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第 十 二 章 　 复数、推理与证明、算法
第一节　数系的扩充与复数的引入
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，复数的代数形式的四则运算仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过复数的概念、运算及其几何意义考查数学运算的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实　赢得良好开端
一、必记3个知识点
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若______________，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di ____________(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 ________(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________________．
复数集C和复平面内的______________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以______________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．
(5)复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝____________．
2．复数的几何意义
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________________．
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________________．
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________________．
④除法：＝＝＝__________________(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i，3＋4i>3＋3i等．(　　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　　)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)
(6)复数z＝－1＋2i的共轭复数对应点在第四象限．(　　)
(二)教材改编
2．[选修2－2·P103例题改编]已知z＝(m＋1)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
3．[选修2－2·P116复习参考题A组T1(2)改编]复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数是________．
(三)易错易混
4．(对复数的虚部认识不清)已知复数z1满足(2－i)z1＝6＋2i，z1与z2＝m－2ni(m，n∈R)互为共轭复数，则z1的虚部为________，m＋n＝________．
5．(复数的几何意义出错)如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则＝________．
(四)走进高考
6．[2021·全国卷Ⅰ]若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．　　　D．2
提 升 关键能力——考点突破　掌握类题通法
考点一　复数的有关概念　[基础性]
1．若复数z满足zi＝3－5i，则z的虚部为(　　)
A．－3　　　B．3　　　C．5　　　D．－5
2．[2022·广东深圳市高三质量评估]若复数z＝－i为纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．－ C．0 D．1
3．已知z为复数，i为虚数单位．若复数为纯虚数，则|z|＝(　　)
A．2 B． C．1 D．
反思感悟　求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．
考点二　复数的代数运算　[基础性]
[例1]　(1)[2021·北京卷]在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝(　　)
A．2＋i　　B．2－i　　 C．1－i　　D．1＋i
(2)[2021·全国乙卷]设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．－＋i D．－－i
听课笔记：
反思感悟　复数代数形式运算问题的解题策略
复数的 加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的 乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的 除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式
【对点训练】
1．设复数z满足＝i，则z＝(　　)
A.i B．i
C.－i D．－i
2．若复数z满足z(1＋2i)＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则|＋i2 021|＝(　　)
A. B． C． D．1
3．[2022·浙江省舟山中学高三月考]若z＝2＋i，则|z|＝________，＝________．
考点三　复数的几何意义　[基础性、应用性]
[例2]　(1)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A.第一象限 B．第二象限
C.第三象限 D．第四象限
(2)[2022·开封市模拟考试]在复平面内，复数对应的点位于直线y＝x的左上方，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，0) B．(－∞，1)
C.(0，＋∞) D．(1，＋∞)
听课笔记：
反思感悟　复数几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b)．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[提醒]　|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．
【对点训练】
1．[2022·重庆市高三月考]在复平面内，复数对应的点的坐标为(　　)
A.(－1，1) B．(1，－1)
C.(－1，i) D．(i，－1)
2．[2022·合肥市教学质量检测]设复数z满足|z－1|＝|z－i|(i为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A.y＝－x
B.y＝x
C.(x－1)2＋(y－1)2＝1
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
第十二章　复数、推理与证明、算法
第一节　数系的扩充与复数的引入
积累必备知识
一、
1．(1)实部　虚部　b＝0　b≠0　a＝0且b≠0　(2)a＝c且b＝d　(3)　
(4)x轴　y轴除去原点　实数　纯虚数　实部不为0的虚数　点　原点　(5)
3．(a＋c)＋(b＋d)i　(a－c)＋(b－d)i　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　
三、
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×
2．解析：要使复数z对应的点在第四象限，应满足，解得－1＜m＜1.
答案：A
3．解析：因为z＝＝＝＝i，所以，其共轭复数为i.
答案：i
4．解析：由(2－i)z1＝6＋2i，得z1＝＝＝＝2＋2i，则z2＝2－2i，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3.
答案：2　3
5．解析：由题图得：z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝＝＝－i.
答案：－i
6．解析：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.
答案：D
提升关键能力
考点一
1．解析：由复数的运算法则，可得z＝＝＝－5－3i，所以复数z的虚部为－3.
答案：A
2．解析：化简原式可得：z＝－i＝－i＝.z为纯虚数时，＝0，a－a2－2≠0即 a＝－1.
答案：A
3．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以复数＝
＝
＝.因为复数为纯虚数，所以a2＋b2＝1，a≠0.所以|z|＝＝1.
答案：C
考点二
例1　解析：(1)由题意可得：z＝＝＝＝1＋i.
(2)设z＝a＋bi，则＝a－bi，则2(z＋)＋3(z－)＝4a＋6bi＝4＋6i，
所以，，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
(3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝＝＝＝－1＋i.
答案：(1)D　(2)C　(3)B
对点训练
1．解析：由＝i得1＋2z＝i－iz，所以z＝＝＝－i.
答案：C
2．解析：由z(1＋2i)＝(1＋i)2得复数z＝＝＝，
∴＝.＋i2 021＝＋i＝，
∴|z＋i2 021|＝＝＝1.
答案：D
3．解析：因为z＝2＋i，所以|z|＝＝；
＝＝＝＝＝.
答案：
考点三
例2　解析：(1)＝＝＝，所以该复数对应的点为，该点在第一象限．
(2)因为＝＝，复数对应的点在直线y＝x的左上方，所以1－a>a＋1，解得a<0.故实数a的取值范围是(－∞，0)．
答案：(1)A　(2)A
对点训练
1．解析：由＝＝＝－1＋i，则复数对应的点的坐标是(－1，1)．
答案：A
2．解析：z在复平面内对应的点为(x，y)，则z＝x＋yi(x，y∈R)，又|z－1|＝|z－i|，所以(x－1)2＋y2＝x2＋(y－1)2，所以y＝x.
答案：B

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