资源简介

第六节　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
·最新考纲·
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
3．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
·考向预测
考情分析：离散型随机变量的分布列、均值和方差是高考的热点，考题主要以解答题的形式呈现，解题时要熟悉相关公式的应用．
学科素养：通过均值与方差的计算及应用考查数学运算、数学建模、数学分析的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．离散型随机变量分布列
(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式________________表示X的分布列．
(2)性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②＝1.
[提醒]　分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值，第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．
2．离散型随机变量X的均值与方差
均值(数学期望) 方差
计算公式 E(X)＝______________ D(X)＝________________
作用 反映了离散型随机变量取值的________ 刻画了随机变量X与其均值E(X)的____________
标准差 方差的________________为随机变量X的标准差
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X 0 1
P ________ ________
其中p＝________称为成功概率．
(2)超几何分布
定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝________，且________________，称分布列为超几何分布列．
X 0 1 … m
P ________ ________ … ________
均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
二、必明1个常用结论
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，
D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(　　)
(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)
(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．(　　)
(4)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X 2 5
P 0.3 0.7
则它服从两点分布．(　　)
(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－3·P68习题A组T1改编]已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A.　　　B．4　　　C．－1　　　D．1
3．[选修2－3·P68练习T2改编]若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．
(三)易错易混
4．(均值与方差的性质不熟)已知两个随机变量X，Y满足X＋2Y＝4，且X～N(1，22)，则E(Y)＝________，D(Y)＝________．
5．(类型不清致误)在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为________．
(四)走进高考
6．[2021·浙江卷]袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ.若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝__________，E(ξ)＝__________．
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　离散型随机变量的分布列的性质及应用　[基础性]
1．若随机变量X的概率分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X －1 0 1
P 1－2q q2
则q等于(　　)
A．1　　B．1±　　C．1－　　D．1＋
3．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为________.
反思感悟　离散型随机变量的分布列性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
考点二　离散型随机变量的分布列　[基础性]
[例1]　[2022·贵州贵阳四校联考]某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表所示．
消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 ≥5次
收费比率 1 0.95 0.90 0.85 0.80
该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到的统计数据如表所示．
消费次数 1 2 3 4 5
人数 60 20 10 5 5
假设汽车美容1次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题．
(1)某会员仅消费2次，求这2次消费中，公司获得的平均利润；
(2)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为1位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列．
听课笔记：
反思感悟　求离散型随机变量X的分布列的步骤
[提醒]　①求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，注意计数原理、排列组合等知识的应用或利用概率和为1从反面入手．
②对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由组合数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率．
【对点训练】
[2022·河南检测]某班为了活跃元旦晚会的气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．
(1)求甲获得奖品的概率；
(2)设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列．
考点三　离散型随机变量的期望与方差　[综合性、应用性]
[例2]　为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人(彼此相互独立)来该滑雪场滑雪，设甲、乙两人不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付的滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
听课笔记：
反思感悟　期望与方差的一般计算步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值；
(2)求X取各个值的概率，写出分布列；
(3)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算．
[提醒]　求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
【对点训练】
[2021·八省市新高考适应性考试]一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
考点四　两点分布和超几何分布及应用　[综合性、应用性]
[例3]　在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．
(1)若从10件产品中任意抽取1件，求抽到一等品件数ξ的分布列；
(2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为X，求：
①X的分布列；
②抽到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
听课笔记：
一题多变
(变问题)若例3条件不变，从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为η，求η的分布列．
反思感悟　
1．超几何分布的关注点
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，其实质是古典概型．
(2)超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数的分布列．
2．超几何分布与二项分布关系：
共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败．当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．
不同点：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”．
【对点训练】
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
第六节　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
积累必备知识
一、
1．(1)P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n
2．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn　pi　平均水平　平均偏离程度　算术平方根
3．(1)1－p　p　P(X＝1)　(2)min{M，n}　n≤N，M≤N，n，M，N∈N*　
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，则E(X)＝2E(X)＋3＝3－＝.
答案：A
3．解析：因为P(X＝c)＝1，所以E(X)＝c×1＝c，D(X)＝(c－c)2×1＝0.
答案：0
4．解析：由X～N(1，22)得：E(X)＝1，D(X)＝4，又X＋2Y＝4，所以Y＝2－，所以E(Y)＝2－E(X)＝，D(Y)＝D(X)＝1.
答案：　1
5．解析：由题意，Y～B(3，)，Y的所有可能值为0，1，2，3，则E(Y)＝3×＝2，即Y的数学期望为2.
答案：2
6．解析：由题意得P(ξ＝2)＝＝＝，所以＝36，所以m＋n＋4＝9.因为P(一红一黄)＝＝＝＝，所以m＝3，所以n＝2，所以m－n＝1.所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝0)＝＝.所以E(ξ)＝×2＋×1＋×0＝＝.
答案：1　
提升关键能力
考点一
1．解析：因为P(X＝－2)＋P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.8，P(X＝－2)＋P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.9，所以P(X答案：C
2．解析：由题意可得＋1－2q＋q2＝1，可得2q2－4q＋1＝0，解得q＝1－，q＝1＋(舍去)．
答案：C
3．解析：由×a＝1，知a＝1，得a＝.
故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝.
答案：
考点二
例1　解析：(1)因为第1次消费200元，利润为50元，第2次消费190元，利润为40元．
所以2次消费的平均利润为45元．
(2)若该会员消费1次，则X＝50，P(X＝50)＝0.6；
若该会员消费2次，则X＝＝40，P(X＝45)＝0.2；
若该会员消费3次，则X＝＝40，P(X＝40)＝0.1；
若该会员消费4次，则X＝＝35，P(X＝35)＝0.05；
若该会员消费5次，则X＝＝30，P(X＝30)＝0.05.
故X的分布列为
X 50 45 40 35 30
P 0.6 0.2 0.1 0.05 0.05
对点训练
解析：(1)设“甲获得奖品”为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，
则P(A)＝＝.
(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，则
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
考点三
例2　解析：(1)两人所付费用相同，可能为0元，40元，80元．
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为(1－)＝，(1－)＝.
两人都付0元的概率P1＝＝，
两个都付40元的概率为P2＝＝，
两人都付80元的概率为P3＝＝，
则两人所付的费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＝.
(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0，40，80，120，160，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝40)＝＝，
P(ξ＝80)＝＝，
P(ξ＝120)＝＝，
P(ξ＝160)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
对点训练
解析：(1)设部件1，2，3需要调整分别为事件A，B，C.
则P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3且A，B，C彼此相互独立，
记部件1，2都不需要调整为事件D，则P(D)＝P()＝P()P()＝(1－0.1)(1－0.2)＝0.72.
故部件1，2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－P(D)＝1－0.72＝0.28.
(2)依题意X＝0，1，2，3.则
P(X＝0)＝P()＝P()P()P()＝0.9×0.8×0.7＝0.504，
P(X＝1)＝P(A )＋P( B )＋P( C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398.
P(X＝3)＝P(ABC)＝0.1×0.2×0.3×＝0.006.
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝0.092.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.504 0.398 0.092 0.006
E(X)＝0×0.504＋1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.6.
考点四
例3　解析：(1)抽取一次，只有抽到一等品和抽不到一等品两种情况，故ξ的取值只有0和1两种情况，服从两点分布．
P(ξ＝1)＝，则P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝1－＝.
因此ξ的分布列为
ξ 0 1
P
(2)①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品件数X服从超几何分布，所以从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝，m＝0，1，2，3.
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
②设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1
因此P(A1)＝＝，
P(A2)＝P(X＝2)＝，
P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＝.
即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为.
一题多变
解析：若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，3次抽取可以看成3次独立重复试验，因此
η～B(3，)，所以P(η＝0)＝)0()3＝，
P(η＝1)＝)1()2＝，
P(η＝2)＝)2()1＝，
P(η＝3)＝)3()0＝.
因此η的分布列为
η 0 1 2 3
P
对点训练
解析：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P

展开更多......

收起↑