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第七节　二项分布、正态分布及其应用
·最新考纲·
1．了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念．
2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．
3．利用实际问题的直方图，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
4．能解决一些简单的实际问题．
·考向预测·
考情分析：条件概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复事件、二项分布和正态分布仍是高考考查的热点，三种题型均有可能出现．
学科素养：通过二项分布及正态分布的应用考查数据分析、数学建模的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．条件概率
(1)条件概率的定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．
(2)条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；
②如果B，C是两个互斥事件，则P(B＝________＋P(C|A)．
2．相互独立事件的定义及性质
(1)定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝________，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与与B，与也都相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验概率公式
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝____________________________．
(2)二项分布的定义
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝____________，k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
4．正态分布
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a(3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
二、必明2个常用结论
1．两个概率公式
(1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝，注意其与P(B|A)的不同．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知：
(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；
(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　)
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(　　)
(3)相互独立事件就是互斥事件．(　　)
(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－3·P54练习T2改编]先后掷一枚质地均匀骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数，且x≠y”，则概率P(B|A)＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
3．[选修2－3·P75习题B组T2改编]已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c等于(　　)
A． B． C． D．
(三)易错易混
4．(分不清独立重复试验)甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和，假设两人击中目标与否相互之间没有影响，每人各次击中目标与否相互之间也没有影响，若两人各射击4次，则甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为________．
5．(不清楚正态曲线的对称性)某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110，102)．已知P(100＜X≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．
(四)走进高考
6．[2021·山东卷]有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　条件概率　[基础性]
1．[2022·安徽阶段测试]将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)，P(B|A)分别是(　　)
A． B．
C． D．
2．[2022·湖南长沙检测]已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为(　　)
A．0.75　 　B．0.6　 　C．0.52　 　D．0.48
3．[2022·广西柳州模拟]袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是(　　)
A． B． C． D．
4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)
A． B． C． D．
反思感悟　条件概率的三种求法
定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求P(B|A)
基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
考点二　相互独立事件的概率　[综合性]
[例1]　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
听课笔记：
一题多变
1．(变问题)若例1中条件不变，求3人均未被选中的概率．
2．(变条件，变问题)若例1中，条件“3人能被选中的概率分别为”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率．
反思感悟　求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(3)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
【对点训练】
[2022·沈阳市教学质量监测]在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并超过对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两支球队进行排球比赛：
(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率．
(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一球的发球权．设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x)．
考点三　独立重复试验与二项分布　[综合性、应用性]
[例2]　某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得－10分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得－10分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功．若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；
(2)求参赛者甲回答这三个问题的总得分ξ的分布列、期望和闯关成功的概率．
听课笔记：
反思感悟　
1．独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
2．二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
【对点训练】
[2022·青铜峡市高级中学高三考试]设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件M，求事件M发生的概率．
考点四　正态分布及其应用　[应用性、创新性]
[例3]　某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回答3道题，第一题为教育心理学知识，答对得2分，答错得0分，后两题为学科专业知识，每道题答对得4分，答错得0分．
(1)若一共有1000人应聘，他们的工作经历评分X服从正态分布N(63，132)，76分及以上达标，求进面试环节的人数(结果四舍五入保留整数)；
(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列及数学期望．
附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827，
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9973.
听课笔记：
反思感悟　正态分布下2类常见的概率计算
1．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
2．利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
【对点训练】
数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．
(1)为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上(含60分)的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记ξ为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求ξ的分布列和数学期望；
(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可用样本平均数近似代替，σ2可用样本方差近似代替(用一组数据的中点值作代表)，若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．(结果根据四舍五入保留到整数位)
解题中可参考使用下列数据：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973.
第七节　二项分布、正态分布及其应用
积累必备知识
一、
1．(1)　(2)P(B|A)
2．(1)P(A)P(B)
3．(1)P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)　pk(1－p)n－k
三、
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因为P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.
答案：A
3．解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称，且P(x＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，所以2c－1＋c＋3＝3×2，即c＝.
答案：D
4．解析：甲恰好有2次击中目标的概率为·()2·(1－)2＝，乙恰好有3次击中目标的概率为·()3·(1－)＝，故甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为＝.
答案：
5．解析：因为考试的成绩X服从正态分布N(110，102)，所以考试的成绩X关于X＝110对称，因为P(100＜X≤100)＝0.34，所以P(X≥120)＝P(X≤100)＝(1－0.34×2)＝0.16，所以该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8.
答案：8
6．解析：P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，
P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，
P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)．
答案：B
提升关键能力
考点一
1．解析：因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有×5×4＝60种情况，所以P(A|B)＝.
答案：A
2．解析：设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)＝＝＝0.75.
答案：A
3．解析：在这两次摸球过程中，设A＝“第一次摸到黑球”，B＝“第二次摸到白球”．
则n(A)＝＝24，n(AB)＝＝12，
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：C
4．解析：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝.
答案：B
考点二
例1　解析：记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同时被选中的概率为
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝＝.
(2)3人中有2人被选中的概率为
P2＝P(ABCBC)＝×(1－)＋×(1－)×＋(1－)×＝.
3人中只有1人被选中的概率为
P3＝P(A BC)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝.
故3人中至少有1人被选中的概率为＝.
一题多变
1．解析：方法一　3人均未被选中，
P＝P()＝(1－)×(1－)×(1－)＝.
方法二　由本例(2)知，3人至少有1人被选中的概率为，
所以P＝1－＝.
2．解析：设甲被选中的概率为P(A)，
乙被选中的概率为P(B)，
则P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝，①
P(A)P(B)＝，②
由①②知P(A)＝，P(B)＝
故恰有2人被选中的概率
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝.
对点训练
解析：(1)依题意，若甲队赢得整场比赛，则甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛．
若甲队以3∶1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，
若甲队以3∶2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢．
故甲队最后赢得整场比赛的概率为＝.
解析：(2)依题意，每次发球，发球队得分的概率为，接球队得分的概率为.
甲接下来可以以16∶14或17∶15赢得比赛，故x的取值为2或4.
若甲、乙比分为16∶14，则x的取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，
∴P(x＝2)＝＝.
若甲、乙比分为17∶15，则x的取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，
∴P(x＝4)＝＝.
考点三
例2　解析：(1)设事件Ai为参赛者甲回答正确第i个问题(i＝1，2，3)，
所以P＝P(A1A2)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＝＝；
(2)由题意，ξ所有可能取值为－20，－10，0，10，20，30，
P(ξ＝－20) ＝P()＝＝，
P(ξ＝－10)＝P(A1)＝＝，
P(ξ＝0)＝P(A3)＋P(A2)＝＝，
P(ξ＝10)＝P(A1A2)＋P(A1A3)＝＝，
P(ξ＝20)＝P(A2A3)＝＝，
P(ξ＝30)＝P(A1A2A3)＝＝，
所以ξ的分布列为：
ξ －20 －10 0 10 20 30
P
E(ξ)＝(－20)×＋(－10)×＋0×＋10×＋20×＋30×＝10
由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为P(ξ＝20)＋P(ξ＝30)＝.
对点训练
解析：(1)因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为，所以X～B(5，)，
从而P(X＝k)＝)k()5－k，k＝0，1，2，3，
所以，随机变量X的分布列为：
P 0 1 2 3 4 5
X
所以E(X)＝5×＝；
(2)设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y，则 Y～B(5，)，
且事件M＝{X＝3，Y＝0}＝4，Y＝1}＝5，Y＝2}，
由题意知，事件{X＝3，Y＝0}，{X＝4，Y＝1}，{X＝5，Y＝2}之间互斥，
且X与Y相互独立，
由(1)可得P(M)＝＝.
考点四
例3　解析： (1)因为X服从正态分布N(63，132)，
所以P(X≥76)＝P(X≥63＋13)＝＝0.15865，
因此进入面试的人数为1000×0.15865≈159.
(2)由题可知，Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则P(Y＝0)＝(1－)×(1－)2＝；
P(Y＝2)＝×(1－)2＝；
P(Y＝4)＝×(1－)＝＝；
P(Y＝6)＝×(1－)＝＝；
P(Y＝8)＝(1－) ×()2＝＝；
P(Y＝10)＝×()2＝＝.
故Y的分布列为：
Y 0 2 4 6 8 10
P
所以E(Y)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＋10×＝＝7.9.
对点训练
解析：(1)由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为(0.01＋0.02)×20×10＝6，不合格的人数为10－6＝4.因此，ξ的可能值为0，1，2，3，4，则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
解析：(2)由题意可知，μ＝(30×0.005＋50×0.015＋70×0.02＋90×0.01)×20＝64.
σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，所以σ＝18.
由X服从正态分布N(μ，σ2)，得
P(64－18＜X≤64＋18)＝P(46＜X≤82) ≈0.6827，
则P(X＞82)≈(1－0.6827)＝0.15865，P(X＞46)≈0.6827＋0.15865＝0.84135，
60×0.84135≈50.
所以此次竞赛受到奖励的人数为50.

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