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连云港市四校2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试题
用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．
1.按序给出两类元素，类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在两类中各取１个元素组成１个排列，则类中选取的元素排在首位，类中选取的元素排在末位的排列的个数为（ ）
A．240 B．200 C．120 D．60
2．若，，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
3．已知A与B是两个事件，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)等于（ ）
A． B． C． D．
4.某医院从2名医生和5名护士中，选出3人参加抗新冠病毒援沪志愿活动.要求入选的3人中至少有一名医生，则不同的选取方案的种数是（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 55
5.已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）．
A． B．97 C． D．61
6．二项式的展开式中第3项的二项式系数为（ ）
A. B.56 C. D.28
7．在三棱锥中，CP，CA，CB两两互相垂直，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（A，B，C，，且A，B，C不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面PAB的距离d等于( )
A. B. C.2 D.5
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，将正确选项涂在答题卡．
9．若，则正整数x的值是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
10．对于，下列排列组合数结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．A，B，M，N是空间中的四个点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D．已知{}是空间的一个基底，若，则{}也是空间的一个基底
12．甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．两两互斥 B． C．事件与事件相互独立 D．
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13.若的展开式中第4项的系数是160，则_______．
14.已知，，且，则向量与的夹角为______．
15.已知，，，若，，三向量共面，则实数等于 ．
16. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为　　．（用数字作答）
四、解答题：共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的
（1）三位数？
（2）无重复数字的三位数？
（3）小于500且没有重复数字的自然数？
18．(本小题满分12分)
已知空间三点，0，，，1，，，0，，设，，
（1）求和夹角的余弦值；
（2）设，，求的坐标．
19．（本小题满分12分）
已知，求：
（1）的值；
（2）及的值；
（3）各项二项式系数和。
20．（本小题满分12分）
某机构对某品牌机电产品进行了质量调查,下面是消费者关于质量投诉的数据:
擦伤（%） 凹痕（%） 外观（%） 合计（%）
保质期内 18 13 32 63
保质期后 12 22 3 37
合 计 30 35 35 100
(1)如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉,那么投诉的原因不是凹痕的概率是多少
(2)如果该品牌机电产品收到一个消费者投诉,且投诉发生在保质期内,那么投诉的原因是产品外观的概率是多少 （结果保留两位有效数字）
(3)已知投诉发生在保质期后,投诉的原因是产品外观的概率是多少 （结果保留两位有效数字）
(4)若事件A:投诉的原因是产品外观,事件B:投诉发生在保质期内,则A和B是独立事件吗
21．（本小题满分12分）
在三棱柱中，、分别是、的点，且，.设，，.
（1）用、、表示向量；
（2）若，，，求的长.
22．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
连云港市四校2021-2022学年高二下学期期中考试数学参考答案
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．C 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B
1. C．10×12＝120;
3.D．P(A|B)＝.
5．C．∵
，∴。
6．D.二项式展开式第三项的二项式系数为。
7.A．由题意可得，，，则，，设平面PAB的一个法向量为，由得令，则，，.又，平面PAB的一个法向量为.
8. B.以底面中心O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.则，，，，设平面PAB的方程为，将A，B，P三点的坐标代入计算得，，，所以方程可化为，即，所以.
多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．AC 10．AB 11．BCD 12．AD
9. ∵，∴x＝2x﹣1或x+2x﹣1＝17，解得：x＝1或x＝6，
11．选项A中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，故A错误.选项B中，根据基底的概念，知B正确.
选项C中，由不能构成空间的一个基底，知共面.又均过点B，所以A，B，M，N四点共面，故C正确.
选项D中，已知{ }是空间的一个基底，则基向量，可以与向量构成空间的另一个基底，故D正确.故选:BCD.
12.因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确；
因为，，故B项错误；
又，所以，故D项正确.
从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误.故选：AD
填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 1 14. 15. 4 16. 144
13.的展开式中的第4项为，
依题意，，解得，所以。
14.由已知条件可得，解得，所以，，
，，因此，.
15.，，，，，三向量共面，
，，，，，，，，，，，，解得，，实数．
16. 先排3个不同造型的“雪容融”，再将4个不同造型的“冰墩墩”依次安排在雪容融的空位中，有144种排法．
四、解答题：共6小题，共70分．
17.解：（1）由于0不能在百位，故百位上数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法．所以不同的三位数共有个． ……………………………………3分
（2）百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有个无重复数字的三位数．…6分
（3）满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有个，三位自然数有个，由加法计数原理知共有个小于500且无重复数字的自然数． 10分
18．解：（1），1，，，0，，
，，．…………………………………………3分
．…………………………………………………6分
（2），，．设，，，，，………………8分
，存在实数使得，即，……………………10分
联立解得或．，，．………………………………12分
19.解：（1）令，则 ………………………………………3分
（2） 令，则
令，则 于是 …………………………6分
； …………………9分
（3）各项二项式系数和 ……………………12分
20.解：(1)因为投诉的原因是凹痕的概率为35%,所以投诉的原因不是凹痕的概率为65%.……………………………………3分
(2)设A表示事件“一个投诉原因是产品外观”,B表示事件“投诉发生在保质期内”,由表可知P(B)=0.63，由外观导致并发生在保质期内的投诉(事件AB)的概率是32%,因此P(AB)=0.32，故……………………………………6分
(3)设A表示事件“一个投诉原因是产品外观”,C表示事件“投诉发生在保质期后",由表可知,P(C)=0.37，由外观导致并发生在保质期后的投诉(事件AC)的概率是3%,因此P(AC)=0.03,故……………………………………………………9分
(4)因为，由表知P(A)=0.32＋0.03=0.35，显然P(A|B)不等于P(A),所以A和B不是独立事件. ……………………………………………………………………………12分
21.解：（1）连接，，由题意可得，
，
所以，；…………………6分
（2）由已知条件可得，，
因此，.……………12分
22.（1）证明：以为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，∵，，，
∴，，
即，，∵，∴平面；4分
（2）由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量为，而，，则，令，可得，设二面角的平面角为，经观察为锐角，
∴，即二面角的余弦值为；………8分
（3），平面的法向量为，设点到平面的距离为，
∴，即点到平面的距离为.……………………12分

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