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第 5讲 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
【考试要求】
1.结合具体实例，了解 y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，
了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学
模型．
【知识梳理】
1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx φ)(A>0 振幅 周期 频率 相位 初相＋ ，
ω>0) x 0 T 2π f 1 ω， ≥ A ＝ ＝ ＝ ωx＋φω T 2π φ
2.用“五点法”画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
0 π－φ －φ π－φ 3π－φ 2π－φ
x 2 2
ω ω ω ω ω
ωx φ π 3π＋ 0 π 2π
2 2
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数 y＝sin x的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
微思考
1．如图所示为函数 y＝sin(ωx＋φ)的部分图象．利用零点代入求φ时，ωx1＋φ取哪些值？
提示 2kπ＋π，k∈Z.
2．函数 y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？
kπ π φ
提示 对称轴是直线 x＝ ＋ － (k∈Z)，
ω 2ω ω
kπ φ
－ ，0
对称中心是点 ω ω (k∈Z)．
【基础自测】
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 1把 y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析
2
式为 y＝sin 1x.( × )
2
2x π－
(2)将 y＝sin 2x π的图象向右平移 个单位长度，得到 y＝sin 3 的图象．( √ )
6
(3)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为 A，最小值为－A.( × )
(4)如果 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为
T.( √ )
2
题组二 教材改编
1x π－
2．函数 y＝2sin 2 3 的振幅、频率和初相分别为( )
A 2,4π π． ， B．2 1 π， ，
3 4π 3
C 2 1 π D 2,4π π． ， ，－ ． ，－
4π 3 3
答案 C
解析 由题意知 A 2 f 1 ω 1 π＝ ， ＝ ＝ ＝ ，初相为－ .
T 2π 4π 3
3．函数 y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2倍得到的图象对应的
函数解析式是________．
1
答案 y＝sin x
2
解析 根据函数图象变换法则可得．
4．如图，某地一天从 6～14时的温度变化曲线近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则
这段曲线的函数解析式为__________________________．
πx 3π＋
答案 y＝10sin 8 4 ＋20，x∈[6,14]
解析 从题图中可以看出，从 6～14时的图象是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
1 1
所以 A＝ ×(30－10)＝10，b＝ ×(30＋10)＝20，
2 2
1 2π
又 × ＝14－6，所以ω π＝ .
2 ω 8
π
又 ×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以φ 3π＝ ，
8 4
πx 3π＋
所以 y＝10sin 8 4 ＋20，x∈[6,14]．
题组三 易错自纠
5．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．
答案 π2＋4
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距
离为 π2＋4.
2x π－
6 π．将曲线 C1：y＝2cos 6 上的点向右平移 个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的
6
1
，纵坐标不变，得到曲线 C2，则 C2的方程为( )
2
4x π－
A．y＝2sin 4x B．y＝2sin 3
x π－
C．y＝2sin x D．y＝2sin 3
答案 A
2x π－ π
解析 将曲线 C1：y＝2cos 6 上的点向右平移 个单位长度，可得 y＝2sin 2x的图象，再
6
1
将各点横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，可得曲线 C2：y＝2sin 4x，故选 A.
2
【典型例题】
题型一 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
x π＋
例 1 (1)(2020·天津)已知函数 f(x)＝sin 3 .给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为 2π；
π
②f 2 是 f(x)的最大值；
③把函数 y＝sin x π的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 y＝f(x)的图象．
3
其中所有正确结论的序号是( )
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
答案 B
T 2π解析 ＝ ＝2π，故①正确．
1
π π
当 x＋ ＝ ＋2kπ(k∈Z)，
3 2
x π即 ＝ ＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，故②错误．
6
π π
向左平移 个单位长度 x＋
y＝sin x的图象 ―――――3――――→y＝sin 3 的图象，故③正确．
2x π＋
(2)(2020· π江苏)将函数 y＝3sin 4 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 y
6
轴最近的对称轴的方程是________．
x 5π答案 ＝－
24
2x π＋
解析 将函数 y＝3sin 4 π的图象向右平移 个单位长度，
6
x π－
2 π π＋ 2x－
所得图象的函数解析式为 y＝3sin 6 4 ＝3sin 12 .
2x π π令 － ＝kπ＋ ，k∈Z，
12 2
kπ 7π
得对称轴的方程为 x＝ ＋ ，k∈Z，
2 24
5π
分析知当 k＝－1时，对称轴为直线 x＝－ ，与 y轴最近．
24
思维升华 (1)由函数 y＝sin x的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平
移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)当 x的系数不为 1时，特别注意先提取系数，再加减．
6x π－
跟踪训练 1 (1)(2020· π广州测试)由 y＝2sin 6 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图
3
象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，所得图象对应的函数解析式为( )
3x π π－ 3x＋
A．y＝2sin 6 B．y＝2sin 6
3x π π－ 12x－
C．y＝2sin 12 D．y＝2sin 6
答案 A
x π＋
6x π－ 6
y 2sin 6 π y 2sin 3
π
－
解析 由 ＝ 的图象向左平移 个单位长度，可得 ＝
3 6
＝
6x 2π π 6x π＋ － －
2sin 6 ＝2sin 6 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，
3x π π－ 3x－
得到 y＝2sin 6 的图象，故所得图象对应的函数解析式为 y＝2sin 6 ，选 A.
(2)已知函数 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x π，将 y＝f(x)的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1
6
3π
－
个单位长度得到函数 y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为________，g 4 的值为
________．
答案 π 3
2x π－
解析 由题意知函数 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin 3 ，
将 y＝f(x) π的图象向左平移 个单位长度，
6
2x π π＋ －
可得 y＝2sin 3 3 ＝2sin 2x的图象，
再向上平移 1个单位长度得到函数 y＝g(x)＝2sin 2x＋1的图象，
3π 3π
－ －
则 T 2π＝ ＝π，g 4 ＝2sin 2 ＋1＝3.
2
题型二 由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
ωx π＋
1．(2020·全国Ⅰ改编)设函数 f(x)＝cos 6 在[－π，π]上的图象大致如图，则 f(x)的解析式
为( )
3x π－ ＋
A．f(x)＝cos 2 6
3x π＋
B．f(x)＝cos 2 6
3x π－
C．f(x)＝cos 4 6
3x π＋
D．f(x)＝cos 4 6
答案 B
解析 由图象知π|ω|
所以 1<|ω|<2.
4π 0 4π π－ ， － ω＋
因为图象过点 9 ，所以 cos 9 6 ＝0，
4π π π
所以－ ω＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，
9 6 2
9 3
所以ω＝－ k－ ，k∈Z.
4 4
因为 1<|ω|<2 3，故 k＝－1，得ω＝ ，
2
3x π＋
所以 f(x)＝cos 2 6 .
2.(2021· ) g(x) π蓉城名校联考 若将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度得到函数 f(x)的图
6
A>0，ω>0 π，|φ|<
象，已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) 2 的部分图象如图所示，则( )
2x π＋ 2x 2π＋
A．g(x)＝sin 3 B．g(x)＝sin 3
2x π＋
C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sin 6
答案 C
3 5π π 3π 2π
解析 根据题图有 A＝1， T＝ － ＝ T＝π＝ ω＝2(T为 f(x)的最小正周期)，所以
4 6 12 4 ω
π 2 π× ＋φ π＋φ
f(x)＝sin(2x＋φ)，由 f 12 ＝sin 12 π π π＝1 sin 6 ＝1 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z φ＝ ＋
6 2 3
2x π 2x π＋ ＋
2kπ，k∈Z.因为|φ|<π π，所以φ＝ ，所以 f(x)＝sin 3 ，将 f(x)＝sin 3 的图象向右平移
2 3
π
x π x－π － 2
π
＋
个单位长度得到函数 g(x) 6的图象，则 g(x)＝f 6 ＝sin 3 ＝sin 2x.故选 C.
6
3.(2021·兰州实战考试)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部
分图象如图所示，△EFG(点 G是图象的最高点)是边长为 2的等边三角形，则 f(1)＝________.
答案 － 3
2π π
解析 由题意得，A＝ 3，T＝4＝ ，ω＝ .
ω 2
又因为 f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，
φ π所以 ＝ ＋kπ，k∈Z，由 0<φ<π，取 k＝0，则φ π＝ ，
2 2
πx π＋
所以 f(x)＝ 3cos 2 2 ，所以 f(1)＝－ 3.
思维升华 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或
把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
命题点 1 图象与性质的综合应用
ω>0 π θ π，－ ≤ ≤
例 2 (2020·青岛模拟)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋θ) 2 2 的图象相邻的两个对称中心
π π
之间的距离为 ，若将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到偶函数 g(x)的图象，则函
2 6
数 f(x)的一个单调递减区间为( )
π π π 7π
－ ， ，
A. 3 6 B. 4 12
0 π π 5π， ，
C. 3 D. 2 6
答案 B
π T π
解析 因为函数 f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，所以 ＝ ，即 T
2 2 2
2π
＝π，即 ＝π，ω＝2，得 f(x)＝sin(2x＋θ)，将 f(x) π的图象向左平移 个单位长度后，得到 g(x)
ω 6
2x π＋ ＋θ
＝sin 3 π π π的图象，因为 g(x)为偶函数，所以 ＋θ＝kπ＋ (k∈Z)，解得θ＝kπ＋ (k∈Z)．又
3 2 6
π
π π π 2x＋
因为－ ≤θ≤ ，所以θ＝ ，所以 f(x)＝sin 6 .
2 2 6
π
令 ＋2kπ π 3π≤2x＋ ≤ ＋2kπ(k∈Z)，
2 6 2
π 2π
解得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)．
6 3
π 2π
，
当 k＝0时，得到一个单调递减区间为 6 3 .
π 7π π 2π
， ，
又 4 12 6 3 ，故选 B.
命题点 2 函数零点(方程根)问题
π
，π
例 3 已知关于 x的方程 2sin2x－ 3sin 2x＋m－1＝0在 2 上有两个不同的实数根，则 m的
取值范围是____________．
答案 (－2，－1)
解析 方程 2sin2x－ 3sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋ 3sin 2x＝cos 2x＋ 3sin 2x
2x π π＋ ，π
＝2sin 6 ，x∈ 2 .
7π 13π
，
设 2x π＋ ＝t，则 t∈ 6 6 ，
6
7π 13π
m ，
∴题目条件可转化为 ＝sin t，t∈ 6 6 有两个不同的实数根．
2
7π 13π
y m
，
∴ ＝ 和 y＝sin t，t∈ 6 6 的图象有两个不同交点，如图：
2
m －1
1
，－
由图象观察知， 的取值范围是 2 ，
2
故 m的取值范围是(－2，－1)．
本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则 m的取值范围是
__________．
答案 [－2,1)
1
m －1，
解析 同例题知， 的取值范围是 2 ，
2
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．
命题点 3 三角函数模型
例 4 (2020·山东省八所重点中学联考)如图，点 A，B分别是圆心在坐标原点，半径为 1 和 2
cos π，sin π
的圆上的动点．动点 A从初始位置 A0 3 3 开始，按逆时针方向以角速度 2 rad/s做
圆周运动，同时点 B从初始位置 B0(2,0)开始，按顺时针方向以角速度 2 rad/s做圆周运动．记
t时刻，点 A，B的纵坐标分别为 y1，y2.
(1) π求 t＝ 时，A，B两点间的距离；
4
0 π，
(2)若 y＝y1＋y2，求 y关于时间 t(t>0)的函数关系式，并求当 t∈ 2 时，y的取值范围．
解 (1)连接 AB，OA，OB(图略) t π，当 ＝ 时，∠xOA π π 5π π＝ ＋ ＝ ，∠xOB＝ ，所以∠AOB＝
4 2 3 6 2
2π.
3
又 OA＝1，OB＝2，
所以 AB2＝12＋22－2×1×2cos 2π＝7，
3
即 A，B两点间的距离为 7.
2t π＋
(2)依题意，y1＝sin 3 ，y2＝－2sin 2t，
2t π＋ 2t π＋
所以 y＝sin 3 －2sin 2t 3 3＝ cos 2t－ sin 2t＝ 3cos 3 ，
2 2
2t π＋
即函数关系式为 y＝ 3cos 3 (t>0)，
0 π π 4π， ，
当 t∈ 2 时，2t π＋ ∈ 3 3 ，
3
2t π＋ －1 1，
所以 cos 3 ∈ 2 ，
0 π， － 3 3，
故当 t∈ 2 时，y∈ 2 .
思维升华 (1)研究 y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合
思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽
象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
0<ω<π π，|φ|<
跟踪训练 2 (2020·南昌模拟)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) 2 2 的部分图象如图所示，A(0，
3)，C(2,0)，并且 AB∥x轴．
(1)求ω和φ的值；
(2)求 cos∠ACB的值．
解 (1)由已知得 f(0)＝2sin φ π＝ 3，又|φ|< ，
2
π ωx
π
＋ 2ω π＋
所以φ＝ ，所以 f(x)＝2sin 3 .因为 f(2)＝0，即 2sin 3 ＝0 π，所以 2ω＋ ＝kπ，k∈Z，
3 3
k π
解得ω＝ π－ ，k∈Z，而 0<ω<π π，所以ω＝ .
2 6 2 3
πx π＋
(2)由(1)知，f(x)＝2sin 3 3 ，令 f(x)＝ 3，
πx π得 ＋ ＝2kπ π π π 2π＋ 或 x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，
3 3 3 3 3 3
所以 x＝6k或 x＝6k＋1，k∈Z.由题图可知，B(1， 3) →．所以CA＝( →－2， 3)，CB＝(－1， 3)，
C→A·C→B
所以|C→A| →＝ 7，|CB|＝2 5 5 7，所以 cos∠ACB＝ ＝ ＝ .
|C→A||C→B| 2 7 14
【课后作业】
A组
2x π π－ － ，π
1．函数 y＝sin 3 在区间 2 上的简图是( )
答案 A
π π π
－
x 0 y sin 3 3
－
解析 令 ＝ 得 ＝ ＝－ ，排除 B，D项，由 f 3 ＝0，f 6 ＝0，排除 C项，
2
故选 A.
2x π＋
2．(2021·西安五校联考)将函数 y＝sin 4 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原
2 π来的 倍，再向右平移 个单位长度，所得到的图象的解析式是( )
4
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin 4x D．y＝cos 4x
答案 A
2x π x π x π π＋ ＋ － ，＋
解析 y＝sin 4 →y＝sin 4 →y＝sin 4 4 ＝sin x.
3．若将函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于 y轴对称，则φ
的最小正值是( )
A.π B.π C.3π D.5π
8 4 8 4
答案 C
2x π－
解析 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝ 2cos 4 ，将函数 f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图
2x π－ －2φ
象对应的函数为 y＝ 2cos 4 ，且该函数为偶函数，
故 2φ π＋ ＝kπ(k∈Z)，所以φ 3π的最小正值为 .
4 8
ωx π＋
4．(2021·石家庄检测)若ω>0，函数 y＝cos 3 π的图象向右平移 个单位长度后与函数 y＝
3
sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( )
A.11 B.5 C.1 D.3
2 2 2 2
答案 B
ωx π＋ π
解析 函数 y＝cos 3 的图象向右平移 个单位长度后，
3
x π－
ω π ωx ωπ π＋ － ＋
所得函数图象对应的解析式为 y＝cos 3 3 ＝cos 3 3 ，
ωx π－ ＋2kπ
其图象与函数 y＝sin ωx＝cos 2 ，k∈Z的图象重合，
π 2kπ ωπ π∴－ ＋ ＝－ ＋ ，k∈Z，
2 3 3
∴ω＝－6k 5＋ ，k∈Z，
2
又ω>0，
∴ω 5的最小值为 ，故选 B.
2
5．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，
给出下列函数中是“互为生成”函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋cos x
B．f(x)＝ 2(sin x＋cos x)
C．f(x)＝sin x
D．f(x)＝ 2sin x＋ 2
答案 AD
x π＋
解析 f(x)＝sin x＋cos x＝ 2sin 4 与 f(x)＝ 2sin x＋ 2经过平移后能够重合．
2x π＋
6．(多选)将函数 f(x)＝ 3cos 3 －1 π的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位
3
长度，得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)具有以下哪些性质( )
A π．最大值为 3，图象关于直线 x＝－ 对称
3
B．图象关于 y轴对称
C．最小正周期为π
π
，0
D．图象关于点 4 成中心对称
答案 BCD
2x π＋
解析 将函数 f(x)＝ 3cos 3 π－1的图象向左平移 个单位长度，
3
x π＋
3 2 3
π
＋
得到 y＝ cos 3 －1＝ 3cos(2x＋π)－1＝－ 3cos 2x－1的图象；
再向上平移 1个单位长度，得到函数 g(x)＝－ 3cos 2x 的图象．
对于函数 g(x) π 3，它的最大值为 3，由于当 x＝－ 时，g(x)＝ ，不是最值，故 g(x)的图象不
3 2
π
关于直线 x＝－ 对称，故 A错误；
3
由于该函数为偶函数，故它的图象关于 y轴对称，故 B正确；
2π
它的最小正周期为 ＝π，故 C正确；
2
π
x π
，0
当 ＝ 时，g(x)＝0，故函数的图象关于点 4 成中心对称，故 D正确．
4
3x π＋
7．(2018·全国Ⅲ)函数 f(x)＝cos 6 在[0，π]上的零点个数为______．
答案 3
3x π＋
解析 由题意可知，当 3x π π＋ ＝kπ＋ (k∈Z)时，f(x)＝cos 6 ＝0.
6 2
∵x∈[0，π]，
π 19π
π ，
∴3x＋ ∈ 6 6 ，
6
3x π π 3π 5π∴当 ＋ 的取值为 ， ， 时，f(x)＝0，
6 2 2 2
3x π＋
即函数 f(x)＝cos 6 在[0，π]上的零点个数为 3.
2x 2π＋
8．(2020·济南模拟)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝sin 3 ，则为了得到曲线 C1，首先
要把 C2上各点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移
________个单位长度．(本题所填数字要求为正数)
2 π答案
6
x π＋
解析 ∵曲线 C1：y＝cos x＝sin 2
2·1x 2π π＋ －
＝sin 2 3 6 ，
∴先将曲线 C2上各点的横坐标变为原来的 2倍，纵坐标不变，
2·1x 2π＋
再把得到的曲线 y＝sin 2 3 π向右至少平移 个单位长度．
6
π 2x
π
－
9．函数 y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移 个单位长度后，与函数 y＝sin 3 的图象
2
重合，则φ＝________.
π
答案
6
解析 把函数 y＝cos(2x φ)(0<φ<π) π＋ 的图象向右平移 个单位长度后，得到 y＝cos(2x－π＋φ)
2
的图象，
2x π 2x π－ －
与函数 y＝sin 3 的图象重合，则 cos(2x－π＋φ)＝sin 3 ，
2x π π－ ＋φ 2x－
即 sin 2 ＝sin 3 ，
π π
所以－ ＋φ＝－ ＋2kπ，k∈Z，又 0<φ<π，则φ π＝ .
2 3 6
ω>0，|φ|<π
10．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) 2 的部分图象如图所示，则ω＝________，函数 f(x)
的单调递增区间为____________________．
5π π
－ ＋kπ， ＋kπ
答案 2 12 12 (k∈Z)
π
T π － π
解析 由图象知 ＝ － 6 ＝ ，
2 3 2
则周期 T＝π 2π，即 ＝π，
ω
则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．
π
－
由 2× 6 ＋φ＝2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，所以φ π＝ ，
2 3
2x π＋
则 f(x)＝2sin 3 .
2kπ π 2x π令 － ≤ ＋ ≤2kπ π＋ ，k∈Z，
2 3 2
5π
得－ ＋kπ≤x π≤kπ＋ ，k∈Z，
12 12
5π
－ ＋kπ π， ＋kπ
即函数 f(x)的单调递增区间为 12 12 (k∈Z)．
11．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为 2.
(1)求 a的值及 f(x)的最小正周期；
(2)画出 f(x)在[0，π]上的图象．
解 (1)f(x)＝ 3sin 2x＋2cos2x＋a
＝ 3sin 2x＋cos 2x＋1＋a
2x π＋
＝2sin 6 ＋1＋a的最大值为 2，
2π
所以 a＝－1，最小正周期 T＝ ＝π.
2
2x π＋
(2)由(1)知 f(x)＝2sin 6 ，列表：
π 5π 2π 11π
x 0 π
6 12 3 12
2x π π π 3π 13π＋
6 π 2π6 2 2 6
2x π＋
f(x) 2sin 6 1 2 0 －2 0 1＝
画图如下：
12．(2020·黄岗中学模拟)已知函数 f(x)＝2 3sin ωxcos ωx＋2cos2ωx(ω>0)，且 f(x)的最小正周
期为π.
(1)求ω的值及函数 f(x)的单调递减区间；
0 π，
(2) π将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，求当 x∈ 2 时，函数
6
g(x)的最大值．
解 (1)由题意知 f(x)＝ 3sin 2ωx＋1＋cos 2ωx
2ωx π＋
＝2sin 6 ＋1，
2π
∵周期 T＝π，即 ＝π，∴ω＝1，
2ω
2x π＋
∴f(x)＝2sin 6 ＋1，
π
令 ＋2kπ≤2x π 3π＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
2 6 2
π kπ x 2π得 ＋ ≤ ≤ ＋kπ，k∈Z.
6 3
π kπ 2π＋ ， ＋kπ
∴函数 f(x)的单调递减区间为 6 3 ，k∈Z.
x π－
2 π 2x π＋ －
(2)∵g(x)＝2sin 6 6 ＋1＝2sin 6 ＋1，
0 π π， －
x 2 6 2x π 5π当 ∈ 时， ≤ － ≤ ，
6 6
π π π
∴当 2x－ ＝ ，即 x＝ 时，g(x)max＝2×1＋1＝3.
6 2 3
B组
13.(2020·湖南衡阳高中毕业联考)将函数 f(x) π的图象向右平移 个单位长度，再将所得函数图象
6
2 A>0，ω>0，|φ|<
π
上的所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 g(x)＝Asin(ωx＋φ) 2 的图
3
象．已知函数 g(x)的部分图象如图所示，则( )
A．函数 f(x) 2π的最小正周期为 ，最大值为 2
3
π
，0
B．函数 f(x)的最小正周期为π，图象关于点 6 中心对称
C 2π π．函数 f(x)的最小正周期为 ，图象关于直线 x＝ 对称
3 6
π π
，
D．函数 f(x)的最小正周期为π，在区间 6 3 上单调递减
答案 D
2π π
－ 2π 2π
解析 对于 g(x)，由题图可知，A＝2，T＝4 9 18 ＝ ，所以ω＝ ＝3，则 g(x)＝2sin(3x
3 T
2π
φ) g 9 2 φ π 2kπ k Z |φ|<π π＋ ，又由 ＝ 可得 ＝－ ＋ ， ∈ ，而 ，所以φ＝－ .
6 2 6
3x π－ 2x π＋
所以 g(x)＝2sin 6 ，所以 f(x)＝2sin 6 .
所以 f(x)的最小正周期为π，选项 A，C错误．
B 2x π kπ(k kπ π对于选项 ，令 ＋ ＝ ∈Z)，所以 x＝ － ，k∈Z，所以函数 f(x)图象的对称中心为
6 2 12
kπ π π π π 5π π π
－ ，0 ， ， ，
2 12 (k∈Z)，所以选项 B是错误的；当 x∈ 6 3 π时，2x＋ ∈ 2 6 ，所以 f(x)在 6 3
6
上单调递减，所以选项 D正确．故选 D.
14．将函数 f(x)＝2sin xcos x－2 3cos2x＋ 3的图象向左或向右平移 a(a>0)个单位长度，得到
π
－x
函数 y＝g(x)的图象，若 g 6 ＝g(x)对任意实数 x成立，则实数 a的最小值为( )
A.5π B.π C.π D.π
24 4 3 6
答案 D
2x π－
解析 因为 f(x)＝2sin xcos x－2 3cos2x＋ 3＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin 3 ，
2x π－ ±2a
则 g(x)＝2sin 3 ，
π
－x
由 g 6 ＝g(x)得函数 g(x) π的对称轴为 x＝ ，
12
π π π
所以 － ±2a＝kπ＋ ，k∈Z，
6 3 2
k π
所以±a＝ π＋ ，k∈Z，
2 3
π
因为 a>0，所以当 k＝－1时，可得－a＝－ ，
6
a π π即 ＝ ，即 a的最小值为 .
6 6
C组
ωx 5π＋
15．如图，将绘有函数 f(x)＝ 3sin 6 (ω>0)部分图象的纸片沿 x轴折成直二面角，若 A，
B之间的空间距离为 10，则 f(－1)＝________.
3
答案
2
解析 由题设并结合图形可知，
T
2
AB＝ 3 2＋ 3 2＋ 2 2 6 T＝ ＋
4
2 2
＝ 6 π＋ ＝ 10 π π，得 ＝4，则ω＝ ，
ω2 ω2 2
π 5π
－ ＋
所以 f(－1)＝ 3sin 2 6 ＝ 3sin π 3＝ .
3 2
16．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可
以从高处俯瞰四周的景色(如图 1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90米，最低点距离
地面为 10米，摩天轮上均匀设置了 36个座舱(如图 2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，
游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天
轮转一周需要 30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
(1)经过 t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于 t的函数关系式满足H(t)＝Asin(ωt
＋φ)＋B(其中 A>0，ω>0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记
两人距离地面的高度差为 h米，求 h的最大值．
解 (1)由题意可知 H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，B≥0)，摩天轮的最高点距离地面的高
度为 90米，最低点距离地面 10米，
A＋B＝90，
得 A＝40，B＝50.
－A＋B＝10，
又函数周期为 30 ω 2π π， ＝ ＝ ，
30 15
π t＋φ
所以 H(t)＝40sin 15 ＋50(0≤t≤30)，
π
×0＋φ
又 t＝0时，H(t)＝10，所以 10＝40sin 15 ＋50，
即 sin φ π＝－1，φ可取－ ，
2
π t π－
所以 H(t)＝40sin 15 2 ＋50
π
＝－40cos t＋50(0≤t≤30)．
15
(2)H(t)＝－40cos π t＋50＝30，cos π t 1＝ ，
15 15 2
解得 t＝5，
所以游客甲坐上摩天轮 5分钟后，距离地面的高度恰好为 30米．
(3) 30由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为 ，游客甲，乙中间相隔 5个座舱，
36
则游客乙在游客甲之后 5分钟进入座舱，若甲在摩天轮上坐了 t(5≤t≤30)分钟，则游客乙在
摩天轮上坐了 t－5分钟，
所以高度差为
π
π －40cos t－5 ＋50h＝－40cos t＋50－ 15
15
cos π t－cos π t－5
＝－40 15 15
1cos π t 3sin π－ t
＝－40 2 15 2 15
π t π＋
＝－40cos 15 3 ，
2π π π 7π
因为 5≤t≤30，所以 ≤ t＋ ≤ ，
3 15 3 3
π t π当 ＋ ＝π，即 t＝10时，h取得最大值 40.
15 3第 5 讲 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
【知识梳理】
1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0 振幅 周期 频率 相位 初相，
ω>0) 2π，x≥0 A T＝ f
1 ω
＝ ＝ ωx＋φ
ω T 2π φ
2.用“五点法”画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x
ωx＋φ
y＝Asin(ωx＋φ)
3.函数 y＝sin x的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
【基础自测】
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)把 y＝sin x 1的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析
2
式为 y＝sin 1x.( )
2
2x π－
(2)将 y＝sin 2x π的图象向右平移 个单位长度，得到 y＝sin 3 的图象．( )
6
(3)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为 A，最小值为－A.( )
(4)如果 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为
T.( )
2
1x π－
2．函数 y＝2sin 2 3 的振幅、频率和初相分别为( )
A 2,4π π B 1 π． ， ．2， ，
3 4π 3
C 2 1 π． ， ，－ D．2,4π π，－
4π 3 3
3．函数 y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2倍得到的图象对应的
函数解析式是________．
4．如图，某地一天从 6～14时的温度变化曲线近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则
这段曲线的函数解析式为__________________________．
5．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．
2x π－
6．将曲线 C1：y＝2cos 6
π
上的点向右平移 个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的
6
1
，纵坐标不变，得到曲线 C2，则 C2的方程为( )
2
4x π－
A．y＝2sin 4x B．y＝2sin 3
x π－
C．y＝2sin x D．y＝2sin 3
【典型例题】
题型一 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
x π＋
例 1 (1)(2020·天津)已知函数 f(x)＝sin 3 .给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为 2π；
π
②f 2 是 f(x)的最大值；
π
③把函数 y＝sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 y＝f(x)的图象．
3
其中所有正确结论的序号是( )
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
2x π＋
(2)(2020·江苏)将函数 y＝3sin 4 π的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 y
6
轴最近的对称轴的方程是________．
6x π－
跟踪训练 1 (1)(2020· π广州测试)由 y＝2sin 6 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图
3
象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，所得图象对应的函数解析式为( )
3x π π－ 3x＋
A．y＝2sin 6 B．y＝2sin 6
3x π 12x π－ －
C．y＝2sin 12 D．y＝2sin 6
(2)已知函数 f(x)＝sin 2x－ 3cos 2x π，将 y＝f(x)的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1
6
3π
－
个单位长度得到函数 y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为________，g 4 的值为
________．
题型二 由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
ωx π＋
1．(2020·全国Ⅰ改编)设函数 f(x)＝cos 6 在[－π，π]上的图象大致如图，则 f(x)的解析式
为( )
3
－ x π 3 π＋ x＋
A．f(x)＝cos 2 6 B．f(x)＝cos 2 6
3x π 3x π－ ＋
C．f(x)＝cos 4 6 D．f(x)＝cos 4 6
2.(2021· π蓉城名校联考)若将函数 g(x)图象上所有的点向左平移 个单位长度得到函数 f(x)的图
6
A>0，ω>0，|φ|<π
象，已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) 2 的部分图象如图所示，则( )
2x π 2x 2π＋ ＋
A．g(x)＝sin 3 B．g(x)＝sin 3
2x π＋
C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sin 6
3.(2021·兰州实战考试)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部
分图象如图所示，△EFG(点 G是图象的最高点)是边长为 2的等边三角形，则 f(1)＝________.
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
ω>0 π，－ ≤θ π≤
例 2 (2020·青岛模拟)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋θ) 2 2 的图象相邻的两个对称中心
π
之间的距离为 ，若将函数 f(x) π的图象向左平移 个单位长度后得到偶函数 g(x)的图象，则函
2 6
数 f(x)的一个单调递减区间为( )
π π π 7π
－ ， ，
A. 3 6 B. 4 12
0 π π 5π， ，
C. 3 D. 2 6
命题点 2 函数零点(方程根)问题
π
，π
例 3 已知关于 x的方程 2sin2x－ 3sin 2x＋m－1＝0在 2 上有两个不同的实数根，则 m的
取值范围是____________．
例 4 (2020·山东省八所重点中学联考)如图，点 A，B分别是圆心在坐标原点，半径为 1 和 2
cos π，sin π
的圆上的动点．动点 A从初始位置 A0 3 3 开始，按逆时针方向以角速度 2 rad/s做
圆周运动，同时点 B从初始位置 B0(2,0)开始，按顺时针方向以角速度 2 rad/s做圆周运动．记
t时刻，点 A，B的纵坐标分别为 y1，y2.
(1)求 t π＝ 时，A，B两点间的距离；
4
0 π，
(2)若 y＝y1＋y2，求 y关于时间 t(t>0)的函数关系式，并求当 t∈ 2 时，y的取值范围．
0<ω<π π，|φ|<
跟踪训练 2 (2020·南昌模拟)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) 2 2 的部分图象如图所示，A(0，
3)，C(2,0)，并且 AB∥x轴．
(1)求ω和φ的值；
(2)求 cos∠ACB的值．
【课后作业】
A 组
2x π π－ － ，π
1．函数 y＝sin 3 在区间 2 上的简图是( )
2x π＋
2．(2021·西安五校联考)将函数 y＝sin 4 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原
π
来的 2倍，再向右平移 个单位长度，所得到的图象的解析式是( )
4
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin 4x D．y＝cos 4x
3．若将函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于 y轴对称，则φ
的最小正值是( )
A.π B.π C.3π D.5π
8 4 8 4
ωx π＋
4．(2021·石家庄检测)若ω>0 π，函数 y＝cos 3 的图象向右平移 个单位长度后与函数 y＝
3
sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( )
A.11 B.5 C.1 D.3
2 2 2 2
5．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，
给出下列函数中是“互为生成”函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ 2(sin x＋cos x)
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ 2sin x＋ 2
2x π＋
6．(多选)将函数 f(x)＝ 3cos 3 －1 π的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位
3
长度，得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)具有以下哪些性质( )
A．最大值为 3 π，图象关于直线 x＝－ 对称
3
B．图象关于 y轴对称
C．最小正周期为π
π
，0
D．图象关于点 4 成中心对称
3x π＋
7．(2018·全国Ⅲ)函数 f(x)＝cos 6 在[0，π]上的零点个数为______．
2x 2π＋
8．(2020·济南模拟)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝sin 3 ，则为了得到曲线 C1，首先
要把 C2上各点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移
________个单位长度．(本题所填数字要求为正数)
2x π－
9．函数 y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π) π的图象向右平移 个单位长度后，与函数 y＝sin 3 的图象
2
重合，则φ＝________.
ω>0 π，|φ|<
10．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) 2 的部分图象如图所示，则ω＝________，函数 f(x)
的单调递增区间为____________________．
11．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为 2.
(1)求 a的值及 f(x)的最小正周期；
(2)画出 f(x)在[0，π]上的图象．
12．(2020·黄岗中学模拟)已知函数 f(x)＝2 3sin ωxcos ωx＋2cos2ωx(ω>0)，且 f(x)的最小正周
期为π.
(1)求ω的值及函数 f(x)的单调递减区间；
0 π，
(2)将函数 f(x) π的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，求当 x∈ 2 时，函数
6
g(x)的最大值．
B 组
13.(2020· π湖南衡阳高中毕业联考)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所得函数图象
6
2 A>0，ω>0 |φ|<
π
，
上的所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 g(x)＝Asin(ωx＋φ) 2 的图
3
象．已知函数 g(x)的部分图象如图所示，则( )
A．函数 f(x) 2π的最小正周期为 ，最大值为 2
3
π
，0
B．函数 f(x)的最小正周期为π，图象关于点 6 中心对称
C 2π π．函数 f(x)的最小正周期为 ，图象关于直线 x＝ 对称
3 6
π π
，
D．函数 f(x)的最小正周期为π，在区间 6 3 上单调递减
14．将函数 f(x)＝2sin xcos x－2 3cos2x＋ 3的图象向左或向右平移 a(a>0)个单位长度，得到
π
－x
函数 y＝g(x)的图象，若 g 6 ＝g(x)对任意实数 x成立，则实数 a的最小值为( )
A.5π B.π C.π D.π
24 4 3 6
C 组
ωx 5π＋
15．如图，将绘有函数 f(x)＝ 3sin 6 (ω>0)部分图象的纸片沿 x轴折成直二面角，若 A，
B之间的空间距离为 10，则 f(－1)＝________.
16．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可
以从高处俯瞰四周的景色(如图 1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90米，最低点距离
地面为 10米，摩天轮上均匀设置了 36个座舱(如图 2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，
游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天
轮转一周需要 30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
(1)经过 t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于 t的函数关系式满足H(t)＝Asin(ωt
＋φ)＋B(其中 A>0，ω>0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记
两人距离地面的高度差为 h米，求 h的最大值．

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