ⅱ)已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则 sin(α＋β)＝ .
π π
－ ，
跟踪训练 2 (1)已知α∈ 2 2 ，tan α＝sin 76°cos 46°－cos 76°sin 46°，则 sin α等于( )
A. 5 B 5．－ C.2 5 D 2 5．－
5 5 5 5
(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
题型三 角的变换问题
3 (1) sin α 2 5例 已知 ＝ ，sin(β－α) 10＝－ ，α，β均为锐角，则β等于( )
5 10
A.5π B.π C.π D.π
12 3 4 6
3π π β π， －
(2)(2020·黑龙江大庆实验中学训练)已知α，β∈ 4 sin(α β) 3， ＋ ＝－ ，sin 4 24＝ ，则
5 25
α π＋
cos 4 ＝ .
π
－ ，0 α π π＋
3 (1) α 3 cos 6 sin α 4 3
α＋
跟踪训练 已知 ∈ ， － ＝ ，则 sin 12 的值是( )
5
A 2 3 B 2 C.2 3 D 4．－ ．－ ．－
5 10 5 5
(2) π已知 <β<α<3π，cos(α 12－β)＝ ，sin(α＋β) 3＝－ ，则 sin 2α等于( )
2 4 13 5
A.56 B 56 16．－ C. D 16．－
65 65 65 65
【课后作业】
A 组
1．－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( )
A.1 B. 3 C. 2 D. 3
2 3 2 2
2．在△ABC中，cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
π π
－ ，
3．已知α，β∈ 2 2 ，tan α，tan β是方程 x2＋12x＋10＝0的两根，则 tan(α＋β)等于( )
A.4 B 1 1．－2或 C. D．－2
3 2 2
α π π 5π－ 3 ，4．已知 sin 4 ＝ ，α∈ 2 4 ，则 sin α等于( )
5
A.7 2 B 2 2 2 7 2．－ C．± D．－ 或
10 10 10 10 10
5．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )
A cos( 15°) 6－ 2． － ＝
4
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝
cos 60° 1＝
2
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74° 1＝
2
sin 4x＋ 3cos 4x
6．(多选)已知函数 f(x)＝ ，则下列说法正确的是( )
sin 2x－ 3cos 2x
A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最大值为 2
π
－ ，0
C．f(x)的值域为(－2,2) D．f(x)的图象关于 12 对称
θ π－
7．(2020·浙江改编)已知 tan θ＝2，则 tan 4 ＝ .
8．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .
9．已知 3cos α－ 3sin α＝2 3cos(α＋φ)，其中－π<φ<π，则φ＝ .
10．已知 sin α 5 10＝ ，sin(α－β)＝－ ，α，β均为锐角，则β＝ .
5 10
11 5．已知 A，B均为钝角，且 sin A＝ ，sin B 10＝ ，求 A＋B的值．
5 10
12 3 1．已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ，tan(α－β)＝－ .
5 3
(1)求 sin(α－β)的值；
(2)求 cos β的值．
B 组
13．若 cos2α－cos2β＝a，则 sin(α＋β)sin(α－β)等于( )
A a B.a．－ C．－a D．a
2 2
14 5．若α，β为锐角，且 sin α＝ ，sin β 10＝ ，则 sin(α＋β)＝ ，α＋β＝ .
5 10
C 组
15．(2020· π山西省运城市康杰中学模拟)已知α－β＝ ，tan α－tan β＝3，则 cos(α＋β)的值为
6
( )
A.1 3 1 3＋ B. －
2 3 2 3
C.1 3 D.1 3＋ －
3 2 3 2
16.如图，在平面直角坐标系 xOy中，顶点在坐标原点，以 x轴非负半轴为始边的锐角α与钝
角β的终边与单位圆 O分别交于 A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆 O交于点 M，已知 S△OAM
5 B 2＝ ，点 的纵坐标是 .
5 10
(1)求 cos(α－β)的值；
(2)求 2α－β的值．第 2讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【考试要求】
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、
正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式
不要求记忆)．
【知识梳理】
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式 C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式 S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式 T(α－β)：tan(α β)
tan α－tan β
－ ＝ ；
1＋tan αtan β
(6) T tan(α β) tan α＋tan β公式 (α＋β)： ＋ ＝ .
1－tan αtan β
微思考
两角和与差的公式的常用变形有哪些？
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和 cos Acos B大小不确定．( × )
(3) tan(α β) tan α＋tan β公式 ＋ ＝ 可以变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意
1－tan αtan β
角α，β都成立．( × )
α π＋
(4) 3sin α＋cos α＝2sin 3 .( × )
α π＋
2．若 cos α 4＝－ ，α是第三象限角，则 sin 4 等于( )
5
A 2 B. 2 C 7 2 7 2．－ ．－ D.
10 10 10 10
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－ 1－cos2α 3＝－ ，
5
α π 4＋
sin 4 π π 3 2
－ 2 7 2
∴ ＝sin αcos ＋cos αsin ＝－ × ＋ 5 × ＝－ .
4 4 5 2 2 10
3．cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝ .
1
答案
2
解析 cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°＝sin(17°＋13°)＝sin 30°
1
＝ .
2
4．tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10°tan 50°＝ .
答案 3
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°) tan 10°＋tan 50°＝ ，
1－tan 10°tan 50°
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝ 3－ 3tan 10°tan 50°，
∴原式＝ 3－ 3tan 10°tan 50°＋ 3tan 10°tan 50°＝ 3.
5 1＋tan 15°．计算： ＝ .
1－tan 15°
答案 3
1＋tan 15° tan 45°＋tan 15°
解析 ＝ ＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.
1－tan 15° 1－tan 45°tan 15°
6．(多选)下面各式中，正确的是( )
π π
＋
A．sin 4 3 π π 3 π＝sin cos ＋ cos
4 3 2 4
B．cos 5π 2＝ sin π π π－cos cos
12 2 3 4 3
π
－
C．cos 12 π π 6＝cos cos ＋
4 3 4
D cos π cos π． ＝ －cos π
12 3 4
答案 ABC
π π
＋
解析 ∵sin 4 3 π π π π＝sin cos ＋cos sin
4 3 4 3
sin πcos π 3cos π＝ ＋ ，∴A正确；
4 3 2 4
π π
cos 5π 7π
＋
∵ ＝－cos ＝－cos 3 4
12 12
2sin π cos πcos π＝ － ，∴B正确；
2 3 4 3
π π π
－ －
∵cos 12 ＝cos 4 3 ＝cos πcos π 6＋ ，∴C正确；
4 3 4
π π
－
∵cos π＝cos 3 4 ≠cos π π－cos ，∴D不正确．故选 ABC.
12 3 4
【典型例题】
题型一 两角和与差的三角函数公式
θ π＋ θ π＋
例 1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知 sin θ＋sin 3 ＝1，则 sin 6 等于( )
A.1 B. 3 C.2 D. 2
2 3 3 2
答案 B
θ π＋
解析 因为 sin θ＋sin 3
θ π π θ π π＋ － ＋ ＋
＝sin 6 6 ＋sin 6 6
θ π π π π＋ π θ＋ π θ＋ θ＋sin 6 cos cos 6 sin sin 6 cos π cos 6 sin π＝ － ＋ ＋
6 6 6 6
θ π＋
＝2sin 6 cos π
6
θ π＋
＝ 3sin 6 ＝1.
θ π＋ 3
所以 sin 6 ＝ .
3
π
，π
(2)已知 sin α 3＝ ，α∈ 2 ，tan(π 1－β)＝ ，则 tan(α－β)的值为( )
5 2
A 2．－ B. 2 C.11 D 11．－
11 11 2 2
答案 A
π
，π
解析 ∵α∈ 2 4，∴cos α＝－ ，tan α 3＝－ ，
5 4
又 tan(π－β) 1 1＝ ，∴tan β＝－ ，
2 2
3 1
－ ＋
tan(α β) tan α－tan β
4 2 2
∴ － ＝ ＝ ＝－ .
1＋tan α·tan β 1 3－ － 11
1＋ 2 × 4
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示
α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完
成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练 1 (1)若 sin(2α 1－β)＝ ，sin(2α β) 1＋ ＝ ，则 sin 2αcos β等于( )
6 2
A.2 B.1 C.1 D. 1
3 3 6 12
答案 B
解析 由 sin(2α－β) 1＝ ，sin(2α 1＋β)＝ ，
6 2
1
可得 sin 2αcos β－cos 2αsin β＝ ，①
6
sin 2αcos β＋cos 2αsin β 1＝ ，②
2
由①＋②得 2sin 2αcos β 2＝ ，
3
所以 sin 2αcos β 1＝ .故选 B.
3
α π＋
(2) cos 6 3cos α tan β 3已知 ＝ ， ＝ ，则 tan(α＋β)＝ .
3
3
答案 －
3
α π＋
解析 因为 cos 6 3＝ cos α 1－ sin α＝ 3cos α，所以－sin α＝ 3cos α，故 tan α＝－ 3，
2 2
－ 3 3＋ 2 3－
所以 tan(α β) tan α＋tan β 3 3＋ ＝ ＝ ＝ 3 ＝－ .
1－tan αtan β 3 31＋ 3× 2
3
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
例 2 (1)若α β 3π＋ ＝－ ，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
4
答案 2
3π
－
解析 tan 4 ＝tan(α＋β)
tan α＋tan β
＝ ＝1，所以 1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以 1＋tan α
1－tan αtan β
＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
(2)(2018·全国Ⅱ)已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则 sin(α＋β)＝ .
1
答案 －
2
解析 ∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得 1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β 1＋cos αsin β＝－ ，
2
∴sin(α＋β) 1＝－ .
2
思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及
变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
π π
－ ，
跟踪训练 2 (1)已知α∈ 2 2 ，tan α＝sin 76°cos 46°－cos 76°sin 46°，则 sin α等于( )
A. 5 B 5 C.2 5 D 2 5．－ ．－
5 5 5 5
答案 A
解析 由 tan α＝sin 76°cos 46°－cos 76°sin 46°＝sin(76°－46°)＝sin 30° 1＝ ，
2
π π
－ ，
∵α∈ 2 2 ，
0 π，
∴α∈ 2 ，
sin α 1
＝ ，
联立 cos α 2
sin2α＋cos2α＝1，
解得 sin α 5＝ .
5
(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
答案 4
解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－
tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.
题型三 角的变换问题
例 3 (1)已知 sin α 2 5＝ ，sin(β－α) 10＝－ ，α，β均为锐角，则β等于( )
5 10
A.5π B.π C.π D.π
12 3 4 6
答案 C
2 5 10 5 3 10
解析 因为 sin α＝ ，sin(β－α)＝－ ，且α，β均为锐角，所以 cos α＝ ，cos(β－α)＝ ，
5 10 5 10
10
－
所以 sin β＝sin[α (β α)] sin α·cos(β α) cos αsin(β α) 2 5 3 10 5＋ － ＝ － ＋ － ＝ × ＋ × 10 ＝
5 10 5
25 2 2 π
＝ ，所以β＝ .故选 C.
50 2 4
3π
，π β π－
(2)(2020·黑龙江大庆实验中学训练)已知α，β∈ 4 ，sin(α＋β) 3 24＝－ ，sin 4 ＝ ，则
5 25
α π＋
cos 4 ＝ .
4
答案 －
5
3π
，2π 3
解析 由题意知，α＋β∈ 2 ，sin(α＋β)＝－ <0，所以 cos(α 4＋β)＝ ，
5 5
π 3π
β π
，
因为 － ∈ 2 4 ，
4
β π－ 7
所以 cos 4 ＝－ ，
25
α π π＋ β－
cos 4 ＝cos α＋β － 4
β π β π－ －
＝cos(α＋β)cos 4 ＋sin(α＋β)sin 4 4＝－ .
5
π
－α
思维升华 常见的角变换：2α (α β) (α β) α α＋β α－β π π＝ ＋ ＋ － ， ＝ ＋ ， ＋α＝ － 6 ，α＝(α＋
2 2 3 2
π
＋α π－α
β)－β＝(α－β)＋β， 4 4 π＋ ＝ 等．
2
π
－ ，0 α π π＋ 4 3 α＋
跟踪训练 3 (1)已知α∈ 3 ，cos 6 －sin α＝ ，则 sin 12 的值是( )
5
A 2 3．－ B 2 2 3 4．－ C. D．－
5 10 5 5
答案 B
α π＋
cos 6 sin α 4 3解析 由 － ＝ ，
5
cos αcos π sin αsin π得 － －sin α 4 3＝ ，
6 6 5
π π
3 α＋ － ，0
即 cos α 3－ sin α 4 3 1＝ ，所以 cos α 3sin α 4 cos 3 4－ ＝ ，即 ＝ .因为α∈ 3 ，
2 2 5 2 2 5 5
0 π，
所以α π＋ ∈ 3 ，
3
α π π＋ α＋
所以 sin 3 3＝ 1－cos2 3 ＝ ，
5
π α π＋α＋ 3 π－
所以 sin 12 ＝sin 4
π π 3 4
2 α＋ 2 α＋ －
＝ sin 3 － cos 3 2＝ × 5 5
2 2 2
2
＝－ .故选 B.
10
(2) π已知 <β<α<3π，cos(α－β) 12＝ ，sin(α＋β) 3＝－ ，则 sin 2α等于( )
2 4 13 5
A.56 B 56．－ C.16 D 16．－
65 65 65 65
答案 B
π 3π π 3π
解析 因为 <β<α< ，所以 0<α－β< ，π<α＋β< ，由 cos(α－β) 12＝ ，得 sin(α 5－β)＝ ，
2 4 4 2 13 13
由 sin(α＋β) 3 4＝－ ，得 cos(α＋β)＝－ ，则 sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋
5 5
4 3
－ －
cos(α－β)sin(α＋β) 5＝ × 5 12＋ × 5 56＝－ .故选 B.
13 13 65
【课后作业】
A 组
1．－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( )
A.1 B. 3 C. 2 D. 3
2 3 2 2
答案 A
解析 －sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°·(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝sin(47°－
17°) sin 30° 1＝ ＝ .
2
2．在△ABC中，cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 C
解析 依题意可知 cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)>0，所以－cos C>0，所以 cos C<0，所
以 C为钝角．故选 C.
π π
－ ，
3．已知α，β∈ 2 2 ，tan α，tan β是方程 x2＋12x＋10＝0的两根，则 tan(α＋β)等于( )
A.4 B 2 1．－ 或
3 2
C.1 D．－2
2
答案 A
π π
－ ，
解析 因为α，β∈ 2 2 ，tan α，tan β是方程 x2＋12x＋10＝0的两根，所以 tan α＋tan β＝
－12，tan α·tan β 10 tan(α β) tan α＋tan β －12 4＝ ，所以 ＋ ＝ ＝ ＝ .故选 A.
1－tan αtan β 1－10 3
α π π 5π－ ，
4 sin 4 3．已知 ＝ ，α∈ 2 4 ，则 sin α等于( )
5
A.7 2 B 2 C ± 2 2 7 2．－ ． D．－ 或
10 10 10 10 10
答案 B
π 5π π
， ，π
解析 因为α∈ 2 4 ，所以α π－ ∈ 4 ，
4
α π 1 2－ 3 ，
又 sin 4 ＝ ∈ 2 2 ，
5
3π 5π
π ，
所以α－ ∈ 4 6 ，
4
α π－ 4
所以 cos 4 ＝－ ，
5
α π－ π π π
＋ α－ α－
sin α sin 4 sin 4 cos π cos 4 sin π 3 2 4 2 2所以 ＝ 4 ＝ ＋ ＝ × － × ＝－ .
4 4 5 2 5 2 10
5．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )
A 6－ 2．cos(－15°)＝
4
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝
cos 60° 1＝
2
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74° 1＝
2
答案 BCD
解析 对于 A 方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45° 3 2＝ × ＋
2 2
1 2 6＋ 2
× ＝ ，A错误．
2 2 4
方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° 2 3 2 1＝ × ＋ × ＝
2 2 2 2
6＋ 2.
4
对于 B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．
1
对于 C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝ ，C正确．
2
对于 D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60° 1＝ ，D正确．
2
sin 4x＋ 3cos 4x
6．(多选)已知函数 f(x)＝ ，则下列说法正确的是( )
sin 2x－ 3cos 2x
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为 2
C．f(x)的值域为(－2,2)
π
－ ，0
D．f(x)的图象关于 12 对称
答案 ACD
4x π＋
2sin 3 2x π＋
解析 ∵f(x)＝ π ＝－2sin 6 ，2x＋
－2cos 6
2x π＋
其中 cos 6 ≠0，
| 2x π＋∴ sin 6 |≠1，
f(x) ( 2,2) T 2π π f(x) π∴ 的值域为 － ；由 ＝ ＝ ，得 的最小正周期为π；令 2x＋ ＝kπ(k∈Z)，解得 x
2 6
π
kπ π － ，0
＝ － (k∈Z)，即 f(x)的图象关于 12 对称．
2 12
θ π－
7．(2020·浙江改编)已知 tan θ＝2，则 tan 4 ＝ .
1
答案
3
解析 ∵tan θ＝2，
θ π tan θ－tan
π
－
∴tan 4 tan θ－1 2－14 1＝ ＝ ＝ ＝ .
1 tan θtan π 1＋tan θ 1＋2
3
＋
4
8．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .
答案 sin(α＋γ)
解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
9．已知 3cos α－ 3sin α＝2 3cos(α＋φ)，其中－π<φ<π，则φ＝ .
π
答案
6
3cos α 1－ sin α
解析 ∵3cos α－ 3sin α＝2 3 2 2 ，
cos αcos π－sin αsin π α π＋
＝2 3 6 6 ＝2 3cos 6 ，
又∵3cos α－ 3sin α＝2 3cos(α＋φ)且－π<φ<π，
φ π∴ ＝ .
6
10．已知 sin α 5＝ ，sin(α－β) 10＝－ ，α，β均为锐角，则β＝ .
5 10
π
答案
4
解析 因为α，β π均为锐角，所以－ <α－β<π.
2 2
10 3 10
又 sin(α－β)＝－ ，所以 cos(α－β)＝ .
10 10
又 sin α 5＝ ，所以 cos α 2 5＝ ，
5 5
所以 sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
10
5 3 10 2 5 － 2
＝ × － × 10 ＝ .
5 10 5 2
β π所以 ＝ .
4
11．已知 A，B 5均为钝角，且 sin A＝ ，sin B 10＝ ，求 A＋B的值．
5 10
5
解 因为 A，B均为钝角，且 sin A＝ ，sin B 10＝ ，
5 10
所以 cos A 2 5＝－ 1－sin2A＝－ ，
5
cos B＝－ 1－sin2B 3 10＝－ ，
10
3 10
－
所以 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B 2 5＝－ × 10 5 10 2 π－ × ＝ .又因为 5 5 10 2 2
π2 4
12 α β sin α 3．已知 ， 均为锐角，且 ＝ ，tan(α－β) 1＝－ .
5 3
(1)求 sin(α－β)的值；
(2)求 cos β的值．
0 π，
(1) α β 2 π α β π解 ∵ ， ∈ ，∴－ ＜ － ＜ .
2 2
又∵tan(α－β) 1＝－ ＜0，
3
π
∴－ ＜α－β＜0.
2
10
∴sin(α－β)＝－ .
10
(2)由(1)可得，cos(α－β) 3 10＝ .
10
∵α为锐角，且 sin α 3＝ ，∴cos α 4＝ .
5 5
∴cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
10
4 3 10 3 － 10 9 10＝ × ＋ × ＝ .
5 10 5 50
B 组
13．若 cos2α－cos2β＝a，则 sin(α＋β)sin(α－β)等于( )
A a a．－ B. C．－a D．a
2 2
答案 C
解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝ (sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝sin2αcos2β－
cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a.
14 α β sin α 5 sin β 10．若 ， 为锐角，且 ＝ ， ＝ ，则 sin(α＋β)＝ ，α＋β＝ .
5 10
2 π
答案
2 4
5 10
解析 ∵α，β为锐角，sin α＝ ，sin β＝ ，
5 10
cos α 2 5 cos β 3 10∴ ＝ ， ＝ ，
5 10
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
2 5 3 10 5 10 2
＝ × － × ＝ .
5 10 5 10 2
又 0<α＋β<π，
∴sin(α＋β) 2＝ ，α＋β π＝ .
2 4
C 组
15．(2020· π山西省运城市康杰中学模拟)已知α－β＝ ，tan α－tan β＝3，则 cos(α＋β)的值为
6
( )
A.1 3 B.1 3＋ －
2 3 2 3
C.1 3 D.1 3＋ －
3 2 3 2
答案 D
sin α sin β
解析 由 tan α－tan β＝3，得 － ＝3，
cos α cos β
sin αcos β－cos αsin β
即 ＝3.
cos αcos β
∴sin(α－β)＝3cos αcos β.
又知α－β π＝ ，∴cos αcos β 1＝ .
6 6
而 cos(α－β)＝cos αcos β 3＋sin αsin β＝ ，
2
∴sin αsin β 3 1＝ － .
2 6
3 1
－
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 1 1 3＝ － 2 6 ＝ － .
6 3 2
16.如图，在平面直角坐标系 xOy中，顶点在坐标原点，以 x轴非负半轴为始边的锐角α与钝
角β的终边与单位圆 O分别交于 A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆 O交于点 M，已知 S△OAM
5 B 2＝ ，点 的纵坐标是 .
5 10
(1)求 cos(α－β)的值；
(2)求 2α－β的值．
解 (1)由题意知，|OA|＝|OM| 1＝1，因为 S△OAM＝ |OA|·|OM|sin α
5
＝ ，所以 sin α 2 5＝ ，又α
2 5 5
为锐角，所以 cos α 5. 2＝ 因为点 B是钝角β的终边与单位圆 O的交点，且点 B的纵坐标是 ，
5 10
7 2
－
所以 sin β 2 7 2＝ ，cos β＝－ ，所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 5＝ × 10 ＋
10 10 5
2 5 2 10
× ＝－ .
5 10 10
(2)因为 sin α 2 5＝ ，cos α 5 cos(α 10＝ ， －β)＝－ ，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝
5 5 10
7 2
2 5 － 10 5 2 3 10× － × ＝－ ，所以 sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos
5 5 10 10
αsin(α－β) 2＝－ ，
2
因为α为锐角，
sin α 2 5> 2＝ ，
5 2
π π π
， ，π
所以α∈ 4 2 ，所以 2α∈ 2 ，
π
，π
又β∈ 2 ，
π π
－ ，
所以 2α－β∈ 2 2 ，
π
所以 2α－β＝－ .
4

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