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第 46 讲 二项分布与正态分布
【考试要求】
1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.
2.理解 n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.
3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【知识梳理】
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件 A和 B，在已知事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率叫做条件概率，
用符号 P(B|A) P(B|A) P AB 来表示，其公式为 ＝ (P(A)>0)．
P A
在古典概型中，若用 n(A)和 n(AB)分别表示事件 A和事件 AB所包含的基本事件的个数，则
P(B|A) n AB ＝ .
n A
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②如果 B和 C是两个互斥事件，
则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)对于事件 A，B，若事件 A的发生与事件 B的发生互不影响，则称事件 A，B是相互独立
事件．
(2)若 A与 B相互独立，则 P(B|A)＝P(B)．
(3)若 A与 B相互独立，则 A与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
(4)P(AB)＝P(A)P(B) A与 B相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试
验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都
是一样的．
(2)在 n次独立重复试验中，用 X表示事件 A发生的次数，设每次试验中事件 A发生的概率为
p，则 P(X＝k) －＝Cknpk(1－p)n k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量 X服从二项分布，记为 X～
B(n，p)，并称 p为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量 X服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
5．正态分布
(x- )2
-
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)
1
＝ e 2σ2 ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我
2πσ
们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于 x轴上方，与 x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称．
③曲线在 x＝μ 1处达到峰值 .
σ 2π
④曲线与 x轴之间的面积为 1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x轴平移，如图甲所示．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越
大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数 a，b(a变量 X服从正态分布，记作 X～N(μ，σ2)．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式 P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × )
(2)P(B|A)表示在事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率，P(AB)表示事件 A，B同时发生的
概率．( √ )
(3)X表示 n次重复抛掷 1枚骰子出现点数是 3的倍数的次数，则 X服从二项分布．( √ )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的．( √ )
2．种植某种树苗，成活率为 0.9，若种植这种树苗 5棵，则恰好成活 4棵的概率约为( )
A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45
答案 A
解析 C450.94×0.1≈0.33.
3．一个盒子里有 6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，
已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )
A.2 B. 5 C.5 D.7
3 12 9 9
答案 C
解析 记“第 i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件 Ai(其中 i＝1,2)，
依题意知，要求的概率为 P(A2|A1)．
由 P(A1)
3
＝ ，P(A A ) 6×5 11 2 ＝ ＝ ，
5 10×9 3
1
所以 P(A |A ) P A1A2 ＝ ＝3 52 1 ＝ .
P A1 3 9
5
4．已知随机变量 X服从正态分布 N(3,1)，且 P(X>2c－1)＝P(X4
答案
3
解析 ∵X～N(3,1)，
∴正态曲线关于 x＝3对称，
又 P(X>2c－1)＝P(X∴2c－1＋c＋3＝3×2，
∴c 4＝ .
3
5．(2021·荆州模拟)孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，
古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人，其中每一人在每一行业中胜过孔
圣人的概率为 1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为( )
(参考数据：0.99360≈0.03，0.01360≈0，0.973≈0.912 673)
A．0.002 7% B．99.997 3% C．0 D．91.267 3%
答案 B
解析 一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为 0.99360≈0.03，三个人三百六十行都不如
孔圣人的概率为 0.033＝0.000 027，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为 1－
0.000 027＝0.999 973＝99.997 3%.
6．(2021·三明模拟)近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的
核心技术．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到 800次的概率为 90%，
充放电次数达到 1 000次的概率为 36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了 800次的充
放电，那么他的车能够达到充放电 1 000次的概率为( )
A．0.324 B．0.36 C．0.4 D．0.54
答案 C
解析 设事件 A表示“充放电次数达到 800”，事件 B表示“充放电次数达到 1 000”，
则 P(A)＝90%＝0.9，P(AB)＝P(B)·P(A|B)＝P(B)·1＝P(B)＝36%＝0.36，
因为该用户的该品牌新能源汽车已经经过了 800次的充放电，
那么他的车能够达到充放电 1 000 P AB 0.36次的概率为 P(B|A)＝ ＝ ＝0.4.
P A 0.9
【典型例题】
题型一 条件概率
例 1 (1)(2020·葫芦岛模拟)对标有不同编号的 6件正品和 4件次品的产品进行检测，不放回地
依次摸出 2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A.3 B.2 C.5 D.2
5 5 9 3
答案 D
解析 记 A＝“第一次摸出的是次品”， B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，
4
(AB)
P(A) 4 2＝ ＝ ，P(AB) 4 6 4＝ × ＝ ，则 P( B|A) P＝ ＝15 2＝ .
10 5 10 9 15 P(A) 2 3
5
(2)已知盒中装有 3个红球、2 个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，
甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为
( )
A. 3 B.1 C.3 D.2
10 3 8 9
答案 B
解析 设 A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，
P(AB) A
1
则 ＝ 2
A13 1 C12 1
A12
＝ ，P(A)＝ 1 ＝ ，0 15 C10 5
所以 P(B|A) P AB 1＝ ＝ .
P A 3
思维升华 求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A) P AB ＝ .
P A
(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A发生的条件下求
B n AB 事件 包含的基本事件数，即 n(AB)，得 P(B|A)＝ .
n A
跟踪训练 1 (1)在 100件产品中有 95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次
任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
4
答案
99
解析 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第
二次取到不合格品”，则所求的概率为 P(B|A)，
A2P(AB) 5 1 P(A) C因为 ＝ ＝ ， ＝ 5
1 1
＝ ，
A2100 495 C1100 20
1
P(B|A) P AB 4所以 ＝ ＝495＝ .
P A 1 99
20
方法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有 99件产
品，其中有 4 4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为 .
99
(2)(2020·荆州模拟)“幻方”最早记载于我国公元前 500年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻
方(n≥3，n∈N*)是由前 n2个正整数组成的一个 n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的 n
个数之和(简称幻和)相等，例如“3 阶幻方”的幻和为 15.现从如图所示的 3 阶幻方中任取 3
个不同的数，记“取到的 3个数的和为 15”为事件 A，“取到的 3个数可以构成一个等差数
列”为事件 B，则 P(B|A)＝________.
1
答案
2
解析 根据题意，事件 A的所有可能结果为(8,1,6)，(3,5,7)，(4,9,2)，(8,3,4)，(1,5,9)，(6,7,2)，
(8,5,2)，(4,5,6)，共 8个；事件 A，B同时发生的所有可能结果为(3,5,7)，(1,5,9)，(8,5,2)，(4,5,6)，
4 P(B|A) n AB 4 1共 个，所以 ＝ ＝ ＝ .
n A 8 2
题型二 独立重复试验与二项分布
命题点 1 相互独立事件的概率
例 2 (八省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件 1,2,3需要调整的概率
分别为 0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件 1,2中至少有 1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为 X，求 X的分布列及均值．
解 设“部件 1,2,3中需要调整的事件”分别为 A1，A2，A3，则 P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.2，P(A3)
＝0.3.
(1)设“部件 1,2中至少有 1个需要调整的事件”为 B，则 B 为“部件 1,2中都不需要调整”．
由于部件 1,2的状态相互独立，
则 P(B)＝1－P( B )＝1－[1－P(A1)][1－P(A2)]＝1－(1－0.1)(1－0.2)＝1－0.9×0.8＝0.28.
(2)由题意知，设备在一天的运转中需要调整的部件个数可能为 0,1,2,3.
则 P(X＝0)＝[1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504.
P(X＝1)＝P(A1)[1－P(A2)][1－P(A3)]＋[1－P(A1)]P(A2)[1－P(A3)]＋[1－P(A1)][1－P(A2)]·P(A3)
＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.056＋0.126＋0.216＝0.398，
P(X＝2)＝P(A1)P(A2)[1－P(A3)]＋P(A1)[1－P(A2)]P(A3)＋[1－P(A1)]P(A2)P(A3)
＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.014＋0.024＋0.054＝0.092.
P(X＝3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006.
则 X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P 0.504 0.398 0.092 0.006
故 E(X)＝0×0.504＋1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.398＋0.184＋0.018＝0.6.
命题点 2 独立重复试验
例 3 (2020·广东华附、省实、广雅、深中四校联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第 i次得
到的点数为 ai，若存在正整数 k，使 a1＋a2＋…＋ak＝6，则称 k为你的幸运数字．
(1)求你的幸运数字为 3的概率；
(2)若 k＝1，则你的得分为 6分；若 k＝2，则你的得分为 4分；若 k＝3，则你的得分为 2分；
若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记 0分，求得分ξ的分布列和均值．
解 (1)记“连续抛掷 k次骰子的点数和为 6”为事件 A，则它包含事件 A1，A2，A3，
其中 A1：三次恰好都为 2；A2：三次中恰好 1,2,3各一次；A3：三次中有两次为 1，一次为 4，
A1，A2，A3为互斥事件，
1 1
k 3 P(A) P(A ) P(A ) P(A ) C3 6 3 C1·1·C1·1·C1·1 C2 6 2·1 5则 ＝ 的概率 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 3 ＋ 3 2 1 ＋ 3 ＝ .
6 6 6 6 108
(2)由已知得ξ的所有可能取值为 6,4,2,0，
1
P(ξ 6) 1＝ ＝ ，P(ξ＝4)＝ 6 2＋C1 12· ·1 C1 1 1 5＋ 2· · ＝ ，
6 6 6 6 6 36
P(ξ 2) 5 1 5 5 35＝ ＝ ，P(ξ＝0)＝1－ － － ＝ .
108 6 36 108 54
∴ξ的分布列为
ξ 6 4 2 0
1 5 5 35
P
6 36 108 54
E(ξ) 6 1 4 5 5∴ ＝ × ＋ × ＋2× ＋0 35 89× ＝ .
6 36 108 54 54
命题点 3 二项分布
例 4 (2020·全国 100所名校最新示范卷)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多
的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有 9张大小相同的
精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：
参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利
民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活
动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知
1
道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是 .”
6
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有 9张卡片的盒中随机抽出 1张不放回，
再用剩下 8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用 X表示
获奖的人数，求 X的分布列和均值．
解 (1)设“扫黑除恶利国利民”卡有 n张，
C2n 1 C1C1由 ＝ ，得 n＝4 5，故“普法宣传人人参与”卡有 5张，抽奖者获奖的概率为 5 4＝ .
C92 6 C92 9
(2) 4 C
1C1 5 C1C1 5
在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为 × 5 3＋ × 4 4＝ ，
9 C28 9 C28 9
3 5，
所以 X～B 9 ，
5 4
P(X＝k)＝Ck 9 k 9 3－3 k(k＝0,1,2,3)，
X的分布列为
X 0 1 2 3
64 80 100 125
P
729 243 243 729
5 5
所以 E(X)＝3× ＝ .
9 3
思维升华 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
①在求 n次独立重复试验中事件恰好发生 k次的概率时，首先要确定好 n和 k的值，再准确
利用公式求概率．
②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定
二项分布的试验次数 n和变量的概率，求得概率．
跟踪训练 2 (2019· 2天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30之前到校的概率均为 ，假定
3
甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用 X表示甲同学上学期间的三天中 7：30之前到校的天数，求随机变量 X的分布列和均值；
(2)设 M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30之前到校的天数比乙同学在 7：30之前
到校的天数恰好多 2”，求事件 M发生的概率．
解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30之前到校的概率均为
3 2 2 12 ，
，故 X～B 3 ，从而 P(X＝k)＝Ck3 3 k 3 3－k，k＝0,1,2,3.
3
所以随机变量 X的分布列为
X 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
2
随机变量 X的均值 E(X)＝3× ＝2.
3
3 2，
(2)设乙同学上学期间的三天中 7：30之前到校的天数为 Y，则 Y～B 3 ，且 M＝{X＝3，Y
＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y
＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，
从而由(1)知
P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P(X＝3)P(Y
1) P(X 2)P(Y 0) 8 2 4 1 20＝ ＋ ＝ ＝ ＝ × ＋ × ＝ .
27 9 9 27 243
题型三 正态分布
例 5 (1)设 X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正
确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数 t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
答案 D
1
解析 由正态分布密度曲线可知，x＝μ2为Y曲线的对称轴，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)＝ 2
故 A错；由正态分布密度曲线可知，0<σ1<σ2，所以 P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故 B错；对任意正
数 t，P(X>t)t)，即有 P(X≥t)t)t)，因此有
P(X≤t)≥P(Y≤t)，故 D正确．
(2)(八省联考)对于一个物理量做 n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结
0 2，
果．已知最后结果的误差εn～N n ，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于 0.954 5，至少
要测量________次．(若 X～N(μ，σ)，则 P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5)
答案 32
解析 P(|εn－μ|<2σ)＝0.954 5，
又μ 2＝0，σ2＝ ，
n
2 2－ <ε <2 2
即 P(μ－2σ<ε <μ nn ＋2σ)＝P n n ＝0.954 5，
2 1
由题意知 2σ≤0.5，即 2 ≤ ，所以 n≥32.
n 2
思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴 x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利
用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为
3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x＝0.
跟踪训练 3 设随机变量ξ服从正态分布 N(μ，σ2) f(x) x2 4x ξ 1，函数 ＝ ＋ ＋ 没有零点的概率是 ，
2
则μ等于( )
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
答案 C
解析 由题意，当函数 f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，解得ξ>4，所以 P(ξ>4) 1＝ ，
2
1
根据正态曲线的对称性，当函数 f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是 时，μ＝4.
2
【课后作业】
A 组
1．甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装
有 4个红球、2个白球，乙袋装有 1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取 1个球，
则取出的两个球都是红球的概率为( )
A. 5 B.5 C.1 D.13
12 6 9 18
答案 C
解析 由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事件相互独立，
4 2
从甲袋中取出红球的概率为 ＝ ，
6 3
1
从乙袋中取出红球的概率为 ，
6
2 1 1
故所求事件的概率为 × ＝ .
3 6 9
6 1，
2．设随机变量 X～B 2 ，则 P(X＝3)等于( )
A. 5 B. 3 C.5 D.3
16 16 8 8
答案 A
1 1
P(X 3) C3 2 3 2 3 20 5解析 ＝ ＝ 6× × ＝ ＝ .
64 16
3．(2021·昆明诊断)袋中装有 2个红球，3个黄球，有放回地抽取 3次，每次抽取 1球，则 3
次中恰有 2次抽到黄球的概率是( )
A.2 B.3 C. 18 D. 54
5 5 125 125
答案 D
解析 袋中装有 2个红球，3 个黄球，有放回地抽取 3次，每次抽取 1 球，每次取到黄球的
3 1 3－
概率 P 31＝ ，∴3次中恰有 2次抽到黄球的概率 P＝C32× 5 2× 5 54＝ .
5 125
4．一试验田某种作物一株生长果实个数 x服从正态分布 N(90，σ2)，且 P(x<70)＝0.2，从试
验田中随机抽取 10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量 X，且 X服从二项分布，则
X的方差为( )
A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21
答案 B
解析 ∵x～N(90，σ2)，且 P(x<70)＝0.2，
∴P(x>110)＝0.2，∴P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3，
∴X～B(10,0.3)，
X的方差为 10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
5．(多选)已知随机变量 X服从正态分布 N(100,102)，则下列选项正确的是( )
(参考数值：随机变量ξ服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.682 7)，P(μ－2σ＜ξ
＜μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)≈0.997 3)
A．E(X)＝100 B．D(X)＝100
C．P(X≥90)≈0.841 35 D．P(X≤120)≈0.998 65
答案 ABC
解析 ∵随机变量 X服从正态分布 N(100,102)，
∴正态曲线关于 x＝100对称，且 E(X)＝100，D(X)＝102＝100，
根据题意可得，P(90＜x＜110)≈0.682 7，P(80＜x＜120)≈0.954 5，
∴P(x≥90)≈0.5 1＋ ×0.682 7＝0.841 35，故 C正确；
2
P(x≤120) 1≈0.5＋ ×0.954 5＝0.977 25，故 D错误．
2
而 A，B都正确．故选 ABC.
6．(多选)甲罐中有 5个红球，2个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4个红球，3个白球和 3个黑
球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，
白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则
下列结论中正确的是( )
A．P(B) 2＝ B．P(B|A 51)＝
5 11
C．事件 B与事件 A1相互独立 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
答案 BD
解析 易见 A1，A2，A3是两两互斥的事件，
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA
5 5 2 4 3 4 9
3)＝ × ＋ × ＋ × ＝ .
10 11 10 11 10 11 22
故选 BD.
7．(2021·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖
2 3
的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等
3 4
奖的概率为________．
5
答案
12
解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，则所求概率
2 1
3 2
－ 3 1－4 3 5是 × ＋ × ＝ .
3 4 12
8．(2021·宁波模拟)一个箱子中装有形状完全相同的 5个白球和 n(n∈N*)个黑球．现从中有放
回地摸取 4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为 X，若 D(X)＝1，则 E(X)＝____.
答案 2
解析 由题意知，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1，
p 1 1∴ ＝ ，E(X)＝4p＝4× ＝2.
2 2
9．一个盒子里装有 3种颜色，大小形状质地都一样的 12个球，其中黄球 5个，蓝球 4个，
绿球 3 个，现从盒子中随机取出两个球，记事件 A＝“取出的两个球颜色不同”，事件 B＝
“取出一个黄球，一个蓝球”，则 P(B|A)＝________.
20
答案
47
C1P(AB) 5C
1
解析 因为 ＝ 4
10
＝ ，
C122 33
C1P(A) 5C
14＋C15C13＋C41C13 47
＝ ＝ ，
C122 66
P(B|A) P AB 20故 ＝ ＝ .
P A 47
10．甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得 2分，未击中
3
目标得 0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为 和 p.若甲、乙两人各射击一次
5
2 9得分之和为 的概率为 ，则 p的值为________．
20
3
答案
4
解析 设“甲射击一次，击中目标”为事件 A，“乙射击一次，击中目标”为事件 B，则“甲
A B P(A) 3射击一次，未击中目标”为事件 ，“乙射击一次，未击中目标”为事件 ，则 ＝ ，
5
P( A )＝1 3 2 3 2 9 3－ ＝ ，P(B)＝p，P( B )＝1－p.依题意得 ×(1－p)＋ ×p＝ ，解得 p＝ .
5 5 5 5 20 4
11．小李某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率
分别为 0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解 用 A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．则 P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以 P( A )＝0.2，P( B )＝0.3，P( C )＝0.1.
(1)由题意得 A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P( A BC)＋P(A B C)＋P(A B C )＝P( A )P(B)P(C)＋P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C )
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P( A B C )＝1－P( A )P( B )P( C )＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
12．一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取 50个作为样
本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45]，由此得
到样本的质量频率分布直方图如图所示．
(1)求 a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；
(2)从盒子中随机抽取 3个小球，其中质量在[5,15)内的小球个数为X，求X的分布列和均值．(以
直方图中的频率作为概率)
解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得 a＝0.03.由频率分布直方图可估计
盒子中小球质量的众数为 20克，而 50个样本中小球质量的平均数为
x ＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．
故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为 24.6克．
3 1，
(2)由题意知，该盒子中小球质量在[5,15) 1内的概率为 ，则 X～B 5 .
5
X的可能取值为 0,1,2,3，
1 4 1 4
则 P(X＝0)＝C30 5 0 5 3 64 48× ＝ ，P(X＝1)＝C13 5 1× 5 2＝ ，
125 125
1 4 1 4
P(X＝2)＝C32 5 2 5 1 12 1× ＝ ，P(X＝3)＝C33 5 3× 5 0＝ .
125 125
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125 125 125 125
1 3
64 48 12 1 3 或者 E X ＝3× ＝
∴E(X)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 5 5
125 125 125 125 5
B 组
13．如图，在网格状小地图中，一机器人从 A(0,0)点出发，每秒向上或向右行走 1格到相应
2 1
顶点，已知向上的概率是 ，向右的概率是 ，则 6秒后到达 B(4,2)点的概率为( )
3 3
A. 16 B. 80 C. 4 D. 20
729 243 729 243
答案 D
解析 根据题意可知，机器人每秒运动一次，则 6秒共运动 6次，若其从 A(0,0)点出发，6秒
2 1
后到达 B(4,2)，则需要向右走 4步，向上走 2步，故其 6秒后到达 B的概率为 C62× 3 2× 3 4
60 20
＝ ＝ .
729 243
14．某中学三大社团“乐研社”“摄影社”和“外联社”招新，据资料统计，2021级高一新
生通过考核选拔进入三个社团成功与否相互独立，新生小明通过考核选拔进入三个社团“乐
2 1
研社”“摄影社”和“外联社”的概率依次为 ，a，b.已知三个社团他都能进入的概率为 ，
3 36
19
至少进入一个社团的概率为 ，则 a＋b＝________.
24
5
答案
12
2ab 1＝ ，
3 36
解析 根据题意有 1 2－
1－ 3 1－a 1－b 19＝ ，
24
5
解得 a＋b＝ .
12
C 组
15．在 20张百元纸币中混有 4张假币，从中任意抽取 2张，将其中一张在验钞机上检验发现
是假币，则这两张都是假币的概率是( )
A. 3 B. 3 C. 2 D．以上都不正确
35 38 17
答案 A
解析 设事件 A表示“抽到的两张都是假币”，事件 B表示“抽到的两张至少有一张是假
币”，则所求的概率即 P(A|B)．
P(AB) P(A) C
2
42 P(B) C4＋C4
1C116
又 ＝ ＝ ， ＝ ，
C220 C220
2
由公式 P(A|B) P AB C4 6 3＝ ＝ ＝ ＝ .
P B C24＋C41C116 6＋4×16 35
16．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测 120个零件的长度(单
位：分米)，按数据分成[1.2,1.3)，[1.3,1.4)，[1.4,1.5)，[1.5,1.6)，[1.6，1.7)，[1.7,1.8]这 6组，
得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于 1.59分米的零件有 20个，其长度分
别为 1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69，1.71，
1.72,1.74，以这 120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率．
(1)求这批零件的长度大于 1.60分米的频率，并求频率分布直方图中 m，n，t的值；
(2)若从这批零件中随机选取 3个，记 X为抽取的零件长度在[1.4,1.6)的个数，求 X的分布列
和均值；
(3)若变量 S满足|P(μ－σ称变量 S满足近似于正态分布 N(μ，σ2)的概率分布．如果这批零件的长度 Y(单位：分米)满足
近似于正态分布 N(1.5,0.01)的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收；否则，
公司将拒绝签收．试问，该批零件能否被签收？
解 (1)由题意可知 120件样本零件中长度大于 1.60分米的共有 18件，
18
则这批零件的长度大于 1.60分米的频率为 ＝0.15，
120
记 Y为零件的长度，则 P(1.2≤Y<1.3)＝P(1.7≤Y≤1.8) 3＝ ＝0.025，
120
P(1.3≤Y<1.4)＝P(1.6≤Y<1.7) 15＝ ＝0.125，
120
P(1.4≤Y<1.5)＝P(1.5≤Y<1.6) 1＝ ×(1－2×0.025－2×0.125)＝0.35，
2
m 0.025故 ＝ ＝0.25 n 0.125 1.25 t 0.35， ＝ ＝ ， ＝ ＝3.5.
0.1 0.1 0.1
(2)由(1)可知从这批零件中随机选取 1件，长度在[1.4,1.6)的概率 P＝2×0.35＝0.7.
且随机变量 X服从二项分布 X～B(3,0.7)，
则 P(X＝0)＝C03×(1－0.7)3＝0.027，
P(X＝1)＝C13×(1－0.7)2×0.7＝0.189，
P(X＝2)＝C23×0.72×0.3＝0.441，
P(X＝3)＝C33×0.73＝0.343，
故随机变量 X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
E(X)＝0×0.027＋1×0.189＋2×0.441＋3×0.343＝2.1(或 E(X)＝3×0.7＝2.1)．
(3)由题意可知μ＝1.5，σ＝0.1，
则 P(μ－σP(μ－2σ因为|0.7－0.682 7|＝0.017 3≤0.05，|0.95－0.954 5|＝0.004 5≤0.05，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布 N(1.5,0.01)的概率分布．
应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．第 46 讲 二项分布与正态分布
【知识梳理】
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件 A和 B，在已知事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率叫做条件概率，
用符号 P(B|A) P AB 来表示，其公式为 P(B|A)＝ (P(A)>0)．
P A
在古典概型中，若用 n(A)和 n(AB)分别表示事件 A和事件 AB所包含的基本事件的个数，则
P(B|A) n AB ＝ .
n A
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②如果 B和 C是两个互斥事件，
则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)对于事件 A，B，若事件 A的发生与事件 B的发生互不影响，则称事件 A，B是相互独立
事件．
(2)若 A与 B相互独立，则 P(B|A)＝ ．
(3)若 A与 B相互独立，则 A与 B， A与 B， A与 B也都相互独立．
(4)P(AB)＝P(A)P(B) ．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试
验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都
是一样的．
(2)在 n次独立重复试验中，用 X表示事件 A发生的次数，设每次试验中事件 A发生的概率为
p，则 P(X＝k)＝ ，此时称随机变量 X服从二项分布，记为 ，
并称 p为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量 X服从两点分布，则 E(X)＝ ，D(X)＝ ．
(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝ ，D(X)＝ ．
5．正态分布
(x- )2
-
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)
1
＝ e 2σ2 ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我
2πσ
们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于 x轴上方，与 x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线 对称．
1
③曲线在 处达到峰值 .
σ 2π
④曲线与 x轴之间的面积为 .
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x轴平移，如图甲所示．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；
σ ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数 a，b(a变量 X服从正态分布，记作 ．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式 P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( )
(2)P(B|A)表示在事件 A发生的条件下，事件 B发生的概率，P(AB)表示事件 A，B同时发生的
概率．( )
(3)X表示 n次重复抛掷 1枚骰子出现点数是 3的倍数的次数，则 X服从二项分布．( )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的．( )
2．种植某种树苗，成活率为 0.9，若种植这种树苗 5棵，则恰好成活 4棵的概率约为( )
A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45
3．一个盒子里有 6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，
已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )
A.2 B. 5 C.5 D.7
3 12 9 9
4．已知随机变量 X服从正态分布 N(3,1)，且 P(X>2c－1)＝P(X5．(2021·荆州模拟)孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，
古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人，其中每一人在每一行业中胜过孔
圣人的概率为 1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为( )
(参考数据：0.99360≈0.03，0.01360≈0，0.973≈0.912 673)
A．0.002 7% B．99.997 3% C．0 D．91.267 3%
6．(2021·三明模拟)近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的
核心技术．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到 800次的概率为 90%，
充放电次数达到 1 000次的概率为 36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了 800次的充
放电，那么他的车能够达到充放电 1 000次的概率为( )
A．0.324 B．0.36 C．0.4 D．0.54
【典型例题】
题型一 条件概率
例 1 (1)(2020·葫芦岛模拟)对标有不同编号的 6件正品和 4件次品的产品进行检测，不放回地
依次摸出 2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A.3 B.2 C.5 D.2
5 5 9 3
(2)已知盒中装有 3个红球、2 个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，
甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为
( )
A. 3 B.1 C.3 D.2
10 3 8 9
跟踪训练 1 (1)在 100件产品中有 95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次
任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
(2)(2020·荆州模拟)“幻方”最早记载于我国公元前 500年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻
方(n≥3，n∈N*)是由前 n2个正整数组成的一个 n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的 n
个数之和(简称幻和)相等，例如“3 阶幻方”的幻和为 15.现从如图所示的 3 阶幻方中任取 3
个不同的数，记“取到的 3个数的和为 15”为事件 A，“取到的 3个数可以构成一个等差数
列”为事件 B，则 P(B|A)＝________.
题型二 独立重复试验与二项分布
例 2 (八省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件 1,2,3需要调整的概率
分别为 0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件 1,2中至少有 1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为 X，求 X的分布列及均值．
例 3 (2020·广东华附、省实、广雅、深中四校联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第 i次得
到的点数为 ai，若存在正整数 k，使 a1＋a2＋…＋ak＝6，则称 k为你的幸运数字．
(1)求你的幸运数字为 3的概率；
(2)若 k＝1，则你的得分为 6分；若 k＝2，则你的得分为 4分；若 k＝3，则你的得分为 2分；
若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记 0分，求得分ξ的分布列和均值．
例 4 (2020·全国 100所名校最新示范卷)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多
的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有 9张大小相同的
精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：
参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利
民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活
动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知
1
道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是 .”
6
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有 9张卡片的盒中随机抽出 1张不放回，
再用剩下 8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用 X表示
获奖的人数，求 X的分布列和均值．
跟踪训练 2 (2019· 2天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30之前到校的概率均为 ，假定
3
甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用 X表示甲同学上学期间的三天中 7：30之前到校的天数，求随机变量 X的分布列和均值；
(2)设 M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30之前到校的天数比乙同学在 7：30之前
到校的天数恰好多 2”，求事件 M发生的概率．
题型三 正态分布
例 5 (1)设 X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正
确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数 t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
(2)(八省联考)对于一个物理量做 n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结
0 2，
果．已知最后结果的误差εn～N n ，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于 0.954 5，至少
要测量________次．(若 X～N(μ，σ)，则 P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5)
跟踪训练 3 设随机变量ξ服从正态分布 N(μ，σ2)，函数 f(x)＝x2＋4x＋ξ 1没有零点的概率是 ，
2
则μ等于( )
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
【课后作业】
A 组
1．甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装
有 4个红球、2个白球，乙袋装有 1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取 1个球，
则取出的两个球都是红球的概率为( )
A. 5 B.5 C.1 D.13
12 6 9 18
6 1，
2．设随机变量 X～B 2 ，则 P(X＝3)等于( )
A. 5 B. 3 C.5 D.3
16 16 8 8
3．(2021·昆明诊断)袋中装有 2个红球，3个黄球，有放回地抽取 3次，每次抽取 1球，则 3
次中恰有 2次抽到黄球的概率是( )
A.2 B.3 C. 18 D. 54
5 5 125 125
4．一试验田某种作物一株生长果实个数 x服从正态分布 N(90，σ2)，且 P(x<70)＝0.2，从试
验田中随机抽取 10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量 X，且 X服从二项分布，则
X的方差为( )
A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21
5．(多选)已知随机变量 X服从正态分布 N(100,102)，则下列选项正确的是( )
(参考数值：随机变量ξ服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.682 7)，P(μ－2σ＜ξ
＜μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)≈0.997 3)
A．E(X)＝100 B．D(X)＝100
C．P(X≥90)≈0.841 35 D．P(X≤120)≈0.998 65
6．(多选)甲罐中有 5个红球，2个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4个红球，3个白球和 3个黑
球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，
白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则
下列结论中正确的是( )
A．P(B) 2＝ B．P(B|A1) 5＝
5 11
C．事件 B与事件 A1相互独立 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
7．(2021·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖
2 3
的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等
3 4
奖的概率为________．
8．(2021·宁波模拟)一个箱子中装有形状完全相同的 5个白球和 n(n∈N*)个黑球．现从中有放
回地摸取 4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为 X，若 D(X)＝1，则 E(X)＝____.
9．一个盒子里装有 3种颜色，大小形状质地都一样的 12个球，其中黄球 5个，蓝球 4个，
绿球 3 个，现从盒子中随机取出两个球，记事件 A＝“取出的两个球颜色不同”，事件 B＝
“取出一个黄球，一个蓝球”，则 P(B|A)＝________.
10．甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得 2分，未击中
3
目标得 0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为 和 p.若甲、乙两人各射击一次
5
9
得分之和为 2的概率为 ，则 p的值为________．
20
11．小李某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率
分别为 0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
12．一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取 50个作为样
本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45]，由此得
到样本的质量频率分布直方图如图所示．
(1)求 a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；
(2)从盒子中随机抽取 3个小球，其中质量在[5,15)内的小球个数为X，求X的分布列和均值．(以
直方图中的频率作为概率)
B 组
13．如图，在网格状小地图中，一机器人从 A(0,0)点出发，每秒向上或向右行走 1格到相应
2 1
顶点，已知向上的概率是 ，向右的概率是 ，则 6秒后到达 B(4,2)点的概率为( )
3 3
A. 16 B. 80 C. 4 D. 20
729 243 729 243
14．某中学三大社团“乐研社”“摄影社”和“外联社”招新，据资料统计，2021级高一新
生通过考核选拔进入三个社团成功与否相互独立，新生小明通过考核选拔进入三个社团“乐
2
研社”“摄影社”和“外联社”的概率依次为 ，a，b. 1已知三个社团他都能进入的概率为 ，
3 36
19
至少进入一个社团的概率为 ，则 a＋b＝________.
24
C 组
15．在 20张百元纸币中混有 4张假币，从中任意抽取 2张，将其中一张在验钞机上检验发现
是假币，则这两张都是假币的概率是( )
A. 3 B. 3 C. 2 D．以上都不正确
35 38 17
16．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测 120个零件的长度(单
位：分米)，按数据分成[1.2,1.3)，[1.3,1.4)，[1.4,1.5)，[1.5,1.6)，[1.6，1.7)，[1.7,1.8]这 6组，
得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于 1.59分米的零件有 20个，其长度分
别为 1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69，1.71，
1.72,1.74，以这 120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率．
(1)求这批零件的长度大于 1.60分米的频率，并求频率分布直方图中 m，n，t的值；
(2)若从这批零件中随机选取 3个，记 X为抽取的零件长度在[1.4,1.6)的个数，求 X的分布列
和均值；
(3)若变量 S满足|P(μ－σ称变量 S满足近似于正态分布 N(μ，σ2)的概率分布．如果这批零件的长度 Y(单位：分米)满足
近似于正态分布 N(1.5,0.01)的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收；否则，
公司将拒绝签收．试问，该批零件能否被签收？

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