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第四节　随机事件的概率
·最新考纲·
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式．
·考向预测·
考情分析：在高考中以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查，题型为选择题、填空题．
学科素养：通过随机事件概率的应用考查数学建模、数据分析的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．事件的分类
事件的分类 具体事件 定义
确定事件 必然事件 在条件S下 一定会发生 的事件
不可能事件 一定不会发生
随机事件 随机事件 可能发生也 可能不发生
2.频率和概率
(1)频数、频率的概念比较
名称 条件一 条件二 结论
频数 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现 n次试验中事件A出现的次数为nA nA为事件A出现的频数
频率 事件A出现的比例fn(A)＝ fn(A)为事件A出现的频率
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作________，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
名称 条件 结论 符号表示
包含 关系 A发生 B发生 事件B________事 件A(事件A____ 事件B) B A (或A B)
相等 关系 若____________ 事件A与 事件B相等 A＝B
并(和) 事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件(或和事件) ____________
交(积) 事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件(或积事件) ____________
互斥 事件 A为______事件 事件A与事件B互斥 A＝
对立 事件 A为______事件，A为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 A＝ ， P(A＝1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：____________．
(2)必然事件的概率：P(A)＝____．
(3)不可能事件的概率：P(A)＝____．
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A＝____________．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A为必然事件．P(A＝____，P(A)＝________．
二、必明2个常用结论
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(2)随机事件和随机试验是一回事．(　　)
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　)
(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)
(6)两互斥事件的概率和为1.(　　)
(二)教材改编
2．[必修3·P121练习T5改编]某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)
A.是互斥事件，不是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件
D.既不是互斥事件也不是对立事件
3．[必修3·P123T3改编]李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
成绩 人数
90分以上 42
80～89分 172
70～79分 240
60～69分 86
50～59分 52
50分以下 8
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率；
(1)90分以上的概率：________．
(2)不及格(60分及以上为及格)的概率：________．
(三)易错易混
4．(确定对立事件出错)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．
5．(列出所有可能出错)甲、乙、丙三人参加某抽奖活动，幸运的是他们都得到了一件精美的礼物．其过程是这样的：墙上挂着两串礼物(如图所示)，每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．甲第一个取得礼物，然后乙、丙依次取得第二件、第三件礼物．事后他们打开这些礼物仔细比较发现礼物B最精美，那么取得礼物B可能性最大的是________．
(四)走进高考
6．[全国卷Ⅲ]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A.0.3　　B．0.4
C.0.6 D．0.7
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　随机事件的关系　[基础性]
1．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是(　　)
A．A与B是不可能事件
B．A＋B＋C是必然事件
C．A与B不是互斥事件
D．B与C既是互斥事件也是对立事件
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
3．[2022·重庆市南开中学考试]在一次试验中，随机事件A，B满足P(A)＝P(B)＝，则(　　)
A．事件A，B一定互斥
B．事件A，B一定不互斥
C．事件A，B一定互相独立
D．事件A，B一定不互相独立
反思感悟　互斥事件与对立事件的判定
定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义法判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法 ①若A，B满足A＝ ，则A，B是互斥事件； ②若A，B满足则A，B是对立事件
考点二　随机事件的频率与概率　[应用性]
[例1]　某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．
据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.
已知近20年X的值为
140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
听课笔记：
反思感悟　(1)概率与频率的关系
　(2)随机事件概率的求法
【对点训练】
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶：如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高 气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
考点三　互斥事件与对立事件的概率　[基础性、应用性]
[例2]　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购 物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件 及以上
顾客 数(人) x 30 25 y 10
结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
听课笔记：
反思感悟　求复杂互斥事件的概率的两种方法
　(1)直接法
(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)
【对点训练】
有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示，
所用时间(天数) 10 11 12 13
通过公路1的频数 20 40 20 20
通过公路2的频数 10 40 40 10
假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为(　　)
A．公路1和公路2 B．公路2和公路1
C．公路2和公路2 D．公路1和公路1
微专题39 渗透体育教育　践行教化功能　五育并举
[例]　[2020·山东卷]某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳．则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A．62%　　B．56%　　C．46%　　D．42%
解析：方法一：记喜欢足球的学生为事件A，喜欢游泳的学生为事件B，由题意得P(A＋B)＝0.96，P(A)＝0.60，P(B)＝0.82.因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以P(AB)＝0.60＋0.82－0.96＝0.46.故选C.
方法二：设该校学生总数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为x；则100×96%＝100×60%＋100×82%－x，解得x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.
答案：C
名师点评　本题以学生喜欢的体育项目为背景设计，情境贴近实际，倡导学生积极参加体育锻炼，增强学生体质．
[变式训练]　体育锻炼是青少年学习生活中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：重力加速度大小取g＝10 m/s2，≈1.732)(　　)
A.63　　 　B．69　　 　C．75　 　　D．81
第十章　概率
第四节　随机事件的概率
积累必备知识
一、
2．(2)P(A)
3．包含　包含于　B A且A B　A或A＋B)　A或AB)　不可能　不可能
4．(1)0≤P(A)≤1　(2)1　(3)0
(4)P(A)＋P(B)　(5)1　1－P(B)
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×
2．解析：“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两个女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．
答案：C
3．解析：(1)＝0.07.
(2)＝0.1.
答案：(1)0.07　(2)0.1
4．解析：∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
答案：0.35
5．解析：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，甲不可能取得礼物B，乙取得礼物B的概率为，丙取得礼物B的概率为.
答案：丙
6．解析：设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金也用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4.
答案：B
提升关键能力
考点一
1．解析：“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A、B两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D项错误．
答案：C
2．解析：“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．
答案：A
3．解析：若事件A，B为互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝>1，与0≤P(A＋B)≤1矛盾，所以P(A＋B)≠P(A)＋P(B)，所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，
由题意无法判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误，故选B.
答案：B
考点二
例1　解析：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)由已知可得Y＝＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y＜490或Y＞530)
＝P(X＜130或X＞210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＝.
对点训练
解析：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
考点三
例2　解析：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟).
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
P(A3)＝＝，
因为A＝A1且A1，A2，A3是互斥事件，
所以P(A)＝P(A1＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
对点训练
解析：通过公路1的频率为0.2，0.4，0.2，0.2；通过公路2的频率为0.1，0.4，0.4，0.1，设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发，选择公路1，2将货物运往城市乙．B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A的最佳路径为选择公路1，汽车B的最佳路径为选择公路2.
答案：A
微专题39　渗透体育教育　践行教化功能
变式训练
　
解析：作出示意图，如图所示，设图中重力为G，两只胳膊的拉力分别为F1，F2，F1与F2的合力为F′，则|G|＝|F′|.
由余弦定理得|F′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos ＝3×4002(N2)，
解得|F′|＝400 N.
所以|G|＝400 N.
所以该学生的体重约为≈69(kg)．
答案：B

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