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第 6 讲 解三角形
【考试要求】
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
【知识梳理】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
内容 (1)
a b c
＝ ＝ ＝2R b2＝c2＋a2－2cacos B；
sin A sin B sin C
c2＝a2＋b2－2abcos C
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； 2 2 2
(7)cos A b ＋c －a＝ ；
(4)sin A a sin B b sin C c 2bc＝ ， ＝ ， ＝ ；
2R 2R 2R c2＋a2－b2
变形 (5)a b c sin A sin B sin C cos B＝ ；∶ ∶ ＝ ∶ ∶ ； 2ac
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C 2
cos C a ＋b
2－c2
＝
＝csin A 2ab
2．三角形常用面积公式
(1)S 1＝ a·ha(ha表示边 a上的高)．
2
(2)S 1＝ absin C 1＝ acsin B 1＝ bcsin A.
2 2 2
(3)S 1＝ r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
2
3．测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅
垂平面内)所成的角中，目标视线在水平
仰角与俯角
视线上方的叫做仰角，目标视线在水平
视线下方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到
方位角 目标方向线之间的夹角叫做方位角．方
位角θ的范围是 0°≤θ<360°
正北或正南方向线与目标方向线所成的 例：(1)北偏东α：
方向角
锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西α：
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ
为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之
坡角与坡比
比叫坡比(坡度) h，即 i＝ ＝tan θ
l
微思考
1．三角形中有哪些三角函数关系？
提示 三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sinA＋B cos C (4)cos A＋B C＝ ； ＝sin .
2 2 2 2
2．在△ABC中，A>B是 sin A>sin B的充要条件吗？
提示 在△ABC中，由 A>B可推出 sin A>sin B，由 sin A>sin B也可推出 A>B，故 A>B是 sin
A>sin B的充要条件．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)当 b2＋c2－a2<0时，三角形 ABC为钝角三角形．( √ )
(3)从 A处望 B处的仰角为α，从 B处望 A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )
0 π，
(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 2 .( × )
题组二 教材改编
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A.π B.π C.2π D.5π
6 3 3 6
答案 C
解析 在△ABC中，设 AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得 cos∠BAC＝
b2＋c2－a2 9＋25－49 1
＝ ＝－ ，因为∠BAC为△ABC的内角，
2bc 30 2
2π
所以∠BAC＝ ，故选 C.
3
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 3，则△ABC的面积为 ．
答案 2 3
2 3 4
解析 ∵ ＝ ，∴sin B＝1，∴B＝90°，
sin 60° sin B
∴AB＝2，∴S 1△ABC＝ ×2×2 3＝2 3.2
4.如图，在塔底 D的正西方 A处测得塔顶的仰角为 45°，在塔底 D的南偏东 60°的 B处测得
塔顶的仰角为 30°，A，B间的距离是 84 m，则塔高 CD＝ m.
答案 12 7
解析 设塔高 CD＝x m，则 AD＝x m，DB＝ 3x m.
由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理得 842＝x2＋( 3x)2－2 3·x2cos 150°，
解得 x＝12 7(负值舍去)，故塔高为 12 7 m.
题组三 易错自纠
5．(多选)在△ABC中，角 A，B，C所对的各边分别为 a，b，c，若 a＝1，b＝ 2，A＝30°，
则 B等于( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
答案 BC
a b
解析 根据正弦定理 ＝ 得，
sin A sin B
2 1×
sin B bsin A 2 2＝ ＝ ＝ ，
a 1 2
由于 b＝ 2>1＝a，
所以 B＝45°或 B＝135°.
故选 BC.
6．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，
即 sin 2A＝sin 2B，
所以 2A＝2B或 2A＝π－2B，
即 A π＝B或 A＋B＝ ，
2
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
【典型例题】
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例 1 在①b2＋ 2ac＝a2＋c2；②acos B＝bsin A；③sin B＋cos B＝ 2这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角 A，B π，C的对边分别为 a，b，c， ，A＝ ，b＝ 2，求△ABC的
3
面积．
解 (1)若选择①b2＋ 2ac＝a2＋c2，
2 2 2
由余弦定理得 cos B a ＋c －b 2ac 2＝ ＝ ＝ ，
2ac 2ac 2
因为 B∈(0，π)，所以 B π＝ ；
4
a b
由正弦定理 ＝ ，
sin A sin B
2·sinπ
a bsin A 3得 ＝ ＝ ＝ 3，
sin B 2
2
π π
因为 A＝ ，B＝ ，
3 4
C π π π 5π所以 ＝ － － ＝ ，
3 4 12
π π
＋
所以 sin C＝sin 5π＝sin 4 6
12
＝sin πcos π cos πsin π 6＋ 2＋ ＝ ，
4 6 4 6 4
1 1 6＋ 2 3＋ 3
所以 S△ABC＝ absin C＝ × 3× 2× ＝ .2 2 4 4
(2)若选择②acos B＝bsin A，
则 sin Acos B＝sin Bsin A，
因为 sin A≠0，所以 sin B＝cos B，
因为 B∈(0，π) π，所以 B＝ ；
4
a b
由正弦定理 ＝ ，
sin A sin B
2·sinπ
a bsin A 3得 ＝ ＝ ＝ 3，
sin B 2
2
π
因为 A＝ ，B π＝ ，
3 4
所以 C π π π 5π＝ － － ＝ ，
3 4 12
π π
＋
所以 sin C 5π＝sin ＝sin 4 6
12
sin π＝ cos π＋cos πsin π 6＋ 2＝ ，
4 6 4 6 4
1
所以 S△ABC＝ absin C
1
＝ × 3 2 6＋ 2 3＋ 3× × ＝ .
2 2 4 4
(3)若选择③sin B＋cos B＝ 2，
B π＋ B π＋
则 2sin 4 ＝ 2，所以 sin 4 ＝1，
π 5π
π ，
因为 B∈(0，π)，所以 B＋ ∈ 4 4 ，
4
B π π π所以 ＋ ＝ ，所以 B＝ ；
4 2 4
a b
由正弦定理 ＝ ，
sin A sin B
2·sinπ
a bsin A 3得 ＝ ＝ ＝ 3，
sin B 2
2
因为 A π＝ ，B π＝ ，
3 4
所以 C＝π π π 5π－ － ＝ ，
3 4 12
π π
＋
所以 sin C 5π＝sin ＝sin 4 6
12
π
＝sin cos π＋cos πsin π 6＋ 2＝ ，
4 6 4 6 4
S 1absin C 1所以 △ABC＝ ＝ × 3× 2
6＋ 2 3＋ 3
× ＝ .
2 2 4 4
思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，
基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求
得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件
化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
跟踪训练 1 (1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC cos C 5中， ＝ ，BC＝1，AC＝5，则 AB等于( )
2 5
A．4 2 B. 30 C. 29 D．2 5
答案 A
解析 ∵cos C 5＝ ，
2 5
5
∴cos C＝2cos2C－1＝2× 5 2 1 3－ ＝－ .
2 5
3
－
在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1× 5 ＝
32，
∴AB＝ 32＝4 2.
故选 A.
(2)(2020·全国Ⅲ)在△ABC cos C 2中， ＝ ，AC＝4，BC＝3，则 tan B等于( )
3
A. 5 B．2 5 C．4 5 D．8 5
答案 C
解析 由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4 3 2× × ＝9，
3
得 AB＝3，所以 AB＝BC.
过点 B作 BD⊥AC，交 AC于点 D，如图，
1
则 AD＝ AC＝2，
2
BD＝ 32－22＝ 5，
所以 tan ABD AD 2 2 5∠ ＝ ＝ ＝ ，
BD 5 5
tan ABC 2tan∠ABD所以 ∠ ＝ ＝4 5.
1－tan2∠ABD
题型二 正弦定理、余弦定理的应用
命题点 1 判断三角形的形状
例 2 (1)设△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则
△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案 B
解析 由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即 sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即 A π＝ ，∴△ABC为直角三角形．
2
(2)(多选)已知 a，b，c分别是△ABC三个内角 A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是
( )
A．若 tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若 acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若 bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D a b c．若 ＝ ＝ ，则△ABC是等边三角形
cos A cos B cos C
答案 ACD
解析 ∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项 A正确；
由 acos A＝bcos B及正弦定理，可得 sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B A B π或 ＋ ＝ ，
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项 B错；
由 bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项 C正确；
由已知和正弦定理，易知 tan A＝tan B＝tan C，
∴选项 D正确．
命题点 2 三角形面积的计算
例 3 (1)(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若 b＝6，a＝2c，B π＝ ，
3
则△ABC的面积为 ．
答案 6 3
解析 方法一 因为 a＝2c，b＝6，B π＝ ，所以由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，得 62＝(2c)2
3
＋ c2－2×2c×ccos π 1，得 c＝2 3，所以 a＝4 3，所以△ABC 的面积 S＝ acsin B＝
3 2
1
×4 3×2 3 sin π× ＝6 3.
2 3
方法二 因为 a＝2c，b＝6，B π＝ ，所以由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，得 62＝(2c)2＋c2
3
－2 π π×2c×ccos ，得 c＝2 3，所以 a＝4 3，所以 a2＝b2＋c2，所以 A＝ ，所以△ABC的面
3 2
S 1积 ＝ ×2 3×6＝6 3.
2
(2) π在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 A＝ ，a＝2，则△ABC面积的最大
6
值为 ．
答案 2＋ 3
解析 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，
3
得 4＝b2＋c2－2bc× ≥2bc－ 3bc，
2
所以 bc≤4(2＋ 3)，
1
所以 S△ABC＝ bcsin A≤2＋ 3，2
故△ABC面积的最大值为 2＋ 3.
思维升华 (1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用 A＋B＋C＝π这个结论．
(2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．
跟踪训练 2 (1)在△ABC B a＋c中，cos2 ＝ (a，b，c分别为角 A，B，C的对边)，则△ABC的形
2 2c
状为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
cos2B 1＋cos B cos2B a＋c解析 ∵ ＝ ， ＝ ，
2 2 2 2c
2 2 2
∴(1＋cos B)·c a c a cos B·c a ＋c －b＝ ＋ ，∴ ＝ ＝ ，
2a
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
(2)(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 bsin C＋csin B＝4asin Bsin
C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
2 3
答案
3
解析 由 bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得 sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为 sin Bsin C≠0，所以 sin A 1＝ .
2
2 2 2
因为 b2＋c2－a2＝8 b ＋c －a，所以 cos A＝ >0，
2bc
bc 8 3所以 ＝ ，
3
1 8 3 1 2 3
所以 S△ABC＝ × × ＝ .2 3 2 3
题型三 解三角形应用举例
命题点 1 测量距离问题
例 4 (2020·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘
密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口
径(即 A，B两点间的距离)，现取两点 C，D，测得 CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA
＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为 ．
答案 80 5
解析 由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
AC 80sin 150°
40
由正弦定理得 ＝ ＝ 6－ 2＝40( 6＋ 2)．sin 15°
4
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
CD BC
由正弦定理 ＝ ，
sin∠CBD sin∠BDC
CDsin∠BDC 80×sin 15°
得 BC＝ ＝ 1 ＝160sin 15°＝40( 6－ 2)．sin∠CBD
2
在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝1 600×(8＋4 3)＋1 600×(8－4 3)＋2×1 600×( 6＋
2) 1×( 6－ 2)× ＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
2
解得 AB＝80 5，故图中海洋蓝洞的口径为 80 5.
命题点 2 测量高度问题
例 5 (2020·长春质检)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中
的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前
表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目
着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆
BC和 DE，两标杆之间的距离 BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端 H在同一直线上，
从前面的标杆 B处后退 123步，人眼贴地面，从地上 F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从
后面的标杆 D处后退 127步，人眼贴地面，从地上 G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，
则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)( )
A．1 255步 B．1 250步
C．1 230步 D．1 200步
答案 A
解析 因为 AH∥BC，所以△BCF∽△HAF BF BC，所以 ＝ .因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，
HF AH
DG DE. BF DG 123 127所以 ＝ 又 BC＝DE，所以 ＝ ，即 ＝ ，所以 HB＝30 750
HG AH HF HG 123＋HB 127＋1 000＋HB
BF BC
步，又 ＝ ，
HF AH
AH 5× 30 750＋123 所以 ＝ ＝1 255(步)．故选 A.
123
命题点 3 测量角度问题
例 6 已知岛 A南偏西 38°方向，距岛 A 3海里的 B处有一艘缉私艇．岛 A处的一艘走私船正
以 10海里/小时的速度向岛北偏西 22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用
0.5小时能截住该走私船？
参考数据：sin 38° 5 3≈ ，sin 22° 3 3≈
14 14
解 如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点，缉私艇的速度为 x
海里/小时，结合题意知 BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以 BC2＝49，
所以 BC＝0.5x＝7，
解得 x＝14.
又由正弦定理得
5 3×
sin∠ABC AC·sin∠BAC 2 5 3＝ ＝ ＝ ，
BC 7 14
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以 BC∥AD，
故缉私艇以 14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5小时截住该走私船．
素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包
括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具
体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征．从实际问题中抽象
出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽
象的数学素养．
跟踪训练 3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶
D在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角
为 30°，则此山的高度 CD＝ m.
答案 100 6
解析 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
AB 600 m 600 BC又 ＝ ，故由正弦定理得 ＝ ，
sin 45° sin 30°
解得 BC＝300 2 m.
在 Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300 2 3× ＝100 6 (m)．
3
【课后作业】
A 组
1．(2020·安庆模拟)若△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 bsin 2A＝asin B，
c 2b a且 ＝ ，则 等于( )
b
A.3 B.4 C. 2 D. 3
2 3
答案 D
解析 由 bsin 2A＝asin B，
得 2sin Bsin Acos A＝sin Asin B 1，得 cos A＝ .
2
又 c＝2b，由余弦定理得
a2 1＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2× ＝3b2，
2
a
得 ＝ 3.
b
2．(2021·唐山模拟)在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，
设 AB边上的高为 h，则 h等于( )
11
A. B. 11 C.3 15 D.3 15
4 2 4 8
答案 D
2 2 2
解析 由余弦定理，得 cos A b ＋c －a 9＋16－4 21 7＝ ＝ ＝ ＝ ，则 sin A＝ 1－cos2A 49＝ 1－
2bc 2×3×4 24 8 64
15 15
＝ ＝ ，
64 8
15 3 15
则 h＝ACsin A＝bsin A＝3× ＝ ，故选 D.
8 8
3 (2021· ) ABC A 60° AB 2 ABC 3． 合肥模拟 在△ 中， ＝ ， ＝ ，且△ 的面积为 ，则 BC的长为( )
2
A. 3 B. 3
2
C．2 3 D．2
答案 B
1
解析 因为 S＝ AB·ACsin A 1 3 3＝ ×2× AC＝ ，
2 2 2 2
所以 AC＝1，
所以 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3.
所以 BC＝ 3.
4．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 asin A－bsin B＝4csin
C，cos A 1 b＝－ ，则 等于( )
4 c
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 A
解析 ∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得 a2－b2＝4c2，
即 a2＝4c2＋b2.
2 2 2 2 2 2 2
由余弦定理得 cos A b ＋c －a b ＋c － 4c ＋b ＝ ＝
2bc 2bc
－3c2 1
＝ ＝－ ，
2bc 4
b
∴ ＝6.
c
5．(多选)某人向正东走了 x km 后向右转了 150°，然后沿新方向走 3 km，结果离出发点恰好
3 km，那么 x的值是( )
A. 3 B．2 3 C．3 D．6
答案 AB
解析 如图，AB＝x，BC＝3，AC＝ 3，∠ABC＝30°.
由余弦定理得 3＝x2＋9－2×3×x×cos 30°.
解得 x＝2 3或 x＝ 3，
故选 AB.
6．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A．若 cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若△ABC π为锐角三角形，有 A＋B> ，则 sin A>cos B
2
C．若 a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若 sin2A＋sin2B答案 ABD
解析 对于 A，若 cos A＝cos B，则 A＝B，∴△ABC为等腰三角形，故正确；
B A B>π π π对于 ，若 ＋ ，则 >A> －B>0，∴sin A>cos B，故正确；
2 2 2
1
对于 C，由余弦定理可得 b＝ 82＋102－2×8×10× ＝ 84，只有一解，故错误；
2
对于 D，若 sin2A＋sin2Ba2＋b2 2
则根据正弦定理得 a2＋b22ab
∴C为钝角，∴△ABC是钝角三角形，故正确；
综上，正确的判断为 ABD.
7．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 7，b＝2，A＝60°，则 c＝ .
答案 3
解析 由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴c2－2c－3＝0，解得 c＝3(c＝－1舍去)．
8．(2021· 1西安质检)在锐角△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 cos B＝ ，b
3
＝4，S△ABC＝4 2，则△ABC的周长为 ．
答案 4 3＋4
解析 由 cos B 1＝ ，得 sin B 2 2 1＝ ，由三角形面积公式可得 acsin B 1ac·2 2＝ ＝4 2，则 ac
3 3 2 2 3
＝12，①
由 b2＝a2＋c2 1－2accos B，可得 16＝a2＋c2－2×12× ，则 a2＋c2＝24，②
3
联立①②可得 a＝c＝2 3，
所以△ABC的周长为 4 3＋4.
9 a．在△ABC中，C＝60°，且 ＝2，则△ABC的面积 S的最大值为 ．
sin A
3 3
答案
4
c a
解析 由 C＝60°及 ＝ ＝2，可得 c＝ 3.
sin C sin A
由余弦定理得 3＝b2＋a2－ab≥ab(当且仅当 a＝b时取等号)，
S 1absin C 1 3 3 3 3∴ ＝ ≤ × × ＝ ，
2 2 2 4
∴△ABC 3 3的面积 S的最大值为 .
4
10. 2 2如图，在△ABC中，已知点 D在 BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝ ，AB＝3 2，AD＝3，
3
则 BD的长为 ．
答案 3
解析 因为 sin∠BAC 2 2＝ ，且 AD⊥AC，
3
π
＋∠BAD
sin 2 2 2所以 ＝ ，
3
所以 cos∠BAD 2 2＝ ，在△BAD中，由余弦定理，
3
得 BD 2 2＝ AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝ 3 2 2＋32－2×3 2×3× ＝ 3.
3
11．在①(a－c)(sin A＋sin C)＝b(sin A－sin B)；②2ccos C＝acos B＋bcos A；③△ABC的面积
1
为 c(asin A＋bsin B－csin C)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
2
已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 ．
(1)求角 C；
(2)若 D为 AB的中点，且 c＝2，CD＝ 3，求 a，b的值．
解 (1)选择①，
根据正弦定理得(a－c)(a＋c)＝b(a－b)，
整理得 a2－c2＝ab－b2，即 a2＋b2－c2＝ab，
a2＋b2cos C －c
2 1
所以 ＝ ＝ .
2ab 2
因为 C∈(0，π) π，所以 C＝ .
3
选择②，
根据正弦定理有 sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，
所以 sin(A＋B)＝2sin Ccos C，即 sin C＝2sin Ccos C.
因为 C∈(0，π)，所以 sin C≠0，从而有 cos C 1＝ ，
2
π
故 C＝ .
3
选择③，
1
因为 casin B 1＝ c(asin A＋bsin B－csin C)，
2 2
所以 asin B＝asin A＋bsin B－csin C，即 ab＝a2＋b2－c2，
a2cos C ＋b
2－c2 ab 1
由余弦定理，得 ＝ ＝ ＝ ，
2ab 2ab 2
又因为 C∈(0，π) π，所以 C＝ .
3
(2)在△ACD中，
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC，
即 b2＝1＋3－2 3cos∠ADC.
在△BCD中，
BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC，
即 a2＝1＋3－2 3cos∠BDC.
因为∠ADC＋∠BDC＝π，
所以 cos∠ADC＝－cos∠BDC，
所以 a2＋b2＝8.
π
由 C＝ 及 c＝2，得 a2＋b2－4＝ab，所以 ab＝4，
3
从而 a2＋b2－2ab＝0，所以 a＝b＝2.
12．(2019· A＋C全国Ⅲ)△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 asin ＝bsin A.
2
(1)求 B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且 c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解 (1)由题设及正弦定理得 sin Asin A＋C＝sin Bsin A.
2
A＋C
因为 sin A≠0，所以 sin ＝sin B.
2
由 A＋B＋C＝180° A＋C B，可得 sin ＝cos ，
2 2
故 cos B＝2sin Bcos B.
2 2 2
cos B因为 ≠0 B 1，所以 sin ＝ ，所以 B＝60°.
2 2 2
(2)由题设及(1) 3知△ABC的面积 S△ABC＝ a.4
由(1)知 A＋C＝120°，
a csin A sin 120°－C 3 1由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＋ .
sin C sin C 2tan C 2
由于△ABC为锐角三角形，故 0°结合 A＋C＝120°，得 30°1
所以 3 3
，
因此，△ABC面积的取值范围是 8 2 .
B 组
13.济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明
同学想测量泉标的高度，于是他在广场的 A点测得泉标顶端的仰角为 60°，他又沿着泉标底
部方向前进 15.2 m，到达 B点，又测得泉标顶部仰角为 80°.则李明同学求出泉标的高度为(sin
20°≈0.342 0，sin 80°≈0.984 8，结果精确到 1 m)( )
A．38 m B．50 m C．66 m D．72 m
答案 A
解析 如图所示，点 C，D分别为泉标的底部和顶端．
依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，
则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.
在△ABD BD AB中，根据正弦定理， ＝ .
sin 60° sin∠ADB
BD AB·sin 60° 15.2·sin 60°∴ ＝ ＝ ≈38.5(m)．
sin 20° sin 20°
在 Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，
即泉城广场上泉标的高约为 38 m.
14．(2020·济南模拟)已知 a，b，c分别为△ABC的内角 A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos
A，c是 a，b的等比中项，且△ABC的面积为 3 2，则 ab＝ ，a＋b＝ .
答案 9 33
解析 ∵(3b－a)cos C＝ccos A，∴利用正弦定理可得 3sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝
sin(A＋C)＝sin B．又∵sin B≠0，∴cos C 1＝ ，C为锐角，∴sin C 2 2＝ .由△ABC的面积为
3 3
3 2 1，可得 absin C＝3 2，∴ab＝9.由 c是 a，b的等比中项可得 c2＝ab，由余弦定理可得
2
c2＝a2＋b2－2abcos C，∴(a＋b)2 11＝ ab＝33，
3
∴a＋b＝ 33.
C 组
15 3．已知△ABC中，AC＝ 2，BC＝ 6，△ABC的面积为 ，若线段 BA的延长线上存在点
2
D，使∠BDC π＝ ，则 CD＝ .
4
答案 3
解 析 因 为 AC ＝ 2 ， BC ＝ 6 ， △ABC 3 1的 面 积 为 ＝ AC·BC·sin∠ACB ＝
2 2
1
× 2× 6×sin∠ACB，所以 sin∠ACB 1＝ ，
2 2
ACB π 5π所以∠ ＝ 或 ，
6 6
5π π
若∠ACB＝ ，则∠BDC＝ <∠BAC，
6 4
π 5π
可得∠BAC＋∠ACB> ＋ >π，与三角形内角和定理矛盾，所以∠ACB π＝ ，
4 6 6
所以在△ABC中，由余弦定理得
AB＝ AC2＋BC2 3－2AC·BC·cos∠ACB＝ 2＋6－2× 2× 6× ＝ 2，
2
π
所以 AB＝AC，所以 B＝ ，
6
所以在△BDC中，由正弦定理可得
6 1×
CD BC·sin B 2＝ ＝ ＝ 3.
sin∠BDC 2
2
16.如图所示，经过村庄 A有两条夹角为 60°的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的
区域建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄 A)，要求 PM＝PN＝MN
＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最
远)
解 设∠AMN＝θ，在△AMN中，
MN AM
＝ .
sin 60° sin 120°－θ
因为 MN＝2，所以 AM 4 3＝ sin(120°－θ)．
3
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝
16sin2(120°－θ)＋4－2×2 4 3× sin(120°－θ)·cos(60°＋θ)
3 3
16
＝ sin2(θ＋60°) 16 3－ sin(θ＋60°)·cos(θ＋60°)＋4
3 3
8
＝ [1－cos(2θ＋120°)] 8 3－ sin(2θ＋120°)＋4
3 3
8
＝－ [ 3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)] 20＋
3 3
20 16
＝ － sin(2θ＋150°)，0°<θ<120°.
3 3
当且仅当 2θ＋150°＝270°，
即θ＝60°时，AP2取得最大值 12，
即 AP取得最大值 2 3.所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．第 6 讲 解三角形
【知识梳理】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容
变形
2．三角形常用面积公式
(1)S 1＝ a·ha(ha表示边 a上的高)．
2
(2)S＝ .
(3)S 1＝ r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
2
3．测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅
垂平面内)所成的角中，目标视线在水平
仰角与俯角
视线上方的叫做仰角，目标视线在水平
视线下方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到
方位角 目标方向线之间的夹角叫做方位角．方
位角θ的范围是 0°≤θ<360°
正北或正南方向线与目标方向线所成的 例：(1)北偏东α：
方向角
锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西α：
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ
为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之
坡角与坡比
比叫坡比(坡度)，即 i h＝ ＝tan θ
l
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)当 b2＋c2－a2<0时，三角形 ABC为钝角三角形．( )
(3)从 A处望 B处的仰角为α，从 B处望 A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
0 π，
(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 2 .( )
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A.π B.π C.2π D.5π
6 3 3 6
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 3，则△ABC的面积为 ．
4.如图，在塔底 D的正西方 A处测得塔顶的仰角为 45°，在塔底 D的南偏东 60°的 B处测得
塔顶的仰角为 30°，A，B间的距离是 84 m，则塔高 CD＝ m.
5．(多选)在△ABC中，角 A，B，C所对的各边分别为 a，b，c，若 a＝1，b＝ 2，A＝30°，
则 B等于( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
6．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ．
【典型例题】
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例 1 在①b2＋ 2ac＝a2＋c2；②acos B＝bsin A；③sin B＋cos B＝ 2这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， ，A π＝ ，b＝ 2，求△ABC的
3
面积．
跟踪训练 1 (1)(2018·全国Ⅱ) C 5在△ABC中，cos ＝ ，BC＝1，AC＝5，则 AB等于( )
2 5
A．4 2 B. 30 C. 29 D．2 5
(2)(2020· 2全国Ⅲ)在△ABC中，cos C＝ ，AC＝4，BC＝3，则 tan B等于( )
3
A. 5 B．2 5 C．4 5 D．8 5
题型二 正弦定理、余弦定理的应用
命题点 1 判断三角形的形状
例 2 (1)设△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则
△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)(多选)已知 a，b，c分别是△ABC三个内角 A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是
( )
A．若 tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若 acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若 bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D a b c．若 ＝ ＝ ，则△ABC是等边三角形
cos A cos B cos C
例 3 (1)(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角 A，B π，C的对边分别为 a，b，c.若 b＝6，a＝2c，B＝ ，
3
则△ABC的面积为 ．
(2)在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 A π＝ ，a＝2，则△ABC面积的最大
6
值为 ．
跟踪训练 2 (1) ABC cos2B a＋c在△ 中， ＝ (a，b，c分别为角 A，B，C的对边)，则△ABC的形
2 2c
状为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
(2)(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 bsin C＋csin B＝4asin Bsin
C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
题型三 解三角形应用举例
例 4 (2020·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘
密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口
径(即 A，B两点间的距离)，现取两点 C，D，测得 CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA
＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为 ．
例 5 (2020·长春质检)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中
的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前
表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目
着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆
BC和 DE，两标杆之间的距离 BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端 H在同一直线上，
从前面的标杆 B处后退 123步，人眼贴地面，从地上 F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从
后面的标杆 D处后退 127步，人眼贴地面，从地上 G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，
则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)( )
A．1 255步 B．1 250步
C．1 230步 D．1 200步
例 6 已知岛 A南偏西 38°方向，距岛 A 3海里的 B处有一艘缉私艇．岛 A处的一艘走私船正
以 10海里/小时的速度向岛北偏西 22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用
参考数据：sin 38° 5 3≈ ，sin 22° 3 3≈
0.5小时能截住该走私船？ 14 14
跟踪训练 3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶
D在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角
为 30°，则此山的高度 CD＝ m.
【课后作业】
A 组
1．(2020·安庆模拟)若△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 bsin 2A＝asin B，
c 2b a且 ＝ ，则 等于( )
b
2．(2021·唐山模拟)在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，
设 AB边上的高为 h，则 h等于( )
11
A. B. 11 C.3 15 D.3 15
4 2 4 8
3．(2021· 3合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为 ，则 BC的长为( )
2
A. 3 B. 3
2
C．2 3 D．2
4．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 asin A－bsin B＝4csin
C，cos A 1 b＝－ ，则 等于( )
4 c
A．6 B．5 C．4 D．3
5．(多选)某人向正东走了 x km 后向右转了 150°，然后沿新方向走 3 km，结果离出发点恰好
3 km，那么 x的值是( )
A. 3 B．2 3 C．3 D．6
6．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A．若 cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若△ABC π为锐角三角形，有 A＋B> ，则 sin A>cos B
2
C．若 a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若 sin2A＋sin2B7．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 7，b＝2，A＝60°，则 c＝ .
8．(2021· 1西安质检)在锐角△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 cos B＝ ，b
3
＝4，S△ABC＝4 2，则△ABC的周长为 ．
9 a．在△ABC中，C＝60°，且 ＝2，则△ABC的面积 S的最大值为 ．
sin A
10.如图，在△ABC中，已知点 D在 BC边上，AD AC sin BAC 2 2⊥ ， ∠ ＝ ，AB＝3 2，AD＝3，
3
则 BD的长为 ．
11．在①(a－c)(sin A＋sin C)＝b(sin A－sin B)；②2ccos C＝acos B＋bcos A；③△ABC的面积
1
为 c(asin A＋bsin B－csin C)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
2
已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 ．
(1)求角 C；
(2)若 D为 AB的中点，且 c＝2，CD＝ 3，求 a，b的值．
12．(2019·全国Ⅲ)△ABC A＋C的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 asin ＝bsin A.
2
(1)求 B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且 c＝1，求△ABC面积的取值范围．
B 组
13.济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明
同学想测量泉标的高度，于是他在广场的 A点测得泉标顶端的仰角为 60°，他又沿着泉标底
部方向前进 15.2 m，到达 B点，又测得泉标顶部仰角为 80°.则李明同学求出泉标的高度为(sin
20°≈0.342 0，sin 80°≈0.984 8，结果精确到 1 m)( )
A．38 m B．50 m C．66 m D．72 m
14．(2020·济南模拟)已知 a，b，c分别为△ABC的内角 A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos
A，c是 a，b的等比中项，且△ABC的面积为 3 2，则 ab＝ ，a＋b＝ .
C 组
15．已知△ABC中，AC＝ 2，BC＝ 6，△ABC 3的面积为 ，若线段 BA的延长线上存在点
2
D π，使∠BDC＝ ，则 CD＝ .
4
16.如图所示，经过村庄 A有两条夹角为 60°的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的
区域建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄 A)，要求 PM＝PN＝MN
＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最
远)

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