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第二节　排列与组合
·最新考纲·
1．理解排列、组合的概念．
2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3．能解决简单的实际问题．
·考向预测·
考情分析：排列组合的综合问题仍是高考的重点，近几年难度降低，单独考查较少．
学科素养：通过排列组合的应用考查数学建模的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序________
组合 合成一组
[注意]　区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数
公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ＝ ,
性质 ＝________，0！＝________ ＝，＋＝
二、必明2个常用结论
正确理解组合数的性质
1．＝：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数．
2．＋＝：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有种方法；②含特殊元素A有种方法．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
(3)若组合式＝，则x＝m成立．(　　)
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－3·P27T7改编]学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，还有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，3个舞蹈节目要求不能相邻，2个曲艺节目出场前后顺序已定，共有________种不同排法．
3．[选修2－3·P26知识改编]计算＋＋＋的值为________(用数字作答).
(三)易错易混
4．(分类不清)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
5．(不会用间接法)现有6个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不同时相邻的排法有________种．
(四)走进高考
6．[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
　提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　排列问题　[基础性、应用性]
[例1]　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
听课笔记：
反思感悟　
1．求解排列应用题的主要方法
直接法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数
分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数
捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列(如本例(3))
插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中(如本例(4))
间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法
2.解决有限制条件排列问题的策略
(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．
(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．
【对点训练】
1．[2022·甘肃兰州实战模拟]某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站在前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)
种
2．[2022·福建龙岩质检]若用1，2，3，4，5，6，7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性都不同的六位数，则这样的六位数共有________个(用数字作答)．
考点二　组合问题　[基础性、应用性]
[例2]　要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？
(1)至少有1名女生入选；
(2)男生甲和女生乙入选；
(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．
听课笔记：
反思感悟　两类含有附加条件的组合问题的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直解法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．
【对点训练】
1．[2022·昆明市“三诊一模”质量检测]小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出1个，则小华选取节气的不同方法种数是(　　)
A．90　　　B．180　　　C．220　　　D．360
2.
[2022·广州市综合测试]如图，洛书(古称龟书)，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数．若从4个阴数和5个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为(　　)
A．30 B．40 C．44 D．70
考点三　排列、组合的综合应用　[综合性、应用性]
[例3]　(1)2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取4个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有(　　)
A.4 704种 B．2 800种 C．2 688种 D．3 868种
(2)一次表彰大会上，计划安排5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有________种．(　　)
A．36 B．48 C．72 D．120
听课笔记：
反思感悟　解排列、组合综合应用题的思路
【对点训练】
1．[2022·江苏南京市高三调研]将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有(　　)
A．24种 B．36种 C．60种 D．72种
2．现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有(　　)
A．10种 B．14种 C．20种 D．28种
微专题37 排列组合中的分组分配问题　思想方法
分组问题是同学们学习中的难点问题，在考试中不容易得分，在解题过程中容易掉入陷阱，本文结合一些典型问题谈谈如何避免掉进分组问题中的陷阱．
解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意的是只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．
一、不等分组问题
[例1]　7人参加志愿者活动，按下列不同方法分组各有多少种不同的分法？
(1)分成3组，各组人数分别为1人、2人、4人；
(2)选出5个人分成2组，其中一组2人，另一组3人．
解析：(1)先从7人中选出1人，有
＝105(种)．
(2)可“选分同步”：先从7人中选出2人，有
＝210(种)．
也可“先选后分”：先选出5人，再分为两组，由分步乘法计数原理得分组方法共有＝210(种)．
名师点评　解决此类“完全非均匀分组”问题时，由于分组的不等分与组合数的相乘不产生矛盾，不会出现重复计数的问题，因此只要分开就可以直接达到完全非均匀分组的目的，无须考虑重复问题．
[变式训练1]　将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．
二、整体均分问题
[例2]　国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
解析：先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有＝90种分配方法．
答案：90
名师点评　对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数．
[变式训练2]　将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
三、部分均分问题
[例3]　10个人参加义务劳动，分成4组，各组分别为2人、2人、2人、4人，则不同的分组方案共有________种．(用数字作答)
解析：由于分成2人、2人、2人、4人的四个组对应的种数分别为
＝3 150(种)．
答案：3 150
名师点评　对于“部分均匀分组”问题，只需考虑由于部分均匀分组中的无序与组合数相乘中产生的顺序而导致的重复问题，在部分均匀分组中，如果有m个分组的元素是均匀的，都有对应的全排列数或m！种顺序不同的排法只能算作一种分法，因而要除以该代数式．
[变式训练3]　4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
第二节　排列与组合
积累必备知识
一、
1．排成一列
2．不同排列　不同组合　n！　1
三、
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：先把4个音乐节目，2个曲艺节目，进行全排列，由于2个曲艺节目出场前后顺序已定，故有种排法，形成了7个空，选3个，把舞蹈节目插入，故有＝75 600(种)．
答案：75 600
3．解析：原式＝
答案：210
4．解析：分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，或者A类选修课1门，B类选修课2门，＝30(种)选法．
答案：30
5．解析：如果6个人任意排有＝720(种)排法；其中甲，乙，丙排在一起的排法有＝144(种)排法，所以甲、乙、丙不同时相邻的排法有：＝576(种)．
答案：576
6．解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有第二步，将分好的4组安排到4个项目中＝240(种)．
答案：C
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有＝5 040(种)．
(3)解法一　(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有＝3 600(种)．
解法二　(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有
＝1 440(种)．
对点训练
1．解析：中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站在前排并与中国领导人相邻，有
种不同的站法．
答案：D
2．解析：分两步进行，第一步，先从1，3，5，7中选3个进行排列，有＝24种排法；第二步，将2，4，6这3个数插空排列，有＝12种排法．由分步乘法计数原理得，这样的六位数共有24×12 ＝288(个)．
答案：288
考点二
例2　解析：(1)方法一　至少有1名女生入选包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．
由分类加法计数原理知总选法数为
方法二　“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人
＝771种；
(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，故有＝120种选法；
(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有
答案：B
＝30＋10＝40(种)．
答案：B
考点三
例3　解析：(1)①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的8个初选名字中选出2个，再进行排列即可，有
＝2 688种情况；
③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的8个初选名字中选出4个，再进行排列，有＝1 680种情况；
∴不同的分析情况共有336＋2 688＋1 680＝4 704种．
解析：(2)先排高一年级学生，有
＝48种排法．
答案：(1)A　(2)B
对点训练
1．解析：取出的2人与剩余2人看作三组安排不同工作有
＝4×1×2＋×2＝14种．
答案：B
微专题　排列组合中的分组分配问题
变式训练1
　解析：先把书分成三组，再把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有
解析：先选出3人，有再由剩下的6人中选出3人
由分步乘法计数原理以及每A_3^3 种只能算一种不同的分组方法，可得不同的安排方案共有＝1 680(种)．
答案：1 680
变式训练3
　解析：因为每个小区至少安排1名同学，所以4名同学的分组方案只能为1，1，2，所以不同的安排方法共有＝36种．
答案：36

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