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第三节　二项式定理
·最新考纲·
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
·考向预测·
考情分析：二项式定理的正用和逆用、二项式系数的性质与各项的和，尤其是二项展开式的通项公式的应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过二项式定理的应用考查数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝____________________________________(n∈N*)
二项展开式 的通项公式 Tr＋1＝________，它表示第________项
二项式系数 二项展开式中各项的系数为
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即____________
增减性 二项式系数 当r＜________(n∈N*)时，是递增的
当r＞________(n∈N*)时，是递减的
最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项________和________取得最大值
各二项式 系数和 ＋…＋Cnn＝____
二、必明2个常用结论
1．(a＋b)n的展开式的三个重要特征
(1)项数：项数为n＋1.
(2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数和为n.
(3)顺序：字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n.
2．各二项式系数的和
(1)(a＋b)n的展开式的各个二项式系数和等于2n，即＝2n.
(2)(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2n－1，即＋…＝2n－1.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”
an－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．(　　)
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不一定相同．(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－3·P41B组T1改编]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为______．
3．[选修2－3·P40A组T8改编]()8的展开式中常数项为______，是第______项．
(三)易错易混
4．(混淆“二项式系数”与“系数”)在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．
5．(配凑不当致误)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．
(四)走进高考
6．[2021·浙江卷]已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________，a2＋a3＋a4＝________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　二项展开式中的项　[基础性、应用性]
角度1　求解形如(a＋b)n(a∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例1]　(1)[2022·四川成都模拟]若()n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是(　　)
A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6
(2)[2022·云南大理联考]已知二项式(2x－)n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为(　　)
A．14 B．－14 C．240 D．－240
听课笔记：
反思感悟　求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝an－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
(3)把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1.有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．
角度2　求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例2]　(1)(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B．10 C．15 D．20
(2)[2022·扬州市适应性练习](2－x)(1＋2x)5的展开式中含x2项的系数为(　　)
A．70 B．30 C．－150 D．90
听课笔记：
反思感悟　求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
(1)根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；
(2)根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
(3)把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
角度3　求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例3]　(1)[2022·四川成都月考](x＋－1)4的展开式中的常数项为(　　)
A．11 B．－11 C．8 D．－7
(2)[2022·山东五校调研]在(x2－2x－3)4的展开式中，含x6的项的系数是________．
听课笔记：
反思感悟　求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
(1)把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；
(2)根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；
(3)对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和cr相乘得到的；
(4)把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．
【对点训练】
1．()5的展开式中x的系数为(　　)
A．－10 B．10 C．－40 D．40
2．(x－)(x2＋2)5展开式中x5项的系数是(　　)
A.120 B．80 C．40 D．20
3．在(1－)8展开式中，含x2项的系数为________．(结果用数值表示)
考点二　二项展开式中的系数和　[基础性]
[例4]　(1)[2022·眉山市模拟]已知(2＋x)2021＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a2021(x＋1)2021，则a1＋a2＋…＋a2021＝(　　)
A．24042＋1 B．22021－1
C．22021 D．22021＋1
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
听课笔记：
一题多变
(变条件)若例4(2)变为“(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9”，其它不变，则实数m的值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思感悟　赋值法求系数和的应用技巧
(1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.令x＝0，可得a0＝f(0)．
【对点训练】
已知(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2021x2021，下列命题中，不正确的是(　　)
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22021
B.展开式中所有奇次项系数的和为
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D．＋…＋＝1
考点三　二项式系数的最值问题　[综合性]
角度1　二项式系数的最值问题
[例5]　(1)[2022·南昌模拟]设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5　　　B．6　　　C．7　　　D．8
(2)[2022·陕西咸阳质检]二项式(x＋)n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　)
A．3 B．5 C．6 D．7
听课笔记：
反思感悟　二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.
角度2　项的系数的最值问题
[例6]　(1)若(x3＋)n的展开式中第6项系数最大，则不含x的项为(　　)
A．210 B．10 C．462 D．252
(2)(1＋2x)7展开式中系数最大项是______．
听课笔记：
反思感悟
设展开式各项系数分别为 ， ，…， ，且第k项系数最大，应用
从而解出k来，即得．
【对点训练】
已知＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
微专题38二项式定理与一些知识的交汇　 交汇创新
[例]　设f(x)是(x2＋)6展开式中的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：(x2＋)6的展开式中的中间项为第四项，即f(x)＝(x2)3()3＝x3，∵f(x)≤mx在区间上恒成立，∴m≥x2在上恒成立，∴m≥(x2)max＝5，∴实数m的取值范围是[5，＋∞)．
答案：[5，＋∞)
名师点评　
1．本例为二项式定理与不等式恒成立问题的交汇，先利用二项式定理求出f(x)，从而把问题转化为m恒大于函数的最大值．
2．二项式定理还常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与函数交汇、与定积分交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还可能考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系．
[变式训练1]　已知＝n，则(x＋y＋1)n展开式中x2y的系数为________．
[变式训练2]　若二项式(3－x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则的最小值为________．
第三节　二项式定理
积累必备知识
一、
1．anb0＋an－1b＋…＋an－rbr＋…＋bn　an－rbr　r＋1
2．＝　　　 　　2n
三、
1．答案：（1）×　（2）√　（3）×　（4）√
2．解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，
两式相加得：a0＋a2＋a4＝8.
答案：8
3．解析：二项展开式的通项为Tr＋1＝（）8－r（）r＝（）r·x4－r，令4－r＝0，解得：r＝4，所以T5＝（）4＝.
答案：　5
4．解析：因为所有二项式系数的和为32，所以2n＝32，解得：n＝5，在（x2－）5中，令x＝1，可得展开式中各项系数的和为（－1）5＝－1.
答案：－1
5．解析：因为（x＋1）5（x－2）＝（1＋x＋x2＋x3＋x4＋x5）（x－2），所以展开式中x2的系数为－2＝－15.
答案：－15
6．解析：（x－1）3的展开式的通项为Tr＋1＝x3－r·（－1）4，（x＋1）4的展开式的通项为Tr＋1＝x4－r1r，则a1x3＝x3·（－1）0＋x311＝5x3，所以a1＝5.同理，a2x2＝x2（－1）1＋x212＝－3x2＋6x2＝3x2，a3x＝x1（－1）2＋x113＝3x＋4x＝7x，a4＝x0（－1）3＋x014＝0，所以a2＝3，a3＝7，a4＝0，所以a2＋a3＋a4＝10.
答案：5　10
提升关键能力
考点一
例1　解析：(1)()n的展开式的通项Tr＋1＝，r＝0，1，2，3，…，n.令＝0，可得n＝5r.因为展开式中含有常数项，所以n＝5r能成立，则正整数n的最小值为5.
(2)(2x－)n展开式的通项为Tr＋1＝(2x)n－r(－)r，因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，所以＝2∶5，解得n＝6.所以Tr＋1＝26－r，r＝0，1，2，…，6.令6－r＝3，得r＝2，所以x3的系数为26－2(－1)2＝240.
答案：(1)C　(2)C
例2　解析：（1）要求（x＋）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出（x＋y）5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可，由二项式定理可得（x＋y）5的展开式中x2y3的系数为＝10，x4y的系数为＝5，故（x＋）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15.
（2）二项式（1＋2x）5的展开式的通项Tr＋1＝（2x）r＝2rxr，所以（2－x）（1＋2x）5的展开式中含x2项的系数为2×22×＋（－1）×2×＝70.
答案：（1）C　（2）A
例3　解析：（1）将x＋看成一个整体，展开得到通项公式为Tr＋1＝（x＋）4－r（－1）r，（x＋）4－r的展开式为Tm＋1＝x4－r－m·x－2m＝x4－r－3m，取4－r－3m＝0，当m＝0时，r＝4，常数项为××（－1）4＝1；当m＝1时，r＝1，常数项为××（－1）1＝－12.所以所求常数项为1－12＝－11.
（2）（x2－2x－3）4＝（x－3）4（x＋1）4，则展开式中含x6的项为x4（－3）0·x2＋x3（－3）1·x3＋x2（－3）2·x4＝12x6，则含x6的项的系数是12.
答案：（1）B　（2）12
对点训练
1．解析：()5展开式的通项为Tr＋1＝＝，令－5＝1，得r＝4，故展开式中x的系数为＝10.
答案：B
2．解析：∵(x2＋2)5的展开式的通项是Tr＋1＝(x2)5－r·2r＝x10－2r，由x－中的x项与(x2＋2)5中的x4项，－项与x6项相乘均可得x5项，
∴所求系数为
答案：C
)8＝展开式中，
通项公式：Tr＋1＝)8－r(1－)r＝x10r－80(1－)r，
依题意，只需考虑r＝8时，即只需(1－)8中x2项的系数，
其展开式中通项Ak＋1＝·18－k·(－)k＝.
令＝2，解得k＝4.
·(－1)4＝70.
答案：70
考点二
例4　解析：（1）令x＝－1，得a0＝1，令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a2021＝22021，
所以a1＋a2＋…＋a2021＝22021－1.
（2）令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2＋m）9；令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以（2＋m）9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.
答案：（1）B　（2）1或－3
一题多变
解析：令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（4＋m）9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝（m＋2）9，所以（4＋m）9（m＋2）9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.
答案：－1或－5
对点训练
解析：A.由二项式知：＝(1＋1)2021＝22021，正确；
当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2021＝－1，当x＝－1有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2020－a2021＝32021，
B．由上，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝－，错误；
C．由上，可得a0＋a2＋a4＋…＋a2020＝，正确；
D．由二项式通项知：Tr＋1＝(－2x)r＝xr，则a1＝，a2＝，…，a2021＝，所以 ＋＋…＋＝＝＝－1，正确．
答案：B
考点三
例5　解析：(1)由题意，得a＝，b＝，则＝，
∴＝，
∴＝13，解得m＝6，经检验m＝6为原方程的解．
(2)根据(x＋)n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴(x＋)n的展开式的通项为Tr＋1＝·(x)20－r·()r＝，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数为整数的项共有7项．
答案：(1)B　(2)D
例6　解析：(1)∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，∴n的值可能是9，10，11.设常数项为Tr＋1＝x3(n－r)x－2r＝x3n－5r，则3n－5r＝0，其中n＝9，10，11，r∈N，∴n＝10，r＝6，故不含x的项为T7＝＝210.
解析：(2)设第r＋1项系数最大，则有即
化简得解得
又r∈N，∴r＝5.
∴系数最大项为T6＝25x5＝672x5.
答案：(1)A　(2)672x5
对点训练
解析：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n，
∴＝2n＝32，n＝5.
(1)∵n＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T3＝(3x2)2＝90x6，
T4＝(3x2)3＝.
解析：(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，
则由Tr＋1＝ (3x2)r＝，得
∴≤r≤，
∴r＝4，
∴第5项系数最大，即展开式中系数最大的项为
T5＝)(3x2)4＝.
微专题38　二项式定理与一些知识的交汇
变式训练1
　解析：＝ ＝4，∴n＝4.（x＋y＋1）4中含x2y的项为x2y＝12x2y，故展开式中x2y的系数为12.
答案：12
变式训练2
　解析：令x＝1，得a＝2n，令x＝－1，得b＝4n，
所以＋＝＋ ，令t＝2n，t≥2，
则＋＝t＋（t≥2），设y＝＋，
则y＝t＋（t≥2），y′＝1－，
当t≥2时，y′＞0，所以y＝t＋在[2，＋∞）上是增函数，所以当t＝2时，ymin＝2＋＝，即＋的最小值为.
答案：

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