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第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布 学案
一、学习目标
1. 理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念，掌握随机变量服从二项分布的有关计算；
2. 能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差.
二、基础梳理
1. 伯努利试验：只包含_______可能结果的试验叫做伯努利试验.
2. n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
n重伯努利试验的特征：（1）同一个伯努利试验重复做________次；（2）各次试验的结果___________.
3. 二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为____________，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作_________.
_________.
4. 二项分布的均值与方差：如果，那么________，________.
三、巩固练习
1.n重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；
④每次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④
2.设随机变量，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量，则，分别为( )
A.， B.， C.， D.，
4.若随机变量服从二项分布，则( )
A. B.
C. D.
5.在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同.若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数X的期望和方差分别为( )
A.和 B.和 C.和 D.和
6.袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋中一次性摸出两个球，记下号码并放回，若两个号码的和是3的倍数，则获奖.现有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是( )
A. B. C. D.
7.设随机变量，，若，则________.
8.某学校在春天来临时开展了以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领取了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若，，则________.
9.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A，B，C三个独立项目的测试，通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个顼目测试的概率都是.
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的分布列.
10.网上购物已经成为一种重要的消费方式.某网络公司通过随机问卷调查，得到不同年龄段的网民在网上购物的情况，并从参与的调查者中随机抽取了150人.经统计得到如下表格：
年龄（岁）
频数 15 45 45 30 8 7
在网上购物的人数 12 33 35 15 3 2
若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年，把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年人，把年龄大于或等于65岁的视为老年人，将频率视为概率.
（1）在青少年、中年人、老年人中，哪个群体网上购物的概率最大？
（2）现从某市青少年网民（人数众多）中随机抽取4人，设其中网上购物的人数为X，求X的分布列及期望.
答案解析
基础梳理
两个
n；相互独立
；；1
；
巩固练习
1.答案：C
解析：由伯努利试验的概念知①②③正确，④错误.故选C.
2.答案：A
解析：由二项分布的概率公式可得，.故选A.
3.答案：D
解析：因为随机变量，
所以，
.
故选D.
4.答案：D
解析：因为随机变量服从二项分布，
所以，
，
，
因此有.故选D.
5.答案：A
解析：由题意，设事件A在每次试验中发生的概率为p，
因为事件A至少发生一次的概率为，即，
解得，则，
所以，
.故选A.
6.答案：C
解析：从6个小球中摸出两个小球，共有种情况，
两个球的号码之和是3的倍数，共有，，，，种情况，
获奖的概率是，
因此5人参与摸球，相当于5重伯努利试验，且每次获奖的概率均为，
所求概率.故选C.
7.答案：
解析：，，
，，
.
8.答案：0.7
解析：由题意可知，
即
解得.
9.答案：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为.
（2）因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为，，所以可看作3重伯努利试验，
甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布，即，
所以，
，
，
.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
10.答案：（1）由题表中的数据知，青少年网上购物的概率为，
中年人网上购物的概率为，
老年人网上购物的概率为，
因为，
所以青少年网上购物的概率最大.
（2）由题意及（1）知，，
，
，
，
，
.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
.

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