资源简介

2021-2022 学年度(下)市级重点高中联合体期中测试
高一数学 答案
满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、单项选择题：(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．C 2．D 3．B. 4．D 5．D 6．C 7．A 8．B.
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选
项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，
有选错的得 0 分。)
9．BD 10. ABD. 11ABD. 12CD
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题（本大题共 4 小题 ,每小题 5 分，共 20 分。）
4
13.
5
1
14. λ > ，且 λ ≠ 2，.
2
2 3 2
15． ,
2 2
π
16.
6
四．解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤。)
17．(本小题满分 10 分)
tan cos cos
（1） f sin ……………………..5 分
cos
4
（2） f sin
5
3
又∵ 为第二象限角，∴ cos ，
5
1
24
sin2 2sin cos ， cos2 cos2 sin2
7

25 25
7 2 24 2 17 2
∴ cos 2 cos2 cos sin2 sin …..5 分
4 4 4 25 2 25 2 50
18．(本小题满分 12 分)
(1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a⊥b，
所以 3 cos x－ 3sin x＝0.
若 cos x＝0，则 sin x＝0，与 sin2x＋cos2x＝1 矛盾，
故 cos x≠0，于是 tan x＝ 3.

又 x∈[0，π]，所以 x＝ . ……………………..6 分
3
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－ 3)
π
＝3cos x－ 3sin x＝2 3cos x＋ .
6
π π 7π
因为 x∈[0，π]，所以 x＋ ∈ ， ，
6 6 6
π 3
从而－1≤cos x＋ ≤ .
6 2
π π
于是，当 x＋ ＝ ，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3；
6 6
π 5π
当 x＋ ＝π，即 x＝ 时，f(x)取到最小值－2 3. ……………………..6 分
6 6
19． (本小题满分 12分)
1＋cos α 2
(1)f(α)＝sin α－sin α· －1
1－cos2α
1＋cos α
＝sin α＋sin α· －1＝sin α＋cos α. ……………………..6 分
sin α
1
(2)方法一 由 f(α)＝sin α＋cos α＝ ，
5
1
平方可得 sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α＝ ，
25
2
24
即 2sin α·cos α＝－ .
25
12
∴sin α·cos α＝－ .
25
π
又－ <α<0，∴sin α<0，cos α>0，
2
∴sin α－cos α<0，
49
∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝ ，
25
7
∴sin α－cos α＝－ . ……………………..6 分
5
1
sin α＋cos α＝ ，
方法二 联立方程 5
sin2α＋cos2α＝1，
3 4
sin α＝－ ， sin α＝ ，5 5
解得 或
4 3
cos α＝ cos α＝－ . 5 5
3
sin α＝－ ，π 5
∵－ <α<0，∴
2 4
cos α＝ ， 5
12 7
∴sin αcos α＝－ ，sin α－cos α＝－ .
25 5
20. (本小题满分 12分)
1 5
解 (1)由题意知，OA＝OM＝1，因为 S△OAM＝ OA·OMsin α＝ ，所以 sin α2 5
2 5 5
＝ ，又 α为锐角，所以 cos α＝ .因为点 B是钝角 β的终边与单位圆 O的
5 5
2 2 7 2
交点，且点 B的纵坐标是 ，所以 sin β＝ ，cos β＝－ ，所以 cos(α－β)
10 10 10
3
5 7 2 2 5 2 10
＝cos αcos β＋sin αsin β＝ × － ＋ × ＝－ . ………..6 分 5 10 5 10 10
2 5 5 10
(2)因为 sin α＝ ，cos α＝ ，cos(α－β)＝－ ，sin(α－β)＝sin αcos β－cos
5 5 10
2 5 7 2 5 2 3 10
αsin β＝ × － － × ＝－ ，所以 sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]5 10 5 10 10
2
＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－ ，
2
因为 α为锐角，
2 5 2
sin α＝ > ，
5 2
π π π
所以 α∈ ， ，所以 2α∈ ，π ，
4 2 2
π
又 β∈ ，π ，
2
π π
所以 2α－β∈ － ， ，
2 2
π
所以 2α－β＝－ . ……………………..6 分
4
21．(本小题满分 12 分)
π 3
(1)∵函数 f(x)＝sin 2ωx＋ ＋ ＋b，
6 2
π
且函数 f(x)的图像关于直线 x＝ 对称，
6
π π π
∴2ω· ＋ ＝kπ＋ (k∈Z)，且 ω∈[0，3]，
6 6 2
∴ω＝1.
π π π
由 2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，
2 6 2
π π
解得 kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
3 6
4
π π
∴函数 f(x)的单调递增区间为 kπ－ ，kπ＋ (k∈Z). ……………………..6 分
3 6
π 3
(2)由(1)知 f(x)＝sin 2x＋ ＋ ＋b.
6 2
7π π π 4π
∵x∈ 0， ，∴2x＋ ∈ ， .
12 6 6 3
π π π π π π 4π
当 2x＋ ∈ ， ，即 x∈ 0， 时，函数 f(x)单调递增；当 2x＋ ∈ ， ，
6 6 2 6 6 2 3
π 7π
即 x∈ ， 时，函数 f(x)单调递减.
6 12
π
又 f(0)＝f ，
3
π 7π π
∴当 f >0≥f 或 f ＝0 时，函数 f(x)有且只有一个零点，
3 12 6
4π 3 5π 3
即 sin ≤－b－ 3 2 6 2
3－3 5
∴b∈ －2， ∪ － .
2 2
3－3 5
故实数 b的取值范围为 －2， ∪ － . ……………………..6 分
2 2
22. (本小题满分 12分)

(1)若 2，由题意得 f (x) 2sin 2x，向左平移 个单位，得到的函
6

数．y = 2sin [2（x + ）]=2sin（2x+ ）再向上平移一个单位得到函
6 3

数 y=g（x）=2sin（2x+ ）+1
3

故 g（x）=2sin（2x+ ）+1． ……………………..4 分
3
π 2π π 2π
(2)∵ 0 ,当 x [ ， ]时， x [ , ]
4 3 4 3
π 2π
又∵ y f (x) 2sin x在 [ ， ]单调递增，
4 3
5
π π
4 2 3
∴ ，解得0 ，
2π π 4
3 2
3
∴ 的取值范围为 (0， ]． ……………………..4 分
4
π
(3)由函数 y g(x) 2sin(2x ) +1 可知，
3
7
令 g(x) 0，得 x = kπ 或x = kπ π，k ∈ Z
4 12
2
∴相邻两个零点之间的距离为 和 ，且周期T π，
3 3
则要使 y f (x)在 [a， b]上至少含有 30 个零点，至少包含 14.5 个周期．
43
所以 b-a 的最小值为14π + = ……………………..4 分
3 3
.
62021-2022 学年度(下)市级重点高中联合体期中测试
高一数学
满分：150 分 考试时间：120 分钟
第 I 卷(选择题，共 60 分)
一.单项选择题：(本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
17
1． cos 的值是（ ）
3
3 3 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 2

2．与函数 y tan 2x 的图像不相交的一条直线是( )
4
π π π π
A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
2 2 4 8
3sin sin 4cos
3．已知 2，则 的值为（ ）
cos sin 5sin 2cos
1 1
A． B． C．6 D．-6
6 6
4．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉
代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇
环形屏风，如图，扇环外环弧长为 3.6m，内
环弧长为 1.2m，径长（外环半径与内环半径
之差）为 1.2m，若不计外框，则扇环内需要
进行工艺制作的面积的估计值为（ ）
A．2.58m2 B．2.68m2 C．2.78m2 D．2.88m2
高一数学 共 6 页 第 1 页
5．已知向量 a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则 cos〈a，a＋b〉等于( )
31 19 17 19
A．－ B．－ C. D .
35 35 35 35
6．设 ABC的三个内角 A, B,C ，向量m ( 3sin A,sin B) ，n (cos B, 3 cos A)，
若m n 1 cos(A B)，则C =（ ）
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6

7．将函数 f(x)=sinx 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象. 则
4
函数 y=f(x)·g(x)的最大值为（ ）
2 1 2 2 1 1 2
A． B． C． D．
4 2 4 4 2 2 4
1 π 1
8．已知函数 f(x)＝－10sin2x－10sin x－ ，x∈ － ，m 的值域为 － ，2 ，则
2 2 2
实数 m 的取值范围是( )
π π π π π π
A. － ，0 B. － ，0 C. － ， D. － ，
3 6 3 6 6 3
二. 多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选
项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，
有选错的得 0 分。)
9．下列函数中，以2 为最小正周期的函数有（ ）
x x
A． y cos 2x B． y sin C． y sin 2x D． y tan
2 2
10、已知在边长为 2 的等边△ABC 中，向量 a，b满足→AB＝ ，→a BC＝a＋b，则
下列式子正确的是( )
A．|2a＋b|＝2 B．|b|＝2 3
C．a·(a＋b)＝2 D．a·b＝－6
高一数学 共 6 页 第 2 页
11. 已知 P(1，2)是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，
π
ω＞0，|φ|＜ )图象的一个最高点，B，C 是与 P
2
θ 3
相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若 tan ＝ ，
2 4
则下列说法正确的是( )
A．A＝2 B．f(x)的最小正周期为 6
π 5
C．φ＝ D. ，0 是 f(x)图象的一个对称中心
4 2
12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类
利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点
A 1, 3 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 6 秒.经过 t 秒
后，水斗旋转到 P 点，设点 P 的坐标为 x, y ，其纵坐标满足
π
y f t Rsin t t 0, 0, ，则下列结论正确的是（ ）
2
π
A．
3
B．当 t 0,3 时，函数 y f t 单调递增
5 11
C．当 t , 时，点 P 的纵坐标越来越小
2 2
D．当 t 5时， PA 2
高一数学 共 6 页 第 3 页
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题（本大题共 4 小题 ,每小题 5 分，共 20 分。）
4
13.若 sin ，则cos ___________.
6 5 3
14.已知 a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若 a与 b的夹角 θ 为钝角，求 λ 的取值范
围______．
π
15．在平面内将点 A 1,2 绕原点按逆时针方向旋转 ，得到点 B ，则点 B 的坐
4
标为 .
π
16.函数 y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移 个单位长度后，与函数 y＝
2
π
sin 2x－ 的图象重合，则 φ＝________．
3
四．解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤。)
17．(本小题满分 10 分)

tan cos 2 sin
已知 2f ．
cos
（1）化简 f ；
4
（2）若 f ，且 是第二象限角，求 cos 2 的值．
5 4
18．(本小题满分 12 分)
已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π].
(1)若 a⊥b，求 x 的值；
(2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.
高一数学 共 6 页 第 4 页
19．(本小题满分 12 分)
π 3π 1＋cos α
已知－ <α<0，且函数 f(α)＝cos ＋α －sin α· －1.
2 2 1－cos α
(1)化简 f(α)；
1
(2)若 f(α)＝ ，求 sin αcos α 和 sin α－cos α 的值．
5
20. (本小题满分 12分)
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点在坐标原点，以 x 轴正半轴为始边的
锐角 α 与钝角 β 的终边与单位圆 O 分别交于 A，B 两点，x 轴的非负半轴与单
5 2
位圆 O 交于点 M，已知 S△OAM＝ ，点 B 的纵坐标是 . 5 10
(1)求 cos(α－β)的值；
(2)求 2α－β 的值．
高一数学 共 6 页 第 5 页
21. (本小题满分 12分)
π 3
已知函数 f(x)＝sin 2ωx＋ ＋ ＋b.
6 2
π
(1)若函数 f(x)的图像关于直线 x＝ 对称，且 ω∈[0，3]，求函数 f(x)的单调递
6
增区间；
7π
(2)在(1)的条件下，当 x∈ 0， 时，函数 f(x)有且只有一个零点，求实数 b
12
的取值范围.
22.(本小题满分 12分)
已知函数f(x) = 2sinωx，其中常数 0．

(1)若 2，将函数 y f (x)的图象向左平移 个单位，再向上平移一个单位长
6
度得到的函数 y g(x)的图象，求 g(x)；
π 2π
(2)若 y f (x)在 [ ， ]上单调递增，求 的取值范围；
4 3
(3)对（1）中的 g(x)，区间 [a，b](a，b R且a b)满足： y g(x)在[a，b]上至
少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的 [a，b]中，求b a的最小值．
高一数学 共 6 页 第 6 页

展开更多......

收起↑