资源简介

6.2.1向量基本定理
学习目标
考点 学习目标 核心素养
共线向量基本定理 掌握共线向量基本定理 数学抽象、数学运算
平面向量基本定理 理解平面向量基本定理 数学抽象、数学运算
向量的应用 两定理的熟练应用 数学建模、逻辑推理
自主预习
预习教材P152~156的内容,思考以下问题:
1.共线向量基本定理是怎样表述的
2.用向量证明三点共线有哪些方法
3.平面向量基本定理的内容是什么
4.如何定义平面向量基底
5.实数与直线上的向量建立了什么关系
知识梳理
1.共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得　　　　.
由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知,如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是　　　　.
2.平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b　　　,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得　　　.
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b}常称为该平面上向量的一组　　　,此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的　　　.
3.直线上向量的坐标
给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得　　　　,此时,x称为向量a的坐标.
当x>0时,a的方向与e的方向　　　;当x=0时,a是　　　;当x<0时,a的方向与e的方向　　　.也就是说,在直线上给定了单位向量之后,直线上的向量完全被其坐标确定.
课堂探究
探究点1　共线向量基本定理
例1　已知m,n是不共线向量,a=3m+4n,b=6m-8n,判断a与b是否共线
跟踪训练1　设非零向量e1和e2不共线,是否存在实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线
探究点2　用基底表示向量
例2　如图,在平行四边形ABCD中,设对角线=a,=b,试用基底a,b表示,.
跟踪训练2　如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别是AD,BC边上的中点,且BC=3AD,=a,=b.试以a,b为基底表示,,.
探究点3　直线的向量参数方程式的应用
例3　已知平面内两定点A,B,对该平面内任一动点C,总有=3λ+(1-3λ)(λ∈R,点O为直线AB外的一点),则点C的轨迹是什么图形 简单说明理由.
跟踪训练3　在△ABC中,D为AB上一点,若=2,=+λ,则λ=　　　　　.
核心素养专练
[A基础]
1.(多选)若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1-e2
C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e2
2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为边BC的中点,且2++=0,则(　　)
A.= B.=2
C.=3 D.2=
3.在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,又=t,则t的值为(　　)
A. B. C. D.
4.如图,在平行四边形ABCD中,点O为AC的中点,点N为OB的中点,设=a,=b,若用a,b表示向量,则=　　　　　.
5.若向量a=4e1+2e2与b=ke1+e2共线,其中e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则k的值为　　　　　.
6.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　　.
7.如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基底表示向量与.
8.如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.
[B提升]
9.(多选)如果e1,e2是同一平面α内的两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是(　　)
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内的任一向量a,使a=λe1+μe2的实数λ,μ有无穷多对
C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.{e1,e1+e2}可以作为该平面的一组基底
10.如图,在平面内有三个向量,,,||=||=1,直线OA与OB所成钝角为120°,直线OC与OA的夹角为30°,||=5,设=m+n(m,n∈R),则m+n=　　　　　.
11.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:a,b可以作为一组基底;
(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.
参考答案
　　自主预习
略
课堂探究
例1　若a与b共线,则存在λ∈R,使a=λb,即3m+4n=λ(6m-8n).因为m,n不共线,所以因为不存在λ同时满足此方程组,所以a与b不共线.
跟踪训练1　设ke1+e2与e1+ke2共线,所以存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2),
则(k-λ)e1=(λk-1)e2.因为e1与e2不共线,所以只能有则k=±1.
例2　由题意知===a,===b.所以=+=-=a-b.
跟踪训练2　因为AD∥BC,且AD=BC,所以==b.
因为E为AD的中点,所以===b.因为=,所以=b.
所以=++=-b-a+b=b-a.
=+=-b+b-a=b-a.
=+=-(+)=-(+)=-=a-b.
例3　解:3λ+(1-3λ)=1且λ∈R,结合直线的向量参数方程式可知点C的轨迹是直线AB.
跟踪训练3　
核心素养专练
1.ABC　2.A　3.A　4.a+b　5.2　6.
7.=b+a,=a-b.　8.λ=μ=　9.BC　10.15　11.略

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