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4.2.2 对数运算法则
学习目标
1.通过对数运算法则的推导,培养逻辑推理的核心素养.
2.通过对数运算法则的运用,培养数学运算的核心素养.
自主预习
认真阅读课本第20~23页,做好预习笔记.
1.积、商、幂的对数
对于a>0且a≠1,M>0,N>0,
积的对数loga(MN)=logaM+logaN.
真数为有限多个正因数相乘的情形,即
loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.
商的对数loga=logaM-logaN.
幂的对数logaMn=nlogaM.
2.换底公式
logab=,a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1.
课堂探究
一、积、商、幂的对数
请同学们判断一下几组数是否相等
(1)lg 100+lg 0.1与lg (100×0.1);
(2)log28+log24与log232.
1.你知道log63与log62的值吗 你能算出log63+log62的值吗 如果设x=log63,y=log62,则6x=　　　　,6y=　　　　,怎样由这两个式子得到x+y
2.由指数运算的法则aαaβ=aα+β能得出对数运算具有什么运算法则
一般地,设aα=M>0,aβ=N>0,则有logaM=α,logaN=β.由aα+β=aαaβ=MN.
可知loga(MN)=α+β,代入α与β的值,有
loga(MN)=logaM+logaN.(积的对数=对数的和)
真数为有限多个正因数相乘的情形,即loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.
特别地,当正因数全部相等时,可得
logaNk=klogaN(正数的k次方的对数=正数的对数的k倍),其中k是正整数.
我们还可以由(aβ)α=aβ×α得出
logaMα=αlogaM,其中α为任意实数(证明留作练习).例如,
lg 0.001=lg 10-3=-3lg 10=-3.
另外,由上面两个结论可知
loga=loga(MN-1)=logaM+logaN-1=logaM-logaN.(商的对数=对数的差)
例1　logax,logay,logaz表示下列各式.
(1)loga;(2)loga;(3)loga.
例2　计算下列各式的值.
(1)lg 4+lg 25;(2)lg ;
(3)log2(47×25);(4)(lg 2)2+lg 20×lg 5.
二、换底公式
我们能不能借助lg 3和lg 5求出log35的值呢
一般地,我们有
logab=,
其中a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1.这一结果通常被称为换底公式.
换底公式及常用的推论
(1)logab=(a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0)叫做换底公式.
(2)由换底公式可得两个结论:
①lobn=logab;
②logab=(或logab·logba=1).
例3　求log89×log2732的值.
例4　求证lobs=logab,
其中a>0且a≠1,b>0,s∈R,t∈R且t≠0.
三、对数式的化简求值
例5　计算下列各式的值.
(1)lg -lg+lg;
(2)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
对数式的化简求值这类问题一般有两种处理方法:
一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂,然后化简求值.
课堂练习
一、积、商、幂的对数
1.计算下列各式的值.
(1)log26-log23;(2)lg 5+lg 2;(3)log53-log5;
(4)log35-log315;(5)ln;(6)lg 100-2.
2.已知3a=2,用a表示log34-log36.
二、换底公式
3.已知log32=a,3b=5,用a,b表示log3.
4.已知lg 2≈0.301 0,求lg 5的近似值(精确到0.000 1).
三、对数的运算法则
5.计算:log54×log85.
6.化简:.
强化训练
1.求下列各式的值.
(1)lg 0.001-log27;
(2)log48+lo4;
(3)log7.
2.(1)已知α∈R,a>0且a≠1.由(aβ)α=aβ×α,证明logaMα=αlogaM;
(2)由对数的定义证明换底公式logab=.
　　3.计算+lg 2×lg 50的值.
4.求证logxy×logyz×logzx=1.
5.比较log62与log63的大小.
6.化简lg 5×lg 8 000++lg 0.06-lg 6.
7.化简.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
略
课堂练习
1.(1)1　(2)1　(3)2 log53　(4)-1　(5)　(6)-4
2.由3a=2,可知a= log32,因此原式=log3=log3= log32-1=a-1.
3.log3=log330=(1+a+b)
4.lg 5=1-lg 2≈1-0.301 0=0.699 0
5.
6.2-log35
强化训练
1.(1)-　(2)-　(3)
2.(1)设aβ=M,则β=logaM,所以
logaMα=loga(aβ)α=logaaβ×α=α×β.
把β=logaM代入,即可得logaMα=αlogaM.
(2)设对数logab=x,则ax=b,且a=,于是=,则=b,两边取以c为底的对数得
xlogca=logcb,
则x=,即logab=.
3.1
4.左边=××=1=右边
5.log626.1
7.1

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